Download 1.1 números naturales

1.1 NÚMEROS NATURALES
En el desarrollo de las culturas fue evolucionando esta forma primitiva de
representar objetos o cosas reales a través de símbolos naciendo así el
primer conjunto de números llamados números naturales, estos números
son utilizados para contar, se representan mediante una “N”.
1.1.1 Definición
Número natural es aquello que tienen en común los conjuntos coordinables
entre sí. Así, por ejemplo los conjuntos A = {a, b, c, d, e} y B = {1, 2, 3, 4,
5}; tienen en común la propiedad de estar constituidos por cinco
elementos. Diremos en este caso, que las conjuntos A y B son
representantes del número natural 5, o bien representan la cantidad cinco.
De modo similar, todos los conjuntos que poseen un solo elemento, es
decir, los conjuntos unitarios, representarían al número 1, los conjuntos con
dos elementos representarán al número 2 y así sucesivamente. El conjunto
vacío, o sea, los que no poseen ningún elemento, representará al número 0
(cero).
De este modo obtenemos la sucesión de números la sucesión de número
naturales. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, …
que es una sucesión con infinitos términos.
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6…}
El matemático Richard de Dekind, decía que el hombre solo necesitaba los
número naturales, los demás eran creación del mismo hombre; obligados
por la necesidad el ser humano tuvo que ir introduciendo otros conjuntos de
números.
1.1.2 Operaciones
Las operaciones aritméticas son siete: suma o adición, resta o substracción,
multiplicación, división, potenciación, radicación y logaritmación.
Las operaciones aritméticas se clasifican en operaciones de composición o
directas y operaciones de descomposición o inversas.
 La suma, la multiplicación y la potenciación son operaciones directas
porque en ellas, conociendo ciertos datos, se halla un resultado.
 La resta, la división, la radicación y la logaritmación son operaciones
inversas.
La resta es inversa a de la suma; la división es inversa a la multiplicación;
la radicación y la logaritmación son inversas de la potenciación. Estas
operaciones se llaman inversas porque en ellas, conociendo el resultado de
la operación directa correspondiente y uno de sus datos, se halla el otro
dato.
1.2 NÚMEROS ENTEROS
1.2.1 Definición
Si efectuamos la unión del conjunto que contiene {0} con el conjunto N de
los números naturales, obtenemos el conjunto de los “números enteros
positivos”.
Al incluir un elemento aditivo inverso por cada número natural, obtenemos
el conjunto de los “números enteros negativos”.
La unión de los dos conjuntos anteriores, da como resultando el conjunto
de los “números enteros”, denotados por:
Z = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}
1.2.2 Orden
El abecedario numérico cuenta con sólo diez números a los que también
llamamos dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. La posición en la cual los
colocamos al combinarlos hace posible crear un número ilimitado de
cantidades. El lugar que ocupa un dígito al formar un número lo
nombramos según la cantidad que representa. Al dígito que ésta más a la
derecha le llamamos la unidad, al que le sigue a la izquierda, decena, al
siguiente centena, etc. En la siguiente tabla se muestra la posición de los
dígitos y la cantidad que representan.
Cen
ten
a de
mill
ón
Dec
ena
s de
mill
ón
Unid
ades
de
milló
n
Cent
enas
de
milla
r
Dec
ena
s de
mill
ar
Unid
ades
de
milla
r
Cent
enas
Dec
ena
s
unid
ades
5
5
5
5
5
5
5
5
5
Cinco
Cincue
nta
Quinie
ntos
Cinco
mil
Cincue
nta
mil
Quinie
ntos
mil
Cinco
millon
es
Cincue
nta
millon
es
Quinie
ntos
millon
es
Una de las funciones del 0 es ayudarnos a identificar la posición que un
dígito tiene ya que cuando un número no viene acompañado de otro
número para conocer la posición que ocupa y así saber la cantidad que
representa, añadimos ceros.
Unidades
Decenas
Centenas
Unidades de millar
Decenas de millar
Centenas de millar
Unidades de millón
Decenas de millón
Centena de millón
5 Cinco
50 Cincuenta
500 Quinientos
5,000 Cinco mil
50,000 Cincuenta mil
500,000 Quinientos mil
5,000,000 Cinco millones
50,000,000 Cincuenta millones
500,000,000 Quinientos millones
ORDEN DE LAS OPERACIONES
1. Se simplifica primero el contenido de los símbolos de agrupamiento
más internos; luego los siguientes y así sucesivamente.
2. La multiplicación y la división se efectúan antes de la adición y
sustracción. (en ambos casos, se procede de izquierda a derecha)
Evaluar cada expresión:
No se resta el 2 del 10, primero se efectúa la multiplicación.
Simplifica primero lo que está entre paréntesis.
1.2.3 Operaciones
La primera operación aritmética que efectuaron civilizaciones primitivas fue
la adición, utilizando objetos concretos que estuvieran al alcance de la
mano. Así, o bien se efectuaban las sumas, o bien formaban nudos en una
cuerda, como hacían los Incas.
Unir o sumar varios conjuntos consiste en reunir en un solo conjunto todos
los elementos de todos los conjuntos.
Los signos aritméticos de sumar y restar se cree son debidos a los antiguos
comerciantes que marcaban con ello las mercancías que compraban y
vendían para indicar de este modo contenían mayor o menor cantidad de la
pactada en el intercambio.
ADICIÓN O SUMA DE NÚMEROS NATURALES.
Para sumar dos cantidades existen un algoritmo (es un procedimiento o una
receta, que si seguimos cuidadosamente nos dará la solución del problema)
que nos permite hacerlo en forma rápida
Diremos que el número natural a, que representa el número de elementos
del conjunto unión A y B es la suma de los números naturales a y b y lo
representaremos con la notación:
c=a+b
Así, por ejemplo, la suma de 2 y 5 es 2 + 5 = 7 y la suma de 4, 6 y 3 es 4
+ 6 + 3 = 13. En el caso particular de que los números naturales que se
sumen sean todos ellos iguales a 1, el número de sumandos coincidirá con
la suma.
Si sumamos cualquier número natural x con el número cero, el resultado
que se obtendrá será también x, es decir que cualquier número natural
permanece inalterado si se le suma el número cero. 0 sea x + 0 = x
SUSTRACCIÓN O RESTA DE NÚMEROS NATURALES
La sustracción es la operación aritmética opuesta a la adición y consiste en
obtener uno de los sumandos, que recibe el nombre de resta o diferencia,
conocida la suma que recibe el nombre de minuendo y el otro sumando,
que recibe el nombre de sustraendo.
Si representamos el minuendo con la letra m, el sustraendo con la letra s y
la resta con la letra r tendremos que:
m-s=r
donde el signo menos (-) entre el minuendo y el sustraendo indica que
ambos deben de restarse. Para poder realizar esta operación en los
números naturales el minuendo debe ser mayor que el sustraendo.
Obviamente, de acuerdo con la definición que se acaba de dar, el minuendo
coincidirá siempre con la suma del sustraendo y la diferencia. Es decir r=m-s.
MULTIPLICACIÓN O PRODUCTO DE NÚMEROS NATURALES
La multiplicación resulto una operación aritmética muy compleja para las
civilizaciones antiguas debido a sobre todo a las limitaciones impuestas por
el uso de sistemas de numeración poco prácticos. Para efectuar
multiplicaciones los pueblos mesopotámicos utilizaron tablas cuadradas de
los números naturales que fueron imitadas por los griegos.
La multiplicación es una operación aritmética que consiste en hallar un
número llamado producto a partir de dos números llamados multiplicando y
multiplicador que indican el número que hay que multiplicar y el número de
veces que multiplicarlo, respectivamente.
Si representamos el multiplicando con la letra m, el multiplicador con la
letra n y el producto con la letra p.
mxn=p
o bien
m n = p
donde los signos por (x o ) situados entre el multiplicando y el multiplicador
indican que ambos números deben multiplicarse. El multiplicando y el
multiplicador reciben también el nombre de factores.
Por ejemplo, se suele escribir xy para indicar que debe multiplicarse x por y.
Análogamente se escribe 12mn para indicar que se debe multiplicar 12xmxn.
Así pues, la multiplicación de números naturales puede considerarse como
una suma de tantos sumandos iguales al multiplicando como indique el
multiplicador.
En el caso de que alguno de los factores se cero, el producto también será
cero, y en el caso de que alguno de los factores sea igual a la unidad del
producto coincidirá con el otro factor, puesto que al multiplicarlo una sola
vez permanecerá invariable.
Ahora bien, en el caso en que tanto el multiplicando como el multiplicador
sean ambos mayores que la unidad, el producto obtenido será siempre
mayor que cualquiera de los factores.
DIVISIÓN O COCIENTE DE NÚMEROS NATURALES
De las operaciones elementales de la aritmética, sin duda la división es la
más complicada. Por tanto no es de extrañar que el proceso seguido desde
las primeras representaciones dadas por los babilonios e hindúes hasta las
modernas notaciones de la división haya sido largo y complejo. El uso de la
raya horizontal para indicar la división entre dos números lo divulgó
Fibonacci en el Siglo XIII, que lo tomó de manuscritos árabes.
La división es la operación aritmética inversa de la multiplicación y su objeto
consiste en hallar uno de los factores, que recibe el nombre de divisor, y el
producto, que recibe el nombre de dividendo.
Si representamos el dividendo con la letra D, el divisor con la letra d y el
cociente con la letra c tendremos:
D:d=c
D/d=c
Dd=c
Donde los signos (:, / o ) situados entre el dividendo y el divisor indican
que ambos deben de dividirse.
Se dice que la división es exacta cuando el dividendo es número exacto de
veces del divisor.
Por ejemplo, la división 20:5=4 es exacta puesto que 20 es múltiplo de 5,
ya que lo contiene un número exacto de veces.
Por el contrario, se dice que la división no es exacta cuando el dividendo no
es múltiplo del divisor. Así, por ejemplo, la división 19:5, no es exacta
puesto que 19 no es múltiplo de 5, ya que no los contiene un número
exacto de veces.
Resto por defecto de una división no exacta es la diferencia entre el
dividendo y el producto de divisor por el cociente por defecto.
Si consideramos la división 19:5, habíamos visto que el cociente por defecto
era 3. Por consiguiente, el resto por defecto será 19 - (5 x 3) = 4.
En general, si n es el cociente por defecto y r el resto por defecto
tendremos que:
r = D – d n
y por tanto
D = dn + r
Para dividir un número por la unidad seguida de ceros se separan de su
derecha son un punto tantas cifras como ceros acompañen a la unidad.
Así, por ejemplo, si dividimos 843:100 el resultado será 8.43, donde puede
observarse que el punto se ha corrido dos lugares. Análogamente
tendremos que 8000:10 = 800.
Obviamente en el caso de que el divisor se igual a la unidad el cociente
coincidirá con el dividendo y en el caso de que el dividendo sea cero el
cociente también será cero.
En cambio, si el divisor es mayor que la unidad el cociente será menor que
el dividendo. Así, por ejemplo, si dividimos 24:2 = 12 podemos comprobar
que 12<24.
Por el contrario, si el divisor es menor que la unidad, en cuyo caso no
trabajaríamos con números naturales, el cociente obtenido será mayor que
el dividendo. Así, por ejemplo, si dividimos 6:0.5 = 12 podemos comprobar
que 12>6.
1.3 NÚMEROS RACIONALES.
Las civilizaciones antiguas (egipcios, babilonios, griegos,… ) conocieron las
fracciones desde tiempos muy remotos. Al descifrar los jeroglíficos egipcios
los egiptólogos encontraron resueltos muchísimos problemas con fracciones
sobre cuestiones de la vida cotidiana en el antiguo Egipto, tales como la
agrimensura o la construcción de pirámides.
