Download factorizacion de sumas y diferencias de ángulos

1
TRIGONOMETRÍA
ETIMOLÓGICAMENTE:
Trigonometría, es la parte de la matemática que estudia las relaciones que existen entre los
ángulos internos y los lados de un triángulo, y aplica dichas relaciones al cálculo del valor o medida
de alguno de ellos.
EN LA ACTUALIDAD:
Trigonometría: es la rama de la matemática que estudia las propiedades y las aplicaciones
de las funciones trigonométricas.
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO: Es la circunferencia cuyo centro es el origen del sistema de ejes
cartesianos o de coordenadas rectangulares y su radio mide la unidad.
ÁNGULOS: Es la región del plano comprendida entre dos semi-rectas que tienen el origen
común llamado vértice. Las semi-rectas son lados del ángulo, siendo uno el lado inicial y el otro el
lado final o terminal.
EL ÁNGULO GEOMÉTRICO es siempre positivo, mientras que el ángulo trigonométrico puede ser
positivo o negativo. Si se considera al ángulo como una rotación de una semi-recta; bien en sentido
contrario al giro de las agujas del reloj (positivo) o en el mismo sentido (negativo).
Lado Final o
Terminal
a
0
Vértice
o
Vértice
o
+
b
 boa
Lado Inicial
a
0
b
Lado
Inicial
 aob
Lado Final o
Terminal
MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Los ángulos se miden mediante varios sistemas, siendo los más usuales: el sistema Circular o
Radian, el sistema Sexagesimal y el sistema Centesimal.
EL SISTEMA CIRCULAR O RADIAN: Es la medida del ángulo central correspondiente a un arco de
longitud igual al radio de la circunferencia. La unidad es el radian.
El ángulo llano mide  Radianes, o sea: 180º

El ángulo recto mide
Radianes, es decir: 90º
2
Por ser la longitud de la circunferencia 2  . r, que contiene 360°, entonces
por lo tanto:
1 radian =
180º

= 57,296° = 57º 17’
2  . r = 360°,
45” .∙.  = 3,14159
SISTEMA SEXAGESIMAL: Es el sistema cuyas unidades de medidas van de 60 en 60.
La unidad del sistema sexagesimal en la medida de ángulos, es el grado (° sexagesimal), el
cual se define como la medida central del ángulo subtendido por un arco de círculo igual a 1/3600 ava
parte de la circunferencia de un círculo.
2
Un minuto (‘) es la
minuto, o sea
1
1
ava parte de un grado; un segundo (“) es la
ava parte de un
60
60
1
ava parte de un grado.
3600
Sistema Centesimal: La circunferencia también puede ser dividida en 400 partes iguales
llamadas grados centesimales, cada grado centesimal posee 100 minutos centesimales y cada
minuto centesimal tiene 100 segundos centesimales.
OPERACIONES EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL
ADICIÓN DE MEDIDAS ANGULARES:
EJEMPLOS:
1. Efectuar: 47° 23’ 42” + 241° 18’ 6” + 136° 22’ 11”
47°
241°
136°
424°
23’ 42”
18’ 6”
22’ 11”
53’ 59”
Resultado: 424° 53’ 59”
2. Efectuar: 248° 41’ 38” + 121° 58’ 34” + 88° 46’ 56”
2°
248°
121°
88°
359°
2’
41’
38”
58’
34”
46’
56” Resultado: 359° 47’ 8”
147’ 128”
-120’ -120”
47’
8”
SUSTRACCIÓN DE MEDIDAS ANGULARES
EJEMPLOS:
1. Restar: 78° 43’
28” de 119° 58’
119°
78°
41°
2. Efectuar: 211° 36’ 15”
211°
- 198°
13°
58’
43’
15’
35’
36’
24’
11’
36”
36”
28”
8”
198° 24’ 49”
60”
15”
49”
26
+75”
3
3. Efectuar: 96° 15’ 18” - 75° 49’ 52”
74’
75’ 78”
95° 60’ 60”
96° 15’ 18”
- 75° 49’ 52“
20° 25’ 26”
+ 78”
MULTIPLICACIÓN DE UNA MEDIDA ANGULAR POR UN ESCALAR:
EJEMPLOS:
1. Efectuar: 6 (32° 7’ 9”)
32°
7’
9”
6
192° 42’ 54”
2. Efectuar: (54° 25’ 48”). 9
58°
+ 4°
54°
522°
32’
+ 7’
25’
48”
9
288’ 432”
-240’ -420”
48’
12”
4
DIVISIÓN DE UNA MEDIDA ANGULAR ENTRE UN ESCALAR:
EJEMPLOS:
1. Efectuar: (162°
54’
162°
72°
36”) : 9
54’
0’
36”
0”
9
18°
6’
4”
0º
2. Dividir: (149° 38’
54”) : 6
149°
38’
54”
- 29°
+ 120”
5 x 60’ = 300’
174”
338’
54”
38’
0”
2´ x 60”
6
24°
56’
29”
CONVERSIÓN DEL SISTEMA CENTESIMAL AL SISTEMA SEXAGESIMAL:
Para convertir la medida de un ángulo del sistema decimal al sexagesimal, se multiplican las
cifras decimales por sesenta (60’) para convertirlos en minutos y si aún existen cifras decimales, se
multiplican nuevamente por sesenta (60”) para convertirlos en segundos, siendo la parte entera del
número dado, los grados y de las partes enteras de ambas multiplicaciones los minutos y segundos
de la medida angular.
EJEMPLOS:
A ) 29,23°
B)
62, 4°  62° 24’
29, 23°  29°
0,23
.60
13,80  13’
0,8.
60
48,0  48”
29, 23° = 29° 13’ 48”
0,4
. 60’
24,0  62° 24’
5
CONVERSIÓN DEL SISTEMA SEXAGESIMAL AL CENTESIMAL:
Para convertir la medida de un ángulo dado en el sistema sexagesimal, se plantea una suma
de fracciones en donde los grados son la parte entera, los minutos se dividen entre 60 y los
segundos entre 3600; y luego se efectúa la división para llevarlo a centesimal.
EJEMPLOS:
Transformar Al Sistema Centesimal:
1.-
48° 30’
30º
60
48° +
2.-
98°
7’
98º 
=
48º
1

30º
60

2880º  30º
60

2910º
60
 48,5º
30”
7º
60

30º

3600
352 8000  420º  30º
3600

353 250
3600
 98, 125º
CONVERSIÓN DE GRADOS A RADIANES O VICEVERSA:
Para convertir radianes a grados, se multiplica la expresión dada por
transformar grados a radianes, se multiplica por

Rad.
180º
EJEMPLOS:
1.- Convertir
2
 rad a grados sexagesima les.
3
2
 rad 
3
2.- Reducir
2
. 180º 
3
2 . 180º
3

360º
3
 120º
7
rad. a grados sexagesima les.
12
7
7
 rad. 
. 180º 
12
12
7 . 180º
12

1 260º
12
 105º
180º

y para
6
3.- Transformar 50° a radianes
50° = 50°.

180º
rad  50º .
3,14159 rad
180º

157, 0795
180º
rad  0, 87266  0, 873 rad
4.- Expresar en radianes la expresión: 42° 24’ 35”
a) En primer lugar transformamos la expresión dada al sistema centesimal:
42º 
24º
60

35º
151 200º  1 440º  35º

3600
3600

152 675º
3600
 42, 409º  42, 41º
b) Por ultimo se transforma del sistema decimal al sistema radial:
42,41° .


