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EXPRESIÓN ALGEBRAICA MATEMATICAS I
Ing. Ramón Morales Higuera
UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA es una combinación de números, variables (o símbolos) y
operaciones como la suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Ejemplos .
UNA ECUACIÓN es una igualdad de dos expresiones algebraicas.
TÉRMINO de una expresión algebraica, son las partes de esta que se encuentran
separadas por un signo + o - .
Por ejemplo:
Coeficiente. Cualquier factor de un término se llama coeficiente del resto de dicho
término.
Asi
pues,
en
el
término
Coeficiente numérico. Si un término es el producto de un número por una o varias letras,
dicho número es el coeficiente numérico ( o simplemente coeficiente) del término.
TERMINO SEMEJANTE, son aquellos que difieren solamente en sus coeficientes numéricos,
son aquellos términos que tienen las mismas variables con sus mismos exponentes.
Por ejemplo :
embargo
y
, sin
no son semejantes.
Se pueden reducir 2 o más términos semejantes a uno solo
NUMEROS DE SIGNOS IGUALES SE SUMAN Y SE COLOCA EL MISMO SIGNO.
NÚMEROS DE SIGNOS DIFERENTES SE RESTAN Y SE COLOCA EL SIGNO DEL NÚMERO
MAYOR .
Tenga cuidado cuando trabaje con paréntesis
Si es un entero positivo, el símbolo
de factores cada iguales a .
, se llama potencia enésima de , es el producto
1
EXPRESIÓN ALGEBRAICA MATEMATICAS I
En
, a
se le llama base y a
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se llama exponente.
EXPONENTES Y RADICALES.
DEFINICIÓN DE
Dados : es un entero llamado exponente
llamado base
1. Para un entero positivo
PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES
Dados:
son
enteros
y
1)
producto de una
misma base con igual o distintos
exponenetes , se repite la misma base y se
suman algebraicamente los exponentes
2)
3)
Ejemplo.
2. Para
Ejemplo
4)
3. Para
un entero negativo
5)
Ejemplo:
Simplificación de radicales
Los números reales que no se pueden representarse como el cociente de 2 enteros , como
√
se dice que son números irracionales.
Simplificar un número irracional como √
significa escribir nuevamente el radical de
manera que algún cuadrado perfecto aparezca como factor dentro del signo del radical.
Asi √
√
= √ √
= √
decimo que
√
es la forma simplificada de √
Simplifique
A)
√
B) √
√
√
√
√ √
√
√
√
√
√
√
Símbolos de agrupamiento: son los paréntesis ( )
, los corchetes [
] o las llaves { }
Se emplean para indicar que los términos encerrados en ellos se consideran como una
sola cantidad.
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Forma de raiz
Forma exponente fraccionario
√
PROPIEDADES DE LOS RADICALES
1. √
2. √
3.
√
√
√
=
√
=
=
=
√
PROPIEDADES DE LOS COCIENTES.
1.
3.12 = 9.4
2.
=
3.
4.
5.
=
6.
=
PRODUCTOS NOTABLES.
Se llaman productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyos
resultados pueden ser escritos por simple inspección, es decir, sin verificar la
multiplicación y son los resultados de alguno de los productos que con mayor frecuencia
se presentan en el cálculo algebraico y con los que se debe procurar familiarizarse en
todo lo posible
1.
un binomio elevado al cuadrado
2.
la diferencia de dos cuadrados da como resultado binomios conjugados
3.
un binomio elevado al cubo
3
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4.
suma de dos cubos
5.
diferencia de dos cubos
Ejemplos.
I.
Simplifique las siguientes expresiones y en los resultados los exponentes
negativos cámbielos a positivos
1.
=
ó
=
2.
3. (
=
=
4.
=
=
5.
=
=
6.
7.
8.
9.
10.
11.
II.
1.
3.
5.
7.
=
(
)
ENCONTRAR LOS PRODUCTOS INDICADOS.
2.
4.
6.
8.
4
=
=
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10.
12.
9.
11.
NOTACIÓN CIENTIFICA
Escribir y trabajar con números muy grandes o muy pequeños en notación decimal
ordinario es, con frecuencia muy difícil, aún con calculadoras electrónicas manuales.