1.3.1 Definición
Tal como vimos, la división exacta de números naturales no resulta siempre
posible puesto que no siempre existe un número natural que al ser
multiplicado por divisor coincida con el dividendo.
Por lo tanto, nos vemos obligados
a ampliar el campo numérico
introduciendo las fracciones o quebrados. Algunos, también dan el nombre
de números racionales. Un número racional es aquel que puede expresarse
como cociente de dos enteros. En el conjunto de los racionales están
incluidos los enteros positivos y negativos, el cero y las fracciones positivas
y negativas.
Una fracción o quebrado es un número representado por dos números
naturales (a, b) que se acostumbra a escribirse como
. El número a se
llama numerador y el número b se llama denominador. El denominador no
puede ser nunca cero.
Toda fracción representa el cociente de una división en la cual el numerador
representa el dividendo y el denominador representa al divisor. Así por
ejemplo, son fracciones:
Uno de los aspectos más significativos de la noción de fracción es la
llamada “parte de unidad”. El denominador de una fracción indica el
número de partes en que se ha divido la unidad y el numerador el numero
de partes que se toman.
Por ejemplo, en la fracción , el denominador 8 indica que la unidad se ha
dividido en ocho partes iguales y el numerador 5 indica que se han tomado
5 de esas 8 partes iguales.
Si la unidad la dividimos en dos partes iguales esas partes se llaman
medios, si la dividimos en tres partes iguales las partes reciben el nombre
de tercios, si la dividimos en cuatro partes iguales las llamamos cuartos, si
la dividimos en cinco partes iguales las llamamos quintos, si la dividimos en
seis partes iguales las llamamos sextos, si la dividimos en siete partes
iguales las llamamos séptimos, si la dividimos en ocho partes las llamamos
octavos, si la dividimos en nueve partes las llamamos novenos, en diez
décimos, en once onceavos, si la dividimos en doce partes iguales las
llamamos doceavos, y así sucesivamente.
Así por ejemplo, son fracciones:
, se leerán del modo
siguiente: cuatro séptimos, seis octavos, tres onceavos y siete décimos.
CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES
Comunes, son aquellas cuyo denominador no es la unidad seguida de
ceros. Así, por ejemplo
, son fracciones comunes.
Decimales, son aquellas cuyo denominador es la unidad seguida de ceros.
Así por ejemplo
, son fracciones decimales.
Propias, son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Así
por ejemplo
, son fracciones propias.
Impropias, son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador.
Así por ejemplo
Iguales
a
la
, son fracciones impropias.
unidad,
son
denominador. Así por ejemplo
aquellas
cuyo
numerador
es
igual
al
, son fracciones iguales a la unidad.
Números mixtos, son aquellas que constan de una parte entera y una
parte fraccionaria. Así por ejemplo
, son números mixtos. Los
números mixtos son otra forma de representar las fracciones impropias.
1.3.2 Orden
Los números fraccionarios gozan de una serie de importantes propiedades
que vamos a detallar a continuación:
a) Si varias fracciones tienen el mismo denominador es mayor la que
tenga mayor numerador.
Consideremos
las
fracciones
,
y
.
Como
se
ha dicho
anteriormente, toda fracción representa una división en la cual el
denominador es el divisor. Por consiguiente, si el divisor, es decir, el
numerador, es el mismo será mayor aquella en que el dividendo es decir, el
numerador, sea mayor. En el caso que nos ocupa tendríamos:
>
>
b) Si varias fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que
tiene menor denominador.
Consideremos por ejemplo las fracciones
,
y
. Puesto que toda
fracción representa una división entre numerador y denominador, si el
numerador es el mismo será mayor el cociente cuanto menor sea el divisor.
Por lo tanto, en el caso que nos ocupa tendremos
>
>
.
c) Si los dos términos de una fracción se multiplican o se dividen por un
mismo número, el valor de la fracción no varía.
Consideremos la fracción
. Si multiplicamos ambos términos por 5 la
nueva fracción será
y puede observarse
20:40=0.5 es el mismo que el cociente 4:8=0.5
que
el
cociente
Si en vez de multiplicar ambos términos los dividiéramos, por ejemplo por
2, la nueva fracción sería:
y puede observarse que el cociente
2:4=0.5es el mismo que el cociente 4:8=0.5
Al comparar cada par de números racionales, se establece un orden que se
indica con los símbolos mayor que (>) y menor que (<).
1.3.3 Expresión decimal
Los números con decimales los obtuvimos al dividir dos números enteros
cuyo resultado no es otro entero. La forma exacta, y por tanto, más
profesional de manejar un número fraccionario es dejándolo como
fraccionario, es decir, no efectuando la división para obtener un número con
decimales.
Para escribir un quebrado en notación decimal se sigue el principio
fundamental de la numeración decimal, según el cual toda cifra escrita a la
derecha de otra representa unidades diez veces menores que las que
representa la anterior.
se escribirá 0.3
se escribirá 0.17
se escribirá 0.031
Regla para escribir un decimal
Se escribe la parte entera si la hay, y si no la hay, un cero y en seguida el
punto decimal. Después se escriben las cifras decimales teniendo cuidado
de cada una ocupe el lugar que le corresponde.
Ejemplo
Escribir setenta y cinco milésimas:
Escribimos la parte entera cero y en seguida el punto decimal. Hecho esto,
ponemos un cero en el lugar de las décimas, porque no hay décimas en el
número dado, a continuación las centésimas que hay en 75 milésimas que
son 7, y después, las cinco milésimas y quedará: 0.75
Ejemplo
Escribir 6 unidades 817 diezmilésimas:
Escribimos la parte entera 6 y en seguida el punto decimal. Ponemos cero
en el lugar de las décimas; 8 en el lugar de las centésimas 1 en el lugar de
las milésimas y 7 en el lugar de las diezmilésimas y tendremos: 6.0817
Nomenclatura
Para leer un decimal se enuncia primero la parte entera si la hay y a
continuación la parte decimal, dándoles el nombre de las unidades
inferiores.
3.18
se lee: Tres unidades, dieciocho centésimas.
4.0019 se lee: Cuatro unidades, diecinueve diezmilésimas.
0.08769 se lee: Ocho mil setecientos sesenta y nueve cienmilésimas
1.3.4 Equivalencias
Dos fracciones son equivalentes cuando el producto obtenido al multiplicar
el numerador de la primera por el denominador de la segunda coincide con
el producto obtenido al multiplicar el numerador de la segunda por el
denominador de la primera.
Ejemplo
Comprobar que las fracciones son equivalentes de
y
.
y como puede observarse ambos productos son iguales.
La equivalencia de fracciones constituye una relación de equivalencia. En
efecto, vamos a comprobar que se cumplen las propiedades reflexiva,
simétrica y transitiva.
Propiedad reflexiva: Toda fracción es equivalente a sí misma. En
efecto
que
,
donde
el
signo
significa
“es equivalente
a”,
puesto
Propiedad simétrica: Si una fracción es equivalente a otra, ésta es
equivalente a la primera. En efecto,
, debe cumplirse que
.
Por lo tanto también se cumplirá que
, puesto que esto significa
que
, que es la misma igualdad que hemos descrito
anteriormente.
Propiedad transitiva: Si una fracción es equivalente a otra y ésta es
equivalente a una tercera, la primera fracción es equivalente a la tercera.
En efecto, si
, debe cumplirse que
cumplirse que
. Si además
, debe
. Se trata de demostrar que
Multiplicando miembro a miembro las igualdades, obtendremos:
Dividiendo ambos miembros por dc resultará:
de manifiesto que
, por lo cual pone
, tal como queríamos demostrar.
Por lo tanto la equivalencia de fracciones constituye una relación de
equivalencia, de modo que el conjunto de las fracciones queda dividido en
subconjuntos o clases de equivalencia formadas por todas las fracciones
equivalentes entre sí.
Cada una de las clases de equivalencia constituye un número fraccionario,
puesto
que
todas
ellas
son
equivalentes.
Damos
como
ejemplo:
.
En cambio las fracciones
, son representantes de distintos
números fraccionarios, puesto que no son equivalentes.
REDUCCIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Basándose en las propiedades de las fracciones, vamos a comentar diversos
procedimientos para reducir y simplificar fracciones.
a) Para convertir un número mixto en fracción impropia se multiplica la
parte entera por el denominador y al producto resultante se le añade
el numerador. El resultado obtenido es el numerador de la fracción
impropia. El denominador de la fracción impropia es el mismo
denominador del número mixto.
Convertir el número mixto
en fracción impropia:
b) Para convertir una fracción impropia en número mixto se divide el
numerador entre el denominador. Si la división es exacta sólo hay
parte entera y esta coincide con el cociente de la división. Si la
división no es exacta, el cociente coincide con la parte entera del
número mixto, el resto coincide con el numerador y el divisor con el
denominador.
Convertir en número mixto la fracción impropia
30:6=5, como la división es exacta
. Efectuemos la división
=5
Convertir en número mixto la fracción impropia
. Efectuemos la
operación 17= 9x1+8, como la división no es exacta tendremos
c) Para convertir un número entero en una fracción de denominador
determinado. Se multiplica el entero por el denominador. El producto
obtenido es el numerador de la fracción y el denominador es el
indicado “a priori”.
Convertir el número 5 en fracción de nominador 9. Se trata de escribir 5
como
. Para ello hacemos a = 5 x 9 = 45 y tendremos que
d) Para convertir un fracción en otra fracción equivalente cuyos
términos sean mayores, se pone como denominador el indicado y
como numerador el producto del numerador inicial por el cociente
obtenido al dividir los denominadores.
Convertir
como
en otra equivalente de denominador 28. Se trata de escribir
. Para ello hacemos a = 5 x 28:7 = 20, o sea:
e) Para convertir una fracción en otra fracción equivalente cuyos
términos sean menores, se pone como denominador el indicador y
como numerador el cociente entre el numerador inicial y el cociente
obtenido al dividir los denominadores.
Convertir la fracción
8.
Se
trata
en otra fracción equivalente cuyo denominador sea
de
escribir
como
.
Para
ello
hacemos a=15:(40:8=)=15:5=3. O sea
Se dice que una fracción es irreductible cuando el numerador y el
denominador son números primos entre sí. La fracción
puesto que 7y 8 son números primos entre sí.
1.3.5 Operaciones fundamentales
es irreductible,
Las reglas que usamos en la actualidad para efectuar operaciones con
fracciones son debidas a los matemáticos hindúes y datan de los Siglos VI y
VII (d.C.). En Europa fueron introducidas por los árabes a través de España.
Suma
En la suma de fracciones pueden presentarse diversos casos que vamos a
explicar a continuación:
a) Para sumar fracciones que tengan igual denominador se suman los
numeradores y el resultado obtenido es el numerador de la suma. El
denominador de la suma es el mismo que el de los sumandos.
EJEMPLO
Sumar las fracciones
SOLUCIÓN: Tendremos
Simplificando por 2 numerador y denominador, obtendremos:
Podemos, convertir la fracción impropia en número mixto
que es el resultado final de la suma.
,
EJEMPLO
Sumar las fracciones
SOLUCIÓN:
b) Para sumar fracciones que tengan distinto denominador se reducen
a un común denominador y a continuación se opera tal como se ha
indicado en el inciso anterior.
EJEMPLO
Sumar las fracciones
SOLUCIÓN: Vamos a encontrar, en primer lugar, el mínimo común
denominador
12
6
3
1
2
2
3
12 = 223
16 2
8 2
4 2
2 2
1
16 = 24
18
9
3
1
2
3
3
18 = 232
Por lo tanto el mínimo común múltiplo de 12, 16 y 18 será 2432 =
144, y éste será el mínimo común denominador.
