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EJERCICIOS LEYES DE KEPLER Y GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Solucionario
1.-
¿A qué distancia debiera estar un cuerpo de la superficie terrestre para que su
peso se anulara?
El peso de un cuerpo se anularía en dos circunstancias:
2.-
i)
En donde g, la intensidad de campo gravitatoria, sea nula. Y eso ocurre
Solamente a una distancia infinita.
ii)
En algún lugar en donde debido a la presencia de otro cuerpo estelar la
fuerza gravitacional debida a la Tierra y debida a ese otro cuerpo se anulen
entre sí. Esto ocurre, por ejemplo, en la línea recta que une a la Tierra con la
Luna, a ocho novenos de la distancia que hay entre esos cuerpos medida
desde la Tierra.
Calcular la intensidad del campo gravitatorio a 630 km de la superficie terrestre.
Datos:
R = RTierra + h = 6.370 km + 630 km = 7.000 km = 7x106 m
m = 5,98x1024 kg
3.-
Gm 6,67 x10 −11 ⋅ 5,98 x10 24
m
=
= 8,14 2
2
2
R
s
7 x10 6
(
)
¿A qué distancia entre la Tierra y la Luna debiera situarse un satélite de 10
toneladas para ser igualmente atraído por ambos?
©
g=
e
rd
u
g
o
.c
l
Datos:
mT = 5,98x1024 kg
m = 10 ton = 104 kg
distancia entre la Tierra y la Luna, dTL = 384.000 km = 3,84x108 m
distancia entre la Tierra y el satélite, dT = x
distancia entre la Luna y el satélite, dL = dTL - x
dTL - x
x
T
L
FTS
FLS
.h
v
La fuerza de atracción de la Tierra sobre el satélite, FTS, y la de la Luna sobre el satélite, FLS,
son iguales, por lo tanto:
w
FTS = FLS al extraer raíz, se tiene:
w
w
mT
Gm T m
GmL m
mT
mL
mT
1
1
81
=
2 =
2 =
2 =
2
2
2
2
x
(dTL − x ) x (dTL − x ) x (dTL − x ) x 81(dTL − x )2
1
1
8
8
=
9d TL − 9 x = x x = d TL = 3,413x10 m = 341.333 km
x 9(d TL − x )
9
4.-
A cierta altura sobre la Tierra se encuentra un satélite de 500 kg sobre el cual el
campo gravitatorio terrestre actúa con la fuerza de 400 N. ¿Cuál es la intensidad
del campo gravitacional y la aceleración de gravedad a esa distancia?
Datos:
W = 400 N
m = 500 kg
Como la aceleración de gravedad y la intensidad del campo gravitacional
numéricamente tienen el mismo valor, entonces:
Hernán Verdugo Fabiani
Profsor de Matemática y Física
www.hverdugo.cl
1
W = mg g =
5.-
w 400 N
m
=
= 0,8 2
m 500 kg
s
¿A qué distancia de la superficie terrestre gira un satélite en órbita circular si su
masa es de 1000 kg y el campo actúa sobre él con la fuerza de 8000 N?
Datos:
m = 1.000 kg
mT = 5,98x1024 kg
F = 8.000 N
F=
Gm T m
, como R = RT + h, entonces se determina R:
R2
Gm T m
6,67 x10 −11 ⋅ 5,98 x10 24 ⋅ 10 3
R=
=
= 7.061.037 m = 7.061 km
F
8.000
h = R – RT = 7.061 m – 6.370 km = 691 km
6.-
Calcular la intensidad del campo gravitatorio en un punto situado a 3630 km de
la superficie terrestre.
