Download En un circuito eléctrico RL se tiene una fuente de voltaje sinusoidal

En un circuito eléctrico RL se tiene una fuente de voltaje sinusoidal que
depende del tiempo de la siguiente manera V (t) = V0 sin !t. Dar una expresión
para la corriente como función del tiempo, sabiendo que la corriente para t = 0
era I0 .
Solución:
En un circuito RL, la ecuación para la corriente como función del tiempo es
dI
= RI
V (t) L
dt
Reacomodandola
dI
L
+ RI = V (t)
dt
vemos que es una ecuacion diferencial ordinaria de primer orden lineal inhomogenea.
Para resoverla atacamos primero la ecuación homogenea asociada
dIh
+ RIh = 0
L
dt
dIh
R
=
dt
Ih
L
R
t + ln C
ln Ih =
L
R
Ih (t) = C exp
t
L
Se propone ahora para la inhomogenea la solución
R
I (t) = C (t) exp
t
L
que sustituida en la ecuación original
dI
L
+ RI = V (t)
dt
da
R
R
dC (t)
R
L
C (t) exp
t +
exp
t +RC (t) exp
L
L
dt
L
dC (t)
R
L
exp
t = V (t)
dt
L
dC (t)
V (t)
R
=
exp + t
dt
L
L
Integrando
R
1R
V (t) exp + t dt
C (t) =
L
L
y sustituyendo
R
1R
R
I (t) = exp
t
V (t) exp + t dt
L
L
L
Si la fuente de voltaje es sinusoidal
V (t) = V0 sin !t
podemos calcular
R
V0 R
C (t) =
sin !t exp + t dt + A
L
L
1
R
t
L
= V (t)
que da
LV0 eRt=L
[R sin (t!) L! cos (t!)] + A
R2 + L2 ! 2
sustituyendo para la corriente
LV0 eRt=L
R
I (t) =
[R sin (t!) L! cos (t!)] + A exp
t
R2 + L2 ! 2
L
LV0
[R sin (t!) L! cos (t!)] + Ae Rt=L
I (t) = 2
R + L2 ! 2
Imponemos ahora la condición inicial I (0) = I0 ,
L2 V0 !
I (0) =
+ A = I0
R2 + L2 ! 2
se obtiene
L2 V0 !
A = I0 + 2
R + L2 ! 2
que nos lleva a la solución …nal
LV0
L2 V0 !
I (t) = 2
[R sin (t!) L! cos (t!)] + I0 + 2
2
2
R +L !
R + L2 ! 2
C (t) =
2
e
Rt=L