Así pues:
Convirtiendo
la
fracción
tendremos:
impropia
obtenida
en
número
mixto
, que es el resultado final de la suma.
EJEMPLO
Sumar las fracciones
SOLUCIÓN:
c)
Para sumar números mixtos se suman por separa las partes enteras
y las partes fraccionarias y los resultados obtenidos se suman para
dar la suma total. Otro procedimiento consiste en convertir las partes
enteras en fracciones impropias y sumar todas las fracciones así
obtenidas.
EJEMPLO
Sumar las fracciones
SOLUCIÓN: En el primer procedimiento tendremos:
La suma de las partes enteras es: 3 + 5 + 7 = 15
La suma de las partes fraccionarias
Encontremos primero el mínimo común denominador:
4
2
1
2
2
4 = 22
6
3
1
2
3
6 = 23
8
4
2
1
8=
2
2
2
23
Por lo tanto el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8 será 233 = 24
Así pues:
Convirtiendo la fracción impropia en número mixto:
,
Por lo tanto, se trata de efectuar la suma
resultado final de la suma.
, que es el
Por el segundo procedimiento tenemos:
Por lo tanto se trata de sumar
Como hemos visto anteriormente el mínimo común denominador es
24. Es decir, que:
Así pues:
Convirtiendo
tendremos:
la
fracción
impropia
obtenida
en
número
, que es la suma total buscada.
Y coincide con la obtenida por el primer procedimiento.
mixto
EJEMPLO
Sumar las fracciones
SOLUCIÓN por el primer procedimiento:
Suma de los enteros 5+6+3=14
Suma de los quebrados:
La suma de los enteros 14, se suma con los quebrados
SOLUCIÓN por el segundo procedimiento:
d) Para sumar combinaciones de números enteros, números mixtos y
fracciones; se suman los números con las partes enteras de los
números mixtos y la suma obtenida se añade a la suma obtenida al
efectuar la adición de las fracciones y las partes fraccionarias de los
números mixtos.
EJEMPLO
Sumar las fracciones
SOLUCIÓN: Sumamos
7+5+4+3=19
en
primer
lugar
las
partes
enteras:
A continuación sumamos las partes fraccionarias
Encontremos primero el mínimo común denominador:
32
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
32 = 25
64 2
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
64 = 26
16
8
4
2
1
2
2
2
2
16 = 24
Por lo tanto el mínimo común denominador será 26 = 64. Es decir
que:
Así pues:
Por lo tanto, se trata de efectuar la suma
, que es la suma total buscada.
EJEMPLO
Sumar las fracciones
SOLUCIÓN: Sumamos en primer lugar las partes enteras: 5+4+4=13
A continuación sumamos las partes fraccionarias
Resta
Al igual que sucedía en el caso de la suma, al restar fracciones también
pueden presentarse diversos casos que coinciden con los señalados
anteriormente, debemos de considerar que al operar consideremos para
estos casos efectuar la diferencia indicada por el signo de operación
1.3.5 Operaciones fundamentales
Multiplicación
En la multiplicación de fracciones pueden presentarse diversos casos que
seguidamente vamos a exponer:
a) Para multiplicar varias fracciones se multiplican los numeradores y el
resultado obtenido es el numerador de la fracción producto. El
denominador de la fracción producto se obtiene análogamente
multiplicando todos los denominadores.
EJEMPLO
Multiplicar:
SOLUCIÓN:
Tendremos
Simplificando por 240 la fracción
EJEMPLO
Multiplicar:
, que es el resultado final.
SOLUCIÓN:
Efectuar la multiplicación cancelando
El procedimiento de eliminar uno a uno los numeradores y denominadores,
cuando existe un factor común, se llama cancelación. Debe emplearse
siempre que sea posible, puesto que es más rápido y seguro. Al cancelar
iremos tachando los numeradores y denominadores que tienen factor
común. Cuando operamos en esta forma, la fracción producto viene dada en
su mínima expresión.
EJEMPLO
Multiplicar:
SOLUCIÓN:
b) Para multiplicar números mixtos se convierte en fracciones
impropias y a continuación se opera como en el caso anterior:
EJEMPLO
Multiplicar:
SOLUCIÓN: Convertimos los números mixtos en fracciones impropias.
Así pues:
Simplificando la fracción obtenida
Convirtiendo
tendremos:
EJEMPLO
la
fracción
impropia
obtenida
, que es el resultado final.
en
número
mixto,
Multiplicar:
SOLUCIÓN:
c) Para multiplicar combinaciones de números enteros, números mixtos
y fracciones; se convierten todos los números en fracciones y a
continuación se opera como en el caso del inciso a.
EJEMPLO
Multiplicar:
SOLUCIÓN: Convertimos los enteros y los números mixtos en fracciones:
Así pues:
Simplificando la fracción obtenida por 60, tendremos:
Convirtiendo
tendremos:
la
fracción
impropia
obtenida
en
número
mixto,
, que es el resultado final.
EJEMPLO
Multiplicar:
SOLUCIÓN:
1.3.5 Operaciones fundamentales
División
La división de fracciones presenta también una serie de casos interesantes
que pasamos a explicar a continuación:
a) Para dividir dos fracciones se multiplica la fracción dividiendo por el
inverso de la fracción divisor.
EJEMPLO
Dividir:
SOLUCIÓN: Tendremos:
Simplificando:
. Y luego
, que es resultado final.
EJEMPLO
Efectuar la división:
SOLUCIÓN: Tendremos:
b) Para dividir números enteros y fracciones, al número entero se le
pone como denominador de la unidad y a continuación se efectúa la
división como en el caso a:
EJEMPLO
Dividir:
SOLUCIÓN: Tendremos:
Simplificando y convirtiendo en número mixto la fracción impropia,
tendremos:
EJEMPLO
Efectuar la división:
SOLUCIÓN:
c) Para dividir números mixtos y fracciones o números mixtos entre sí;
se convierten previamente en fracciones y a continuación se operan
éstas como en el caso a.
EJEMPLO
Dividir:
SOLUCIÓN:
impropia
Convertimos
el
número
mixto
en
fracción
Tendremos:
Simplificando numerador y denominador de la fracción obtenida por
15, tendremos:
Convirtiendo la fracción impropia obtenida en número mixto,
tendremos:
, que es el resultado final.
EJEMPLO
Efectuar la división:
SOLUCIÓN:
d) Para convertir fracciones complejas, es decir, fracciones en cuyo
denominador o numerador o en ambos términos aparecen otras
fracciones, en fracciones simples; se divide el numerador entre el
denominador.
EJEMPLO
Simplificar al máximo la expresión:
SOLUCIÓN:
EJEMPLO
Simplificar:
SOLUCIÓN:
EJEMPLO
Simplificar al máximo la expresión:
SOLUCIÓN: Empezamos efectuando las operaciones de numerador
Por lo tanto en el numerador tenemos:
Del numerador de la fracción compleja, debemos encontrar el mínimo
común denominador.
3
1
3
3=3
5
1
5
5=5
18
9
3
1
18 =
2
3
3
232
Es decir, que el mínimo común denominador es 2325=90
Simplificando numerador y denominador de la fracción obtenida por
2, tendremos:
, que es el valor del numerador de la fracción compleja.
Operando de modo análogo en el denominador, tendremos:
Por lo tanto en tenemos:
Del numerador de la fracción compleja, debemos encontrar el mínimo
común denominador.
6
3
1
2
3
20
10
5
1
6 = 23
2
2
5
3
1
20 = 225
3
3=3
Es decir, que el mínimo común denominador es 2235=60
Simplificando numerador y denominador de la fracción obtenida por
4, tendremos:
compleja.
, que es el valor del denominador de la fracción
Por lo tanto, se trata de efectuar la división
. Es decir:
Simplificando numerador y denominador de la fracción obtenida por
15, tendremos:
Convirtiendo
tendremos:
la
fracción
impropia
anterior
en
número
mixto,
, que es el resultado final.
EJEMPLO
Simplificar
SOLUCIÓN: Empezamos efectuando las operaciones de numerador
EJEMPLO
Simplificar
SOLUCIÓN: Efectuando el numerador
Efectuando el denominador:
Efectuando el paréntesis:
Tendremos:
1.3.6 Razones y proporciones
RAZÓN
Razón o relación de dos cantidades es el resultado de comparar dos
cantidades.
Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: Hallando en cuánto
excede un a la otra, es decir, restándolas, o hallando cuántas veces
contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas. De aquí que haya dos clases
de razones: razón aritmética o por diferencia y razón geométrica o por
cociente.
Razón aritmética o por diferencia de dos cantidades es la diferencia
indicada de dichas cantidades.
Las razones aritméticas se pueden escribir de dos modos: Separándolas dos
cantidades con el signo ― o con un punto (.). Así, la razón aritmética de 6 a
4 se escribe: 6―4 ó 6.4 y se lee seis es a cuatro.
Los términos de la razón se llaman: antecedente el primero y consecuente
el segundo. Así, en la razón 6―4, el antecedente es 6 y el consecuente 4.
Razón geométrica o por cociente de dos cantidades es el cociente
indicado de dichas cantidades.
Las razones geométricas se pueden escribir de dos modos: En forma de
quebrado, separados numerador y denominador por una raya horizontal o
separadas las cantidades por el signo de división (). Así, la razón
geométrica de 8 a 4 se escribe
u 84 y se lee ocho es a cuatro.
Los términos de la razón se llaman: antecedente el primero y consecuente
el segundo. Así, en la razón 84, el antecedente es 8 y el consecuente 4.
Propiedades de las razones
a) El valor de una razón no se altera cuando se suman o restan, se
multiplican o dividen respectivamente sus términos, por un mismo
número.
b) En toda razón, si al antecedente se le suma o se le resta, se le
multiplica o se le divide por una cantidad, la razón aumenta o
disminuye, queda multiplicada o dividida respectivamente por esa
cantidad.
c) En toda razón, si al consecuente se le suma o se le resta, se le
multiplica o se le divide por una cantidad, la razón aumenta o
disminuye, queda multiplicada o dividida respectivamente por esa
cantidad.
EJEMPLO
Hallar la relación entre las edades de dos niños de 10 y 14 años
SOLUCIÓN:
EJEMPLO
Hallar la razón geométrica entre 60 y 12
SOLUCIÓN:
, 60 es 5 veces el valor de 12
EJEMPLO
Hallar la razón geométrica entre 12 y 60
SOLUCIÓN:
, 12 es
parte de 60
EJEMPLO
El mayor de dos números es 63 y su razón es 7 a 5 Hallar el número menor
SOLUCIÓN:
. El número menor es 45
EJEMPLO
Dos números son entre sí como 3 es 19. Sí el menor es 12, ¿Cuál es el
mayor?
SOLUCIÓN:
.
. El número mayor es 76
1.3.6 Razones y proporciones
PROPORCIÓN
Se define como la igualdad entre dos razones geométricas o por cociente.
Una proporción geométrica se escribe de los dos modos siguientes:
Proporción aritmética o equidiferencia, se define como la igualdad
entre dos razones aritméticas o diferencias.
En una proporción aritmética se llaman extremos al primero y cuartos
términos, ymedios al segundo y tercero términos. También reciben el
nombre deantecedentes al primero y tercer términos, y consecuentes al
segundo y cuarto términos.
En la equidiferencia 20-5=21-6, 20 y 6 son los extremos, 5 y 21 son los
medios, 20 y 21 son los antecedentes, 5 y 6 son los consecuentes.