Datos:
R = RT + h = 6.370 km + 3.630 km = 10.000 km = 107 m
Gm 6,67 x10 −11 ⋅ 5,98 x10 24
m
=
= 3,99 2
2
2
7
R
s
10
Un satélite de 80 kg gira en una órbita circular. Si el campo gravitatorio actúa
sobre el satélite con una fuerza de 16 N ¿cuál es la intensidad del campo
gravitatorio a esa distancia?, ¿qué más se podría calcular?
e
rd
u
g
o
7.-
l
( )
.c
g=
©
h = 3.630 km
Datos:
m = 80 kg
v
F = 16 N
w
w
.h
Se puede determinar, además, la aceleración que tendría el satélite si empezara a caer
en forma libre. También se podría determinar velocidad lineal con que gira en torno a la
Tierra, esto pues la fuerza con que la Tierra lo atrae también es la fuerza centrípeta a
que se ve afectado el satélite. También se puede conocer la altura a que se encuentra
el satélite respecto a la superficie terrestre.
g=
w 16 N
m
=
= 0,2 2
m 80 kg
s
w
W = mg, como g es, además de aceleración de gravedad, la intensidad de campo
gravitatorio,
Gm
, entonces se tiene
R2
Gm
6,67 x10 −11 ⋅ 5,98 x10 24
R=
=
= 44.657.922 m = 44.658 km
g
0,2
Como g =
Entonces, el satélite está a h = 44.658 km – 6370 km = 38.288 km de altura sobre la
superficie terrestre.
Hernán Verdugo Fabiani
Profsor de Matemática y Física
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2
8.-
El período de revolución de Saturno es aproximadamente 29,5 años. Calcular
su distancia al Sol.
Datos:
TS = 29,5 años
TT = 1 año
RT = 1 UA
Aplicando Tercera ley de Kepler, se tiene
TS2 ⋅ R 3T 3 29,5 2 ⋅ 13
TT2 TS2
3
=
RS =
=
= 9,55 UA
R 3T R 3S
TT2
11
9.Demuestre que para cualquier planeta el producto de su velocidad instantánea
en un punto de la trayectoria por el radio vector correspondiente es constante.
Gm T m
, y como ésta también es la
R2
v2
fuerza centrípeta que afecta al planeta, se tiene que F = ma C = m
, y como
R
La fuerza con que el Sol atrae a un planeta es F =
l
adecuadamente se tiene: v 2R = Gm T que es constante.
©
Gm T m
v2
=
, si despejamos
m
R
R2
Como ambas fuerzas son iguales, se tiene:
o
.c
Esto es considerando que la velocidad de un planeta en torno al Sol es
aproximadamente constante.
Calcular la aceleración de gravedad en un punto situado a la distancia a que se
encuentra la Luna de la Tierra, que es de 60 radios terrestres.
e
rd
u
g
10.Datos:
R = 60 RT = 60 x 6.370 km = 382.200 km = 3,822x108 m (en realidad son 384.000 km)
)
La aceleración de gravedad de Marte respecto a la de la Tierra es 0,37. Calcular
la aceleración de gravedad en Marte, en m/s2.
gm = 0,37x9,8
w
gM = 0,37g
w
Datos:
12.-
.h
11.-
(
v
Gm 6,67 x10 −11 ⋅ 5,98 x10 24
m
m
= 2,73 x10 −3 2 = 0,00273 2
=
2
2
R
s
s
3,822x10 8
w
g=
m
m
= 3,626 2
2
s
s
La densidad media del planeta Tierra es 5,5 g/cm3 y la de Marte con relación a
la de la Tierra es 0,69. ¿Cuál es la densidad de Marte?
Datos:
ρT = 5,5
g
cm 3
ρT = 0,69 ρT
m
, por lo tanto, se tiene
V
mM
mT
mT
5,98 x10 24
ρM =
= 0,69
= 0,69
0,69 ⋅
4
4
VM
VT
3
πR T
⋅ 3,14 ⋅ 6,37 x10 6
3
3
Como se ha de saber: ρ =
(
Hernán Verdugo Fabiani
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)
3
= 3.813
kg
g
= 3,8
3
m
cm 3
3
13.-
Construya un gráfico W v/s R (peso en función de la distancia) de un cuerpo de
masa m que viaja desde la Tierra a la Luna.
W
WT
1
WT
6
0
8d
TL
9
RT
dTL- RL
R
Con WT el peso en la Tierra, RT el radio de la Tierra, RL el radio de la Luna y dTL la
distancia entre la Tierra y la Luna.
