Download Matemáticas Universitarias

Matemáticas Universitarias
MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS
Sesión No. 1
Nombre: Introducción al algebra
Objetivo
de
la
asignatura:
El
estudiante
aplicará
los
conceptos
fundamentales del álgebra como números reales, exponentes, radicales y
logaritmos en la solución de problemas prácticos
Contextualización
Esta sesión está diseñada para ofrecer una breve explicación de los principios
aritméticos y algebraicos que se requieren para el manejo correcto de las
matemáticas universitarias, tal es el caso de los números reales, su definición y
conjuntos, operaciones y el uso de las leyes exponenciales, radicales y
logarítmicas. Estos temas son de gran importancia para el uso correcto de los
temas que vienen después, lo más seguro es que la exposición rápida de estos
conceptos te resulte de mucho beneficio. Al final aprenderás a manejar los
números y propiedades de una manera más sencilla y eficaz.
1
MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS
Introducción al Tema
En términos sencillos, un conjunto es una colección de números.
Los números reales representan el conjunto de todos los que están en la recta
numérica. Este conjunto esta subdividido en otros conjuntos.
Aprenderemos a identificar el tipo de número que estás utilizando y el conjunto al
que pertenece, las propiedades para la suma y el producto o multiplicación,
realizarás operaciones básicas y aplicarás estas operaciones en las propiedades
para los exponentes, radicales y logaritmos.
Números reales. (2013). Consultado el 2 de abril de 2013:
http://kovalevskaya.wikispaces.com/N%C3%BAmeros+reales
2
MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS
Explicación
Los números reales son el conjunto de números naturales, cardinales, enteros,
racionales e irracionales.
¿A qué conjunto pertenece 𝝅…?
¿Cómo trabajarías más fácilmente el número
decimales?
𝟑
𝟏𝟗
en fracción? O ¿en
Para ayudarte a responder estos cuestionamientos es importante conocer las
características que definen a los números reales:
•
Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar.
1, 2, 3,…
•
Los números cardinales son el conjunto de números naturales y el cero.
0, 1, 2, 3, 4, 5…
•
Los números enteros consisten de los números naturales, sus opuestos
y el cero. …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
•
Número entero positivo es todo entero positivo mayor de cero. 1, 2, 3,
5,…347,…,702...
•
Número entero negativo es todo entero negativo menor que cero.
-1, 000,345, -57, -3,- 4,- 2,- 1,
•
El cero representa el lugar de partida en alguna dirección. No es positivo
ni negativo.
•
Los números racionales representan partes de un todo, un cociente que
ha sido dividido en partes iguales. ⅛, 7.4, -2.35, 8, -25
•
Los números irracionales son números que no pueden ser expresados
como cociente de dos números enteros. 0.789, 3.1456 (Números reales,
s/f, s/p).
3
MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS
Las operaciones básicas que se realizan con los números reales son la suma,
resta, multiplicación, división, radicación y potenciación.
Propiedades de los números reales para la suma y producto.
Suma
1. Interna: a + b
2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) ·
3. Conmutativa: a + b = b + a
4. Elemento neutro: a + 0 = a
5. Elemento opuesto:
 Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el
cero.
 El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.
 LA diferencia de dos números reales se define como la suma del
minuendo más el opuesto del sustraendo. (Los números reales, s/f, s/p).
Producto
1. Interna: a · b
2. Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)
3. Conmutativa: a · b = b · a
4. Elemento neutro: a ·1 = a
4
MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS
5. Elemento inverso: Un número es inverso del otro si al
multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.
6. Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c
7. Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c)
La división de dos números reales se define como el producto del
dividendo por el inverso del divisor. (Los números reales, s/f, s/p).
Potencia o exponente.