Proporción aritmética discreta o no continua, es aquélla que tiene sus
cuatro términos diferentes o sus medios no son iguales.
Proporción aritmética continua, es aquélla que tiene sus términos
medios iguales.
Propiedad fundamental de la proporción aritmética, en toda
proporción aritmética la suma de los extremos es igual a la suma de los
medios
Proporción geométrica o equicociente, se define como la igualdad entre
dos razones geométricas o cocientes.
En una proporción geométrica se llaman extremos al primero y cuarto
términos, ymedios al segundo y tercer términos.
También reciben el nombre de antecedentes al primero y tercer términos,
yconsecuentes al segundo y cuarto términos.
Proporción geométrica discreta o no continua, es aquélla que tiene sus
cuatro términos diferentes o sus medios no son iguales.
Proporción geométrica continua, es aquélla que tiene sus términos
medios iguales.
Propiedad fundamental de la proporción geométrica, en toda
proporción geométrica la suma de los extremos es igual a la suma de los
medios
EJEMPLO
Hallar el término desconocido en
SOLUCIÓN: Cómo el término desconocido es en un extremo y un extremo es
igual al producto de los medios dividido por el extremo conocido,
tendremos:
.
Sustituyendo el valor a la x en la proporción dada, queda:
EJEMPLO
Hallar el término desconocido en
SOLUCIÓN: Cómo el término desconocido es un medio y el medio es igual al
producto de los extremos dividido por el medio conocido, tendremos:
Sustituyendo el valor a la x en la proporción dada, queda:
1.4 NÚMEROS IRRACIONALES
1.4.1 Definición
Número irracional, número no racional, es decir, que no se puede poner
como cociente de dos números enteros.
La necesidad de los números irracionales surge de medir longitudes sobre
algunas figuras geométricas: la longitud de la diagonal de un cuadrado
tomando como unidad el lado del mismo es
; la longitud de la diagonal
de un pentágono tomando como unidad su lado es el número irracional φ
llamado número áureo (φ es aproximadamente igual a 1,6818); la longitud
de la circunferencia, tomando como unidad su diámetro es el número
irracional  (pi).
La expresión decimal de cualquier número irracional consta de infinitas
cifras no periódicas. Existen infinitos números irracionales. Todos ellos,
junto con los racionales, forman el conjunto de los números reales.
El filósofo griego Pitágoras de Samos (540 a.C.) descubrió estos números al
establecer la relación entre el lado de un cuadrado y la diagonal del mismo.
Por el teorema de Pitágoras, sí l=1, entonces:
Donde
es un número irracional.
Tenemos entonces que un número irracional, es aquel que no puede
expresarse como el cociente de dos enteros, y pueden ser positivos o
negativos.
Números
irracionales
(con
decimales
infinitos,
no
repetitivos)
1.5 NÚMEROS REALES
1.5.1 Definición
Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales
pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero, un
decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no
periódicas.
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
Número Naturales (N): números con los que contamos (también se les
llama enteros positivos.
)
Enteros (E): conjunto de todos los números naturales con sus opuestos
(negativos) y el cero.
.
Racionales: conjunto formado por todos los números que se pueden
escribir en la forma
, donde m y n son enteros
.
Número Reales (R): todos los racionales y los irracionales. Los números
racionales
tienen
representaciones
decimales
repetitivas
(periódicas), en tanto que los irracionales tienen representaciones
no repetitivas infinitas.
1.5.2 Representación geométrica
Se pueden representar sobre una recta del siguiente modo: a uno de los
puntos de la recta se le asocia el cero, 0. Se toma hacia la derecha otro
punto al que se asocia el 1. La distancia del 0 al 1 se denomina segmento
unidad y con ella se representan todos los números enteros.
Los restantes números reales (racionales o
irracionales) se sitúan sobre la recta, bien valiéndose de construcciones
geométricas exactas, bien mediante aproximaciones decimales. Es
importante el hecho de que a cada punto de la recta le corresponde un
número real y que cada número real tiene su lugar en la recta
(correspondencia biunívoca). Por eso a la recta graduada de tal manera se
la denomina recta real.
1.5.3 Definición de igualdad y sus propiedades
El signo de igualdad (=) se emplea para unir dos expresiones, cuando
ambas son los nombres o descripciones del mismo objeto.
significa
Naturalmente
que a y b son
dos
nombres
, significa a no es igual a b.
del
mismo
objeto.
Si dos expresiones algebraicas con una o más variables se unen mediante el
signo igual, la forma así obtenida recibe el nombre de ecuación algebraica.
PROPIEDADES DE LA IGUALDAD
Si a, b y c son nombres de objetos, tenemos:
Propiedad reflexiva:
Propiedad simétrica: Si
Propiedad transitiva: Si
, entonces:
y
, entonces:
Principio de sustitución: Si
, cualquiera de las dos puede reemplazar
a la otra en una proposición, sin alterar la verdad o falsedad de
dicha proposición.
1.6 APLICACIONES
NÚMEROS MÚLTIPLOS, COMPUESTOS Y PRIMOS
MÚLTIPLO DE UN NÚMERO: un número A es múltiplo de un número B, si al
efectuar la división A/B ésta es exacta, es decir el residuo es cero.
Criterio de divisibilidad por 2. Un entero a es divisible por 2 si y
sólo a termina en 0, 2, 4, 6 u 8. Por ejemplo, 38 es divisible por 2 pero 35
no lo es.
Criterio de divisibilidad por 3. Un entero a es divisible por 3 si y sólo la
suma de las cifras de a es divisible por 3. Por ejemplo, 228 es divisible por
3 pues 2+2+8=12, que es múltiplo de 3; sin embargo 343 no lo es puesto
que , 3+4+3=10, que no es no es múltiplo de 3.
Criterio de divisibilidad por 4. Un entero a es divisible por 4 si y sólo si el
número formado por las dos ultimas cifras de a lo es. Por ejemplo, 3128 es
divisible por 4 pues 28 lo es; si embargo 411 no lo es pues 11 no es
múltiplo de 4.
Criterio de divisibilidad por 5. Un entero a es divisible por 5 si y sólo si
termina en 0 o 5. Por ejemplo, 2515 es divisible por 5 pero 217 no.
Criterio de divisibilidad por 6. Un entero a es divisible por 6 si y sólo
si a es divisible por 2 y por 3. Por ejemplo, 43,644 sí es divisible por 6 pues
es múltiplo de 2 y de 3; sin embargo, 364 no lo es pues múltiplo de 2 pero
no de 3.
Criterio de divisibilidad por 8. Un entero a es divisible por 8 si y sólo si el
número formado por las tres ultimas de a lo es. Por ejemplo 27,256 es
divisible por 8 pues 256 lo es; sin embargo 23,420 no es divisible por 8
pues tampoco lo es 420.
Criterio de divisibilidad por 9. Un entero a es divisible por 9 si y sólo si la
suma de las cifras de a es divisible por 9. Por ejemplo 23,985 sí es divisible
por 9 pues 2+3+9+8+5=27, que es múltiplo de 9; sin embargo 386,754 no
es 3+8+6+7+5+4=33, que no es no es múltiplo de 9.
Criterio de divisibilidad por 10. Un entero a es divisible por 10 si y
sólo atermina en 0. Por ejemplo 29,853,780 es divisible por 10 pero 38,475
no lo es.
Criterio de divisibilidad por 11. Un entero a es divisible por 11 si y sólo
la diferencia de la suma de las cifras en posición impar de a menos la suma
de las cifras en posición par de a es divisible por 11. Por ejemplo,
82,817,053 sí es divisible por 11 pues (2+1+0+3)-(8+8+7+5)=6-28=-22,
que es divisible por 11; sin embargo 2,759 no lo es pues (7+9)-(2+5)=9,
que no es no es divisible por 11.
Criterio de divisibilidad por 12. Un entero a es divisible por 12 si y sólo
si a es divisible por 4 y por 3. Por ejemplo 771,084 sí es divisible por 12
pues es múltiplo de 4 y de 3; sin embargo, 438 no lo es pues múltiplo de 3
pero no de 4.
NÚMEROS COMPUESTOS: es todo número natural distinto de la unidad y
que puede ser expresado como el producto de dos o más enteros positivos
diferentes de sí mismo, los cuales son sus factores y en algunos casos
puede repetirse
4 se puede factorizar en: 22 o 41
6 se puede factorizar en: 32 o 61
8 se puede factorizar en: 42 o 81 o 222
26 se puede factorizar en: 132 o 261
Todo entero par mayor que dos es un número compuesto.
NÚMEROS PRIMOS: es todo número natural que solo tiene como factores a
la unidad y así mismo.
Fue el matemático griego Euclides el primero en descubrir que los números
primos constituyen una serie infinita. Las investigaciones de los
matemáticos griegos les condujeron rápidamente al número primo,
basándose en el cual Eratostenes construye su famosa “criba” para
encontrar los números primos en la serie de números naturales.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
El cuadro anterior es la criba de Eratostenes del 1 al 100
Eratostenes escribió los números naturales hasta un número dado y fue
agujereando en un pergamino en primer lugar a todos los múltiplos de 2
excepto al 2. A continuación hizo lo mismo con los múltiplos de 3. Después
procedió de modo análogo con los múltiplos de 5, de 7 de 11 y así
sucesivamente. Los números que no resultaron agujereados constituyen la
serie de los números primos hasta el número dado.
MANERA DE CONOCER SI UN NÚMERO DADO ES PRIMO O NO.
Se divide dicho número por todos los números primos menores que él y si
se llega, sin obtener cociente exacto, a una división inexacta en que el
cociente sea igual o menor que el divisor, el número dado es primo. Si
alguna división es exacta, el número dado no es primo.
EJEMPLO
Tenemos el número 179 que queremos averiguarse es o no primo.
SOLUCIÓN: Lo dividimos por 2, 3, 5, 7, 11 y 13 sin obtener cociente exacto
y al dividirlo por 13 nos da 13 de cociente. Vamos a demostrar que 179 es
primo, para lo cual bastará demostrar que no es divisible por ningún
número primo mayor que 13.
EJEMPLO
Averiguar si 191 es o no primo
SOLUCIÓN:
En esta última división el cociente 11 es menor que el divisor 17 y la
división es inexacta, luego 191 es primo
EJEMPLO
Averiguar si 853 es o no primo
SOLUCIÓN:
En la práctica no vamos a hacer la división por 2, 3, 5, 7 ni 11 (siempre que
se vea que el cociente ha de ser mayor que el divisor) sino que aplicaremos
los caracteres de divisibilidad que conocemos para ver si el número dado es
o no divisible por estos números.
En este caso, 853 no divisible entre 2, porque no termina en cifra par; no es
divisible entre 3 porque 8+5+3=16 no es múltiplo de 3; tampoco los es por
5 porque no termina ni en cero ni en 5.
EJEMPLO
Averiguar si 391 es primo
SOLUCIÓN: Aplicando los caracteres de divisibilidad, vemos que no es
divisble por 2, 3, 5, 7 ni 11. Tendremos:
Esta última división es exacta, luego 391 es compuesto.
DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES PRIMOS.
Una propiedad interesante y útil de los factores de los números enteros es
que puede expresarse como producto de números primos.
Para determinar los factores primos de un número natural, se va dividiendo
dicho número en forma progresiva, empleando únicamente números primos
hasta terminar en elemento unitario.