14.-
Cuando un meteoro que cae está a una distancia de 3RT sobre la superficie
terrestre, ¿cuál es su aceleración en caída libre?
l
Gm
Gm
1 Gm 1
=
=
=
g
2
2
R
(4R ) 16 R 2T 16
.c
g=
©
Datos:
R = 4RT
¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra sería la aceleración de gravedad
aproximadamente de 4,9 m/s2.
e
rd
u
15.-
g
o
Es decir, aceleraría con la dieciséis-ava parte de la aceleración en caída libre que
tendría en la superficie de la Tierra.
Datos:
v
m
s2
.h
g = 4,9
Gm
, entonces se tiene
R2
Gm
6,67 x10 −11 ⋅ 5,98 x10 24
R=
=
= 9.022.263 m = 9.022 km
g
4,9
w
w
w
Como g =
Entonces, ese lugar está a h = 9.022 km – 6370 km = 2.652 km de altura sobre la
superficie terrestre.
16.-
La distancia media de Marte a l Sol es 1,524 veces la de la Tierra al Sol.
Encontrar el número de años que tarda Marte en efectuar una revolución en
torno al Sol.
Datos:
TT = 1 año
RT = 1 UA
RM = 1,524 UA
Aplicando Tercera ley de Kepler, se tiene
TT2 TM2
TT2 ⋅ R M3 3 12 ⋅ 1,524 3
3
=
T
=
=
= 1,88 años
M
R 3T R M3
R 2T
11
Hernán Verdugo Fabiani
Profsor de Matemática y Física
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4
17.-
Una manzana es soltada desde el reposo. Una hormiga sobre el suelo afirma que
la manzana se acelera hacia la Tierra y la golpea. Un gusano en la manzana
afirma que la Tierra se acelera hacia la manzana y la golpea. ¿Qué afirmación es
más acertada y por qué?
Ambos bicharracos tienen razón, dicen cosas diferentes solamente porque utilizan
sistemas de referencia diferentes. La hormiga usa como referencia a la Tierra,
suponiéndola en reposo, y el gusano usa como referencia la manzana, suponiéndola en
reposo.
18.-
Determine la magnitud de la fuerza gravitacional entre dos bolas de billar de masa
0,16 kg cuando la distancia entre ellas es de 450 mm.
Datos:
m1 = m2 = 0,16 kg
R = 450 mm = 0,45 m
Gm1m 2 6,67 x10 −11 ⋅ 0,16 ⋅ 0,16
F=
=
= 8,43 x10 −12 N
2
2
R
0,45
19.-
Complete la siguiente tabla. Los datos corresponden a las Lunas de Júpiter:
Se debe aplicar la Tercera Ley de Kepler.
.c
l
©
Periodo, en días
1,769
3,551
7,152
16,689
Fobos es un satélite de Marte que posee un período de 7 horas y 39 minutos y
una órbita de 9,4x106 m de radio. Determine la masa de Marte a partir de estos
datos.
e
rd
u
g
20.-
Radio orbital, en 106 m
421,6
670,9
1.070
1.882
o
Nombre
Io
Europa
Ganímedes
Calisto
.h
v
Datos:
T = 7 h 39 min = 27.540 s
R = 9,4x106 m
Sobre un satélite que gira en torno a Marte actúa una fuerza centrípeta
w
w
w
v2
F = ma c = m , pero como entre ese objeto y Marte hay una fuerza
R
Gm Mm
gravitacional F =
, y como ambas fuerzas son equivalentes, entonces:
R2
2
 2πR 


2
GmMm
GmM
v
2πR
T 

m
=
, y como v =
, entonces se tiene
=
, despejando
2
R
T
R
R
R2
adecuadamente, se tiene:
Gm M R 3
=
, que es otra forma de expresar la Tercera Ley de Kepler, entonces,
T2
4π 2
despejando la masa de Marte, se tiene: m M =
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4 π 2R 3
= 6,5 x10 23 kg
2
GT
5
21.-
Determinar el tanto por ciento de reducción que experimenta la aceleración de la
gravedad al aumentar la altura en 10 km sobre la superficie terrestre.
