Download matemática y estadística curso de nivelación de matemática

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES – UNCa
INGRESO – MATEMÁTICA 2016
TECNICATURA EN INFORMÁTICA
DOCENTE RESPONSABLE: MARCELA GALINDEZ
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y
NATURALES
DEPARTAMENTO: MATEMÁTICA Y
ESTADÍSTICA
CURSO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA
CARRERAS: INFORMÁTICA
INGRESANTES 2016
DOCENTE RESPONSABLE:
GALINDEZ, MARCELA
EQUIPO DOCENTE: BIZZOTTO, ANDRÉS
CICLO ACADÉMICO: 2016
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FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES – UNCa
INGRESO – MATEMÁTICA 2016
TECNICATURA EN INFORMÁTICA
DOCENTE RESPONSABLE: MARCELA GALINDEZ
¡Bienvenido a la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales!
Desde nuestro lugar, queremos ayudarte en tu inserción a nuestras aulas. Para ello
confeccionamos este documento que pretende brindarte algunos elementos, estrategias y
actividades, que puedan orientar tu estudio personal y te sirvan para reflexionar y actuar
durante la organización de tus actividades como estudiante UNIVERSITARIO.
¿Qué supone estudiar matemática?
En general, los alumnos que ingresan a la Universidad estudian de manera independiente en
muy escasos momentos, en general antes de una evaluación. Sus actividades se restringen al
trabajo que se realiza en clase produciendo una fuerte dependencia hacia el profesor, no están
acostumbrados a utilizar libros de matemática y las carpetas suelen estar llenas de respuestas a
ejercicios que ni siquiera están enunciados.
Pero, Estudiar, queridos estudiantes, significa mucho más que resolver ejercicios de la carpeta
o similares, aunque esta actividad está incluida en el estudio. Estudiar un concepto involucra,
entre otras cosas, relacionarlo con otros conceptos, identificar qué tipos de problemas se
pueden resolver y cuáles no con esta herramienta, saber cuáles son los errores más comunes
que se han cometido en la clase como parte de la producción y por qué.
Cada disciplina tiene una especificidad en su quehacer, tiene formas particulares de
producir, de comunicar y validar conocimientos, y en matemática esto se hace mucho más
evidente. Estas formas específicas que irás conociendo, siempre deben estar incluidas en
el momento del estudio; es decir, no puedes estudiar desconociendo, por ejemplo, las
maneras de establecer la verdad en matemática. Estas formas específicas de producir
conocimiento, de validarlo y de comunicarlo deben estar incluidas en el estudio y ello
supone la utilización de estrategias de aprendizaje que te permitan buscar soluciones, no
simplemente memorizar procedimientos; explorar patrones, no simplemente memorizar
fórmulas; formular conjeturas, no simplemente resolver ejercicios.
Recuerda: Estudiar matemática supone, además de resolver ejercicios, resolver problemas,
construir estrategias de validación, comunicar y confrontar con otros el trabajo producido y
reflexionar sobre el propio aprendizaje.
Bienvenidos!
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TECNICATURA EN INFORMÁTICA
DOCENTE RESPONSABLE: MARCELA GALINDEZ
FUNDAMENTOS:
Los alumnos que ingresan a la universidad deberían poseer ciertas competencias, indispensables
para asegurar su permanencia en ella y la consecución de sus aprendizajes. Sin embargo los
comienzos en la Universidad no son fáciles y los estudiantes necesitan un periodo de adaptación
hasta que consiguen integrarse plenamente. Si a esta situación además le añadimos que, en
particular, el aprendizaje de la matemática depende, en gran medida, de lo que anteriormente
haya aprendido, nos damos cuenta de que es necesario homogeneizar los diferentes
conocimientos matemáticos que poseen los alumnos antes de que empiece el curso oficial. En
esto consiste la finalidad de este curso de Ingreso de Matemática, puesto que está centrado en
aportar a los alumnos ingresantes a primer año de la tecnicatura en Informática algunos
complementos en formación matemática, mayor agilidad, destreza y entrenamiento en la
resolución de problemas. Se pretende además que los alumnos adquieran un hábito de estudio
adecuado a esta disciplina. El enfoque será teórico - práctico, centrado en la resolución de
problemas, en la justificación, verificación, generalización y en la participación activa del
alumno.
OBJETIVOS:

Adquirir hábitos de estudio propios del aprendizaje de la Matemática en el nivel
universitario.
 Adquirir agilidad en el manejo de las operaciones básicas y sus propiedades.
 Traducir problemas básicos a lenguaje algebraico y resolverlos.
 Utilizar los diferentes registros de representación.
METODOLOGÍA:
La resolución de problemas es el aspecto central de la propuesta porque es el adecuado para
permitir que el alumno desarrolle actividad matemática de variado tipo y por aportar un cambio
actitudinal. También se insistirá en la explicación y en la práctica de producir argumentos para
validar un enunciado o una respuesta, para lo cual se requerirá la interacción entre pares, las
puestas en común y la precisión en el lenguaje, natural y simbólico.
CONTENIDOS MÍNIMOS:
Operaciones básicas. Propiedades de las operaciones. Expresiones algebráicas. Ecuaciones e
inecuaciones. Funciones elementales: Recta, parábola, función módulo.
EVALUACIÓN:
Se tomara una evaluación de los contenidos propuestos, con el fin de analizar los resultados del
curso, y en total de acuerdo con la Resolución prevista para el Ingreso
CRONOGRAMA
Semana 1: Propiedades de las operaciones básicas.
Semana 2: Expresiones algebraicas. Ecuaciones, problemas de aplicación.
Semana 3: función lineal, cuadrática, módulo.
Semana 4: trigonometría, resolución de triángulos
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TECNICATURA EN INFORMÁTICA
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CONJUNTOS NUMÉRICOS: PROPIEDADES DELAS OPERACIONES
Un poco de historia
La noción de número es tan antigua como el hombre mismo. Las tribus más
primitivas, tanto en el pasado como en la actualidad, disponen de símbolos para
distinguir entre uno, dos, tres,…
Es difícil analizar los caminos mentales que el hombre hubo de recorrer hasta
llegar a algún sistema de enumeración que le permitiera manejar, con el
pensamiento, la pluralidad. De hecho, sólo en unas pocas civilizaciones avanzadas
se llegó a la creación de sistemas de numeración verdaderamente manejable y
eficiente. Este hallazgo está profundamente unido al progreso matemático y
Conjuntos Numéricos.
Números Naturales: ℕ = {1, 2, 3, 4, … }
Números Enteros: ℤ = {… − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, … }
𝑝
Números Racionales: ℚ = {𝑞 , 𝑝, 𝑞 𝜖 ℤ ⋀ 𝑞 ≠ 0} (es el conjunto de todos los números que se
pueden escribir como expresiones decimales finitas o infinitas periódicas).
Números Irracionales:

I   , e, 0,10100100
, 2,

(es el conjunto de todos
los
ϵnúmeros que no se pueden escribir como expresiones decimales infinitas no periódicas).
Relación de orden en ℝ: El conjunto de los números reales es un conjunto ordenado, ya que,
dados dos números reales distintos siempre se puede establecer cuál es el mayor. A la relación
de orden definida en ℝ se la indica con “<” (a < b se lee: “a es menor que b”, o también “b es
mayor que a”).
En el conjunto de los números reales vale la ley de tricotomia: dados dos números reales a y b
vale una y solo una de las siguientes expresiones: a  b ó a  b ó a  b .
Los números y la recta numérica
1- a. En la siguiente recta numérica están ubicados los números 0; 1 y a:
0
1
¿Donde ubicamos los números a  1;  a
a
y  a 1?
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b. En la siguiente recta están ubicados los números 0 y a.
0
a
¿Donde se ubica el número –a.?
Soluciones: Para encontrar la solución de estos y otros problemas se usan los distintos
números: enteros, racionales, irracionales.
En el primer problema hay que ubicar los números a  1;  a y  a  1 en la siguiente recta,
conociendo la ubicación de 0,1 y a :
0
1
a
Como se conoce el lugar donde está el numero a y del 0 , es posible determinar dónde está el
número a , pues la distancia entre 0 y a debe ser la misma que la distancia entre a y 0.
-a
0
1
a
El número a  1 está ubicado a una unidad hacia la derecha del número a . Medir la distancia
de una unidad es medir la distancia que hay entre 0 y 1 ó entre dos números enteros
consecutivos cualesquiera. Para ubicar el numero a  1 hay que tomar la medida que hay entre
0 y 1 , y marcar un segmento con esa medida comenzando en a hacia la derecha. De igual
forma se puede ubicar el numero  a  1 , a una unidad hacia la derecha de a.
En el ítem b del primer problema, hay que ubicar en la recta numérica el número a.
Analizando la gráfica podemos preguntarnos:
-a a -a+1
0 0
1
a
a+1
¿Por qué el número a está ubicado a la izquierda del cero? ¿Por qué no tiene el signo menos? A
esto podemos responder diciendo que a es una letra que representa a cualquier número y
puede estar ubicado en cualquier lugar. Como a está ubicado a la izquierda del cero es un
número negativo. Saber esto hace que no sea necesario ponerle el signo menos adelante. De
esta manera, el número a es el opuesto de a y se ubica a la misma distancia del 0 a la que se
encuentra a , pero en el sentido contrario.
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-a
0
a
O sea, como el número a se encuentra a la izquierda del 0, es negativo, por lo que su opuesto,
a , es positivo. Para ver este concepto más claramente analizamos estos ejemplos:
Si a  5,  a  5; si a  6,  a  6
Los números racionales y la recta numérica
En la siguiente recta numérica se encuentran representados los números 0, a y b.
0
a
¿Dónde se ubican los números:
b
a
;
2
ab
;
2
a
b?
2
a
a
es necesario conocer el punto medio entre 0 y a, ya que es
2
2
ab
la mitad de a. Para marcar el punto
, se puede ubicar primero a  b , y luego dividir esa
2
distancia, entre 0 y a  b , en 2 partes iguales. También podemos considerar que la expresión
ab
a
representa el promedio entre a y b, o sea el punto medio. La expresión  b , está
2
2
a
representada por el punto que esta ubicado a la derecha de b, a un a distancia de ; o bien a
2
a
la derecha de una distancia de b.
2
Solución: Para ubicar el punto
0
a
b
A tener en cuenta:
 Lo números a y –a se denominan inversos aditivos u opuestos y verifican que:
a   a   0 .
 Los números naturales, ℕ, sus opuestos y el cero forman el conjunto de los números
enteros ℤ
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p
,
q
en la cual p es un número entero que se denomina numerador q es entero distinto
de cero que se denomina denominador.
 Los números racionales pueden representarse como fracciones comunes o como
decimal.
 Los racionales, ℚ, son números x que se pueden expresarse como fracción
Fracciones comunes:



Propias: son aquellas cuyo denominador es mayor que el numerador.
Impropias: son aquellas cuyo denominador es menor que el numerador
Números Mixtos: son expresiones que poseen una parte entera y otra fraccionaria.
Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes si:
a c
  a d  bc
b d
 La unión de los racionales (ℚ) y los Irracionales (𝕀) da como resultado el conjunto de
los Números Reales ℝ
Operaciones Fundamentales en ℝ:
El manejo fluido de las operaciones en los distintos conjuntos numéricos y sus propiedades es
fundamental para el estudio de prácticamente todas las ramas de la matemática. Es por esto
que consideramos conveniente repasar estos conceptos.
Para todo número real las cuatro operaciones fundamentales son:
Adición o Suma: a  b
Multiplicación: a.b
Sustracción o Resta: a  b
División: a : b 
a
, con b  0
b
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Propiedades
a) La suma y el producto cumplen la propiedad conmutativa:
∀𝑎, 𝑏 ϵ ℝ: a+b = b+a
∀𝑎, 𝑏 ϵ ℝ: a.b = b.a
b) La suma y el producto cumplen la propiedad asociativas:
∀𝑎, 𝑏 ϵ ℝ: (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)
∀𝑎, 𝑏 ϵ ℝ: (𝑎. 𝑏). 𝑐 = 𝑎. (𝑏. 𝑐)
c) La multiplicación es distributiva respecto de la suma:
∀𝑎, 𝑏 ϵ ℝ: (𝑎 + 𝑏). 𝑐 = 𝑎. 𝑐 + 𝑏. 𝑐
∀𝑎, 𝑏 ϵ ℝ: 𝑎. (𝑏 + 𝑐) = 𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐
d) Existen elementos llamados neutros para la suma y el producto:
∃ 0 ϵ ℝ / ∀𝑎, 𝑏 ϵ ℝ: a+0 =0+a = a El 0 es el neutro para la suma
∃ 1 ϵ ℝ / ∀𝑎, 𝑏 ϵ ℝ: a .1 =1. a = a El 1 es el neutro para la multiplicación
e) Existencia del inverso aditivo (opuesto):
∀ 𝑎 ϵ ℝ, ∃(−𝑎)/ 𝑎 + (−𝑎) = (−𝑎) + 𝑎 = 0
(-a) es el opuesto de a y es único
f)
Existencia del inverso multiplicativo (recíproco):
∀ 𝑎 ϵ ℝ, ⋀𝑎 ≠ 0, ∃𝑎−1 ϵ ℝ 𝑎. 𝑎−1 = 𝑎−1 . 𝑎 = 1
se llama inverso o reciproco de a
g) propiedad uniforme:
𝑠𝑖 𝑎 = 𝑏 ⟹ 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ϵ ℝ {
𝑆𝑖 𝑎 = 𝑏 ⟹ 𝑎 . 𝑐 = 𝑏 . 𝑐
de la segunda se desprende que
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A tener en cuenta


La propiedad uniforme es muy importante para la resolución de ecuaciones
Por ejemplo:
Si 2  x  10 

2  x 10

2
2
x5
o bien Si x  4  5  x  4  (4)  5  (4)
Si cancelamos utilizando sumas y restas, el resultado es 0, el elemento neutro de la
suma:
Ejemplo: 2x  3 2x  y  y  3;

3 y  x  y  3 2y  x  3
Si simplificamos utilizando productos y cocientes, el resultado el 1; el elemento neutro
del producto. Por ejemplo:
4. 𝑥
𝑥

x 1
= 4.1 = 4
( x 2  1)
con x≠0 o
( x 2  1)
1
Si aplicamos la propiedad distributiva del producto respecto a la suma a la siguiente
expresión: a1  b  c   a1.b  a1.c que es lo mismo que escribir:

bc b c
  . Por
a
a a
lo que vale la propiedad de la división respecto a la suma a derecha.
Esta propiedad que acabamos de ver no vale en el siguiente caso:
a
a a
 
b  c b c Es decir, no vale la propiedad distributiva de la división respecto a la
suma a izquierda
Potenciación de Números Reales
Potencia: Se define como potencia enésima de un número a, an , al producto de n factores
iguales a a. El número a ϵ ℝ es la base de la potencia, el número n ϵ ℕ es el exponente.
a n  a  a  a  a...
n veces
También se define

∀𝑎𝜖ℝ⋀𝑎 ≠ 0: 𝒂𝟎 = 𝟏 ⋀ 𝒂𝟏 = 𝒂 ⋀
𝟏
𝒂−𝒏 = 𝒂𝒏
Ejemplo:
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1
3
x
a
a
1
 2  x 
 3  ab2
1
y b
y
x y
2
b
3
Podemos observar que el signo menos del exponente produce en la expresión un cambio de
numerador por denominador, quedando luego del cambio con el exponente positivo.
Propiedades de la Potenciación:
Sean a y b números reales no nulos; m y n números enteros.
1. Producto y Cociente de Potencias de Igual Base:
2. Potencia de Otra Potencia:
3. Distributiva de la Potencia respecto del Producto y del Cociente:
4. Potencia de exponente fraccionario:
𝑚
𝑎𝑛 =
𝑛
𝑎𝑚
0
5. 𝑎 = 1
A tener en cuenta
La potenciación no es distributiva respecto de la suma y de la resta.
Observa atentamente:
 4  3
2
 4 2  32
7 2  16  9
49  25
 5  3
3
 53  33
23  125  27
8  98
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Radicación – Raíz n-ésima:
Dado un número n natural y un número a real, se define la raíz n-ésima de a, y se escribe
n
a , al único número real b, tal que bn  a .
∀ 𝑎 𝜖 ℝ,
𝑛 𝜖 ℕ,
𝑛 > 1:
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟:
𝑛
𝑎 = 𝑏 ⇔ 𝑏𝑛 = 𝑎
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 𝑝𝑎𝑟:
𝑛
𝑎 = 𝑏 ⇔ 𝑏 𝑛 = 𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≥ 0
Ejemplos:
3
𝑎) 125 = 5
𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒
53 = 125
5
𝑏) −32 = −2 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 (−2)5 = −32
4
𝑐) 81 = 3
𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒
34 = 81
4
𝑑) −16 ∉ ℝ porque no existe ningún número real que elevado a la cuarta potencia de por
resultado -16.
Esto ocurre con todos los cálculos de raíces de índice par de números negativos, es por eso que
estos casos no son considerados en la definición de radicación en ℝ
Propiedades de la Radicación:
Sean a un número real no nulo; m y n números naturales.
1. Simplificación: Se puede simplificar cuando la base de la potencia es no negativa,
por lo tanto: Si
2. Propiedad Distributiva:
 La radicación es distributiva respecto de la multiplicación y división, siempre que
existen las raíces de los factores que intervienen
𝑛

𝑎. 𝑏 =
𝑛
𝑛
𝑛
𝑎. 𝑏
𝑎
𝑏
=
𝑛
𝑎
𝑛
𝑏
con b≠0
La radicación no es distributiva respecto de la adición y sustracción
3. Raíz de otra Raíz
A tener en𝑛cuenta
𝑚
𝑛.𝑚
𝑎 =
𝑎
4. Potencia de una Raíz
𝑛
𝑝
𝑛
𝑝
𝑝
𝑎 =
𝑎𝑛 importantes para la operatoria con raíces:
Ahora vamos 𝑎a ver=algunas
reglas
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 Para simplificar exponentes e índices, se debe tener en cuenta que las
operaciones estén bien definidas. Por ejemplo:
a.
4
 3
4
4
, no se puede simplificar, ya que
simplificado el resultado que se obtiene es
4
 3
 3
4
4
 4 81  3 , si hubiéramos
 3 y sabemos por la definición
dada que si el índice de la raíz es par, la raíz es positiva
b.
12
 3
6
, no se puede simplificar, si lo hacemos quedaría
3 , que no está definida.
 Se puede simplificar cuando la base de la potencia es no negativa, por lo tanto: Si
a  0, entonces n an  a
TRABAJO PRÁCTICO 1
1) Señala, entre los números siguientes, cuáles son naturales, cuáles enteros, cuáles
racionales y cuáles irracionales:
2
1