180º
42, 41º . 3, 14159
180º
rad 
133, 2348319
180º
rad  0, 74019351  0, 7402 rad
42° 24’ 35”  0,7402 rad
5.-Convertir a grados sexagesimales la expresión
2
180º
.
5


2 .180º
360º

 22, 9183116º  22, 92º
5 . 3, 14159
15,70795
0,92º
0,20’
60’
60”
55,20’  55’
2
rad.
5
12,00”  12”
2
rad = 22° 55’ 12”
5
7
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
El círculo trigonométrico, es la circunferencia cuyo radio es la unidad.
y
(0,1)
P (x,y)
r=1
α
y
(1,0)
(1,0)
x
0
(0,- 1)
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1.- Seno: es la función trigonométrica que aplica al ángulo α la ordenada “y” del punto P, es decir:
Seno (α) = y
Sen α = y
2.- Coseno: es la función trigonométrica que aplica al ángulo α la abscisa “x” del punto P, o sea:
Coseno (α) = x
Cos α = x
3.- Tangente: es la función trigonométrica que aplica al ángulo α la razón entre la ordenada “y” y la
abscisa “x” del punto P.
y
x
Tangente (α) =
Tg α =
y
x


Sen 
Cos 
Sen 
Cos 
4.- La Cotangente: es la función inversa de la tangente, es decir:
Cotangente (α) =
Ctg α =
y
x
y
x
ó
1
tag 
1
ó Ctg α = tag 
5.- La Secante: es la función inversa del coseno, por tanto:
8
Secante (α) =
1
x
Sec α =
1
1

x
Cos 
ó Sec α =
1
Cos 
6.- La Cosecante: es la inversa de la función seno, o sea:
Cosecante (α) =
1
y
Csc  

1
1

y
Sen 
1
Sen 
El producto de toda función trigonométrica por su inversa, es igual a la unidad.
VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS: 0° - 90° - 180° - 270° y 360°
Ángulos
Funciones
Seno
Coseno
Tangente
Cotangente
Secante
Cosecante
0°
90°
180°
270°
360°
0
1
0
No
1
No
1
0
No
0
No
1
0
-1
0
No
-1
No
-1
0
No
0
No
-1
0
1
0
No
1
0
Los valores máximos y mínimos de las funciones: Seno y Coseno es 1 y –1, por lo tanto el Rango de
ambos es el intervalo cerrado.
Rgo f seno = [-1 , 1]
Rgo f coseno = [-1 , 1]
La representación gráfica del seno es una curva llamada Sinousoide y la del coseno:
Cosinousoide.
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:
9
+y
Ic
II c
-x
0
+x
III c
IV c
-y
Cuadrantes
Funciones
Seno
Coseno
Tangente
Cotangente
Secante
Cosecante
Ic
II c
III c
IV c
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
+
+
-
RELACIONES ENTRE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
y
R = 10
α
0
Por definición:
Sen α = y
y
x
x
x
Cos 

y
Sen 
1
1

Sec α =
x
Cos 
1
1
Csc α =

y
Sen 
Ctg α =
Cos α = x
Tg α =
x
y

Sen 
Cos 
=
IDENTIDADES PITAGÓRICAS:
10
El triángulo de la figura es rectángulo, y la circunferencia es el círculo trigonométrico (r = 1) y
según el Teorema De Pitágoras tenemos:
y2 +
x2 = r2
De acuerdo con las igualdades anteriores:
a.-
Sen2 α + Cos2 α = 12
Sen2 α + Cos2 α = 1 (identidad pitogórica fundamental)
b.- Si la identidad fundamental se divide miembro a miembro entre el Cos 2 α, tenemos:
Sen2 α + Cos2 α = 1
Sen 2
Cos 2

Cos 2
Cos 2

1
Cos 2
Según las identidades iniciales:
Tg2 α 1 = Sec2 α
c.- Dividiendo la identidad fundamental entre Sen2 α, nos queda:
Sen2 α + Cos2 α = 1
Sen 2
Sen 2

Cos 2
Sen 2

1
Sen 2
1 + Ctg2 α = Csc2 α
DADO EL VALOR DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA, CALCULAR EL VALOR DE LAS DEMÁS:
Para determinar los demás valores de las funciones trigonométricas conocida una de ellas, es
necesario indicar el cuadrante donde se encuentra el ángulo dado y en caso de no darse, es de
suponer que el ángulo se encuentra en el primer cuadrante, donde todos los valores de las funciones
trigonométricas son positivas.
Cuando uses alguna de las relaciones pitagóricas, debes recordar que la raíz cuadrada de un
número real es doble y opuesta. Por ejemplo
X = ±
a2
= ± a .˙. a ∈ ℝ 
11
12
13
1. Calcula las demás funciones trigonométricas de α, sabiendo que Sen α = -
y que
  III c
Sen 2  Cos 2  1
Sen 
Cos 
Ctg  
Cos 
Sen 
2
12

13

144
169
Tag  

2
  Cos  1

12
13

5
13
5
13

12
13
-
 
12 . 13
12

13 . 5
5
 
5 . 13
5

13 . 12
12
 Cos 2   1
1
Csc  

Sen 
144
Cos 2  1 169
Cos 2 
169 - 144
169
Cos 2 
25
169
Cos   
25
169
= ±
pero :   III c  Cos   -
2.- Si Tag x  -
Sec 2  Tag 2  1
24
7
1
1
 1  12
12
13
13
1 . 13
1 . 12
-
5
13
5
13
y x  II c , calcular las demás funciones trigonométricas de x.
Sen 2 x  Cos 2 x  1
13
12
12

Sec 2 x   
2
24 
 +1
7 
Sen 2 x  1 - Cos 2 x
 7 
Sen x  1 -  
 25 
Sec x 
576
49
Sec 2 x 
576  49
625

49
49
2
625
49
Sec x  
Sec x  -
1
Cos x  -
Cos x 

Sen 2 x  1 -
25
7
Sen 2 x 
25
7
Sen x  
1
Cos x 

Sec x
1. 7
1 . 25
1

Sec 
2
2
1
1
25
7
-
-
1
1
25
7
3.- Sabiendo que
trigonométricas de  .
49
625
625 - 49
625
576
625
X  II c  Sen x 
7
25
-
Csc   -
Ctg x 
Cos x
Sen x
 
24
25
24
25
7
25  - 7 . 25  - 7

24
25 . 24
24
25
-
7
25
34
5
y   IVc . Calcula los demás valores de las funciones
13
Sen  
1

Csc 
1
1
34
5

-
5
34
5.
 -
34
(racionalizando)
34
 5 . 34
Sen   Cos   1  Cos   1 - Sen   1 -  34

2
2
2
Cos 2  
1156 - 850
1156
Cos 
3.

2
306
 Cos   
1156
306
1156
 
2

 1

25 . 34
1156
2 . 32 . 17
34
 
34
34
Sen 
Tag  
Cos 

-
5.
34
34
3 . 34
34
 -
5 . 34 .
34
34 . 3 .
34
34
3 . 34 . 34
34
Ctg  

 5 . 34
34 . 5 . 34

34
1
1
1 . 34
34
1
Sec  



Cos 
3 . 34
3 . 34
3 . 34
34
 -
5
3
 -
3
5
3.
Cos 
Sen 
34 . 34
3 . 34


34
3
EJERCICIOS
1.- Calcula los valores de las demás funciones trigonométricas sabiendo que:
a) Sen 
7
25
b) Cos   -
e) Csc x  - 2 con x  III c
4
5
6
5
y  II c
f) Sec x 
con   IVc
g) Sen x 
3
2
h) Cos x 
3
c) Tag  
5
12
d) Ctg x 
24
con x  III c
7
y x  IVc =
con x  II c
13
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
13.
34
34
850
1156
14
Sea el triángulo rectángulo A B C, en donde A y B son ángulos agudos y el ángulo C es recto,
y además los lados “a” y “b” Se llaman catetos y el lado “c” se llama hipotenusa.
En función del ángulo A, el lado “a” se llama cateto opuesto y el lado “b cateto adyacente.
B
c
a
x
b
A
C
El Seno del ángulo x (sen x) en un triángulo rectángulo, es la razón que existe entre el cateto
opuesto (a) y la hipotenusa (c).
Sen x 
Cat. opuesto a x
hipotyenusa

a
c
El Coseno del ángulo x (cos x) en un triángulo rectángulo, es la razón entre el cateto
adyacente al ángulo x (b) y la hipotenusa (c) de dicho triángulo.
Cos x 
Cat. adyacente a x
hipotenusa

b
c
La Tangente del ángulo x en un triángulo rectángulo, es la razón existente entre el cateto
adyacente (b) y el opuesto (a) al ángulo.
Tag x 
Cat. opuestoa x
Cat.adyacente a x

a
b
La Cotangente del ángulo x en un triángulo rectángulo es la razón existente entre el cateto
ayacente (b) y el apuesto (a) al ángulo x.
Ctg x 
Cat. adyacente a x
Cat. opuesto a x

b
a
La Secante del ángulo x (Sec x) es la razón que existe entre la hipotenusa
adyacente (b) a x en un triángulo rectángulo.
( c ) y el cateto
15
Sec x 
hipotenusa
c

Cat. adyacente a x
b
La Cosecante del ángulo x (Csc x) en un triángulo rectángulo es la razón entre la hipotenusa
(c) y el cateto opuesto a x.
Csc x 
hipotenusa
Cat. opuesto a x
c
a

VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS: 30º - 45º - 60º
Para calcular los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º,
usaremos un triángulo equilátero, cuyo lado miden 2 unidades longitud y al cual le trazaremos la
altura que calcularemos a través del TEOREMA DE PITÁGORAS
B
b 2 + h 2 = c2
h 2 = c2 - b 2  h 
30º
c =2
A
2
h =
h2 
3
2 2 - 12 
c2 - b2
4-1 
3
C
60º
Para el ángulo de 30º, el cateto apuesto (b) mide una (1) unidad de longitud, el cateto
adyacente (h) mide 3 unidades de longitud y la hipotenusa (c) mide 2 unidades de longitud.
Los valores de las funciones trigonométricas de 30º se obtendrán al aplicar las definiciones de
las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.
Sen 30º 
Cat. opuesto a 30º
hipotenusa

1
2
Cos 30º 
Cat. adyacente a 30º
hipotenusa

Tag 30º 
Cat. opuesto a 30º
Cat.adyacente a 30º

Ctg 30º 
Cat. adyacente a 30º
Cat.opuesto a 30º

3
2
1
3
3
1
3
3


3
(Racionalizando)
16
Sec 30º 
hipotenusa
Cat. adyacente
Csc 30º 
hipotenusa
Cat. opuesto
2


3
2
1
2.

3
3
(racionalizando)
 2
El triángulo anterior será usado para calcular los valores para 60º, sólo que los catetos
cambian, es decir, opuesto será el adyacente y viceversa.
Sen 60º 
Cat. opuesto a 60º
hipotenusa
Cos 60º 
Cat. adyacente a 60º
hipotenusa
Tag 60º 
Cat. opuesto a 60º
=
Cat.adyacente a 60º
Ctg 60º 
Cat. adyacente a 60º
=
Cat.opuesto a 60º
Sec 60º 
Csc 60º 
3

2
3
1
hipotenusa

Cat.adyacente a 60º
hipotenusa

Cat.opuesto a 60º
1
2

1
2
3

3
2
1

3
3
(racionalizando)
3
 2

2. 3
(racionalizando)
3
Debes observar que los valores de las razones trigonométricas para los ángulos de 30º y 60º
se intercambian por ser complementarios, es decir la suma de sus medidas es igual a 90º .
Los valores de las razones trigonométricas se obtendrán usando un cuadrado cuyos lados
miden unas unidades de longitud y a la cual se le Trazará una diagonal cuya longitud será calculada
mediante el TEOREMA DE PITÁGORAS.
17
B
D
c=
a=1
2
45º
A
b=1
C
Sen 45º 
Cat. opuesto a 45º
hipotenusa
1
Cos 45º 
Cat. adyacente a 45º
hipotenusa

Tag 45º 
Cat. opuesto a 45º
Cat. adyacente a 45º

1
1
1
Ctg 45º 
Cat. adyacente a 45º
Cat. opuesto a 45º

1
1
1
Sec 45º 
hipotenusa

Cat. adyacente a 45º
Csc 45º 
hipotenusa

Cat.opuesto a 45º

2
1
2
2
1
2
1
2


2
2


(racionalizando)
2
(racionalizando)
2
2
El ángulo de 45º es complementario con él mismo, ya que: 45º + 45º es igual a 90º.
18
EN RESUMEN
Ángulos
Razones
Seno
30º
45º
60º
2
3
1
2
2
Coseno
2
1
2
3
2
2
3
2
1
3
3
1
Tangente
Cotangente
3
3
Secante
3
2
2
2
3
3
Cosecante
2
2
2
3
3
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Un triángulo es rectángulo, si uno de sus ángulos internos mide 90°, es decir, posee un ángulo
recto.
Los lados que forman al ángulo recto, se llaman catetos y el lado que los une (el de mayor
longitud) es la hipotenusa .
La suma de las medidas de los ángulos agudos en un triángulo rectángulo es igual a 90°, por
tanto, son complementarios y la suma de las medidas de los ángulos interiores del triángulo es 180°.
LÍNEAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
ALTURA: la altura de un triángulo, es el segmento perpendicular trazado desde un vértice a la
recta que contiene el lado opuesto a dicho vértice. La altura de un triángulo se denota con la letra “h”
Todo triángulo posee tres vértices, por tanto, se pueden trazar tres alturas que se cortan en un
ángulo llamado ORTOCENTRO.
19
Mediana: es el segmento trazado desde un vértice al punto medio del lado opuesto tres
medianas del triángulo se cruzan en un punto llamado Baricentro.
Mediatriz: es la recta perpendicular en el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de
un triángulo se cortan en un punto llamado Circuncentro.
Bisectriz: la bisectriz de un ángulo interno de un triángulo es la semirrecta que divide al dicho
ángulo en dos ángulos congruentes (de igual medida). Las tres bisectrices de un triángulo se cortan
en el punto llamado Incentro.
IMPORTANTE
Para la correcta notación de un triángulo, se deben coincidir que
a) Si el vértice de un triángulo es “A”, el lado opuesto es de longitud “a” o
viceversa.
b) El lado opuesto al vértice “B”, es de longitud “b”.
c) El lado opuesto al vértice “C” es de longitud “c”.
B
c
a
C
b
A
En todo triángulo se cumple que: al ángulo de mayor medida se opone el lado de mayor
longitud y el ángulo de menor medida es opuesto al lado de menor longitud.
Todo triángulo consta de seis elementos: 3 ángulos internos y tres lados. En el caso de los
triángulos rectángulos, por tener un ángulo interno recto (90º), se pueden resolver cuando se
conocen dos de sus elementos, siempre y cuando no de ellos sea un lado.
Según lo anteriormente expuesto, existen cuatro casos según los datos conocidos; los cuales
son:
Dados la longitudes de los catetos.
Para resolver este caso: se aplica el teorema de Pitágoras para conocer el otro lado, y la
tangente de uno de los ángulos agudos, para determinar su medida y luego para calcular el otro
ángulo agudo la relación:     90º y se despejo de ella el ángulo agudo que falta por calcular.
20
EJEMPLO:
Resolver el triángulo rectángulo de figura adjunta
PITAGORAS
B
c2  a 2  b2  c 
c
a = 64m
x
A
c 
64 2  50 2 
c 
6596
a 2  b2
4096  2500 =
 81,21576202 ~ 81,22m
C
b = 50m
Cat. opuesto a x
Cat. adyacente a x
Tag x 

a
b

64
50
 1, 28 m  X  52º 0'
x + B = 90º  B = 90º - x  B = 90º - 52
0’
4,56"  52º 0' 5"
5” = 37º
59’
55”
Dados las longitudes de un cateto y la hipotenusa.
En este caso, también se aplica el teorema de Pitágoras para calcular la longitud del lado
desconocido, para obtener la medida de los ángulos agudos se aplican las funciones trigonométricas
seno y coseno según sea el cateto dado el apuesto o el adyacente al ángulo que se desea calcular
EJEMPLO:
Resolver el siguiente triángulo
B
a =?
a2  b2  c2  a 2  c2 - b2
c = 60m
x
C
A
b = 28 m
Cos  
Cat. ady. a B
hip.
Sen  
Cat op. a B

hip.
b
c

b
c


Comprueba que: x +  = 90º
a 
c2  b2 
60 2  282
a 
3600 - 784

2816  53,06599665
a = 53, 06599665 ~ 53,07m
28
 0, 466666666  B  62º 10' 54,7"  62º 10' 55"
60
28
 0,4666666666  B  27º 49' 5,3"  27º 49' 5"
60
21
Dados la longitud de un cateto y la medida de un ángulo agudo.
Para resolver este caso, se aplican sólo las funciones trigonométricas principales (Seno,
Coseno, o Tangente)
EJEMPLO:
Resolver el triángulo de la siguiente figura
x = 37º
a = 1,4m
Sen 37º 
B
B
a
c 
c
x
C
Cat. op. a 37º
hip.