Datos:
h = 10 km
RT = 6,37x106 m
R = RT + h = 6,37x106 6 m
Gm 6,67 x10 −11 ⋅ 5,98 x10 24
m
En la superficie de la Tierra, g0 = 2 =
= 9,8299 2
2
6
R0
s
6,37 x10
(
)
−11
A los 10 km de altura, g1 =
Gm 6,67 x10 ⋅ 5,98 x10
=
2
R12
6,38 x10 6
(
)
24
= 9,7991
m
s2
Se observa, entonces, que la aceleración de gravedad a una altura de 10 km sobre la
superficie terrestre disminuye en 0,0308
m
, y esta cantidad corresponde a una
s2
disminución del 0,31 %.
©
La masa de la Tierra es, aproximadamente, 6x1024 kg, su radio es,
aproximadamente, 6.370 km. La masa de la Luna es 1/81 veces la masa de la
Tierra, su radio es, aproximadamente, 1740 km y la distancia que hay entre la
Tierra y la Luna es de, aproximadamente, 60 radios terrestres. Determine:
a)
La intensidad de campo gravitatorio en la superficie Lunar.
22.-
Datos:
.c
l
m T 6 x10 24
=
= 7,407 x10 22 kg
81
81
o
R = 1.740 km = 1,74x106 m
(
e
rd
u
Gm 6,67 x10 −11 ⋅ 7,407 x10 22
m
g= 2 =
= 1,63 2
2
6
R
s
1,74 x10
g
mL =
)
.h
v
b)
¿A qué altura, sobre la superficie terrestre, la intensidad de campo
gravitatorio, tiene el mismo valor que la aceleración de gravedad Lunar?
Datos:
mT = 6x1024 kg
w
m
s2
w
g = 1,63
Gm
, entonces:
R2
Gm
6,67 x10 −11 ⋅ 6 x10 24
R=
=
= 15.669.125 m = 15.669 km
g
1,63
m
Y, como R = RT + h, la altura en donde g = 1,63 2 es h = 9.299 km
s
23.-
w
g=
Encuentre la distancia entre Júpiter y el Sol sabiendo que el periodo de rotación
del Sol es un año y que el de Júpiter es de casi 12 años terrestres.
Datos:
TT = 1 año
RT = 1 UA
TJ = 12 años
TJ2 ⋅ R 3T 3 12 2 ⋅ 13
TT2 TJ2
3
=
R
=
=
= 5,24 UA
J
R 3T R 3J
TT2
11
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24.-
El planeta Egabbac (situado en otro sistema Solar) posee un radio doble del de la
Tierra, pero una densidad media de masa igual a la de la Tierra. ¿El peso de un
objeto en la superficie de Egabbac sería igual, mayor, o menor, que en la
superficie de la Tierra? Si es mayor o menor: ¿cuánto es el valor?
Datos:
R = 2RT
ρ = 5.500
kg
m3
Si el radio es el doble que en la Tierra, y considerando que tiene la misma densidad que
nuestro planeta, entonces la masa de ese planeta es:
m = ρV, entonces m = ρ ⋅
4
4
πR 3 = 5.500 ⋅ ⋅ 3,14 ⋅ 1,274 x10 7
3
3
(
)
3
= 4,76 x10 25 kg
Entonces, en la superficie del planeta Egabbac la intensidad de campo gravitatorio
(aceleración de gravedad) es:
g=
Gm 6,67 x10 −11 ⋅ 4,76 x10 25
m
=
= 19,56 2 , que es el doble de la que hay en la
2
2
R
s
1,274 x10 7
(
)
Calcule el trabajo necesario para mover un satélite terrestre de masa m de una
órbita de radio 2R a una de radio 3 R.
.c
l
25.-
©
superficie terrestre, por lo tanto un cuerpo en la superficie del planeta pesaría el doble
de lo que pesaría en la superficie terrestre.
Gm T m Gm T m Gm T m
−
=
2R
3R
6R
w
w
w
.h
v
W=
e
rd
u
g
o
Sabemos que la energía total mecánica se conserva. Por lo tanto, tenemos que la
energía total mecánica de un satélite a una distancia 2R del centro de la Tierra es: E =
U1 + K1, mientras que a una distancia 3R, es E = U2 + K2, y según el teorema del
trabajo y la energía, se tiene W = - (K2 – K1), por lo tanto, de la igualdad U1 + K1 = U2 +
K2, entonces K2 – K1 = U1 – U2 se tiene: W = U1 – U2
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