 ; 5; 0, 7;
;  3; 2;  3, 4;
;
3
7
2
3; 2e; 0;
11 12 17
;
;
;
12 13 12
a) ¿Son mayores o menores que 1?
2) Dados los siguientes números:
29
20
b) Ordénalos de menor a mayor
3) Indica en la recta numérica los opuestos a los números ubicados en ella
-b
a
0
c
a) ¿Es a un número positivo? ¿Por qué?
b) ¿Es b un número positivo? ¿Por qué?
c) Da un ejemplo numérico de los valores que pueden adoptar a y b
d) ¿Dónde ubicarías el número a+1? ¿Qué consideras para ello?
4) Resuelve las siguientes operaciones y justifica escribiendo la/s propiedad/es
aplicada/s
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 2
a)  
 3
e) (  1)
i) 5
ll)
¡¡Atención!!:
2
b) 5  30
3
f) 9
1
2
5
j)  
9
2
62
2
m)
4 6
o) 
5 25
s) 3.  4  25 
g) 4
n)
d) (  4 )
2
2
Para justificar primero
expresa, por escrito, con
tus
palabras
la
propiedad en R que
aplicas, luego hazlo
formalmente,
utiliza
lenguaje algebraico.
3 2
h) ( 3 )
2
k) 27
53
5
2
3
2
2 9
p) .
11 4
1
c) ( 3.5)
1
3
l) 3 
7.3
7
ñ)
7
8
3 2.5
3
Elabora un glosario que
te ayude a seguir
trabajando.
 5  15

q)
r) 2.32
8
2
t) 3.  4  32 
1
2
(Si
es
necesario,
consulta el enunciado de
las propiedades de las
operaciones en R)
u)
v) Responde
w) a las siguientes
x)
y)
z)
5)
preguntas,
justificando
las respuestas.
a) ¿Es conveniente simplificar el 2 del numerador con el 2 del denominador en el
ejercicio ll? Porqué? ¿Y el 7 del numerador con el 7 del denominador en el
ejercicio n?
b) ¿Es posible distribuir el exponente ½ respecto al producto del ejercicio s?, ¿y el
3? ¿y el exponente – ½ respecto a la suma del ejercicio t?, ¿y el 3?Justifica cada
respuesta
c) ¿Será posible resolver el ejercicio s de una manera diferente a como la hicieron?
d) Observen los resultados desde el ejercicio ll hasta el q ¿Qué pueden concluir acerca de
las simplificaciones?
e) Observen los resultados desde el ejercicio v hasta el x ¿Qué pueden concluir?
6) Clasifique cada igualdad como verdadera o falsa. Si no es correcta, modifique el
miembro derecho para obtener una igualdad verdadera.
a) 34 ∙ 32 = 38
b)
104
54
= 24
c) 34 + 34 = 38
d)
1
2−3
e) (22 )3 = 28
2 4
f) (3) =
24
3
g) (𝑎2 𝑏)3 = 𝑎2 𝑏 3
= −23
1
1
h) (2 + 𝜋)−2 = 4 + 𝜋2
13
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i)
25 ∙ 22 = 47
p)
j)
(−27)0 = 1
q) (𝑎 + 𝑏)
k) (𝑎 + 𝑏)0 = 𝑎 + 1
l)
2−5
23
m)
93
93
= 2−2
=1
n) (20 )3 = 23
o) 𝑎2 + 𝑎2 = 2𝑎2
16 + 25 = 16 + 25
1⁄
3
r)
3
8∙ 8=
=𝑎
6
1⁄
3
+𝑏
1⁄
3
64
s) 2 (𝑥 + 1) = 4𝑥 + 4
t)
(𝑥 − 1)2 = 𝑥 − 1
u)
𝑥9 = 𝑥3
v) 𝑎−
1⁄
2
+ 𝑏−
1⁄
2
=
1
𝑎+𝑏
14
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7) Calcule el valor numérico aplicando propiedades. Verifique con la calculadora:
a) −105
j)
2
1 3
b) [(2) ]
0
k)
1
2
c) 2 + 2 + 2
1 4
d) (2)
(−2)4
e) (−3)2 (−2)3
f)
32
2 1
h)
(−2)5
(−2)3
3 3
i) (− )
4 −3
m)
o)
3
9 ∙ −3
3
−3
−24
22 ∙33 ∙4 4
u)
2 −1
+ (3)
v)
83
162
9
−1⁄3
27
3
(−125)(−1000)
625
w)
[(−7)2 (−3)2 ]−1
x)
144 + 25
y)
144 + 25
210
43
p) 81−
1⁄
2
q) 64−
2⁄
3
r) (−125)
4
3
3
t)
23 ∙34 ∙45
l) (3)
n)
2 0
s)
2 −2
30
g) (3) + (3)
3−3
z) (−
125
8
1⁄
3
)
1
2⁄
3
8) Resuelve los siguientes problemas
a) Tres recipientes contienen agua, el primero
50
62
litros, el segundo
litros y el
47
55
33
litros. ¿Qué recipiente tiene menos agua y cuál más?
30
1
b) En el colegio, de los alumnos estudia inglés y un 33% francés. ¿Cuál es la lengua más
3
tercero
elegida?
c) Una aleación está compuesta por 24/29 de cobre, 4/29 de estaño y 1/29 de zinc.
¿cuántos kilogramos de cada metal habrá en 348 kg de aleación?
d) Luís invita a sus amigos una tarta. Pedro come 1/5, Ana 1/6 y Tomás 1/3. Luís come el
resto. ¿cuánto come?
e) Dado un cordón Juan toma la mitad. De lo que queda Pedro toma la mitad; de lo que
queda María toma la mitad; de lo que queda Carmen toma 2/5. Al final quedan 30 cm.
¿cuál era la longitud del cordón?
9) Analice la siguiente demostración y explique cuál fue el error cometido.
4 = 16 =
(−4) ∙ (−4) = −4 ∙ −4 =
−4
2
1⁄
3
− (64)
= −4
15
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10) Calcule el perímetros de las siguientes figuras:
a)
b)
20 cm
5 cm
32 cm
2 5 cm
40 cm
c)
10cm
d)
7 cm
11)
5 cm
Hallar el valor exacto del área de las siguientes figuras. Todas las medidas estan
dadas en centímetro.
1+ 27
a)
𝟔
b)
3
c)
3 2
12
2 3
4 22
12) Completar con,  o  según corresponda:
16
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N
Z
Q
I
R
1
2/3
3
5
-3
8
4,4
3,5
3,89
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se suele pensar que el álgebra comienza cuando se empieza a utilizar letras para
representar números, pero, en realidad comienza cuando los matemáticos se interesan por
las operaciones que se pueden hacer con cualquier número.
Ese cualquier número se representa con una letra y se da, así el paso de la aritmética, que
se interesa por los números concretos, al álgebra.
Definición: Las expresiones algebraicas son combinaciones de números expresados por
letras y cifras, relacionados entre sí por una o más operaciones
Si a, b y c son números reales, son expresiones algebraicas algunas de las siguientes:
Lenguaje Coloquial
El doble de a
El triple de la suma de a y c
Lenguaje algebraico
2a
3(a+c)
El producto de a por el cuadrado de b
ab2
El cubo de a, disminuido en 3
a3-3
El cubo de: a disminuido en 3
(a-3)3
17
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Clasificación: Las expresiones algebraicas se clasifican en enteras, racionales e irracionales.
 Las expresiones algebraicas enteras son aquellas en las cuales las letras y
números se relacionan a través de las operaciones de suma, producto y potencia.
Por ejemplo: x3  3x  4 .
 Las expresiones algebraicas racionales son aquellas en las que por lo menos
3
una de las letras figura como divisor de la expresión. Por ejemplo:
.
2x 1
 Las expresiones algebraicas irracionales son aquellas en la que por lo menos una
1
de las letras se figura como radicando. Por ejemplo: 5 x  .
2
Polinomios: Son expresiones algebraicas enteras.
Polinomios en una indeterminada, x, es la expresión de la forma
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 1 + 𝑎0



donde 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , … 𝑎2 , 𝑎1 , 𝑎0 son números reales, llamados coeficientes, x es la
indeterminada
Los exponentes de x son números enteros no negativos y el grado del polinomio
es el mayor exponente de la variable cuyo coeficiente es diferente de cero.
n es un número natural que indica el grado de un polinomio (𝑛𝜖ℕ0 𝑞𝑢𝑒 es el
conjunto de los números naturales que incluye al cero ó el conjunto de los
números enteros no negativos). El grado del polinomio P  x  , se indica con
grP  x   n .


an es el coeficiente principal y 𝑎0 es el término independiente o término de
grado 0
En el caso particular de que todos los coeficientes sean ceros, el polinomio se
denomina polinomio nulo, se lo indica con  y carece de grado.
Según la cantidad de términos que tenga el polinomio, se llama:



Monomio
Binomio
Trinomio
un solo término
dos términos
tres términos
18
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


