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Triángulos
Ley del Seno
Ley del Coseno
Prof. Maria Peiró
TRIANGULOS
LEY DEL SENO
LEY DEL COSENO
1.- Triángulo
Geométricamente, un triángulo es la unión de tres
puntos del plano no alineados, (A , B , C) llamados
vértices, unidos por tres segmentos rectos
(AB , BC , CA) que forman los lados del triángulo.
Entre dos lados contiguos, se forman los
tres ángulos interiores del triángulo ( 
La suma de estos tres ángulos interiores es 180 o.
2.- Clasificación de los Triángulos
2.1
Según la Longitud de sus Lados
 Triángulo Equilátero
Es aquel cuyos tres lados tienen la misma
longitud y sus tres ángulos miden 60 o.
.
 Triángulo isósceles
Es aquél que tiene dos lados iguales, los cuales
forman con el tercer lado, dos ángulos iguales
 Triángulo Escaleno
Es aquel cuyos tres lados tienen longitud
diferente y forman tres ángulos distintos.
2.2
Según la Amplitud de sus Ángulos
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      180 o
TRIANGULOS
LEY DEL SENO
LEY DEL COSENO
 Triángulo Rectángulo
Es el que tiene un ángulo recto, es decir mide
90 o. Los dos lados que forman el ángulo recto se
llaman “ catetos ” y el otro lado, que es el más
largo, se llama “ hipotenusa ”.
 Triángulo Oblicuángulo
Es aquel que no tiene ningún
ángulo recto y puede ser:
.- Acutángulo, si sus tres ángulos
interiores son menores de 90 o.
.- Obtusángulo, si uno de sus
ángulos interiores es obtuso,
es decir, mayor de 90 o.
3.-
Ley del Seno y del Coseno
Sea el triángulo oblicuángulo A B C mostrado en la figura, donde:
El lado opuesto al ángulo “  ” tiene una longitud “ a ”
El lado opuesto al ángulo “  ” tiene una longitud “ b ”
El lado opuesto al ángulo “  ” tiene una longitud “ c ”.
3.1
Ley del Seno
En todo triángulo, la longitud de cada
uno de sus lados es proporcional
al Seno de su ángulo opuesto:
2
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a
b
c


Sen 
Sen 
Sen 
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LEY DEL SENO
LEY DEL COSENO
Sen 
Sen 
Sen 


a
b
c
Igualmente guarda proporción si se
expresa de modo inverso:
Esta ley se aplica cuando:
3.2

Se conoce la longitud de 2 lados y
el ángulo opuesto a uno de ellos.

Se conoce la medida de 2 ángulos y la
longitud del lado opuesto a uno de ellos.
Ley del Coseno
a 2  b 2  c 2  2b.c .Cos 
En cualquier triángulo, el cuadrado de uno de
sus lados es igual a la suma de los cuadrados
de los otros dos lados, menos el doble
producto de esos dos lados, por el Coseno
del ángulo que forman entre ellos.
b 2  a 2  c 2  2 a .c .Cos 
c 2  a 2  b 2  2 a .b .Cos 
La longitud de cada la do es:
Esta ley se aplica cuando:
a 
b 2  c 2  2b.c.Cos 
b 
a 2  c 2  2 a .c.Cos 
c 
a 2  b 2  2a.b.Cos 

Se conoce la longitud de dos lados y el
ángulo que forman entre ellos.

Se conoce la longitud de los tres lados y
así se puede calcular el ángulo que
forman entre dos de ellos.
.- Ejemplo 1
En el triángulo oblicuángulo A B C de la figura, se tiene:
Lado AB  6 ,5 cm. Ángulos:   107.4º
y   28º
Hallar el valor del ángulo  y el de los lados AC y B C
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LEY DEL SENO
LEY DEL COSENO
Como se conocen dos de los ángulos del
triángulo y el lado opuesto a uno de ellos,
usaremos la Ley del Seno para calcular
el lado opuesto al otro ángulo.
AB
AC

Sen
Sen 
AC 

A B  Sen 
Sen
6 ,5 cm  Sen107 ,4º
Sen 28º
AC 
AC 
6 ,5 cm  0,9542
0,4695
AC  13,21 cm
La suma de los tres ángulos interiores de todo
triángulo es 180 º.
      180º
Aplicando este teorema calculamos el valor
del ángulo que falta.
  180º  (    )
  180º    
  180º  ( 107 ,4º  28º )
  180º  135,4º
  44,6º
En este punto, con los datos que ya se
conocen, se puede aplicar tanto la Ley del
Seno, como
la Ley del Coseno,
para hallar el lado B C .
Ley del Seno:
BC
AB

Sen 
Sen
BC 
BC 
A B  Sen 
Sen
6 ,5 cm  Sen44,6º
6.5 cm  0,7022

Sen 28º
0,4695
B C  9,72 cm
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
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LEY DEL SENO
LEY DEL COSENO
Ley del Coseno:
AB 2  AC 2  2 AB . A C . Cos 
BC 
BC 
( 6 ,5 )2  ( 13,21 )2  2 ( 6 ,5 )( 13,21 )Cos 44,6º
B C  9,72 cm
________________________________________________________
.- Ejemplo 2
En el triángulo acutángulo de la figura, se
conoce las dimensiones de los tres lados.
Hallar la medida de cada uno
de los tres ángulos.
Como no se conoce ninguno de los ángulos,
solo podemos utilizar la Ley del Coseno.
2
2
AC  AB  BC
2
 2 AB .BC . Cos 
2
2
2 AB .BC . Cos   AB  BC  AC
Aplicando la ecuación en una de los lados,
cualquiera de ellos, se despeja el coseno
del ángulo.
2
2
AB  BC
AC
Cos  
2 AB .BC
 25 cm 
Cos  
Cos  
2
2
  19,5 cm    26 cm 
2  25 cm  19,5 cm 
2
329,25 cm 2
 0 ,3377
975 cm 2
  Cos 1  0.3377   70 ,3º
Para calcular el segundo ángulo, se puede
aplicar cualquiera de las dos leyes:

La Ley del Coseno, aplicando la
ecuación a otro de los lados.
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LEY DEL SENO
LEY DEL COSENO
Sen 
Sen 

BC
AC
 La Ley del Seno, dado que ya
tenemos un ángulo. Esta ecuación
resulta más sencilla, en este caso.
Sen  
Con cualquiera de los dos teoremas,
el resultado será el mismo.
Sen  
BC
Sen 
AC
19,5 cm
 Sen 70,3º
26 cm
Sen  0,75  0,9415  0,7061
  Sen1  0 ,7061   44.9º
      180º
Como ya se tienen dos ángulos,
el tercero se calcula fácilmente.
  180º    
  180º  (    )
  180º  ( 44,9º  70,3º )
  180º  115,2º  64,8 o
  64,8º
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