a
c
a
1, 4

 2,326296198  2,33 m
Sen 37º
0,601815023
A
x
b
Tag x 
Cat. op. a x

Cat. ady. a x
a
a
1, 4
1, 4
 b . Tag x  a  b 


 1,85786275  1, 86 m
b
Tag x
Tag 37º
0,75355405
x + β = 90°  β = 90° - x = 90° - 37° = 53°
Dados la longitud de la hipotenusa y la medida de un ángulo agudo.
Al igual que en el caso anterior, solo se pueden aplicar las funciones seno y coseno
B
Cat. op. a x
a

hip.
c
a  c . Sen x  20, 1 . Sen 38º 16'
Sen x 
c = 20,1m
x = 38º 16´
a
B
a
a  20.1 . 0,619322362  12, 44837949
c
a  12, 44837949  12, 45 m
x
C
Cos x 
Cat. ady. a x
hip.
x
b = 50 m

A
b
 b  c . Cos x  20,1 . Cos 38º 16'  20,1 . 0,78513681  15,78124989
c
b  15,78124989  15, 78 m
Los ejercicios que se proponen a continuación, son combinaciones de estos casos y las
medidas de los ángulos agudos serán de 30º, 45º y/o 60º decir para resolverlos sólo aplicarán las
22
razones trigonométricas (Seno, Coseno y/o Tangente) y no necesitará la calculadora para obtener los
valores de dichas razones trigonométricas.
EJEMPLO:
Calcula el valor de x, según el triángulo de la figura adjunta
B
El lado BD (altura del triángulo ABC) es común
para los triángulos rectángulos ABD y BCD, por lo
tanto se debe calcular en primer lugar. Por ser el
cateto opuesto al ángulo de 60º se aplica el seno;
ya que se conoce longitud de la hipotenusa
100m
x
60°
45°
A
C
D
Sen 60º 
Cat. op. a 60º
hip

BD
BC
Sen 45º 
Cat. op. a 45º
hip.

BD
AB
50 3
1
2
2

x 
50 .
3
2
2

 BD  BC . Sen 60º  BD  100 .

3
2
 50
3 m
BD
BD
 x . Sen 45º  BD  x 
x
Sen 45º
2 . 50 3
2

2 . 50 3 .
2
2
 50
6 m
EJERCICIOS:
Resuelve cada uno de los siguientes triángulos, aplicando las razones trigonométricas y sus
valores. (Sólo debes calcular el valor de x).
1.-
B
150 m
60°
B
C
30°
B
D-------- X ------A
23
2.B
300 m
60°
B60°
B
30°
B
C
D-------- X ------A
B
3.-
X
60°
B
C
30°
B
D----- 200m -----B
4.-
A
h=X
30°
B
C
60°
D
200 m
5.-
B
24
A
B
F
60°
B
C
30°
B
D ----------- X ------------ E
AD = BE
BC = 4 m
DE = x
FORMULAS DEL SENO, COSENO Y TANGENTE PARA LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS
ÁNGULOS
Sen () = Sen . Cos  + Sen . Cos .
Sen () = Sen .Cos  – Sen . Cos 
Cos () = Cos . Cos – Sen  . Sen 
cos () = Cos . Cos Sen  . sen 
Tag (   ) 
Tag   Tag 
Sen (   )

1 - Tag  . Tag 
Cos (    )
Tag (   ) 
Tag  - Tag 
1  Tag  . Tag 


EJEMPLOS.

Sen ( -  )

Cos ( -  )
25
1.- Calcula el valor de las funciones trigonométricas principales para 75°:
75° = (45° + 30°) = ()
a) Sen () = Sen . Cos  + Sen . Cos .
Sen (45° + 30°) = Sen 45° . Cos 30° + Sen 30°. Cos 45°
2
Sen 75º 
2
.
3
2

1
.
2
2
2
6


4
2
4


6
6 
4
2
b) Cos () = Cos .Cos  - Sen . Sen 


Cos (45° + 30°) = Cos 45°. Cos30° - Sen45°. Sen30°
2
Cos 75º 
.
2
3
2
2 1
.

2
2
6
4
2
-
4
6 
4
6 4
Sen (45º  30º )
c) Tag (45º  30º ) 

Cos (45º  30º )
4
2
2

2
4( 6

2)
4( 6
-
2)

6

2
6
-
2
(se debe racionalizar)
6

6 -
=
8  4
4
2
2
3
.
6

6

 2 
Tag 75° = 2 + 3
2
2
3


6

2

 6 - 
 2

6 .
2
 
2 
2 
2
2

2

6  2 12  2
8  2 4. 3

6 - 2
4
26
2.- Calcula el valor de las funciones trigonométricas principales para 15°
15° = (60° - 45°) = ()
a) Sen () = Sen . Cos  – Sen . Cos 
Sen (60° - 45°) = Sen 60° . Cos 45° - Sen 45° . Cos 60°
Sen 15º 
3
2
2
.
2
-
2
.
2
1

2
6
2
-
4
4

6
4
2

2

4
6
b) Cos () = Cos . Cos  + Sen  . Sen 

Cos (60° - 45°) = Cos 60°. Cos 45° + Sen 60° . Sen 45°
Cos 15º 
1
.
2
Sen 15º
c) Tag 15º 
Cos15º

6 -
2
6 
2
6 - 2
.
2
2

6 -
2
6 -
2
12  2
4


3
2
.
2
2
6 4
2 
4
2

4
6

4
2

6
4( 6 -
2)
4( 2 
6)

6 2
6

6
(Racionalizando)
( 6 )2 - 2 ( 6 ) . ( 2 )  ( 2 )2


6 - 2
( 6 )2 - ( 2 )2
( 6 -
8 - 2 4.3
4
2 )2

8 - 4 3
4


4 2 4
3
2
EJERCICIOS
1.- Calcular el valor de las funciones trigonométricas principales para los ángulos:
a) 150° = (180° - 30°)
d) 240°
b) 3  / 4
e) 5/6 
c) 225°
f) 420°
g) 2880°


i) 315° = (360 ° - 45°)
-
3
27
3
5
con   III c y que : Sen   con   IVc . Determina: Sen ( );
5
13
Cos (), Sen () y Cos () y el cuadrante al cual pertenece tanto () como ().
2.- Sabiendo que: Cos   -
3.- Calcula los valores de Sen (), Cos () y tg () y el cuadrante al cual pertenece la solución,
8
5
y Tag  
.
sabiendo que: Sen   17
12
12
7
con   II c y Sen  
, calcula los valores de las funciones trigonométricas
13
25
principales para () y () y determina el cuadrante al cual pertenecen dichas soluciones.
4.- Si Cos   -
FORMULAS DEL SENO, COSENO Y TANGENTE PARA EL ANGULO DOBLE
Sen 2 = 2 sen  . cos 
Cos 2 = cos2 – sen2 
Tag 2  
2 Tag 
1 - Tag 2

EJEMPLOS
1.- Utilizando las fórmulas del ángulo doble, calcula los valores de las funciones trigonométricas para 120°
120° = 2 (60°) = 2 .
a) Sen 2  = 2 Sen  . Cos 

Sen 120° = sen 2 (60°) = 2 sen 60° . cos 60°
Sen 120º  2  60º

2.
3
.
2
1

2
2.
3 .1

4
2 3
2
b) Cos 2  = Cos2 Sen2 


Cos 120º  Cos 2 . ( 60º )  Cos 2 60º - Sen 2 60º
2

 1 
Cos 120º  
 - 
 2 

2
3 
1
 
2 
4
-
3
4
2
4
 -
1
2
28
c) Tag 2 
2 Tag 
1 - Tag 2


Tag 120º  Tag 2 (60º ) 
2 Tag 60º
1 - Tag 2 60º

2.
1 -

3
3

2

2 3

1- 3
2
3
- 2
 -
3
EJERCICIOS
1.- Usando las fórmulas del ángulo doble, calcula los valores de las funciones trigonométricas
principales de los ángulos.
a) 540°
d) 360°
g) 2 070º
b) 180°
e) 720°
h) 1 791º
c) 60°
f) 90°
i) 1 425º
FORMULAS DEL SENO, COSENO Y TANGENTE PARA EL ANGULO MEDIO (MITAD).
Sen
Cos
Tag










2

2

2
 
1 - Cos 
2
 
1  Cos 
2
 
1 - Cos 
1  Cos 

Sen 
1 - Cos 

1  Cos 
Sen 
29
EJEMPLOS
1.- Mediante la aplicación del ángulo mitad, calcula el valor de las funciones trigonométricas para
a) 15°


 15º    2 .15º    30º  I C .
2

Sen
1 - Cos 
 
2
30º
 Sen
 
2
2
2 -
Sen 15º  
3
4
2 2
Pero 15º  I c  Sen 15º 

Cos
2
2 
Cos 15º  

Tag
2
30º
2
 Cos

 
3
4
Sen 
1  Cos 
2 2
 

1 -
1 - Cos 30º
 
2
2 
b)
3

180º
.
2 
2 
3
3

2 
3
2
2
1
3
2 
2
 
3
2
1 
 

3
3

2
2
2
1

2
3
Sen 30º

1  Cos 30º
22 -
 
3
3
1  Cos 30º
2
2 -
2 -
2
1
2
1
3
2

1
2
2 
2
3
Racionalizando:
1
3
2

2 3
4 - 3
 2 -
3

2
2(2 
3)

1
2 
3
30

180º

 22, 5º 
8
2

8
Sen

45º
 Sen
2
2
1 - Cos 45º
2
 
2 -
Sen 22.5º  
 22, 5º    2 . 22, 5º    45º
2
4
2 2
Pero : 22, 5º  I c  Sen 22, 5º 

Cos
2
45º
 Cos
2
 
2
Tag

2
 Tag
45º
2
2
Tag 22, 5 
Tag 22,5º 

-
1 - Cos 45º
Sen45º
2

2
2

2 - 1
2

.