…
…
Polinomio de grado n.
n términos
Ejemplos:
a)Sea P  x   1 
1 3
x  2x4
2
Es un trinomio de cuarto grado  n  4 , la variable es x, entonces grP(x) = 4.
Los coeficientes son: a0  1,
a1  a2  0, a3 
1
, a4   2 , donde el coeficiente
2
principal es a4   2
Q  y  3y 
3
3
es un binomio de grado 1 en la variable y, a0   , a1  3
2
2
R  x   5 Monomio de grado cero, a0  5
S  x  5 x 
T  x 
1
No es un polinomio pues x esta con exponente 1/ 2 .
2
3
No es un polinomio porque x está en el denominador (es una expresión
2x 1
algebraica racional).
A tener en cuenta
 Los monomios son homogéneos cuando tienen el mismo grado
 Los monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal
 El grado de un polinomio con respecto a una de sus indeterminadas está dado
por el mayor exponente con que figure esa indeterminada
 Un polinomio está ordenado según las potencias decrecientes (o crecientes) de
una indeterminada cuando el exponente de la misma en cada término es menor o
igual (mayor o igual) que en el anterior
Operaciones con Expresiones Algebraicas
Suma y Diferencia de Polinomios
La suma y diferencia de polinomios se trabaja haciendo una simple supresión de paréntesis y
agrupando términos semejantes como muestran los siguientes ejemplos:
19
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1) Sumar los polinomios 𝑃(𝑥) 𝑦 𝑄(𝑥).
𝑃(𝑥) = 2 − 7𝑥 2 − 5𝑥 3 𝑦 𝑄(𝑥) = 4𝑥 2 + 5𝑥 3 − 3𝑥 4
𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) = (2 − 7𝑥 2 − 5𝑥 3 ) + (4𝑥 2 + 5𝑥 3 − 3𝑥 4 )
= 2 − 7𝑥 2 − 5𝑥 3 + 4𝑥 2 + 5𝑥 3 − 3𝑥 4
= 2 − 3𝑥 2 − 3𝑥 4
2) Restar los polinomios 𝑃(𝑥) 𝑦 𝑄(𝑥).
.
𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) = (2 − 7𝑥 2 − 5𝑥 3 ) − (4𝑥 2 + 5𝑥 3 − 3𝑥 4 )
= 2 − 7𝑥 2 − 5𝑥 3 − 4𝑥 2 − 5𝑥 3 + 3𝑥 4
= 2 − 11𝑥 2 − −10𝑥 3 + 3𝑥 4
En el ejemplo de la resta o diferencia, al hacer la supresión de paréntesis lo que se ha hecho es
sumar al polinomio P( x) el opuesto del polinomio Q( x) .
Producto de Polinomios
Para efectuar los productos de los polinomios debemos tener en cuenta la propiedad
distributiva del producto respecto de la suma y las propiedades de la potenciación. Veamos
algunos ejemplos para los distintos casos que se nos pueden presentar.
1) Multiplicar 𝑃(𝑥) = 3𝑥 2 𝑦
𝑄(𝑥) = 2𝑥 − 1
(𝑃. 𝑄)(𝑥) = 3𝑥 2 . (2𝑥 − 1)
= 3𝑥 2 . 2𝑥 − 3𝑥. 1 (A)
= 6𝑥 3 − 3𝑥
Se puede observar que el polinomio obtenido en (A) tiene un factor común 3𝑥 2 en ambos
términos. De manera recíproca dado el polinomio: 3𝑥 2 . 2𝑥 − 3𝑥. 1 Se puede obtener el
producto: 3𝑥 2 . (2𝑥 − 1)
Esto es:
3𝑥 2 . 2𝑥 − 3𝑥. 1 = 3𝑥 2 . (2𝑥 − 1)
A este procedimiento se los llama extraer factor común en un polinomio
1
2) Multiplicar 𝑃(𝑥) = 2 𝑥 2 + 3𝑥 𝑦
(𝑃. 𝑄)(𝑥) =
1
(2 𝑥 2
𝑄(𝑥) = 2𝑥 − 1
+ 3𝑥) . (2𝑥 − 1)
20
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=
1 2
𝑥 .
2
=
1 2
𝑥 . 2𝑥
2
(2𝑥 − 1) + 3𝑥. (2𝑥 − 1)
1
− 2 𝑥 2 . 1 + 3𝑥. 2𝑥 − 3𝑥. 1
1
= 𝑥 3 − 2 𝑥 2 + 6𝑥 2 − 3𝑥
3) P  x   x  a y Q  x   x  a
 P  Q  x    x  a    x  a   x  x  x   a   a  x  a   a 
 x 2  ax  ax  a 2
 x2  a2
Ejemplo: 𝑃(𝑥) = 2𝑥 2 + 3𝑥
𝑦
𝑄(𝑥) = 2𝑥 2 − 3𝑥
(𝑃. 𝑄)(𝑥) = (2𝑥 2 + 3𝑥). (2𝑥 2 − 3𝑥)
= (2𝑥 2 ). (2𝑥 2 ) + (2𝑥 2 ). (−3𝑥) + (2𝑥 2 ). (2𝑥 2 ) + (3𝑥)(−3𝑥)
= (2𝑥 2 )2 − (3𝑥)2
= 4𝑥 4 − 9𝑥 2
El producto de la suma de dos números por su diferencia se convierte en la diferencia de los
cuadrados de los mismos.
4) P  x   Q  x   x  a
 P  Q  x    x  a 
2
  x  a x  a  x  x  x  a  a  x  a  a
 x 2  ax  ax  a 2
 x 2  2ax  a 2
Ejemplo: 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) = 2𝑥 2 + 3𝑥
(𝑃. 𝑄)(𝑥) = (2𝑥 2 + 3𝑥). (2𝑥 2 + 3𝑥) = (2𝑥 2 + 3𝑥)2
= (2𝑥 2 ). (2𝑥 2 ) + (2𝑥 2 ). (3𝑥) + (2𝑥 2 ). (3𝑥) + (3𝑥)(3𝑥)
= (2𝑥 2 )2 + 2. (2𝑥 2 ). (3𝑥) + (3𝑥)2
= 4𝑥 4 + 12𝑥 3 + 9𝑥 2
El desarrollo del cuadrado de un binomio recibe el nombre de trinomio cuadrado
perfecto.
21
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5) P  x   Q  x   R  x   x  a
 P  Q  R  x    x  a 
3
  x  a x  a x  a   x  a x  x  x  a  a  x  a  a
  x  a    x 2  ax  ax  a 2   x  x 2  x  2ax  x  a 2  a  x 2  a  2ax  a  a 2
 x3  2ax 2  a 2 x  ax 2  2a 2 x  a 3
 x3  3ax 2  3a 2 x  a 3
Ejemplo: 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) = 𝑅(𝑥) = 2𝑥 − 3
(𝑃. 𝑄. 𝑅)(𝑥) = (2𝑥 − 3)3
= (2𝑥 − 3)(2𝑥 − 3)(2𝑥 − 3)
= (2𝑥 − 3). (4𝑥 2 + 2.2𝑥. (−3) + 9)
= 2𝑥. (4𝑥 2 − 12𝑥 + 9) − 3. (4𝑥 2 − 12𝑥 + 9)
= 8𝑥 3 − 24𝑥 2 + 18𝑥 − 12𝑥 2 + 36𝑥 − 27
= 8𝑥 3 − 36𝑥 2 + 54𝑥 − 27
También:
(𝑃. 𝑄. 𝑅)(𝑥) = (2𝑥 − 3)3
= (2𝑥)3 + 3. (2𝑥)2 . (−3) + 3.2𝑥. (−3)2 + (−3)3
= 8𝑥 3 − 36𝑥 2 + 54𝑥 − 27
El desarrollo del cubo de un binomio recibe el nombre de cuatrinomio cubo perfecto.
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IDENTIDADES Y ECUACIONES
Igualdades
Las igualdades matemáticas son las expresiones caracterizadas por el signo " = ".
Las podemos clasificar en Identidades y Ecuaciones.
Una Identidad es una igualdad absoluta, o válida sin condicionamientos, para cualquier valor de las
indeterminadas.
Por ejemplo:
Una Ecuación es una igualdad condicionada, es decir que se satisface sólo para determinados valores
de las indeterminadas y en algunas ocasiones no tiene solución
Por ejemplo:
7 + 𝑥 = 10 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑥 = 3
2𝑥 − 1 = 𝑥 − 2 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑥 = −1
𝑥 2 = 9 𝑠𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑥 = 3 𝑦 𝑥 = −3
𝑥 + 5 = 𝑥 − 2 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒, 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
La condición o condiciones que debe cumplir una ecuación para ser efectivamente una igualdad están
representadas por una letra o varias que reciben el nombre de incógnitas de la ecuación.
23
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Clasificación de las Ecuaciones
Las ecuaciones algebraicas se clasifican:
a) Por su grado;
b) Por el número de sus incógnitas.
3x  2  0
2x  5 y  8
es una ecuación de primer grado con una incógnita.
es una ecuación de primer grado con dos incógnitas
x2  2 x  1  0
es de segundo grado con una incógnita.
¡¡Atención!!Para
determinar el valor de
la o las incógnitas de
una
ecuación,
la
matemática
ofrece
métodos de resolución
para cada clase de
ecuación, sin embargo,
SIEMPRE se debe tener
en
cuenta
las
propiedades de las
operaciones
Actividad para relacionar contenidos
 ¿Te animas a elaborar un cuadro que relacione los distintos tipos de ecuaciones
de manera análoga a la que elaboramos con la clasificación de expresiones
algebraicas? Inténtalo
 Sigue completando tu glosario
Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita
Actividad Prioritaria: Antes de comenzar a resolver ecuaciones, analiza los ejemplos dados
anteriormente, lo que ya conoces de clasificación de expresiones algebraicas y elabora un
concepto de ecuación de primer grado con una incógnita y escríbelo. Luego, compara lo que
tú escribiste con la definición formal dada a continuación.
Una ecuación de primer grado o lineal con una incógnita es, por lo tanto, de la forma:
……………………………………………………………...
Resolución de una ecuación lineal
En toda ecuación se distinguen dos miembros en la igualdad
24
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Ejemplo 1:
2 x  7  x  1  12  x  2
primer miembro
de la igualdad
Segundo miembro
de la igualdad
En cada uno de los miembros de una ecuación puede o no haber términos semejantes; si
los hay, se debe operar con ellos
3𝑥 + 6 = 14 − 𝑥
Los términos en cada uno de los miembros no son semejantes, por lo que no se puede
operar entre ellos. Entonces, debemos agrupar términos semejantes en cada uno de los
miembros, para ello aplicamos propiedad uniforme: sumamos a ambos miembros   x  y
 6 y obtenemos:
Aplicar esta propiedad equivale
3𝑥 + 6 + 𝑥 + (−6) = 14 − 𝑥 + 𝑥 + (−6)
decir que
pasa sumando al
otro miembro y que
pasa
restando (Pasaje de términos)
3𝑥 + 𝑥 = 14 − 6
4𝑥 = 8
Ahora, para despejar definitivamente x, volvemos a aplicar la misma propiedad y dividimos
a ambos miembros por 4. Por último, resolvemos.
4𝑥: 4 = 8: 4
𝑥=2
o bien:
4𝑥
4
8
=4
Equivale a decir que el 4 que está
multiplicando pasa al otro miembro
dividiendo (Pasaje de factores)
𝑥=2
Verificación: a fin de comprobar la validez de la solución se sustituye x por 2 en la
ecuación y se computa el valor de cada miembro. Si los valores así obtenidos son iguales,
la solución es correcta. Para el ejemplo anterior la verificación es:
Primer miembro: 2  2  7  2  1  12
Segundo miembro: 12  2  2  12
Luego x  2 es la solución de la ecuación dada.
25
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Ejemplo 2: Calcular el o los valores de x en la siguiente ecuación
2  3x
8
4
2  3x
 4  8  4 Multiplicamos por 4 ambos miembros de la igualdad.
4
2  3x  32
2  3x   2   32   2  Sumamos -2 a ambos miembros de la igualdad.
3x  30
3x 30

Dividiendo por -3 ambos miembros de la igualdad.
3 3
x  10
Verificación
2  3  10 
8
4
32
8
88
4
Por lo tanto x  10 es la solución de la ecuación.
Actividad: Resuelve de otra manera aplicando Pasaje de términos y de factores
Ejemplo 3: Resuelve el siguiente problema: “El doble de la edad que Guillermo tendrá dentro
de 6 años es igual al triple de la edad que tenía hace 5. ¿Qué edad tiene Guillermo
actualmente?”