EJEMPLO
Hallar la factorización prima para 72
72
2
36
2
18
9
2
3
3
3
72 = 22233 = 2332
1
EJEMPLO
Hallar la factorización prima para 375
375
3
125
5
25
5
5
5
375 = 3555= 353
1
EJEMPLO
Hallar la factorización prima para 1960
1960
2
980
2
490
245
2
5
49
7
7
7
1960 = 222577 = 23572
1
1.6.1 Mínimo Común Múltiplo
Mínimo Común Múltiplo: un entero es un múltiplo común de dos o más
enteros si es múltiplo de cada uno de ellos. Es frecuente tener que usar el
menor entero positivo que sea común múltiplo de dos o más enteros, al cual
se le llama mínimo común múltiplo y se simboliza por m.c.m. o M.C.M.
Mínimo Común Múltiplo por inspección
Cuando se trata de hallar el m.c.m. de números pequeños éste puede
hallarse muy fácilmente por simple inspección, de este modo:
Como el m.c.m. de varios números tiene que ser múltiplo de varios del
mayor de ellos, se mira a ver si el mayor de los números dados contiene
exactamente a los demás. Si es así, el mayor es el m.c.m. Si no los
contiene, se busca cuál es el menor múltiplo del número mayor que los
contiene exactamente y éste será el m.c.m. buscado.
EJEMPLO
Hallar el m.c.m. de 8 y 4
SOLUCIÓN: Como el mayor 8 contiene exactamente a 4, 8 es el m.c.m. de 8
y4
EJEMPLO
Hallar el m.c.m. de 8, 6 y 4
SOLUCIÓN: 8 contiene exactamente a 4, pero no a 6. De los múltiplos de 8,
8×2=16 no contiene exactamente a 6, 8×3=24, contiene exactamente a 6
y 4. 24 es el m.c.m. de 8, 6 y 4
EJEMPLO
Hallar el m.c.m. de 10, 12 y 15
SOLUCIÓN: 15 no contiene a los demás, 15×2=30 no contiene a 12;
15×3=45 tampoco; 15×4=60 contiene cinco veces a 12 y seis veces a 10.
60 es el m.c.m. de 10, 12 y 15
Pasos para determinar el m.c.m.
a) Se halla la factorización prima de cada número.
b) El m.c.m. se forma con el producto de los factores primos comunes y
no comunes afectados por su mayor exponente.
EJEMPLO
Hallar el m.c.m. de 18, 24 y 15
18
9
3
1
2
3
3
24
12
6
2
1
232
2
2
3
2
15
5
1
233
3
5
35
 El m.c.m. de 18, 24 y 15 es (23)(32)(5) = 895 = 360
También se puede determinar la factorización prima de todos los números a
la vez.
EJEMPLO
Hallar el M.C.M. de 200, 300 y 225
200
300
225
2
100
150
225
2
50
75
225
2
25
75
225
25
25
75
25
25
25
5
5
5
1
1
1
23
3
32
5
52
3
5
1.6.2 Máximo Común Divisor
El Máximo Común Divisor de dos o más números es el mayor de los
divisores comunes de dichos números; se simboliza por m.c.d. o M.C.D.,
cuando los números son pequeños el MCD puede calcularse fácilmente; por
el contrario si los números son grandes seguimos algunas reglas adecuadas.
M.C.D. por inspección
Como el M.C.D. de vario números tiene que ser divisor del menor de ellos,
procederemos así:
Nos fijamos en el número menor de los dados. Si éste divide a todos los
demás será el M.C.D. Si no los divide, buscamos cuál es el mayor de los
divisores del menor que los divide a todos y éste será el M.C.D. buscado.
EJEMPLO
Hallar el M.C.D. de 18 12 y 6
SOLUCIÓN: El número 6 divide a 18 y a 12 luego 6 es el M.C.D. de 18, 12 y 6
EJEMPLO
Hallar el M.C.D. de 20, 90 y 70
SOLUCIÓN: 20 no divide a 70, 10 es el mayor divisor de 20 que divide a 90 y
a 70.
EJEMPLO
Hallar el M.C.D. de 48, 72 y 84
SOLUCIÓN: 48 no divide a los demás. De los divisores de 48, 24 no divide a
84; 12 divide a 72 y a 84. 12 es el M.C.D. de 48, 72 y 84.
M.C.D. por descomposición en factores primos
a) Se anotan los números en un simple renglón.
b) Se dividen todos los números entre factores primos comunes.
c) El MCD es producto de los factores primos comunes tomados con su
menor exponente.
EJEMPLO
Hallar el M.C.D. de 48 y 72
48
72
2
24
36
2
12
18
2
6
9
3
2
3
2
1
3
3
El MCD = 233 = 83= 24
1
EJEMPLO
Hallar el M.C.D. de 464, 812 y 870
464
812
870
2
232
406
435
2
116
203
435
2
58
203
435
2
29
203
435
3
29
203
145
7
29
29
145
5
29
29
29
1
1
1
El MCD = 229 = 58
29
EJEMPLO
Hallar el M.C.D. de 60, 150, 40 y 850
60
150
40
850
2
30
75
20
425
2
15
75
10
425
2
15
75
5
425
3
5
25
5
425
5
El MCD = 25 = 10
1
5
1
1
85
5
17
17
1
1.6.3 Potencia y radicación
Los babilonios utilizaban la elevación a potencia como auxiliar de la
multiplicación, y los griegos sentían especial predilección por los cuadrados
y los cubos. Diofanto (III d.C.) ideó la yuxtaposición adhesiva para la
notación de las potencias. Así x, xx¸xxx, etc. para expresar la primera,
segunda, tercera potencias de x. Renato Descartes (1596-1650) introdujo la
notación x, x2, x3, x4, etc.
Aunque la palabra raíz proviene del latín radix, la radicación fue conocida
por los hindúes y por los árabes mucho antes que por los romanos. Las
reglas para extraer raíces cuadradazas y cúbicas aparecieron por primera
vez en textos hindúes.
POTENCIACIÓN
Es la operación aritmética que tiene por objeto multiplicar por sí mismo un
número llamado base tantas veces como indica otro número llamado
exponente.
Si escribimos 53, 5 será la base y 3 será el exponente, con lo cual
tendremos que:
Cuando el exponente es 2, o sea, cuando estamos hallando la segunda
potencia de la base, se acostumbra decir que estamos hallando el cuadrado
de la base. Por ejemplo
. El término cuadrado viene de la
nomenclatura geométrica, puesto que el cuadrado de un número equivale
en las unidades correspondientes de superficie al área de un cuadrado. El
área de un cuadrado con un lado de 5m. será
m2.
Cuando el exponente es 3, es cuando estamos hallando la tercera
potencia de la base se acostumbra decir que estamos hallando el cubo de
la base.
, es el resultado de hallar el cubo de 5. El término
cubo también viene de la nomenclatura geométrica, ya que el cubo de un
número equivale en unidades correspondientes de volumen al volumen del
cubo cuya arista es dicho número.
Cuando los exponentes son 4, 5, 6, 7, 8, etc. se dice que estamos elevando
la base a la cuarta, quinta, sexta, séptima u octava potencia,
respectivamente:
La potencia enésima de un número a equivaldrá a multiplicar n veces a por
sí mismo:
veces.
Ley de uniformidad
Cualquier potencia de un número tiene un valor único o siempre igual.
EJEMPLO
22=4 Siempre
53=125 Siempre
Potencia de un producto
Para elevar un producto a una potencia se eleva cada uno de los factores a
dicha potencia y se multiplican esa potencias.
Si tenemos el producto abc, Vamos a probar que (abc)n=an·bn·cn
Elevar el producto abc a la enésima potencia equivale a tomar este producto
como factor n veces; luego:
Esta propiedad constituye la ley distributiva de la potenciación respecto de
la multiplicación.
EJEMPLO
Resolver (3×4×5)2
SOLUCIÓN: (3×4×5)2 = 32·42·52 = 9×16×25 = 3600
Potencia de un número fraccionario
Para elevar un cociente exacto o una fracción a una potencia cualquiera se
elevan su numerador y denominador a dicha potencia.
Si tenemos la fracción
; Según la definición de potencia elevar
a la potencia n será tomarlo como factor n veces; luego:
Esta propiedad constituye la ley distributiva de la potenciación respecto de
la división exacta.
EJEMPLO
Elevar
EJEMPLO
SOLUCIÓN:
Elevar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO
Desarrollar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO
Desarrollar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO
Desarrollar
SOLUCIÓN:
1.6.3 Potencia y radicación
RADICACIÓN
La radicación es la operación inversa de la potenciación y consiste en hallar
la base conocidos el exponente y la potencia.
Si
tenemos
que
,
podemos
escribir
que
,
donde
el
signo
recibe el nombre de signo radical, 49 es la cantidad subradical,
7 es la raíz cuadrada y el número 2 es el índice de la raíz. En este caso
como el índice de la raíz es 2 se trata de una raíz cuadrada.
Cuando el índice es 3 diremos que la raíz es cúbica, cuando es 4 se trata de
una raíz cuarta, cuando es 5 se trata de una raíz quinta, cuando es 6 se
trata de una raíz sexta, y así sucesivamente.
Cuando la raíz es cuadrada, cuando el índice es 2, generalmente se omite
dicho índice:
Una raíz es exacta cuando al elevarla a la potencia que indica el índice
coincide con la cantidad subradical. 5 es la raíz cúbica exacta de 125 puesto
que
.
Una raíz es inexacta cuando no existe ningún número entero que al elevarlo
a la potencia que indica el índice coincida con la cantidad subradical. La raíz
cuadrada de 63 es inexacta, puesto que no existe ningún número entero
que elevado al cuadrado dé 63.
Los únicos números naturales que tienen raíz cuadrada exacta son los
cuadrados perfectos: 1, 4, 9, 16, 25… etc. Análogamente, los únicos
número que tienen raíz cúbica exacta son los cubos perfectos: 1, 8, 27, 64,
125… etc.
Ley de uniformidad
La raíz de un grado dado de un número tiene un valor único o siempre es
igual. Así
únicamente, porque 7 es el único número que elevado al
cuadrado da 49.
Ley distributiva
La radicación no es distributiva con relación a la suma. Así
igual a
Igualmente
porque
no
no es
y
es
igual
a
porque
y
La radicación no es distributiva con relación a la multiplicación y a la
división.
Raíz de un producto indicado
La raíz de cualquier grado de un producto indicado de varios factores es
igual al producto de las raíces del mismo grado de cada uno de los factores.
Tenemos el producto
. Vamos a demostrar que:
Según la definición de raíz,
será la raíz enésima de
elevada a la potencia n reproduce el producto
si
.
Elevando la raíz a la enésima potencia, tendremos:
, luego queda demostrado lo que
nos proponíamos.
Esta propiedad es la ley distributiva de la radicación con relación a la
multiplicación.
EJEMPLO
Efectuar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO
Efectuar
SOLUCIÓN:
Raíz de un número fraccionario
La raíz de cualquier grado de un cociente exacto o un número fraccionario
es igual a la raíz de dicho grado del numerador partida por la raíz del mismo
grado del denominador.
Sea la fracción
. Vamos a demostrar que
Según la definición de raíz,
será la raíz enésima de
, si elevada a la
potencian reproduce el quebrado
Esta propiedad es la ley distributiva de la radicación con relación a la
división exacta.
EJEMPLO
Efectuar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO
Efectuar
SOLUCIÓN:
Raíz de una potencia
La raíz de cualquier grado de una potencia se obtiene dividiendo el
exponente de la potencia por el índice de la raíz.
Sea la potencia
. Vamos a demostrar que
Según la definición de raíz,
será la raíz enésima de
potencia nreproduce la cantidad subradical
Elevando
a la potencia n, tendremos.
demostrado lo que nos proponíamos.
si elevada a la
.