Muchas veces conviene representar los números de este tipo en NOTACIÓN CIENTÍFICA:
es decir como producto de un número entre 1 y 10 y una potencia de 10.
Ejemplos
Fracción decimal
Notación científica
Obsérvese que el exponente de 10 corresponde al número de lugares que se mueve el
punto decimal para formar un número comprendido entre 1 y 10 .
El exponente es positivo si el punto decimal se mueve hacia la izquierda y negativo si el
punto decimal se mueve hacia la derecha.
Los exponentes positivos están asociados con números mayores o iguales a 10; los
exponentes negativos están asociados con números menores que 1.
III.
Escriba cada número en notación científica.
1. 370
2. 47,300,000,000
3. 0.047
4. 0.000000089
5. 28, 000
6. 405,000
7. 0.0000000423
8. 0.000401
9. 3´030,000
10. 0.0000000000687
11. 40,3000
12. 0.00019
5
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13. 0.0000495
14. 55´000,000
IV.
Exprese en notación decimal.
1. 3.54 x 103
3. 2.06 x 107
5. 2.27 x 10-5
2. 4.104 x 10-2
4. 2.30 x 10-6
6. 7.86 x 102
V.
1.
2.
ENCUENTRE EL RESULTADO DE:
3.
4.
VALORES DIVERSOS
cualquier número elevado a la 0 es
1
√
Factorial de un número
Binomio de newton
6
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A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la
expresión algebraica que lo representa:
Producto notable
Expresión algebraica
Nombre
(a + b)2
=
a2 + 2ab + b2
Binomio al cuadrado
(a + b)3
=
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Binomio al cubo
a2
2
=
a3
3
=
a3 + b3
=
a4
=
4
(a + b + c)2
=
Diferencia de cuadrados
2
+ b2 + ab)
(a + b) (a2 + b2
Diferencia de cubos
Suma de cubos
2
+ b 2)
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac +
2bc
Diferencia cuarta
Trinomio al cuadrado
Bi n o mi o al cu ad r ado
Un
b in o mi o el evad o al
c u adr ad o es i gu al al c u ad r ado d el p ri mer
t ér mi n o más el d o bl e d el p r od u ct o d el p r i mer t ér min o por el segu n do
más el c u ad r ad o d el segu n d o t ér mi n o
(a + b ) 2 = (a) 2 + 2 ( a)( b ) + ( b ) 2
(x + 3 ) 2 = x
2
+ 2 (x)(3 ) + (3 ) 2 = x
2
+ 6 x + 9
(2 x − 3 ) 2 = (2 x) 2 + 2 ( 2 x )( - 3 )+ ( - 3 ) 2 = 4 x 2 −1 2 x+ 9
E l pr o du c t o d e l a Suma p o r l a d if er en c ia (b i n o mio s c on ju gad o s)
E l p r od u ct o d e d o s b i n o mio s c o nj u gad os es i gu al al c u ad r ad o d el p ri mer
t ér mi n o men o s el cu ad r ad o d el segu n do t ér mi no
(a + b ) (a − b ) = a 2 − b 2
E s l a d i f er enc i a d e c u ad r ad o s
(2 x + 5 ) (2 x - 5 ) = (2 x) 2 − (5 ) 2 = 4 x 2 − 2 5
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Bi n o mi o al cu b o
Un b i n o mio el evad o al c u b o es i gu al al c u b o d el p ri mer t ér mi n o mas el