Encuentra la solución probando con diferentes edades. ¿Cuánto tiempo demoraste?
Este es un ejemplo que cuesta encontrar ese valor, pues no cuentas, de antemano,
con algunos valores posibles que puede tomar esta edad. Es este uno de los casos
en que el planteo de ecuaciones ayuda a resolverlo.
Solución:
¡¡Atención!!
2(𝑒 + 6) = 3(𝑒 − 5)
2𝑒 + 12 = 3𝑒 − 15
Justifica cada paso
realizado con el nombre
de la propiedad aplicada
2𝑒 + 12 − 12 − 3𝑒 = 3𝑒 − 15 − 12 − 3𝑒
−1𝑒 = −27
𝑒 = 27
Respuesta: La edad de Guillermo es 27 años
¡¡REALIZA LA
VERIFICACIÓN!!
Respuesta: La edad que actualmente tiene Guillermo es 27 años
Actividad de profundización
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Si una ecuación de primer grado o lineal con una incógnita es de la forma:
ax  b  0 , siendo a y b constantes con a  0 .
¿Cómo podrías formalmente expresar la solución de la ecuación de primer grado con una
incógnita?
……
𝑥 = …….
Inecuaciones Lineales con una incógnita
Una inecuación o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuación lineal pero
cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.
Los signos de desigualdad son  ”mayor que”;  “menor que”;  “mayor o igual que” y
 “menor o igual”.
Para resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos procedimientos que se usan
para resolver una ecuación lineal.
Ejemplos:
1) Resolver 3  x  8 .
Sumando la misma cantidad a ambos lados:
3  x 8
38  x 88
11  x que es lo mismo que poner
x  11
Una regla importante en las desigualdades es que cuando se divide o multiplica por un
número negativo, el sentido de desigualdad cambia.
2) Resolver: 5 x  12  8 x  3
5 x  12  8 x  3
5 x  8 x  12  3
3x 15

3
3
x5
La interpretación gráfica de la solución de una inecuación es un intervalo del conjunto
de los números reales. Por ejemplo:
La solución del primer ejercicio es x  11 , representado por el intervalo  ;11 , lo
que gráficamente seria:
27
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0
11
La solución del segundo ejemplo será:  5; 
0
5
Ecuaciones con valor absoluto
Recuerda que:
a. Si x  4 , entonces x  2 .
b. Si x 2  4 , entonces x  2 , es decir que x  2 ó x  2 .
Veamos los siguientes ejemplos:
Resuelve la ecuación:  x  2  3   7  6  4 
2
 x  1   5
2
 x  1  25 
2
2
2
x  1  25
x 1  5
x  1  5 ó x  1  5
x4
ó x  6
Si realizamos la verificación se podrá observar que los dos valores de x obtenidos
satisfacen la ecuación.
Inecuaciones con Valor Absoluto
 Si |𝑥| < 𝑎 ⟹ −𝑎 < 𝑥 < 𝑎 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑥 > −𝑎 𝑦 𝑥 < 𝑎
 Si |𝑥| > 𝑎 ⟹ 𝑥 < −𝑎 𝑜 𝑥 > 𝑎
Ejemplos
1) |𝑥 + 2| < 5
Solución:
𝑥 + 2 > −5
𝑦
𝑥+2<5
28
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𝑥 > −5 − 2
𝑦
𝑥 < 5−2
𝑥 > −7
𝑦
𝑥<3
Gráficamente:
Los valores de x que satisfacen la inecuación son los que se encuentran en la zona de
doble rayado. Entones la solución de la inecuación es ( – 7 , 3 ). El uso de paréntesis
indica que los extremos del intervalo no son solución.
2) |2𝑥 − 3| ≥ 9
Solución:
2𝑥 − 3 ≤ −9
𝑦
2𝑥 ≤ −9 + 3
𝑥≤
−6
2
𝑦
𝑦
𝑥 ≤ −3
2𝑥 − 3 ≥ 9
2𝑥 ≥ 9+3
𝑥 ≥
𝑦
12
2
𝑥≥6
Graficamente:
Los valores de x que satisfacen la inecuación son los que se encuentran en la zona
rayada. Entonces la solución de la inecuación es (–  , – 3 ] U [ 6 , +  ). El uso de
corchetes indica que los extremos del intervalo son solución.
Ecuación cuadrática o de segundo grado
Es la ecuación de la forma:
ax2  bx  c  0 , donde a, b, c son constantes y a  0 .
a, b, c son los coeficientes de los términos cuadrático, lineal e independiente
respectivamente.
La Fórmula de Baskara: permite determinar el valor de las raíces de la ecuación
ax2  bx  c  0 .
𝑥=
−𝑏± 𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
29
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Análisis del discriminante:
Si   b2  4ac  0 , la ecuación tiene dos soluciones reales.
x1 
b  b 2  4ac
;
2a
x2 
b  b 2  4ac
2a
Si   b2  4ac  0 , la ecuación tiene dos soluciones reales iguales.
x1  x2 
b
2a
Si   b2  4ac  0 , la ecuación tiene no tiene soluciones reales.
Ejemplo: Encontrar las raíces, si es posible, de la ecuación 4 x2  5x  6  0 . Donde
a  4, b  5, c  6 :
x1,2 
5  52  4  4   6 
24
5  25  96
5  11
5  11
x1,2 
 x1 
; x2 
8
8
8
6
16
x1  ;
x2 
8
8
3
x1  ;
x2  2
4
Ecuaciones reducibles a ecuaciones de primero y segundo grado
Ecuaciones Racionales
Son aquellas en las cuales la variable se encuentra en uno o más denominadores. En
estas ecuaciones deberá tenerse en cuenta que las soluciones no anulen los
denominadores de las expresiones, para que estén definidas las ecuaciones dadas.
Si tenemos la expresión
4x  3 2x  6

, x debe ser diferente de 2 y de 3 para que estén
x2
x 3
definidos ambos miembros de la ecuación. Debemos obtener ecuaciones equivalentes a
las dadas, que puedan resolverse con las herramientas que disponemos.
Por ejemplo una forma de resolver es:
30
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 Como se trata de una proporción, el producto de los extremos es igual al producto
de los medios, por lo tanto:
 4x  3 x  3   2x  6 x  2 donde x  2, x  3 .
Al aplicar la propiedad de las proporciones, aplicamos también el procedimiento utilizado
al resolver ecuaciones fraccionarias algebraicas, es decir, multiplicar ambos miembros
de la igualdad por  x  3 x  2 . Como esta expresión contiene a la variable, es posible
introducir raíces extrañas, por los que se hace necesario verificar las raíces que se
obtengan.
Desarrollando los productos expresados en ambos miembros, obtenemos:
4x2 12x  3x  9  2x2  4x  6x  12 , operando nos queda:
1
2x2  5x  3  0 . Las raíces son x1   , x2  3 .
2
Como x debe ser diferente de 3, la única raíz que verifica la ecuación de partida es
1
x1   .
2
Hay que tener en cuenta que toda verificación se debe hacer en la ecuación de partida,
para que la misma sea válida.
2) Teniendo la siguiente ecuación 
x6
1

, la solución buscada debe ser diferente
x5 x5
de -5, ya que este número anula los denominadores.
Multiplicando ambos miembros por  x  5 , queda:
  x  6  1   x  6  1  x  5 , Como ya dijimos x  5 , entonces -5 no es raíz
de la ecuación dada, por lo que decimos que la ecuación no tiene solución.
Ecuaciones irracionales
Son aquellas en las cuales la incógnita aparece bajo el signo radical.
Ejemplo:
x  1 7  x
31
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El término que tiene la raíz debe quedar solo en un miembro, si hubiese dos raíces, es
conveniente dejar una en cada miembro de la ecuación.
x  1  7  x , se eleva al cuadrado ambos miembros de la ecuación:
 x  1
2
 7  x , desarrollando:
x2  2x  1  7  x , sumando  x  7  a ambos miembros de la ecuación:
x2  x  6  0 , las raíces de la ecuación son x1  3, x2  2
Verificación: Si x  3 , reemplazando en la ecuación de partida vemos que la verifica, por
lo tanto 3 es raíz de la ecuación.
Si x  2 , reemplazando en la ecuación de partida, vemos que no la verifica
2  1  7   2 
2  1  3
2  4
Por lo tanto -2 no es raíz de la ecuación.
TRABAJO PRÁCTICO 2
1) Reduce las siguientes expresiones algebraicas. Escribe a continuación el nombre
de la/s propiedad/es aplicada/s
b) k 3 .k 11
a) m 2 .m 5
2 x 3  3x 3
e)
x
5x 2  x 2
i)
x3
m)
(  y  3 y )3
y
p)
(  x )2
x
( y 2 )6
f)
6
j)
a .a
n)
q)
4
x6
x3
c)
k)
2x
x
t
3
2
l)
t
ñ)
( 2 x 2 )3
4 x4
h)  x.( x3  2 x )
x 6 .5 x
g)
r)
0
5s
( s  1) 5
s 1
y2
y9
d)
EXPRESIÓN
ALGEBRAICA
Completa: “Es toda
combinación…………
………………………………
…………………………….
( 2 z )3
z
o)
s)
( y  2 )2  4
y
x0 1
2
32
t)
u)
v)
w)
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2) Responde a las siguientes preguntas, justificando las respuestas
a) ¿Qué valor o valores no puede tomar la x en el ejercicio c? ¿y en ejercicio w?
b) ¿Qué valor o valores no puede tomar la x del ejercicio v?
c) ¿En qué ecuación x no puede tomar el valor 1? ¿Por qué?
3) Simplifique y exprese cada respuesta solo con exponentes positivos. Indique qué
valores puede tomar cada letra. Luego, verifique reemplazando las letras por
números:
𝑎)(𝑥 −3 )2
𝑏)
h)
𝑥9
𝑥3
3⁄
4
k) (𝑎−4 𝑏 −8 )
4
f)
g)
8𝑥 −3 𝑦 2
j) 𝑥 −2 + 𝑦 −2
d) (−2𝑎2 𝑏0 )4
e)
2
(𝑎+𝑏)−2
(𝑎+𝑏)−8
i)
c) (2𝑎)3 (3𝑎)2
2𝑥 3 𝑦 −2
𝑥2𝑦
(𝑥𝑦)2
l)
(𝑥−2𝑦)6
(𝑥−2𝑦)2
1
1
𝑎 2 ∙𝑏− ⁄2 ∙𝑐 ⁄3
1
𝑎 −3 ∙𝑏0 ∙𝑐 − ⁄3
2⁄
3
64𝑎6
)
𝑏−9
m) (
3
𝑥 −2 𝑦 2
(𝑥 3 𝑦 −2 )2
n)
1
(𝑥 2
2
+ 4𝑥)−
1⁄
2 (2𝑥
+ 8)
4) Clasifica las siguientes expresiones con Verdadero y Falso y justifica tu respuesta