, luego queda
EJEMPLO
Efectuar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO
Efectuar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO
Efectuar
SOLUCIÓN:
Exponente fraccionario
Hemos visto en el punto anterior que para extraer una raíz a una potencia,
se divide el exponente de la potencia por el índice de la raíz. Si el
exponente no es divisible por el índice, hay que dejar indicada la división,
originándose de este modo el modo el exponente fraccionario.
EJEMPLO
Efectuar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO
Efectuar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO
Efectuar
SOLUCIÓN:
Raíz de una raíz
La raíz de cualquier grado de una raíz se obtiene multiplicando los índices
de ambas raíces.
Se
trata
de
extraer
la
raíz
cúbica
de
Vamos
a
demostrar
que
Según la definición de raíz,
reproduce la cantidad subradical
será la raíz cúbica de
si elevada al cubo
, y en efecto:
Esta propiedad a la inversa, nos permite extraer la raíz cuarta extrayendo
dos veces la raíz cuadrada; la raíz sexta extrayendo la raíz cuadrada y la
cúbica, etc.
EJEMPLO
Efectuar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO
Efectuar
SOLUCIÓN:
Algoritmo para encontrar la raíz cuadrada
1. Tantear una raíz aproximada.
2. Dividir el número entre la raíz aproximada.
3. Obtener el promedio del resultado de la división y el divisor. El
promedio es la siguiente raíz aproximada.
EJEMPLO
Calculara la raíz cuadrada de 5
SOLUCIÓN:
Paso 1. Tanteamos una raíz aproximada de 5: 2
Paso 2. Dividimos el número entre la raíz aproximada:
Paso 3. Obtenemos el promedio del resultado y el divisor y lo tomamos
como nuestra siguiente raíz aproximada:
Repetimos los pasos con el nuevo valor de la raíz aproximada:
Paso 1. Tanteamos una raíz aproximada de 5: 2.25
Paso 2. Dividimos el número entre la raíz aproximada:
Paso 3. Obtenemos el promedio del resultado y el divisor y lo tomamos
como nuestra siguiente raíz aproximada:
Repetimos nuevamente los tres pasos con el nuevo valor de la raíz
aproximada
Paso 1. Tanteamos una raíz aproximada de 5: 2.2361
Paso 2. Dividimos el número entre la raíz aproximada:
Paso 3. Obtenemos el promedio del resultado y el divisor y lo tomamos
como nuestra siguiente raíz aproximada:
El nuevo valor de la raíz aproximada es igual que el anterior, por lo que
hemos obtenido la raíz cuadrada que buscamos.
El primer tanteo puede ser cualquier número, el algoritmo siempre
funciona, sin embargo entre más cercano al valor de la raíz sea nuestro
primer tanteo más rápido llegaremos al número buscado.
EJEMPLO
Calculara la raíz cuadrada de 20
SOLUCIÓN:
Para hacer nuestro primer tanteo nos acordamos que
y
por
lo que tomamos 4.5 como primera raíz aproximada. Siguiendo los pasos
tenemos que:
Paso 1. Tanteamos una raíz aproximada de 20: 4.5
Paso 2. Dividimos el número entre la raíz aproximada:
Paso 3. Obtenemos el promedio del resultado y el divisor y lo tomamos
como nuestra siguiente raíz aproximada:
Repetimos nuevamente los tres pasos con el nuevo valor de la raíz
aproximada
Paso 1. Tanteamos una raíz aproximada de 20: 4.4722
Paso 2. Dividimos el número entre la raíz aproximada:
Paso 3. Obtenemos el promedio del resultado y el divisor y lo tomamos
como nuestra siguiente raíz aproximada:
En este ejemplo encontramos la raíz cuadrada buscada con tres decimales
de precisión en la primera vez que hicimos los tres pasos.
1.6.4 Notación científica
En las ciencias encontramos con mucha frecuencia cantidades muy grandes
y muy chicas. Por ejemplo, la velocidad de la luz es, aproximadamente,
de29,980,000,000 centímetros por segundo, y la masa aproximada de un
átomo de hidrógeno es 0.00000000000000000000001673 gramo. Podemos
expresar estos números en forma más compacta utilizando la notación
científica. Un número esta escrito en notación científica cuando tiene la
forma
EJEMPLO
Convierte 29 980 000 000, a la notación científica.
SOLUCIÓN: El número 2.998 está entre el 1 y 10. Para obtener 29 980 000
000, se debe recorrer el punto decimal de 2.998 10 lugares hacia la
derecha. Esto se hace multiplicando 2.998 por 1010
29 980 000 000 es igual a 2.998x1010
EJEMPLO
Convierte 0.00000000000000000000001673, a la notación científica.
SOLUCIÓN: El número 1.673 está entre el 1 y 10. Para obtener
0.00000000000000000000001673, debemos recorrer el punto decimal de
1.673 24 lugares hacia la izquierda. Esto lo podemos hacer si multiplicamos
1.673 por 10-24
0.00000000000000000000001673es igual a 1.673 x 10 -24
EJEMPLO
Convierte -0.0013, a la notación científica.
SOLUCIÓN: El número -1.3 está entre el 1 y 10. Para obtener -0.0013
recorremos el punto decimal de -1.3 tres lugares hacia la izquierda,
multiplicando por 10-3
-0.0013 = -1.3x10-3
EJEMPLO
Convertir 3.7x105 a la notación normal.
SOLUCIÓN: Ya que la multiplicación por 105 recorre el punto decimal 5
lugares hacia la derecha, 3.7x105= 370,000
EJEMPLO
Convertir 1.1x10-3 a la notación normal.
SOLUCIÓN: Ya que la multiplicación por 10-3 recorre el punto decimal 3
lugares hacia la izquierda, 1.1x10-3= 0.0011
2.1 DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA
Así como la aritmética surgió de la necesidad que tenían los pueblos primitivos de
medir el tiempo y de contar sus posesiones, el origen del álgebra es muy posterior
puesto que debieron de transcurrir muchos siglos para que el hombre llegara al
concepto abstracto de número que es el fundamento del álgebra. El gran desarrollo
experimentado por el álgebra se debió sobre todo a los matemáticos árabes y, muy en
particular, a Al-Hwarizmi (Siglo IX d.C.), que sentó las bases del álgebra tal como la
conocemos hoy en día.
El álgebra es la parte de las matemáticas que tienen por objeto generalizar todas las
cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades.
El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético, puesto que
mientras en aritmética las cantidades se representan mediante números que expresan
valores determinados, en álgebra las cantidades se representan mediante letras que
pueden representar cualquier valor que se les asigne.
2.2. NOTACIÓN ALGEBRAICA
Los símbolos que se emplean en álgebra para representar cantidades pueden se de
dos tipos: números y letras. Donde, los números se emplean para representar
cantidades conocidas y perfectamente determinadas.
Las letras se utilizan para representar todo tipo de cantidades tanto conocidas como
desconocidas. En general, las cantidades conocidas se representan utilizando las
primeras letras del alfabeto: a, b, c, d…, mientras que las cantidades desconocidas se
representan utilizando las últimas letras del alfabeto: x, y, z…
Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos por medio de
comillas; por ejemplo a’, a’’, a’’’ que se leen a prima, a segunda, a tercera, o también
por medio de subíndices: a1, a2, a3, que se leen a subuno, a subdos, a subtres.
Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por
medio de letras son las fórmulas algebraicas. Una fórmula algebraica es la
representación, por medio de letras, de una regla o de un principio general.
2.3. SIGNOS ALGEBRAICOS DE OPERACIÓN, DE RELACIÓN Y
DE AGRUPACIÓN
Con las cantidades algebraicas se efectúan las mismas operaciones que con las
aritméticas, es decir: suma o adición, resta, multiplicación o producto, división,
potenciación, radicación, logaritmación, etc.
SIGNOS DE OPERACIÓN

En la suma se utiliza el signo (+). Así, por ejemplos x+y se leerá “equis
más ye”.

En la resta se utiliza el signo (-). Así, por ejemplo x-y se leerá “equis
menos ye”.

En la multiplicación se utiliza el símbolo multiplicado por (x) ó (). Así, por
ejemplo x xy = xy se leerá “equis multiplicado por ye”. El signo suele omitirse
cuando los factores están indicados por letras o bien por letras y números.
Por ejemplo x x y x z = xyz = xyz

En la división se utiliza el signo dividido entre (:)() ó (/). Así,
por ejemplo x:y = x/y = xy y se leerá “equis dividido entre ye”.

En la potenciación se utiliza un superíndice denominado exponente que se
sitúa arriba y a la derecha de una cantidad llamada base por sí misma. Así, por
ejemplo x4=xxxx… (4 veces) y se leerá “equis elevado a la ye”. En el caso de
que una letra no lleve exponente se sobreentiende que el exponente es uno.

En la radicación se utiliza el signo radical (
), debajo del cual se
coloca la cantidad a la que se le extrae la raíz. Así, por
cuadrada de equis”;
, se leerá “raíz
“raíz cúbica de equis” y así sucesivamente.
SIGNOS DE RELACIÓN
Los signos de relación se utilizan para indicar la relación que hay entre dos cantidades.

El signo = se lee igual a. x=y se leerá “equis igual a ye”.

El signo  se lee diferente de. xy se leerá “equis diferente de ye”.

El signo

El signo < se lee menor que. x<y se leerá “equis menor que ye”.

El signo  se lee mayor que o igual.

El signo  se lee menor que o igual.
> se lee mayor que. x>y se leerá “equis mayor que ye”.
SIGNOS DE AGRUPACIÓN
Los signos de agrupación más utilizados son: los paréntesis ( ), los corchetes [ ] y las
llaves { }. Los signos de agrupación indican que la operación encerrada en su interior
debe efectuarse en primer lugar.
2.4 TÉRMINO ALGEBRAICO Y SUS PARTES
Se llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los
signos + o -. Así, por ejemplo xy2 es un término algebraico.
En todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el
coeficiente, la parte literal y el grado.
Signo
Los términos que van precedidos del signo + se llaman términos positivos, en tanto los
términos que van precedidos del signo – se llaman términos negativos. Pero, el signo
+ se acostumbra omitir delante de los términos positivos; así pues, cuando un término
no va precedido de ningún signo se sobreentiende de que es positivo.
Coeficiente
Se llama coeficiente al número o letra que se le coloca delante de una cantidad para
multiplicarla. El coeficiente indica el número de veces que dicha cantidad debe
tomarse como sumando. En el caso de que una cantidad no vaya precedida de un
coeficiente numérico se sobreentiende que el coeficiente es la unidad.
Parte literal
La parte literal está formada por las letras que haya en el término.
Grado
El grado de un término con respecto a una letra es el exponente de dicha letra. Así,
por ejemplo el término x3y2z, es de tercer grado con respecto a x, de segundo grado
con respecto a y y de primer grado con respecto a x.
2.5 CLASIFICACIÓN DE LOS TÉRMINOS ALGEBRAICOS; SEMEJANTES
Ó NO SEMEJANTES.
Los términos que tienen las mismas variables con los mismos exponentes se llaman
términos semejantes.
y
son términos semejantes.
y
y
son términos semejantes.
no son términos semejantes.
y
no son términos semejantes.
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Se llama reducción de términos semejantes a la operación que consiste en reemplazar
varios términos semejantes por uno solo. En la reducción de términos semejantes
pueden presentarse los tres casos siguientes:
a) Para reducir términos semejantes que tengan igual signo se suman los
coeficientes anteponiendo a la suma el mismo signo que tienen todos los
términos y a continuación se escribe la parte literal.
Ejemplo
Reducir las siguientes expresiones
b) Para reducir términos semejantes que tengan distintos signos se restan los
coeficientes anteponiendo a la diferencia el signo del mayor y a continuación se
escribe la parte literal.