t r ip l e d el p ro d uc t o d el cu ad r ad o d el p r i mer t ér mi n o p or el segu ndo
t ér mi n o mas el tr ipl e d el pr o d uc t o d el p r i mer t ér mi n o p or el c u adr ad o
d el s egu n d o t ér mino mas el c u bo d el segu n d o t ér mi n o
(a + b ) 3 = (a) 3 + 3 (a) 2 (b ) + 3 (a)(b ) 2 + (b ) 3
(x + 3 ) 3 = (x)
= x
3
3
+ 3 (x) 2 ( 3 ) + (3 )(x)(3 ) 2 + (3 ) 3 =
+ 9 x 2 + 27 x + 2 7
(2 x - 3 ) 3 = (2x) 3 + 3 (2 x) 2 ( - 3 ) + 3 (2 x)( - 3 ) 2 + (- 3 ) 3
= 8x
3
- 3 6 x 2 + 54 x - 2 7
T r in o mi o al cu ad r ado
Un t r i n o mi o el evad o al c u ad r ad o es i gu al al c u ad r ad o d el p r i mer
t ér mi n o más el c u ad r ad o d el segu n do t ér mi n o más el c u ad r ad o d el
t er c er t ér mi n o más el d o b l e d el p r o du c t o d e l p ri mer t ér mi n o p or el
s egu n d o más el d ob l e d el p r od u ct o del p ri mer t ér mi no p o r el t er cer
t ér mi n o más el d ob l e d el pr o du c t o del segu n d o t ér min o p o r el t er c er
t er mi n o
(a + b + c ) 2 = (a) 2 + (b ) 2 + (c ) 2 + 2 (a)(b )+ 2 (a)(c )+ 2 (b )(c )
(x 2 − x +1 ) 2 = (x 2 ) 2 + ( -x ) 2 + (1 ) 2 + 2 (x 2 )(- x)+2 (x 2 )(1 ) +
2 (- x )(1 )= = x 4 + x 2 + 1 - 2 x 3 + 2 x 2 - 2 x= x 4 - 2 x 3 + 3 x 2 - 2 x + 1
Su ma d e c u b o s
8
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a 3 + b 3 = (a + b ) · (a 2 − ab + b 2 )
8 x 3 + 2 7 = (2 x + 3 ) (4 x 2 - 6 x + 9 )
Di f er en c i a d e c ub o s
a 3 − b 3 = (a − b ) · (a 2 + ab + b 2 )
8 x 3 − 2 7 = (2 x − 3 ) (4 x 2 + 6 x + 9 )
E j er c ic i o s r es u elt o s d e pr o d uc t o s n ot ab l es
I Desar ro l l a l o s b ino mi o s al c u ad r ado .
1)
(x + 5 ) 2 = ( x) 2 + 2 (x)(5 ) + ( 5 ) 2 = x
2
2)
(2x + 5 ) 2 = (2 x) 2 + 2 ( 2 x)( 5 ) + ( 5 ) 2 = 4 x 2 + 2 0 x + 2 5
3)
(2x - 5 ) 2 = (2 x) 2 + 2 ( 2 x)( - 5 ) + ( - 5 ) 2 = 4 x 2 - 2 0 x + 2 5
+ 10 x + 25
4)
II
Des ar r ol l a l o s b in o mi o s al c ub o .
1 ) (2 x - 3 ) 3 = (2 x) 3 + 3 (2 x) 2 (- 3 ) + 3 ( 2 x) ( - 3 ) 2 + (- 3 ) 3 = 8 x
3
-
36 x2 + 54 x - 27
2)
(x + 2 ) 3 = (x) 3 + 3 ( x) 2 (2 ) + 3 ( x)( 2 ) 2 + (2 ) 3 = x 3 + 6 x 2 + 12
x + 8
3 ) (3 x - 2 ) 3 = (3 x) 3 + 3 (3 x) 2 (- 2 ) + 3 ( 3 x)( - 2 ) 2 + (- 2 ) 3 = 27 x
3
− 54
x2 + 36x − 8
4 ) (2 x + 5 ) 3 = (2 x) 3 + 3 (2 x) 2 (5 ) + 3 ( 2 x)(5 ) 2 + ( 5 )
1 5 0 x + 12 5
I I I d esar r ol l a l as sumas p o r d i f er enc i as
9
3
=8 x 3 + 6 0 x 2 +
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1 ) (3 x - 2 ) · (3 x + 2 ) = (3 x) 2 – ( 2 ) 2 = 9 x 2 − 4
2)
(x + 5 ) · (x − 5 ) = ( x ) 2 − 25
3)
(3 x - 2 ) · (3 x + 2 ) = (3 x) 2 – (2 ) 2 = 9 x 4 − 4
4)
(3 x + 5 ) · (3 x - 5 ) = (3 x)
2
10
– (5 ) 2 = 9 x
2
− 25