3
3
a)  a  a 
2
2
c)2  3  4  20
d )2  3  4  14
1
1
f )  b   b   3  2   5
5
5
75 7 5
h)
 
2
2 2
2
2 2
j)
 
75 7 5
e) a  7   a  5    2  a 
g )2  3  5   2  3   2  5 
i)

b)  2  5  b   5 2  5b
53 5

23 2
5) ¿Para qué valores de a son ciertas las siguientes igualdades?
a)
5a 5

2a 2
b)
252
5

a2
a2
c) a 2  a
d ) a 2  a
e) 3 a 3  a
f)
 a
 a
h)
 a
g)
2
a
3
6
4
 a2
 a2
6) Resolver las siguientes ecuaciones y realiza la verificación en caso que lo creas
necesario.
33
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 5 x  2  12
a)
k)
b)  7 x  9  14
2x  1
6
4
c)
d) 3 x 
f)
5 21

3 5
m)
2
 3  11
x
n)
o)
g) 5.(x  2)  9
x .6  18
h)
4x  6
i)
j)
3
12
x 1
t)
4
5
9
2x  3
4
2 x
r) 6 y  y  23
( 2 x )3
 18
x2
s)
27
8
l) x 3 
30 x
6
 2  12  2
7
x
e)
23 x
1
5
13
22

y y2
u)
v) (5x  8) ( x  2)  ( x  4)(5x  7)
 1
p)
18
 9
x3
q)
2
 2
x 1
1 y
  3y  5
4 2
w)
x2  6 x2  4

5
2
4
x) x 4  5x 2  4  0
3
x .10  25
7) Expresar mediante inecuaciones e intervalos cada una de las siguientes frases, en
los cuales x  R:
a)
b)
c)
d)
Los valores que no superan a 6.
Los valores que están entre –5y 9.
Un número x que están a la derecha de 0.
Un número x que están a la izquierda de 2..
8) Expresar en lenguaje coloquial cada uno de los intervalos siguientes:
 ,5  ,  , ,  1 / 2, ,  7,0 ,  5 / 4,2
9) Encuentren en cada él o los valores de x, que verifican las siguientes expresiones:
a) x  3  1
b) 2  x  3
c) 2 x  1  0
d ) x  4  1
10) Señalen en una recta , en cada caso, todos los posibles lugares que podría ocupar
el número x sabiendo que verifica la condición:
a) x  2  3
c) 3 x  3
b) 2 x  1
d ) x  4  3
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11) Indiquen el grado de cada uno de los polinomios siguientes:
1
 5x 2  2x
2
a) P(x)= 3 x + 6x 5 7 x 2  1
b) Q(x) =
c),R(x) = 6 x 3  3x 2  8x
d) M(z) = z 4  3z 2  8z  3
12) Siendo P(x) = 6 x 3  2 x 4  x , Q(x) =  2x 2  5x 3  2 y R(x) =3 – x
Calculen:
a) P(-2)
b) P(0)
c) Q(-1)
d) R  
e) P(x) +Q(x)
f) 5R(x) –Q(x)
g) P(x) • Q(x)
h) Q(x) –P(x)
i) P(x) • R(x)
j) P(x) : R(x)
2
3
k) Q(x) : R(x)
13) Decida si las siguientes ecuaciones tienen solución real o no. En caso de tener, halle
el/los valor/es que satisfacen las ecuaciones:
c. Dos
números
pares
a) 𝑥 2 − 8𝑥 + 16 = 0
2
consecutivos
b) 4𝑥 + 𝑥 = 3
d. El opuesto de un número
c) 2𝑥 2 − 𝑥 + 1 = 0
e. El inverso de un número
d) 𝑥 2 + 3𝑥 − 1 = 0
distinto de cero
e) −𝑥 2 + 2𝑥 + 15 = 0
f. Todo número mayor que 5
f) 2𝑥 + 3 = −4𝑥 2
g. x está comprendido entre 1 y
2
h. 2 es un número real
i. x está comprendido entre 4 y
14) Exprese como productos las
6 o es igual a 4 o es igual a 6
siguientes expresiones
2
j.
el cuadrado de un número
a) 4𝑥 − 9
disminuido en 2
b) 25𝑥 2 − 144𝑦 2
k.
el cuadrado de: un número
c) 𝑎2 − 121𝑏 2
dividido 2
l. la mitad del triple de n
m. el cubo de: a aumentado en
d) 24𝑥 5 + 18𝑥 4 − 30𝑥 2
2
8
e) 4𝑥 − 4𝑥 + 1
9
f) 𝑥 2 + 3𝑥 + 4
15) Representa en símbolos:
a. Tres números consecutivos
b. Un número impar
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16) El lenguaje algebraico de las ecuaciones se suele complementar de manera muy
efectiva con dibujos auxiliares en los que se piensan y se plantean los símbolos
apropiados para una formulación correcta. Use ese procedimiento para dar una
fórmula que exprese que:
a) El área de un rombo se obtiene tomando la mitad del producto de sus
diagonales.
b) El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la medida de su base
por la medida de su altura.
c) El perímetro del rectángulo es el duplo de la suma de los dos lados diferentes.
17) Resuelve los siguientes problemas
a) Dentro de 12 años Lucas tendrá 27 ¿Qué edad tiene ahora?
b) Hace 7 años Juan tenia 16 ¿Cuál es su edad?
c) Si María tuviera el doble del dinero que tiene ahorrado podría comprarse un
automóvil de $35000 y le quedarían $7000 ¿Cuánto dinero tiene ahorrado?
d) Un hombre comenzó una dieta y en seis meses redujo su peso a la mitad,
continuó con la dieta y bajo 14 kg llegando a los 71 kg ¿Cuánto pesaba antes
de comenzar la dieta?
e) Si a 8 se le resta la raíz cúbica de un número y al resultado de la resta se lo
multiplica por 6 se obtiene 64 ¿Cuál es ese número?
f) Dentro de 2 años tendré el triple de la edad que tenia hace 10 ¿Qué edad tengo
ahora?
g) El doble de la edad que Guillermo tendrá dentro de 6 años es igual al triple de
la edad que tenía hace 5 ¿Qué edad tiene Guillermo?
h) Un triángulo isósceles mide 155m de perímetro. Si su base mide las 2/5 partes
del perímetro. ¿Cuánto mide cada lado?
i) La base de un triángulo isósceles mide 32 cm y uno de los lados iguales es 5/8
de la base. Calcular la altura del triángulo.
j) Un cateto de un triángulo rectángulo mide 6 cm. La hipotenusa y el otro cateto
tienen por medida dos números consecutivos. Calcular el perímetro y el área
del triángulo.
k) En un triángulo rectángulo las longitudes de sus catetos son x  1 y x  2 , y
longitud de la hipotenusa es 2 x  1 . ¿Cuánto miden los lados del triángulo?
¿Cuál es su perímetro y cuál es su área?
18) Considera la siguiente afirmación: “Si al cuadrado de un número le restamos el
producto del siguiente por el anterior, el resultado da siempre 1”. ¿Es cierto? ¿Cómo
lo explicas? ¿Se cumple para todos los números o sólo para algunos? ¿Por qué?
¿Puedes considerar como número el 2/7?
19) Dada la ecuación:
2x  3
2
4x  6
a) Trata de anticipar: sin resolverla, escribe qué se lee a través de su
expresión simbólica. ¿tendrá solución? ¿por qué?
b) Ahora, resuélvela por el procedimiento que consideres conveniente y
luego verifica si tu anticipación fue acertada completamente o en algunos
aspectos.
19) Escribe en los siguientes trinomios el término que hace falta que el trinomio sea
cuadrado perfecto. Luego, factorea.
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a) ….. + 2 x + 1
b) 4 x2 – 12 x + ……
c) 36 x2 - …… + 4 b2
20) Resuelve la ecuación (x – 3). (x – 4 ) = 0 (Ten en cuenta de que para que un producto
de varios factores sea 0, es suficiente que uno de ellos sea 0). ¿Qué tipo de ecuación
es?
a) Efectúa el producto (x – 3 ). (x – 4 ). ¿Has obtenido x2 – 7x + 12?. Resuelve esta
última ecuación igualando previamente a 0.
b) Observa los coeficientes -7 y 12. ¿Encuentras alguna relación entre ellos?.
c) Prueba lo observado escribiendo una ecuación que tenga como raíces 2 y 3.
TRABAJO PRÁCTICO N°3
ECUACIONES DE LA RECTA
En los siguientes ejercicios y problemas se aplican ecuaciones de rectas con las
siguientes formas posibles:
x=a recta vertical
y=b recta horizontal
y=mx+b recta con pendiente m y ordenada al origen b
1) En un sistema de ejes x y, grafique las rectas:
a) y  2 x  5
b) y   5
c) x= 0,55
d)
Realice preguntas sobre las ecuaciones o sobre los gráficos.
Responda las preguntas que hizo.
x
3
5
y
8
10
2) Escriba dos ejemplos de cada ecuación dada:
x=a recta vertical
y=b recta horizontal
y=mx+b recta con pendiente m y ordenada al origen b
Haga una tabla de valores y el gráfico correspondiente para cada una.
3) Las tablas siguientes corresponden a rectas. Se le pide graficar la recta en un sistema
de ejes xy y completar los valores que corresponden en la tabla.
a)
b)
x
y
X
y
-2
6
-2
4
2
3
2
0
-1
-3
8
-1
Luego de realizado el gráfico, indique las coordenadas de los puntos donde la recta
corta a los ejes x e y. Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la recta dada.
Explique en cada caso porqué si o porque no.
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Ecuaciones propuestas para la recta de la tabla a):
;
;
y  x2 ;
y  x  2
y  4x  2
y  x  2
Ecuaciones propuestas para la recta de la tabla b):
y = – ¾ x + 9/2 ; y = ¾ x + 9/2 ; y = – ¾ x + 3 ; y = ¾ x + 3
Explique porqué ninguna de las rectas dadas puede tener la forma x = a ó y = b
Las rectas están relacionadas con las magnitudes directamente proporcionales,
consideremos los dos ejercicios siguientes.
4) Si el kilogramo de pan vale $ 7,5
¿Cuánto vale 2 kg?
¿Cuánto vale medio kg?
¿Cuanto vale 5 kg?
a) Conteste las preguntas anteriores usando regla de tres simple.
b) Encuentre la ecuación de la recta que relaciona el peso con el precio.
c) Realice el grafico.
5) Si la bajada de bandera del taxi vale $6.5 y el Kilómetro de recorrido $ 1,9
a) Responda:
¿Cuanto cuesta un viaje de 4 km?
¿Cuánto cuesta un viaje de 2 km?
¿Cuánto cuesta un viaje de 7 km?
b) Encuentre la ecuación que relaciona los kilómetros con el costo del viaje.
c) Realice el grafico.
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando una es igual a la otra
multiplicada por un número. Teniendo esto en cuenta ¿cual de los dos ejercicios
anteriores corresponde a una relación directamente proporcional? ¿Por qué punto del
plano coordenado debe pasar siempre una recta que represente una relación
directamente proporcional?
FUNCIONES
El concepto de Relación-Función es uno de los más importantes en Matemáticas. La noción actual
de función comienza a gestarse en el siglo XIV cuando los filósofos escolásticos medievales
comenzaron a preocuparse por medir y representar gráficamente las variaciones de ciertas
magnitudes como la velocidad de un cuerpo en movimiento o la diferencia de temperatura en los
distintos puntos de un objeto metálico. El personaje más influyente en este proceso inicial fue
probablemente Nicole Oresme (1323-1382), en Paris
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La noción de correspondencia desempeña un papel fundamental en el concepto de
Relación – Función. En la vida cotidiana frecuentemente se ha tenido experiencias con
correspondencias o Relaciones.
o
o
En un almacén, a cada artículo le corresponde un precio.
A cada número le corresponde una segunda potencia
 Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con
un segundo conjunto, llamado Codominio o Imagen, de manera que a cada
elemento del Dominio le corresponde uno o más elemento del Codominio.
 Una Función es un tipo especial de relación a la que se añade la restricción de
que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Codominio.
Tanto las relaciones como las funciones pueden ser representadas de varias formas:
utilizando Diagramas de Venn, fórmulas, y la forma más frecuente de representación
gráfica es en un sistema de ejes cartesianos
Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones
Una función
de
en
(f:A→B), es una relación que le hace corresponder a cada elemento
uno y sólo un elemento
.(
igual a
de
, llamado imagen de
por
, que se escribe
)
La letra x representa a todos los valores del conjunto A que tienen su correspondiente
imagen en B. Se denomina a x variable independiente y al conjunto Dominio de la
función
Como a cada valor de x le corresponde un único valor de y, por eso se dice que y
depende de x o que es una función de x, es decir, y es la variable dependiente
FUNCIÓN LINEAL
Una función lineal, definida en ℝ, es aquella que a cada número real x le hace corresponder
otro número real que responde a la expresión: y = mx+b, o bien f(x)=mx+b, con mϵℝ y bϵℝ .
A " " se lo llama ordenada al origen y " " se la denomina pendiente
 La representación gráfica de esta función es una recta
 La ordenada al origen es la ordenada del punto donde la gráfica de la función
corta al eje y. El punto (0;b) pertenece a la recta
 La pendiente representa cuánto varía y por cada unidad que aumenta x. La
pendiente es un número asociado a la inclinación de la recta
 Si conocemos las coordenadas de dos puntos de una recta podemos determinar
el valor de su pendiente mediante la fórmula:
39
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𝑆𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑃(𝑥1 , 𝑦1 ); 𝑄(𝑥2 , 𝑦2 )
𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠
𝑚=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
Para graficar:
Si conocemos la pendiente de la recta y la ordenada al origen, podemos graficar la recta.
Ejemplo: Graficar la recta:
y
2
x 1
3
Solución: Se debe ubicar primero la ordenada al origen, o sea 1 , que corresponde al
punto  0,1 . Siempre la ordenada al origen se la ubica en el en el eje y . A partir de ese
punto se aplica el concepto de pendiente: desplazar hacia arriba dos lugares en sentido
positivo del eje y , por que el valor de m es positivo, (de ser negativo se debe desplazar
hacia abajo) y se desplaza tres hacia la derecha (sentido positivo del eje de las x ). Por
esos dos puntos se traza la recta.
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Una función lineal, definida en ℝ, es aquella que a cada número real x le hace corresponder otro
número real que responde a la expresión 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0