Ejemplo
Reducir las siguientes expresiones
c) Para reducir varios términos semejantes que tengan distintos signos se
reducen todos los términos positivos a un solo término y todos lo términos
negativos a un solo término y se restan los coeficientes de los términos así
obtenidos anteponiendo a la diferencia el signo del mayor y a continuación se
escribe la parte literal.
Ejemplo
Reducir 5a -8a +a -6a + 21a
Reduciendo los positivos: 5a +a + 21a = 27a
Reduciendo los negativos: -8a -6a = -14a
Aplicando a los resultados obtenidos (27a y -14a), la regla del caso anterior, se tiene
27a -14a =13a
Tendremos: 5a -8a +a -6a + 21a= 13a
Ejemplo
Reducir
Reduciendo los positivos:
Reduciendo los negativos:
Tendremos:
2.5 CLASIFICACIÓN DE LOS TÉRMINOS ALGEBRAICOS; SEMEJANTES
Ó NO SEMEJANTES.
Los términos que tienen las mismas variables con los mismos exponentes se llaman
términos semejantes.
y
son términos semejantes.
y
y
son términos semejantes.
no son términos semejantes.
y
no son términos semejantes.
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Se llama reducción de términos semejantes a la operación que consiste en reemplazar
varios términos semejantes por uno solo. En la reducción de términos semejantes
pueden presentarse los tres casos siguientes:
a) Para reducir términos semejantes que tengan igual signo se suman los
coeficientes anteponiendo a la suma el mismo signo que tienen todos los
términos y a continuación se escribe la parte literal.
Ejemplo
Reducir las siguientes expresiones
b) Para reducir términos semejantes que tengan distintos signos se restan los
coeficientes anteponiendo a la diferencia el signo del mayor y a continuación se
escribe la parte literal.
Ejemplo
Reducir las siguientes expresiones
c) Para reducir varios términos semejantes que tengan distintos signos se
reducen todos los términos positivos a un solo término y todos lo términos
negativos a un solo término y se restan los coeficientes de los términos así
obtenidos anteponiendo a la diferencia el signo del mayor y a continuación se
escribe la parte literal.
Ejemplo
Reducir 5a -8a +a -6a + 21a
Reduciendo los positivos: 5a +a + 21a = 27a
Reduciendo los negativos: -8a -6a = -14a
Aplicando a los resultados obtenidos (27a y -14a), la regla del caso anterior, se tiene
27a -14a =13a
Tendremos: 5a -8a +a -6a + 21a= 13a
Ejemplo
Reducir
Reduciendo los positivos:
Reduciendo los negativos:
Tendremos:
2.6. CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS POR SU
NÚMERO DE TÉRMINOS.
Monomios: Son aquellos que constan de un solo término, en la que números y letras
están ligadas por la operación multiplicar.
Polinomios: Son aquellos que constan de más de un término, es decir, es la suma
algebraica de dos o más monomios. 2a+b, 3x2-5y+z, 2x3-7x2-3x+8
a) Binomio.- Polinomio de dos términos: 5x2-3y2, u +at, 4a2b +x2y6,
b) Trinomio.- Polinomio de tres términos: x+y+z, 2ab-3a2+5b2, m-2n-8
Término nulo: Si el coeficiente de un término es cero, se tiene un término cuyo valor
absoluto es cero o nulo. (0)x2y = 0
(0)a2 = 0
2.7 GRADO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.
El exponente de mayor orden de la variable se conoce como grado del polinomio. Para
encontrar el grado de un polinomio, basta examinar cada término y hallar el exponente
de mayor orden de la variable. Por lo tanto, el grado de 3x2 + 5x4 - 2 se halla
examinando el exponente de la variable en cada término.
El exponente en 3x2 es 2
El exponente en 5x4 es 4
El exponente en -2 es 0, porque -2=-2x0 (x0=1)
Entonces el grado de
en el polinomio.
es 4, el exponente de mayor orden de la variable
De manera semejante, el grado de
es 5, puesto que 5 es el
exponente de mayor orden de una variable presente en el polinomio.
Por convención, un número como -4 o 7 se conoce como polinomio de grado 0, porque
si a0, a=ax°.
El grado de un polinomio puede ser “absoluto” o “relativo” a una literal.
Grado absoluto: El grado absoluto de un polinomio se determina por el exponente
mayor, de uno de sus términos.
El grado absoluto es cuatro.
El grado absoluto es sexto.
El grado absoluto es quinto.
Grado relativo a una literal: El grado relativo de un polinomio con respecto a una
literal, es el mayor exponente que tiene la literal que se considere del polinomio.
El grado con relación a x es séptimo, de quinto grado con relación
a y.
El grado con relación a a es tres, de segundo grado con relación
a b.
Polinomio cero
El mismo número 0 se conoce como polinomio cero y no se le asigna grado. Se hace
notar que 0x4=0, 0x2=0, 0x3=0, y así sucesivamente de modo que los polinomios
cero no pueden tener grado.
2.8. ORDENAMIENTO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.
Se dice que un polinomio está ordenado con respecto a una letra cuando los
exponentes de una letra determinada van aumentando o disminuyendo desde el
primero hasta el último con respecto a la letra considerada, que recibe el nombre de
letra ordenatriz. Esto simplifica muchas veces las operaciones con polinomios.
Así, por ejemplo, el polinomio
está ordenado en orden
ascendente con respecto a la letra ordenatriz y y está ordenado en orden descendente
con respecto a la letra ordenatriz x.
Ejemplo
Escribir en orden ascendente el polinomio
SOLUCIÓN: Ordenamos
los
términos
de
menor
a
mayor
según
su
grado,
así:
Ejemplo
Ordenar el polinomio x5 –x7 +x4 –x6 en orden descendente con respecto a la letra x
SOLUCIÓN: Deberíamos escribirlo así: –x7 –x6 +x5 +x4
Ejemplo
Escribir en orden descendente el polinomio
con respecto a cada una de las variables.
,
SOLUCIÓN: Debemos ordenar los términos del polinomio de mayor a menor respecto
a cada variable.
Respecto a la variable w tenemos:
Respecto a la variable z tenemos:
Así pues, ordenar un polinomio consiste en escribir todos sus términos en un orden tal
que los exponentes de una misma letra, llamada ordenatriz, vayan disminuyendo o
aumentando desde el primer término hasta el último.
2.9. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.
La evaluación de expresiones algebraicas, es el proceso que consiste en sustituir los
valores numéricos asignados para las literales de una expresión algebraica y que al
efectuar las operaciones indicadas se obtiene la evaluación correspondiente.
JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES
1. Se efectúa toda operación que se encuentre entre paréntesis o arriba o debajo
de una raya de fracción.
2. Se efectúan todas las operaciones de multiplicación o división en el orden que
se presenten de izquierda a derecha.
3. Se efectúan las sumas y las restas en el orden de izquierda a derecha.
Ejemplo
Resuelve 2a2bc3,
cuando a=2, b=3 y c=1
2(2)2(3)(1)3 = 2(4)(3)(1) = 24
Ejemplo
Evaluar
,
cuando b=8 y x=2
Ejemplo
Evaluar
cuando a=1, b=2, y=4 y x=3.
Ejemplo
Resuelve
para x=3.
Ejemplo
Resuelve
para x=2 y=3.
Ejemplo
Evaluar
cuando w = -4.2 z = 3.6
3.1. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS CON
COEFICIENTES ENTEROS Y FRACCIONARIOS.
SUMA
La suma de monomios y polinomios es asunto de combinar términos semejantes.
EJEMPLO:
Supongamos que se desea sumar
encontrar
y
; es decir deseamos
Al aplicar las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva podemos escribir:
EJEMPLO:
De manera semejante, la suma de
como:
y
, se escribe
EJEMPLO:
Para sumar
y
; primero escribimos ambos polinomios en orden
descendente, colocamos los términos semejantes en una columna y luego sumamos
EJEMPLO:
Del mismo modo que en aritmética, podemos sumar o restar más de dos polinomios.
Por ejemplo, para sumar los polinomios
,
y
,
escribimos cada polinomio en orden descendente con los términos semejantes en la
misma columna y sumamos:
RESTA
Para restar polinomios, primero recordemos que a-(b+c)=a-b-c
Para eliminar los paréntesis de una expresión precedida por un signo menos (de
resta) debemos cambiar el signo de cada término dentro del paréntesis. Esto es lo
mismo que multiplicar cada término dentro de los paréntesis por -1.
EJEMPLO:
Efectuar la operación
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:
Resolver
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:
Restar
y
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:
Restar
y
SOLUCIÓN:
3.2 INTRODUCCIÓN Y SUPRESIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN
En ocasiones es necesario eliminar paréntesis antes de combinar términos
semejantes. Por ejemplo, para combinar términos semejantes en
tenemos que suprimir los paréntesis primero. Si hay un signo más (o ningún signo)
enfrente de los paréntesis, podemos simplemente eliminar; esto es,
EJEMPLO:
La eliminación de paréntesis precedidos por un signo menos se hará de la manera
siguiente:
EJEMPLO:
En ocasiones los paréntesis se presentan dentro de otros paréntesis. Para evitar
confusión, utilizamos diferentes símbolos de agrupación. De este modo, por lo general
no escribimos
, sino
. Para combinar términos semejantes en
tales expresiones, los símbolos de agrupación más internos se eliminan primero.
EJEMPLO:
Como efecto de la propiedad distributiva tenemos, que:
La propiedad distributiva también puede extenderse a más de dos números dentro de
los paréntesis. Por tanto
3.3 LEYES DE
MULTIPLICACIÓN
. Además
LOS
EXPONENTES
ENTEROS
PARA
LA
Los exponentes se han utilizado para indicar el número de veces que se repite un
factor en un producto. Por ejemplo,
. La notación exponencial
proporciona un modo sencillo para multiplicar expresiones que contienen potencias de
la misma base.
PRIMERA LEY DE LOS EXPONENTES.
Los exponentes se suman para multiplicar dos potencias de la misma base.
Considera que m y n son enteros positivos:
Esta regla significa que para multiplicar expresiones con la misma base, mantenemos
la base y sumamos los exponentes. Antes de aplicar la regla del producto, hay que
asegurarnos de que las bases sean las mismas.
Por supuesto algunas expresiones pueden tener coeficientes de 1. Por ejemplo, la
expresión
tiene coeficiente numérico de 3. De manera similar, el coeficiente
numérico de
es 5. Si decidimos multiplicar
por
, solo multiplicamos
números por números (coeficientes) y letras por letras. Este procedimiento es posible
debido a las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación. Luego de
aplicar estas dos propiedades, escribimos:
EJEMPLO:
EJEMPLO:
SEGUNDA LEY DE LOS EXPONENTES.
Los exponentes se multiplican par elevar una potencia a otra potencia.
Si m y n son enteros positivos:
Cuando se eleva una potencia a una potencia, mantenemos las bases y multiplicamos
los exponentes.
Considera la expresión
, que significa que
está elevado al cubo. Esta
expresión puede simplificarse como se muestra enseguida:
En forma parecida
Debido a que la multiplicación es en realidad una suma que se repite, es posible
obtener los mismos resultados en los ejemplos anteriores al multiplicar entre sí los
exponentes.
EJEMPLO:
EJEMPLO:
TERCERA LEY DE LOS EXPONENTES.
Mediante las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación es posible
escribir
Una potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada uno de los
factores.