2
2
2
2
2
1
 
2


- 1
2 
2
1 
 
2 
2
2 
2
Pero : 22,5º  I c  Cos 22,5º 
2
2
2
 
4
2 -
2
1  Cos 45º
2
2 
Cos 22, 5º  
 
2 2
 
2
1 -
2
2
2
2
2
1
 
2
2
2
2
1 2
2

2 . 2 ( 2 )2
2 2
2
2

2
2


2

2 2 -

2
2
2

2

2

2


2
2

2 -
2 - 2
2
2
2
31
c) Calcula los valores de las funciones trigonométricas principales a través del ángulo mitad, sabiendo que
5
Sen  =
con   IIc
13

Sen
1 - Cos 
2
 
2
25
26
 

5
26
Pero :   II c  Sen

Cos
2
Cos

2

2

5
 
26
 -

1 - Cos 
2
 
1
26
Como   II c  Cos
5
2
26
.
26
 

 
5.
2
26
26
12
13
1 
 

2
5.
13  12
13
2
 

25
13
2
1
26
26
26
26
 12 
1  
 13 
2

1
 

 12 
1 - 
 13 
2
.
26
 -
26
26
 


26
26
12
13
1 2

2
 
13 - 12
13
2


1
13
2
1
26
26
26
26
 12 
12
1 - 
1 

1 - Cos 
 13  
13 
Tag


5
5
2
Sen 
13
13
13  12
13
5
13

25
13
5
13

25 .13
25

 5
13 . 5
5
EJERCICIOS:
1.- A partir del semi-ángulo (ángulo mitad), calcula los valores de las funciones
trigonométricas principales de los siguientes ángulos (Recuerda los cuadrantes en donde se
encuentran ubicados los ángulos dados).
a)
d)

8
7
8
b) 30°
c)
e) 105°
f)
7
4

2
, sabiendoa que Sen   -
3
con   IVc
5
32
FACTORIZACION DE SUMAS Y DIFERENCIAS DE ÁNGULOS

 -  
 
. Cos
2
2

 -  
 
. Cos
2
2
Sen   Sen   2 Sen
Sen  - Sen   2 Cos

Cos   Cos   2 Cos

Cos  - Cos   - 2 Sen
Tag   Tag  
Tag  - Tag  
 -  
 
. Cos
2
2
 
. Sen
2

- 
2
Sen    
Cos  . Cos 
Sen  -  
Cos . Cos 
EJEMPLOS:
Transformar en productos (Factorizar) cada una de las siguientes expresiones:
50º  40º
50º - 40º
90º
10º
. Cos
 2 Sen
. Cos
 2 Sen 45º . Cos 5º
2
2
2
2
a) Sen 50º  Sen 40º  2 Sen
2
. Cos 5º 
2
Sen 50º  Sen 40º  2 .
b) Sen 70º - Sen 20º  2 Cos
2 Cos 5º
70º  20º
70º - 20º
90º
50º
. Sen
 2 Cos
. Sen
2
2
2
2
Sen 70º - Sen 20º  2 . Cos 45º . Sen 25º  2 .
c) Cos 90º  Cos 30º  2 Cos
Cos 90º  Cos 30º  2 .
1
.
2
2
. Sen 45º 
2
2 . Sen 25º
90º  30º
90º - 30º
120º
60º
. Cos
 2 . Cos
. Cos
 2 Cos 60º . Cos 30º
2
2
2
2
3

2
3
2
33
d) Cos 35º - Cos 75º  - 2 Sen
35º  75º
35º - 75
. Sen
2
2
 - 2 Sen
110º
. Sen
2
 - 40º 
2
Cos 35º - Cos 75º  -  - 2 Sen 55º . Sen 20º   2 Sen 55º . Sen 20º
e) Sen 7x  Sen 3x  2 Sen
7x  3x
2
7x - 3x
2
. Cos
 2 Sen
10x
2
. Cos
4x
2
Sen 7x  Sen 3x  2 Sen 5x . Cos 2x
4x  x
2
f) Sen 4x - Sen x  2 Cos
g) Cos 8a  Cos 2a  2 Cos
. Sen
8a  2a
2
4x - x
2
. Cos
 2 Cos
8a - 2a
2
5x
2
 2 Cos
. Sen
10a
2
3x
2
. Cos
6a
2
Cos 8a  Cos 2a  2 Cos 5a . Cos 3a
h) Sen 60º  Cos 60º  Sen 60º  Sen 30º  2 Sen
Sen 60º  Cos 60º  2 Sen
60º  30º
60º - 30º
. Cos
2
2
90º
30º
. Cos
 2 Sen 45º . Cos 15º  2 .
2
2
EJERCICIOS
1.- Factorizar cada una de las siguientes expresiones.
a) Sen 35° + Sen 25°
h) Sen 4 x + Sen 2 x
b) Sen 35° - Sen 35°
i) Sen 105° - Sen 15°
c) Cos 465° - Cos165°
j) Cos 30° - Sen 30°
d) Cos 80° - Cos 20°
k) Cos 60° - Sen 60°
e) Tag 20° + Tag 50°
l) Tag 45° - Tag 15°
f) Tag 30° + Tag 60°
m) Tag 60° + Ctg 60°
g) Tag 50° – Tag 25°
2
2
. Cos 15º 
2 . Cos 15º
34
2.- Demostrar transformando en producto (factorizando) cada una de las siguientes expresiones:
a) Sen 40° + Sen 20° = Cos 10°
6
2
b) Sen 105° + Sen 15° =
c)
Sen 75º - Sen 15º
Cos 75º  Cos 15º

3
3
d)
Cos 50º - Cos 40º
Cos 25º - Cos 35º
 -
2
e)
Sen 35º - Sen 25º
Cos 50º - Cos 40º

6
2
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Un triángulo es oblicuángulo si no posee entre sus ángulos internos un ángulo recto, es decir, los ángulos
internos o son agudos a dos agudos y uno obtuso.
Recuerda que:
- Se ha convenido que la notación de sus ángulos agudos sean
Â, B, Ĉ y las longitudes de sus correspondientes
lados opuestos se identificarán como: a, b y c.
- La suma de las medidas de sus ángulos internos es 180°, es decir; Â + B + Ĉ = 180°.
Para resolver un triángulo oblicuángulo, sólo se usan las leyes del seno y/o del coseno.
B
a
c
C
b
A
35
LEY DE LOS SENOS
En cualquier triángulo ABC, la relación entre un lado y el seno del ángulo opuesto es constante; esto es:
a
Sen 

b
Sen 

c
Sen 
En la resolución de los triángulos oblicuángulos se aplica dos a dos según los datos conocidos y el
desconocido (incógnita).
a
Sen 