 a ϵ ℝ es el coeficiente cuadrático
b ϵ ℝ es el coeficiente lineal
c ϵ ℝ es el término independiente
 La representación gráfica es una parábola, cuyos elementos se detallan:
40
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Eje de simetría
Raíces o
ceros
Vértice
A tener en cuenta
 Los ceros o raíces son los puntos donde la parábola corta al eje x. Las coordenadas
se obtienen haciendo y = 0 , es decir 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 . La solución de esta ecuación
se obtiene mediante la aplicación de la fórmula de Baskara arrojando como
soluciones 𝑥1 ; 𝑥2
 La abscisa del vértice se puede obtener de dos maneras:
−𝑏
𝑥 +𝑥
𝑥𝑣 = 2𝑎
o bien
𝑥𝑣 = 1 2 2
Ademas 𝑦𝑣 = 𝑓(𝑥𝑣 ) de este modo el vertice tiene coordenadas 𝑉(𝑥𝑣 , 𝑦𝑣 )
−𝑏
 La ecuación del eje de simetría es 𝑥𝑣 = 2𝑎
Para graficar
Se debe determinar por lo menos tres puntos: las dos raíces y el vértice.
Ejemplo: Graficar f ( x)  x 2  5 x  6
Solución: La ordenada al origen es  6 , por lo tanto se sabe que el punto
 0, 6
pertenece a la función.
b
5

2a
2
El valor yv puede encontrase reemplazando el valor xv obtenido en la función original.
Para hallar el vértice de la parábola:
xv  
25 25
25  50  24
49
 5  5
 5
f         5.     6    6 

4 2
4
4
 2  2
 2
 5 49 
El vértice están en   , 

4 
 2
2
Ahora las raíces:
x1,2 
b  b 2  4ac
2a
5  7

x

1
1

5  5  4 1 6  5  49 
2
x1,2 


2 1
2
 x  5  7  6
 2
2
2
Los ceros o raíces de la función están en
 6,0 y 1,0  .Con estos tres puntos se
puede trazar la parábola:
41
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y
-6 -5 -4 -3 -2 -1
0 1
x
Función Valor Absoluto
Recordemos que el Valor Absoluto o Módulo de un número real cualquiera x , que se
simboliza x , es la distancia entre x y cero en la recta numérica. Como es una medida
de distancia, el valor absoluto nunca puede ser negativo, esto quiere decir que x  0 .
Si se considera la función valor absoluto, para todos los números reales, su fórmula es
y
 x si x  0
f  x  x  
 x si x  0
3
2
El dominio es el conjunto de los números reales
A tener en cuenta:
 La función de la forma f  x   x  c con c una constante se desplaza del origen
hacia la izquierda o derecha dependiendo el valor de c .
 Si c  0 , la función x queda desplazada c unidades hacia la izquierda.

Si c  0 , la función x queda desplazada c unidades hacia la derecha.
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y
y
3
3
2
2
f  x  x  2
f  x   x 1
 La función de la forma f  x   x  b con b una constante se desplaza del origen
hacia abajo o hacia arriba dependiendo el valor de b .
 Si b  0 , la función x queda desplazada b unidades hacia la abajo.