Con exponente entero
Con exponente racional
Leyes de los exponentes
1. a 0 = 1 ·
2. a 1 = a
3. a m · a
4. a m : a
n
n
= am+n
= am
- n
5
MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS
5. (a m ) n =a m
· n
6. a n · b
n
= (a · b)
n
7. a n : b
n
= (a : b)
n
(Los números reales, s/f, s/p).
Radicales
Un radical es una expresión de la forma
, en la que n
y a
con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.
Se puede expresar un radical en forma de potencia:
Radiales equivalentes
Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por
un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente.
Los números reales. Recuperado de: http://www.vitutor.com/di/re/b_5.html
;
6
MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS
Logaritmos
El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual
se debe elevar la base para obtener el número.
Siendo a la base, x el número e y el logaritmo.
De la definición de logaritmo podemos deducir:
Propiedades de los logaritmos:
(Los números reales, s/f, s/p)
7
MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS
Conclusión
Los números reales, sus operaciones básicas y sus propiedades nos ayudan a
entender claramente cómo realizar problemas con expresiones algebraicas así
como la aplicación correcta de las leyes de los exponentes y radicales para la
simplificación de expresiones, es importante tener claro estos conceptos que son
el principio del fundamento algebraico.
En la siguiente sesión aplicaremos más a detalle estos principios algebraicos
para el manejo de las expresiones algebraicas y sus operaciones.
Imagen: Expresiones algebraicas. (s/f). Consultado el 2 de abril de 2013: http://expresiones-algebraicas8c.wikispaces.com/Exprsiones+Algebraicas
8
MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS
Para aprender más
En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer
tu aprendizaje.
Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá
desarrollar los ejercicios con más éxito.
Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.
Video en donde se explica lo más importante de las leyes de exponentes.
Jaime, J. (2012). Leyes de los exponentes. Consultado el 2 de abril de
2013: http://www.youtube.com/watch?v=-mbmqjnD5DI
Primara parte de un video en donde se analiza al logaritmo, desde su teoría
hasta su práctica.
Logaritmo, teoría y práctica. Parte 1. (2011). Consultado el 2 de abril de
2013: http://www.youtube.com/watch?v=bLEOwygthdQ
Segunda parte de un video en donde se analiza al logaritmo, desde su teoría
hasta su práctica.
Logaritmos, teoría y práctica. Parte 2. (2011). Logaritmos. Consultado el 2 de
abril de 2013: http://www.youtube.com/watch?v=15QFzkzvtrw
9
MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS
Actividad de Aprendizaje
Con la finalidad de reforzar los conceptos adquiridos sobre números reales,
exponentes, radicales y logaritmos, aplícalos en la resolución de los siguientes
ejercicios prácticos:
I.- Simplifique, si es posible, cada uno de los siguientes términos.
a) - 8 – (-6)
b) – (-6 + x)
c) 3[-2(3) + 6(2)]
II.- Simplifique y exprese todas las respuestas en términos de exponentes
positivos.
a) X6 X9
b) (x12)4
𝑤 2 𝑠3
c) �
𝑦2
2
�
d) 2x2y-3x4
e) {[(2x2)3]-4}-1
f) √𝑥�𝑥 2 𝑦 3 √𝑥𝑦 2
g)
�𝑥 2 𝑦 −1 𝑧�
−2
(𝑥𝑦 2 )−4
III.- Utilizando la definición de logaritmos, expresar “x” en términos de y.
a) y = 2x+1
b) y = log 5 x2
Entrega la actividad en la plataforma de la asignatura.
10
MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS
Bibliografía
Haussler, E. (1997). Matemáticas para admón., economía, ciencias sociales y de
la vida. Edo. México, México. Prentice Hall hispanoamericana, S.A.
Cibergrafía
Números reales. (s/f). Consultado el 2 de abril de
2013: http://www.arecibo.inter.edu/servicios/sss/destrezas/matematicas/1_nume
ros_reales/numeros_reales.pdf
Los números reales. (s/f). Consultado el 1 de abril de
2013: http://www.vitutor.com/di/re/b_5.html
11