b
Sen 
a
Sen 

c
Sen 
b
Sen 

c
Sen 
LEY DE LOS COSENOS
En todo triángulo oblicuángulo ABC, el cuadrado de uno de sus lados es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de ellos por el coseno del
ángulo comprendido entre dichos lados.
a 2  b 2  c 2 - 2 . b . c . Cos 
b 2  a 2  c 2 - 2 . a . c . Cos 
c 2  a 2  b 2 - 2 . a . b . Cos 
En estas relaciones, sólo se puede despejar el coseno del ángulo y nunca ninguno de
los lados.
SOLUCIÓN DE TRIANGULOS OBLICUÁNGULOS
Cuando se conocen tres elementos de un triángulo oblicuángulo, (no todos los
ángulos) se dice que el triángulo está bien determinado o en forma única.
En la resolución de los triángulos oblicuángulos se pueden presentar los siguientes
casos:
36
1.- Conocidos dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos. Se recomienda aplicar la ley de
los senos para calcular en primer lugar el lado opuesto del segundo ángulo dado.
2.- Conocidos dos ángulos y el lado comprendido entre ellos se debe calcular en primer
lugar la medida del tercer ángulo y después mediante la aplicación de la ley de los senos
cualquiera de los lados restantes (desconocidos).
3.- Dados los dos lados y el ángulo comprendido entre dichos lados.
Para resolver los triángulos rectángulos, según este caso se aplica la ley de los senos y se
calcula en primer lugar la medida del ángulo opuesto al segundo de los lados conocidos,
cuando el Sen   1 .
4.- Dados un ángulo y los lados que lo forman. En primer lugar se calcula el tercer lado
mediante la aplicación de la ley de los cosenos.
5.- Dados los tres lados. En este caso, se aplica la ley de los cosenos y se despejan los
cosenos para calcular las medidas de los ángulos.
AREA DE LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
El área de los triángulos (AT) es igual al semi-producto de su base por la altura.
AT 
b.h
2
Para calcular el área de un triángulo oblicuángulo, según el caso se pueden usar las siguientes fórmulas:
1.- Para los tres primeros casos.
AT 
a 2 . Sen  . Sen 
2 Sen 
AT 
b 2 . Sen  . Sen 
2 . Sen 
c 2 . Sen  . Sen 
AT 
2 Sen 
37
2.- Para el cuarto caso
AT 
a . b . Sen 
2
AT 
a . c . Sen 
2
AT 
b . c . Sen 
2
3.- Para el quinto caso.
AT 
p p - a  . p - b . p - c
abc
, es el semi-período
2
En donde: p 
EJEMPLOS:
1.- Resuelve el triángulo oblicuángulo sabiendo que c = 23 cm, y los ángulos  y  miden respectivamente
20° y 15°:
a
Sen 

c
Sen 
c . Sen 
Sen
 a 
 a 
23 . Sen 20º
Sen 15º

23 . 0, 342020
0, 258819

2, 86646
0, 258819
a  30, 39 cm
      180º    180º -  -   180º -  -    180º -  20º - 15º   180º - 35º  145º
b
Sen 

a . Sen 
Sen 
a
b 
Sen 
b 
23 . Sen 145º
Sen 20º

23 . 0, 573576
0, 342020

13, 192248
0, 342020
b  38, 57 cm
AT 
c 2 . Sen  . Sen 
2 Sen 

 23 2 . Sen 20º . Sen 145º
AT  200, 49 cm 2  200, 5 cm 2
2 . Sen 15º

529 . 0, 342020 . 0, 573576
2 .  0, 258819 

103, 78
0,517638
38
2.- Resuelve el triángulo oblicuángulo, sabiendo que el lado “a” mide de 125 cm y los ángulos  y  miden
54° 40’ y 65° 10’ respectivamente.
      180º    180º -  -   180º -

 
  180º
-
 54º
40'  65º 10' 
  180º - 119º 50'  60º 10'
b
Sen 
a
b 
Sen 

a . Sen 
Sen 

125 . Sen 65º 10'
Sen 54º 40'
a . Sen 
Sen 

125 . Sen 60º 10'
125 . 0, 867476

Sen 54º 40'
0, 815801

125 . 0, 907533
113, 441625

0, 815801
0, 815801
b  139, 06 cm  139, 1 cm
c
Sen 

a
c 
Sen 

108, 4345
0,815801
c  133 cm
AT 
AT 
a 2 . Sen  . Sen 
2 . Sen 
12300, 99246
1, 631602

 125 2 . Sen 65º
10' . Sen 60º 10'
15625 . 0, 907533 . 0, 867476

2 . Sen 54º 40'
2 .  0, 815801 
 7539, 211435  7539, 21 cm 2
3.- Resuelve el triángulo oblicuángulo en donde:
a = 11 cm, b = 21 cm y  = 97° 50’
c2 = a2 + b2 – 2 a .b . Cos 
c2 = 112 + 212 – 2 .11 . 21 Cos 97° 50’
c2 = 121 + 441 – 462 ( - 0,136292) = 562 + 62,9666904
c2 = 624,966904  c 
624, 966904  24, 999  25 cm
39
a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . Cos 
a2 + 2 . b . c . Cos  = b2 + c2
2 . b . c . Cos  = b 2 + c 2 – a 2
Cos  
b2  c2 - a 2

2 . b .c
212  25 2 - 112

2 . 21 . 25
Cos  
945
 0, 9    25º 50' 31"
1 050
441  625 - 121
945

2 . 21 . 25
1 050
b2 = a2 + c2 – 2 . a . c. Cos 
Cos  
AT 
a 2  c2 - b2
121  625 - 441
305


 0, 55454545...    56º 19' 14"
2.a .c
2 .11 . 25
550
a . b . Sen 
2

11 . 21 . Sen 97º 50'
2
11 . 21 . 0, 990669
2


228, 84
2
 114, 42 cm 2
4.- Resuelve el triángulo oblicuángulo, sabiendo que:
a = 13 cm, b = 4 cm y c = 15 cm
a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . Cos 
a 2  2 . b . c . Cos   b 2  c 2
2 . b . c. Cos  = b2 + c2 – a2
Cos  
b 2  c 2 - 132

2 . 4 .15
4 2  15 2 - 132
16  225 - 169

120
120
Cos  
a 2  c2 - b2
2.a .c
132  15 2 - 4 2
2 .13 .15
Cos  
a 2  b2 - c2
2.a .b


13 2  4 2 - 15 2
2 .13 . 4
Cos   - 0, 384615    112º 37' 12"

169  225 - 16
390

72
120


169  16  225
104
 0, 6    53º 7' 48"
378
 0, 969231    14º 15'
390
-
40
104
40
p 
a  b  c
2

13  4  15
2
p .  p - a  .  p - b .  p - c 
AT 
32
2

 16
16 .  16 - 13 .  16 - 4 .  16 - 15 
16 . 3 .12 .1 
96  9 ,80 cm 2
5.- Resuelve el triángulo ABC según la siguiente figura
A
112° 20’
B
42°10
’
C
a = 62,5
a
c

c 
Sen 
Sen 
a . Sen 

Sen 
62, 5 . Sen 42º 10'

Sen 112º 210'
62, 5 . 0, 671289
0, 924989

41, 955563
0,924989
c  45, 35790426  45, 36 cm
      180º    180º -  -     180º -

    180º - 112º 20'  42º 10' 
  180º - 154º 30'  25º 30'
a
b

b 
Sen 
Sen 
a . Sen 
Sen 

62, 5 . Sen 25º 30'

Sen 112º 20'
62, 5 . 0, 430511

0,924989
26, 90944
0,924989
b  29, 08893  29, 01 cm
AT 
AT 
a 2 . Sen  . Sen 
2 Sen 
1128, 896781
1,849978

( 62, 5 ) 2 . Sen 25º 30' . Sen 42º 0'

2 . Sen 112º 20'
 610, 22 cm 2
3906, 25 . 0, 430511. 0, 671289
2 . 0, 924989
41
6.- Resuelve el triángulo oblicuángulo en donde
c = 628 cm
b = 480 cm
 = 55° 10’
b
c

 Sen  
Sen 
sen 
b . Sen 
c

480 . Sen 55º 10'

628
480 . 0, 820818
393, 99218

628
628
Sen   0, 627376    38º 51' 24"
      180º    180º -  -   180º   180º -
 38º

 
51' 24"  55º 10'   180º - 94º 1' 24"  85º 58' 36"
a
c

 a 
Sen 
Sen 
c . Sen 
Sen 

628 . Sen 85º 58' 36"

Sen 55º 10'
628 . 0, 997536
0, 820817

626,452333
0, 820817
a  763, 2058443  763, 21 cm 2
AT 
b . c . Sen 
2

628 . 480 . Sen 85º 58' 36"

2
300687, 12
2
 150348, 56 cm 2
7.- Resuelve triángulo oblicuángulo en donde a = 525 cm, c = 421 cm y el ángulo  = 130° 50’
a
c