Si b  0 , la función x queda desplazada b unidades hacia la arriba.
y
y
3
3
2
2
f  x   x 1
f  x  x 1
TRABAJO PRÁCTICO 3
1) El siguiente gráfico representa la evolución del precio de la carne de cordero durante
13 meses.
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a)
b)
c)
d)
Analiza si es función. Justifica
¿Qué valor tenía la carne de cordero durante el mes de abril?
¿En qué mes obtuvo el precio más alto?
Describe lo que ocurrió con la carne de cordero durante este lapso de tiempo.
2) Dos amigos hicieron una excursión en bicicleta a un bosque que está a 44 km de su
pueblo, para llegar al cual hay que seguir un itinerario con subidas y bajadas. Están
allí un rato y regresan.
Mirando la gráfica contesta:
a) ¿Qué significa cada cuadrito en el eje horizontal de la gráfica? ¿y en el eje
vertical?
b) ¿A qué hora salieron?
c) ¿Cuántos km hay desde el comienzo de la primera cuesta hasta la cima? ¿Cuánto
tiempo tardaron en subirla?
d) ¿Cuántos km hay en bajada? ¿Qué tiempo se tardaron?
e) ¿Cuánto tiempo se demoraron en el bosque?
f) ¿Cuánto tardaron en ir del pueblo al bosque? ¿Y del bosque al pueblo? ¿A qué
crees que puede deberse la diferencia?
g) Esta relación tiempo – espacio ¿es función?, justifica tu respuesta
3) Grafique:
a) y  2 x  5
b) y   5
c) x= 0,55
4) Dadas las ecuaciones a) 𝑎) 𝑦 = −3𝑥 + 5 𝑏) 𝑦 = 4 𝑐) 𝑥 = −2 Responde:
a) Qué valor corresponde a la variable dependiente ( y ), cuando la variable
independiente ( x ) toma el valor (-1) en cada una de las ecuaciones. Muestre su
respuesta en el gráfico.
b) Qué valor corresponde a la variable independiente ( x ), cuando la variable
dependiente ( y ) toma el valor 3 en cada una de las ecuaciones.
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c) Obtiene las coordenadas de los puntos donde cada recta corta a los ejes
coordenados
d) Explique cómo encontró los valores pedidos.
5) Las rectas están relacionadas con las magnitudes directamente proporcionales,
consideremos los dos ejercicios siguientes.
a) Si el kilogramo de pan vale $ 2,4. ¿Cuánto vale 2 kg? ¿Cuánto vale medio kg?
¿Cuánto vale 5 kg?
Encuentre la ecuación de la recta que relaciona el peso con el precio y Realice
el grafico.
b) Si la bajada de bandera del taxi vale $ 2 y el Kilómetro de recorrido $ 0,9
¿Cuánto cuesta un viaje de 4 km?¿Cuánto cuesta un viaje de 2 km? ¿Cuánto
cuesta un viaje de 7 km?
Encuentre la ecuación que relaciona los kilómetros con el costo del viaje y
Realice el grafico.
6) Grafique las siguientes rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos. Luego,
analice y obtenga conclusiones:
1
e) 𝑦 = −3𝑥 + 6
a) 𝑦 = 2 − 2 𝑥
f) 𝑦 = −3𝑥 − 9
b) 𝑦 = 4 − 2𝑥
g) 𝑦 = 2𝑥 − 4
1
c) 𝑦 = 𝑥 − 2
2
h) 𝑦 = −2𝑥 − 5
2
d) 𝑦 = 𝑥 − 2
i) 𝑦 = 2𝑥 − 1
3
7) Obtenga la ecuación de la recta que pase por el punto dado y tenga la pendiente
indicada:
2
a) (3; 4), 𝑚 = 2
d) (8; 0), 𝑚 = −
3
b) (1; −2), 𝑚 = 0
e) (0; 0), 𝑚 = 5
c) (−3; 5), 𝑚 = −2
8) Obtenga la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos dados:
a) (−1; 2), (2; −1)
b) (1; 1), (−1; −1)
c) (3; 0), (0; −3)
9) Determinar las ecuaciones de las siguientes rectas, indique las pendientes y las
ordenadas al origen
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10) Dos rectas paralelas a los ejes coordenados se intersecan en el punto (5; −7).
¿Cuáles son sus ecuaciones?
11) Las rectas 𝑙1 y 𝑙2 son perpendiculares entre sí y se interceptan en el punto (−2; −6).
2
𝑙1 tiene pendiente igual a − . Con la pendiente de 𝑙2 determine la ordenada al origen
5
de esa recta.
12) Toda recta horizontal es perpendicular a cualquier recta vertical. ¿Por qué se
excluyeron esas del resultado que dice que las rectas son perpendiculares si y solo
si sus pendientes son inversas y opuestas?
13) Indique la ecuación que corresponde a cada gráfica.
y = x2 + 2
y = x2 – 3
y = 2 x2 + 2
y = – 2 x2 + 2
14) Encuentre los puntos donde la recta y = 4 corta a cada parábola. Señálelos en el
gráfico.
Encuentre los puntos donde la recta x – 2 = 0 corta a cada parábola. Señálelos en
el gráfico
15) Dadas las siguientes funciones determina:
i. Las coordenadas del vértice.
iii. Las raíces.
ii. La ecuación del eje de
iv. La imagen.
simetría.
Luego, grafica.
a) 𝑦 = 𝑥 2 − 6𝑥 + 14
b) 𝑦 = −𝑥 2 − 6𝑥 − 14
c) 𝑦 = 2𝑥 2 + 4𝑥 − 1
1
2
1
e) 𝑦 = 4 𝑥 2 + 𝑥 − 3
1
𝑓)𝑦 = − 2 𝑥 2 − 2𝑥 −
d) 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 9
5
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16) Encuentre la coordenada y de las funciones a) y b) del ejercicio anterior cuando la
variable independiente toma el valor ¾. Encuentre la coordenada x de las funciones
c) y d) del ejercicio anterior cuando la variable dependiente toma el valor 6.
17) Coloca valores a a y a b para que la parábola y  ax 2  bx  2 pase por el punto
(–2,1). Comprueba en un gráfico que tu conclusión es correcta
18) Dados los siguientes gráficos escriba la ecuación correspondiente
19) Los vértices de un triángulo están en 𝐴(−1; −1), 𝐵(1; 3), 𝐶(4; 2).
a) Deduzca las ecuaciones de las rectas que forman a los lados del triángulo.
b) Luego, deduzca las ecuaciones de las tres alturas del triángulo
20) Los vértices de un triángulo están en 𝐴(−1; −1), 𝐵(1; 3), 𝐶(4; 2). Deduzca las
ecuaciones de las rectas que forman a los lados del triángulo.
Luego, deduzca las ecuaciones de las tres alturas del triángulo.
21) Indica cual ecuación corresponde a qué gráfica. Explica porqué. Encuentra dos
puntos de cada función
y = │x +3│ , y = │x -2│ , y = –│x – 5│ , y = –│x – 1│ e y = │x │.
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22) Dados los siguientes gráficos escriba la ecuación correspondiente
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TRIGONOMETRÍA
Razones Trigonométricas
Se llaman razones trigonométricas a aquellas que relacionan las longitudes de los lados
de un triángulo rectángulo con los ángulos agudos del mismo.
En el siguiente triangulo rectángulo se describen los lados de los mismo en relación al
ángulo  .
hipotenusa
Cateto opuesto

Cateto adyacente
Para cada uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, uno de los catetos es el
adyacente y otro es el opuesto.
El seno de un ángulo es el cociente entre el cateto opuesto a un ángulo y la hipotenusa.
El Coseno de un ángulo es el cociente entre el cateto adyacente a un ángulo y la
hipotenusa:
La Tangente de un ángulo es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente a
mismo ángulo:
También podemos definir sus recíprocas:
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A tener en cuenta:
 Las razones trigonométricas dependen exclusivamente de la amplitud del ángulo agudo
considerado, no de las longitudes de los lados. (Puesto que de cambiar éstas,
obtendremos un triángulo rectángulo semejante y sus lados serán proporcionales al
triángulo dado). Por ello, podemos hablar de funciones trigonométricas
 Solo en triángulos rectángulos se pueden definir todas las funciones trigonométricas
de sus ángulos agudos.
 Solo en triángulos rectángulos vale el Teorema de Pitágoras
 En un triángulo rectángulo están bien definidas todas las funciones trigonométricas, ya
que son cocientes de longitudes, es decir, de números positivos.
 En el caso del seno y coseno al dividir un cateto en la hipotenusa, el numerador es
menor que el denominador siempre, por ello se debe obtener un numero estrictamente
menor a 1 y mayor que 0.
 En el caso de la tangente se puede dar que el numerador sea menor que el denominador
o la situación contraria, por ello se puede obtener cualquier número positivo.
 En los triángulos rectángulos no se pueden definir las funciones trigonométricas de 90º
ya que no se puede hablar de cateto opuesto o adyacente porque ambos catetos forman
el ángulo.
 En el triángulos rectángulos no se pueden definir las funciones trigonométricas de 0º,
dado que si ∡𝑎 = 0 entonces no hay triángulo.
Representación gráfica de las funciones trigonométricas
Función Seno: 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜
=ℝ
𝐶𝑜𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 = [−1,1]
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Función coseno: 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 𝒙
𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 = ℝ
𝐶𝑜𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 = [−1,1]
A tener en cuenta:
 Los valores de senx y del cos x se repiten en el mismo orden a medida que x
efectúa más de un giro. Cuando una función posee esta propiedad se dice que es
periódica.
 Las funciones f ( x)  senx y f ( x)  cos x con periodo de 360° o 2
 Definición: Si f ( x)  f ( x  p) , para toda x, y p es el menor número positivo para el
cual dicha relación es válida, entonces f ( x) es una función periódica de período p
TRABAJO PRÁCTICO 4
1) Confeccione una tabla de valores para graficar la función f (x) = sen x
2) Confeccione una tabla de valores para graficar la función f (x) = cos x

3) Dado el triángulo A B C calcular los datos que faltan:
a) Cˆ  60º ;
BC  100 m
b) Bˆ  50º ;
BC  7 cm
AB  11 m;
d) Cˆ  30º 40' ;
AC  8 m
c)
AB  15 m
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4) Plantea y resuelve los siguientes problemas:
a) Un edificio proyecta una sombra de 20 m de largo. Si el ángulo de visión desde la punta
de la sombra al punto más alto del edificio es de 69º, ¿Cuál es la altura del edificio? (el
ángulo de visión se mide respecto de la horizontal)
b) Desde un acantilado de 50 m de altura se ve un barco, si el ángulo de la visual es de
70º. ¿A qué distancia del acantilado se encuentra el barco?
c) Para conocer la altura de la torre hemos medido el ángulo que forma la visual al punto
más alto, obteniendo un resultado de 43º. Al acercarnos 15 m hacia la torre obtenemos
un nuevo ángulo de 57º, ¿cuánto mide la torre?
d) Para calcular la altura de un edificio un hombre que estaba ubicado a 150 m de él calcula
que el ángulo de elevación es de 20º; si la altura del hombre es 1,70 m, ¿cuál es la altura
aproximada del edificio?
e) La parte superior de una escalera de 20 m está recostada contra el borde del techo de
una casa. Si el ángulo de inclinación de la escalera desde la horizontal es de 51º, ¿cuál es
la altura de la casa?
f) El asta de una bandera está localizada al borde de un precipicio de 50 m, a la orilla de un
río de 40 m de ancho. Un observador al lado opuesto del río mide un ángulo de 3º entre su
línea de observación a la punta de la bandera, y su línea de observación a la cima del
precipicio. Encuentra la altura del asta de la bandera.
g) Dos lados de un triángulo isósceles miden 20 cm y cada uno de los ángulos iguales 25º.
Resuelve el triángulo.
h) Determina la altura de un árbol si desde el punto situado a 20 m de su base se observa
su copa con un ángulo de 65º 23’.
i) La sombra que proyecta Luis al atardecer de un día de verano mide 2,24 m. El ángulo
que forman los rayos solares con el suelo es 37º. ¿Cuánto mide Luis?
j) Un globo se encuentra a 150 m de altura. Desde un punto, la línea visual forma un ángulo
de 37º 4’. ¿A qué distancia en línea recta se encuentra el globo del observador?
5) Prepara, individualmente, un "machete" lo más detallado posible que incluya todas las
consideraciones a tener en cuenta referido a lo aprendido (no sólo las fórmulas sino
todas las aclaraciones necesarias para evitar errores comunes o que ellos han cometido
y las dificultades) .
52