 Sen  
Sen 
Sen 
Sen  
318, 534824
525
c . Sen 
a
 Sen  
421 . Sen 130º 50º
525

421 . 0, 756615
525
 0, 606733    37º 21' 13"
      180º    180º -  -     180º -       180º -  130º 50'  37º 21' 13"
  180º - 168º 11' 13"  11º 48' 49"
42
a
b

 b 
Sen 
Sen 
a . Sen 
Sen 
 b 
525 . Sen 11º 48' 49"
525 . 0, 204729

Sen 130º 50'
0, 756615

1074807
0, 756615
b  142, 06 cm
AT 
a . c . Sen 
2

525 . 421 . Sen 11º 48' 49"

2
525 . 421 . 0, 204729
2

45250, 22723
2
AT  22625, 11361  22625 cm 2
EJERCICIOS
Resuelve cada uno de los siguientes triángulos oblicuángulos, sabiendo que
1.- a = 125 cm
 = 54° 40’
 = 65° 10’
2.- c = 25 cm
 = 35°
 = 68°
3.- b = 275 cm
 = 125° 40’
 = 48° 50’
4.- b = 215 cm
c = 150 cm
 = 42° 40’
5.- a = 512 cm
b = 426 cm
 = 48° 50’
6.-
b = 50,4 cm
c = 33,3 cm
 = 118° 30’
7.- b = 40,2 cm
a = 31,5 cm
 = 112° 20°
8.-
b = 51,5 cm
a = 62,5 cm
 = 40° 40°
9.- a = 320 cm
c = 475 cm
 = 35° 20’
10.-
b = 120 cm
c = 270 cm
 = 118° 40’
11.- a = 24,5 cm
b = 18,6 cm
c = 26.4 cm
12.-
a = 6,34 cm
b = 7,30 cm
c = 9,98 cm
43
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Las identidades trigonométricas son igualdades que se cumplen para cualquier valor del ángulo que
aparezca en la igualdad.
Existen varios métodos para demostrar las identidades trigonométricas; pero aplicaremos el más sencillo,
además también algunas sugerencias muy importantes y que se pueden seguir.
Es recomendable, expresar todos los términos de la igualdad en función del seno y del
coseno y efectuar las operaciones indicadas, en uno sólo de los dos miembros de la igualdad
hasta llegar al otro. Si no se consigue este propósito entonces se debe aplicar los mismos
artificios en el otro miembro.
PASOS GENERALES PARA DEMOSTRAR IDENTIDADES
1. Conocer las ocho (8) relaciones básicas y sus formas alternativas, es decir, con sus respectivos despejes si
los tuviera.
2. Conocer los procedimientos de adición y sustracción, cálculo del m.c.m. para reducir, transformar las
fracciones obtenidas en otras equivalentes.
3. Conocer las técnicas de la factorización y de los productos notables.
4. Usar sólo procedimientos de sustitución y de simplificación que permitan trabajar solamente en uno de los
dos miembros la identidad.
5. Seleccionar el lado de la igualdad que parezca ser el más complicado, e intentar transformarlo en el otro.
6. Si decides trabajar en ambos lados de la igualdad, debes hacerlo en forma independiente, es decir, sin
transposiciones de términos.
7. Evitar sustituciones que introduzcan raíces.
8. Usar sustituciones para cambiar todas las funciones trigonométricas en expresiones que contengan
únicamente senos y cosenos y luego simplificar (siempre en un solo lado).
9. Multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el conjugado de cualquiera de ellos.
10. Simplificar la raíz cuadrada de una fracción usando conjugados para transformarla en el cociente con
cuadrados perfectos.
44
EJEMPLOS
Demostrar cada una de las siguientes identidades trigonométricas:
1.Sen 2  2 Cos 2 x
Sen x . Cos x
Tag x  2 . Ctg x 
Sen x
Cos x
2 Cos x
Sen x


Sen 2 x  2 Cos x
Sen x . Cos x
m.c.m. = Sen x . Cos x.
Sen 2 x  2 Cos 2 x
Sen x . Cos x

2.Csc x
Cos x
Tag x  Ctg x 
Sen x
Cos x

Cos x
Sen x

Csc x
Cos x

Csc x
Cos x
m.c.m. = Sen x . Cos x
Sen 2 x  Cos 2 x
Sen x . Cos x
1

Sen x . Cos x
1
1
.
Sen x
Cos x
Csc x .
1

Cos x
Csc x
Cos x

Csc x
Cosx

Csc x
Cos x
Csc x
Cos x
Csc x
Cos x
Sen 2 x  2 Cos 2 x
Sen x . Cos x
l.q.q.d.
45
3.Sec x
 Sen x
Ctg x  Tag x
1
Cos x
 Sen x
Sen x

Cos x
1
Cos x
 Sen x
2
Cos x  Sen 2 x
Sen x . Cos x
1
Cos x
 Sen x
1
Sen x . Cos x
Cos x
Sen x
Sen x . Cos x
Cos x
 Sen x
Sen x  Sen x
4.Sen x
1  Cos x

1 - Cos x
Sen x
Se multiplica y se divide el primer miembro por la expresión conjugada del denominador
Sen x
1  Cos x
.
1 - Cos x
1 - Cos x

Sen x . 1 - Cos x 

1  Cosx  . 1 - Cos x 
1 - Cos x
Sen x
1 - Cos x
Sen x
Sen x . 1 - Cos x 
1 - Cos 2 x

1 - Cos x
Sen x
Sen x . 1 - Cos x 
Sen 2 x

1 - Cos x
Sen x
46
1 - Cos x
Sen x

1 - Cos x
Sen x
5.Sec x - Tag x
Sec x  Tag x

1
Sec x  Tag x
Como el lado izquierdo tiene raíz, se multiplica y se divide la fracción de la cantidad subradical por la conjugada de cualquiera de los elementos de la fracción radical. En este
ejercicio se usará la expresión conjugada del numerador.
Sec x - Tag x
.
Sec x  Tag x
Sec x  Tag x
Sec x  Tag x
Sec 2 x - Tag 2 x

Sec x
 Tag x 
2
1
Sec x  Tag x 2
1
Sec x  Tag x
1
Sec x  Tag x
1
Sec x  Tag x
1
Sec x  Tag x



1
Sec x  Tag x
6.Tag x . Sen 2 x  2 Sen 2 x
Sen x
. 2 . Sen x . Cos x  2 Sen 2 x
Cos x
Sen x . 2 . Sen x  2 Sen 2 x
2 . sen 2 x  2 . sen 2 x
7.Cos 2 x = Cos4 x – Sen4 x.
Cos 2 x = (Cos2 x + Sen2 x) . (Cos2 x - Sen2 x)
Cos 2 x = 1 . (Cos2 x – Sen2 x)
Cos 2 x = Cos2 x – Sen2 x.
47
Cos 2x = cos 2 x.
8.-
1  Cos 2 x
Ctg x
 Sen 2 x
1  Cos 2 x - Sen 2 x
Cos x
Sen x
 Sen 2 x


1  Cos 2 x - 1 - Cos 2 x
 Sen 2 x
Cos x
Sen x
1  Cos 2 x - 1  Cos 2 x
Cos x
Sen x
Cos 2 x  Cos 2 x
Cos x
Sen x
 Sen 2 x
 Sen 2 x
2 Cos 2 x
Cos x
Sen x
 Sen 2 x
2 Cos 2 x
1
Cos x
Sen x
 Sen 2 x
Sen x . 2 Cos 2 x
Cos x
 Sen 2 x
2 . Sen x . Cos x  Sen 2 x
Sen 2 x = Sen 2 x
9.Cos 2 x
1 - Sen 2 x

1  Tag x
1 - Tag x
48
2
2
Cos x - Sen x
1 - 2 Sen x . Cos x
Cos 2 x - Sen 2 x
1 - 2 Sen x . Cos x
1 

1 -
Sen x
Cos x
Sen x
Cos x
Cos x  Sen x
Cos x
Cos x - Sen x
Cos x

Cos 2 x - Sen 2 x
1 - 2 Sen x . Cos x

Cos x  Sen x
Cos x - Cos x
Cos 2 x - Sen 2 x
1 - 2 Sen x . Cos x

Cos x  Sen x
Cos x - Sen x
Cos 2 x - Sen 2 x
1 - 2 Sen x . Cos x

Cos 2 x - Sen 2 x
1 - 2 Sen x . Cos x
.
Cos x - Sen x
Cos x - Sen x
Cos 2 x - Sen 2 x
Cos 2 x - 2 Cos x . Sen x  Sen 2 x

Cos 2 x - Sen 2 x
1 - 2 Sen x . Cos x
10.Sec x - Csc x
Tag x - 1

Sec x  Csc x
Tag x  1
1
1
Cos x
Sen x  Tag x - 1
1
1
Tag x  1

Cos x
Sen x
Sen x - Cos x
Sen x . Cos x
Sen x  Cos x
Sen x . Cos x
Sen x - Cos x
Sen x  Cos x


Tag x - 1
Tag x  1
Sen x
Cos x
Sen x
Cos x
- 1
 1
49
Sen x - Cos x

Sen x  Cos x
Sen x - Cos x
Sen x  Cos x

Sen x - Cos x
Cos x
Sen x  Cos x
Cos x
Sen x - Cos x
Sen x  Cos x
EJERCICIOS
Demostrar cada una de las siguientes identidades trigonométricas.
1.Sen x
Csc x

Cos x
Sec x
1
2.Sec x
Tag x  Ctg x
 Sen x
3.1 - Sen x
Cosx
Cos x
1  Sen x

4.1
Sec x  Tag x

Cos x
1  Sen x
5.Sen x  Cos x
Sen x - Cos x

Sec x  Csc x
Sec x - Sec x
1 - 2 Sen 2 x 
1 - Tag 2 x
1  Tag 2 x
6.-
50
7.Cos 2  2 Sen x
Cos x
2 Tag x  Cos x 
8.Sen x  Tag x
Ctg x  Cs x
 Sem x . Tag x
Tag x . Cos 2 x
1 - Tag 2 x

9.Sen 3 x  Cos 3 x
Sen x  Cos x
10.2 Csc x 
Sen x

1  Cos x
1  Cos x
Sen x
11.Tag x - Sen x
Sen 3 x

Sec x
1  Cos x
ECUACIONES TRIGONOMETRICAS
Las ecuaciones trigonométricas, es decir, as ecuaciones que involucran funciones trigonométricas de
ángulos desconocidos, se llaman:
a) Ecuaciones idénticas o identidades. Si se satisfacen para todos los valores de los ángulos
desconocidos, cuyas funciones están definidos.
b) Ecuaciones condicionales, o simplemente, ecuaciones. Si solo se satisfacen en ciertos valores de
los ángulos desconocidos.
Las ecuaciones trigonométricas son aquellas en las cuales la incógnita aparece como un ángulo de
funciones trigonométricas cuyas soluciones pertenecen al intervalo 0°  x  360º.
No existe un método general para resolver una ecuación trigonométrica. Generalmente se
recomienda, transformar toda la ecuación de manera que quede expresada en términos de una sola
función trigonométrica y luego resolverla como una ecuación algebraica cualquiera.
Muchas veces, se obtienen soluciones extrañas, por lo tanto se deben comprobar las obtenidas en la
ecuación dada. Además hay que recordar que las funciones trigonométricas repiten sus valores en
los cuatro cuadrantes del plano de coordinadas rectangulares, siendo positivas en dos de ellos y
51
negativa en los otros dos, es decir, hay dos cuadrantes en las que el valor de un ángulo de función
trigonométricas tiene el mismo valor y signo.
EJEMPLOS:
1.- Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones trigonométricas.
a) Sen x = Sen 80º
Para que se cumpla la igualdad, la medida del ángulo x debe ser igual a 80º
x = 80º
b) Cos x = Cos (60º - x)
para que la expresión se cumpla, es necesario que:
x = 60º - x
x + x = 60º
2 x = 60º
x=
60º
2
x = 30º
c)

Tag x  Tag 


2

- 2x 

 180º

Tag x  Tag 
- 2x 
 2

Tag x  Tag  90º - 2 x 
x  90º - 2x
x  2 x  90º
3 x = 90º
x 
90º
3
52
x  30º
c) 2 Sen x = 1
1
2
Sen x =
1
, cuando dicho ángulo es 30º, además el seno es positivo también en el
2
segundo cuadrante, por lo tanto, para encontrar el otro ángulo, se toma:
El seno de un ángulo es
 = 180º
 = 180º - b = 180º - 30º = 150º
x = 30º, 150º
e) 2 Cos x = Ctg x
Cos x
Sen x
2 Cos x =
2 Cos x . Sen x = Cos x
Cos x
Cos x
2 Sen x =
2 Sen x = 1
Sen x =
1
2
Las soluciones son las del ejercicio d) x = 30º, 150º
f)
Csc x  Sec x
1
1

Sen x
Cos x
Cos x
Sen x
1
Ctg x = 1
53
Por ser positivo el resultado, las soluciones se encuentran en el primer y tercer cuadrante, en donde la
Ctg x es positiva.
En el primer cuadrante x = 45º
Para el tercer cuadrante:
 = 180º
 = 180º + 45º = 225º
I C
 x  45º

Soluciones: 
III C
x  180º  45º  225º
g)
2 Cos x . Tag x  1  0
2 Cos x .
Sen x
Cos x
- 1 0
2 Sen x - 1 = 0
2 Sen x = 1
Sen x =
1
2
Las Soluciones se encuentran en el primer y tercer cuadrantes, por ser el resultado positivo
I C
x  30º

Soluciones: 
 II c
 x  180º - 30º  150º
h)
4 Cos2 x = 3 – 4 Cos x
4 Cos2 x + 4 Cos x – 3 = 0
Esta ecuación se resuelve aplicando la resolvente por ser un una ecuación de 2º grado:
54
a = 4, b = 4 y c = - 3
- b 
Cos x 
Cos x 
b2 - 4 . a . c
2.a
- 4 

42 - 4  4 .  - 3 
- 4  14  48

2. 4 
8
- 4 
8

64
- 4  8
8
- 4  8
8
Cos x 1 
Cos x 2 
- 4 - 8
8
4
8

 -
1
2

12
8
3
(esta solución es extraña pregúntale al profesor)
2
-
1
2
La solución es Cos x 1 
I C
 x  60º

Soluciones: 
IVc
 x  360º - 60º  300º
g)
3 + 3 cos x = sen2 x
3 + 3 Cos x = 1 – Cos2 x
por ser una ecuación cuadrática, se debe igualar a cero y además el polinomio de la ecuación se
ordena en forma decreciente
Cos2 x + 2 Cos x + 3 – 1 = 0
Cos2 x + 3 Cos x + 2 = 0
a = 1; b = 3 y c = 2
Cos x 
- b 
Cos x 
Cos x 1 
Cos x 2 
b2 - 4 . a . c
2.a

-3 
32 - 4 .  1  .  2 
2 .1

-3 
- 3  1
2
- 3  1
2
 -
- 3 - 1
2
 -
2
2
4
2
 -1
 - 2 (Solución extraña) ¿Por qué?
9 - 8
2

-3 
2
1
55
h)
Cos x + 2 Sen2 x = 1
Cos x + 2(1 – Cos2 x ) = 1
Cos x + 2 – 2 Cos2 x = 1
- 2 Cos2 x + Cos x + 2 – 1 = 0
- 2 Cos2 x + Cos x + 1 = 0
a = - 2; b = 1 y c = 1
- b 
Cos x 
Cos x 
b2 - 4 . a . c
2.a

-1 
12 - 4  - 2  .  1 
2. - 2 

-1 
1  8
 4

1 9
 4
- 1  3
 4
-1  3
2
1
  (solución negativa, los ángulos que dan solución a la
 4
4
2
ecuación pertenecen a los cuadrantes: II C y III C ) .
Cos x 1 
-1 - 3
- 4

  1  1 (Solución positiva, los ángulos que solucionan a la
 4
-4
ecuación se ubican en los cuadrantes: I C y IVc ).
Cos x 2 
I c
 x  0º

II c

 x  180º - 6 0º  120º
soluciones : 
III c
 x  190º  60º  240º

IVc
x  360º

56
EJERCICIOS:
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones trigonométricas:
1.-
Sen x – 2 Sen x . Cos x = 0
2.-
3 Cos3 x = Sen2 x
3.-
2 Sec x = Tag x + Ctg x
4.-
2 Cos x = 1 – Sen x
5.-
2 Sen x + Csc x = 2
6.-
Cos x + Cos 2 x = 0
7.-
2 Cos2 x – 3 Sen2 x = 0
8.-
2 Sen2 x + Cos x = 1