Simbólicamente:
EJEMPLO:
EJEMPLO:
EJEMPLO:
Ene general se cumple:
Si n es número par
Si n es número impar
EJEMPLO:
3.4 MULTIPLICACIÓN POR POLINOMIOS
La multiplicación de polinomios es una operación algebraica que tiene por objeto hallar
una cantidad llamada producto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y
multiplicador, de modo que el producto sea con respecto del multiplicando en signo y
valor absoluto lo que el multiplicador es respecto a la unidad positiva. Tanto el
multiplicando como el multiplicador reciben el nombre de factores del producto.
La multiplicación de polinomios cumple la propiedad distributiva. Es decir, que dados
tres polinomios cualesquiera
se cumplirá que
. Esta ley
acostumbra a enunciarse diciendo que los factores se pueden agrupar de cualquier
manera.
Asimismo, el producto de polinomios también cumplía la propiedad conmutativa. Es
decir, que dados los polinomios cualesquiera
, se cumplirá que
. Esta ley
acostumbra a enunciarse diciendo que el orden de los factores no altera el producto.
Por lo que respecta al signo del producto de dos factores, pueden presentarse los
cuatro puntos siguientes:
a) Si dos factores tienen el mismo signo positivo, su producto también tendrá
signo positivo.
b) Si el multiplicador tiene signo positivo y el multiplicando tiene signo negativo,
el producto tendrá signo negativo.
c) Si el multiplicando tiene signo positivo y el multiplicador tiene signo negativo, el
producto tendrá signo negativo.
d) Si dos factores tienen ambos signo negativo, su producto tendrá signo positivo.
Por lo que podemos concluir en la Regla de los Signos, siguiente:
+  +
=+
+  =-  +
=-  =+
En la multiplicación algebraica pueden considerarse los tres casos siguientes:
a) Multiplicación de monomios.
b) Multiplicación de un polinomio por un monomio
c) Multiplicación de polinomios
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS.
Para multiplicar monomios, se multiplican sus coeficientes y a continuación se
escriben las letras diferentes de los factores ordenados alfabéticamente, elevadas a un
exponente igual a la suma de los exponentes que cada letra tenga en los factores. El
signo del producto será el que le corresponda al aplicar la regla de los signos.
EJEMPLO:
Multiplicar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:
Multiplicar
Solución:
EJEMPLO:
Multiplicar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:
Multiplicar
SOLUCIÓN:
El producto es negativo por que hay un número impar de factores negativos.
MULTIPLICACIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO
Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada uno de los términos
del polinomio por el monomio, teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman
todos los productos parciales así obtenidos.
EJEMPLO:
Multiplicar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:
Multiplicar:
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:
Multiplicar:
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:
Multiplicar:
SOLUCIÓN:
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
por
Para multiplicar un polinomio por otro se multiplican todos los términos del
multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la
regla de los signos, y a continuación se efectúa la suma algebraica de todos los
productos parciales así obtenidos.
EJEMPLO:
Multiplicar:
EJEMPLO:
Multiplicar:
SOLUCIÓN: Se multiplican los dos primeros términos
A continuación el resultado obtenido lo multiplicamos por el otro polinomio.
3.5. DEFINICIÓN DE PRODUCTO Y PRODUCTO NOTABLE
Un producto es el resultado de multiplicar dos o más números. Los números que se
multiplican se llaman factores o divisores del producto. Se llaman productos notables
(o productos especiales) a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado
puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.
3.5.1. Cuadrado de un binomio
El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primer número, más
el doble del producto del primer número multiplicado por el segundo, más el cuadrado
del segundo.
Consideremos que
. Tendremos que
. Por tanto
Es decir
EJEMPLO:
Desarrollar
SOLUCIÓN: Tendremos que el cuadrado del primer número:
El doble del producto del primer número por el segundo:
El cuadrado del segundo número:
Así pues
EJEMPLO:
Al desarrollar
SOLUCIÓN: Tendremos que el cuadrado del primer número:
El doble del producto del primer número por el segundo:
El cuadrado del segundo número:
Así pues
EJEMPLO:
Al desarrollar
SOLUCIÓN:
El cuadrado de la diferencia de dos números es igual al cuadrado del primer número
menos el doble del producto del primer número multiplicado por el segundo, más el
cuadrado del segundo número.
Consideremos que
Tendremos que
Por tanto
Es decir
EJEMPLO:
Desarrollar
SOLUCIÓN:
.
.
EJEMPLO:
Desarrollar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:
Desarrollar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:
Desarrollar
SOLUCIÓN:
3.5.2 Binomios conjugados
El producto de dos números por su diferencia es igual al cuadrado del primer número
menos el cuadrado del segundo número.
Consideremos el producto:
Es decir
EJEMPLO:
Multiplicar
SOLUCIÓN:
Cuadrado del primer número:
Cuadrado del segundo número:
Así pues,
EJEMPLO:
Multiplicar
SOLUCIÓN:
Cuadrado del primer número:
Cuadrado del segundo número:
Así pues,
EJEMPLO:
Multiplicar
SOLUCIÓN:
Cuadrado del primer número:
Cuadrado del segundo número:
Así pues,
EJEMPLO:
Multiplicar
SOLUCIÓN:
Cuadrado del primer número de la diferencia:
Cuadrado del segundo número de la diferencia:
Así pues,
3.5.3. Binomio con un término común
El producto de dos binomios del tipo
es igual al cuadrado del primer
término, más el producto de la suma de los dos segundos términos por el primer
término, más el producto de los segundos términos.
Se trata de demostrar que
.
Tendremos que:
Es decir
, tal como queríamos demostrar.
EJEMPLO:
Comprobar que
.
SOLUCIÓN: Tendremos
.
EJEMPLO:
Comprobar que
SOLUCIÓN: Tendremos
.
EJEMPLO:
Comprobar que
.
SOLUCIÓN: Tendremos
.
EJEMPLO:
Comprobar que
SOLUCIÓN: Tendremos
3.5.4. Cubo de un binomio
.
.
El cubo de la suma de dos números es igual al cubo del primer número, más el triple
del producto del cuadrado del primer número por el segundo, más el triple del producto
del primer número por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
Consideremos
por lo tanto
,
Es decir
EJEMPLO:
Desarrollar
SOLUCIÓN: Cubo del primer número:
Triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo:
Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo:
Cubo del segundo número:
Así pues
EJEMPLO:
Desarrollar
SOLUCIÓN: Cubo del primer número:
Triple
del
producto
del
cuadrado
segundo:
Triple
del
producto
del
primer
del
primer
número
por
número
el
por
cuadrado
el
del
segundo:
Cubo del segundo número:
Así pues
EJEMPLO:
Desarrollar
SOLUCIÓN:
El cubo de la diferencia de dos números es igual al cubo del primer número, menos el
triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo más el triple del
producto del primer número por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo
número.
Consideremos
por lo tanto
,
Es decir
EJEMPLO:
Desarrollar
SOLUCIÓN: Cubo del primer número:
Triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo:
Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo:
Cubo del segundo número:
Así pues
EJEMPLO:
Desarrollar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:
Desarrollar
SOLUCIÓN:
3.5.5. Teorema del binomio
El teorema del binomio es una fórmula (por esto se llama también fórmula del binomio)
con la cual se puede escribir directamente los términos del desarrollo de una potencia
entera y positiva de un binomio. Para formarnos una idea de la estructura del
desarrollo de
: Por multiplicación directa podemos obtener
De acuerdo con estos desarrollos nos podemos dar una idea acerca de la ley que
siguen en su formación:
1. Si el exponente del binomio es n, hay n+1 términos en el desarrollo.
2. Para cada valor de n, el desarrollo de
empieza con
y termina
con
. En cada término los exponentes de a y b suman n.
3. Las potencias de a disminuyen de 1 en 1 al pasar de cada término al siguiente.
La baparece por primera vez en el segundo término con exponente 1 que
aumenta de 1 en 1. El exponente de b siempre es una unidad menor que el
número de orden del término.
4. El primer coeficiente es la unidad, el de cualquier otro término se obtiene
multiplicando en el término anterior su coeficiente por el exponente de a y
dividiendo ese producto entre el número de términos anteriores al que se trata
de formar.
Cierta simetría constituye una característica del desarrollo del binomio. Esta simetría
se puede apreciar al disponer los coeficientes en el siguiente orden que se conoce
como Triángulo de Pascal, para valores enteros no negativos de n en el desarrollo
de
.
A estos números se les llama coeficientes binomiales o binómicos, dado que cada
renglón se observa que el primer y último elemento es 1 porque los coeficientes del
primer y último término son iguales a 1.
Cada elemento se puede obtener como la suma de los dos que se encuentra a su
izquierda y derecha en el renglón superior. Así, para n=6, el segundo coeficiente 6 es
la suma de los elementos 1 y 5 que se encuentran a su izquierda y derecha en el
renglón superior; el tercer coeficiente 15 se obtiene de manera similar como la suma
de los elementos 5 y 10 del renglón superior, y así sucesivamente.
EJEMPLO:
Desarrollar por el teorema del binomio:
SOLUCIÓN:
Como en este caso n=4, utilizaremos los coeficientes binomiales con las potencias
correspondientes para cada término del desarrollo. Es decir,
efectuando las potencias, se tiene:
efectuando los productos:
EJEMPLO:
Desarrollar por el teorema del binomio:
SOLUCIÓN: Procediendo de manera semejante a la anterior, se tiene:
efectuando las potencias:
efectuando los productos:
3.5.6. Binomio por un trinomio cuyo producto es igual a una suma
o diferencia de cubos.
La suma algebraica de dos términos, por un trinomio que consta del cuadrado del
primer término menos el producto de los dos, más el cuadrado del segundo término,
es igual a la suma de los cubos de los dos términos algebraicos.
Se trata de demostrar que
Tendremos:
Es decir
EJEMPLO:
Comprobar que
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:
.
, tal como queríamos demostrar.
Comprobar que
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:
Comprobar que
SOLUCIÓN:
La diferencia de dos términos, por un trinomio que consta del cuadrado del primer
término más el producto de los dos, más el cuadrado del segundo término, es igual a
la diferencia de los cubos de los dos términos algebraicos.
Se trata de demostrar que
.
Tendremos:
Es decir
, tal como queríamos demostrar.
EJEMPLO:
Comprobar que
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:
Comprobar que
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:
Comprobar que
SOLUCIÓN:
3.5.7. Cuadrado de un trinomio
El cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los
términos, más el doble producto de cada término por los que le siguen tomados de dos
en dos.
EJEMPLO:
Efectuar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:
Efectuar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:
Efectuar
SOLUCIÓN:
3.6. LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS PARA LA DIVISIÓN
Lo siguiente indica una regla para simplificar expresiones de la forma
Se puede apreciar que podemos restar los exponentes para encontrar el exponente
del cociente. Por lo que para cualquier número real a excepto el 0 (cero), y para
cualquier par de números completos m y n
EJEMPLO:
Al simplificar las siguientes expresiones tenemos:
Por si el exponente mayor está en el denominador, es decir si n es mayor
que m entonces:
EJEMPLO:
o bien
EJEMPLO:
o bien
Tenemos que para todo número real a excepto el 0, y para todo número completo m
EJEMPLO:
Como en el caso:
Ya que el exponente solo afecta a b
Sabemos que cualquier número diferente de cero dividido entre sí mismo es igual a 1.
Por
ejemplo
.
Si
utilizamos
la
regla
anterior,
encontramos
que
Podemos establecer la siguiente definición: a0=1, para cualquier número real excepto
el cero.
p0=1
30=1
3.7. DIVISIÓN DE POLINOMIOS
La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un
producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el
producto de ambos factores llamado dividendo.
De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del
divisor por el cociente. Así por ejemplo, si dividimos
que
, se cumplirá
Si el residuo no fuera igual a cero, entonces:
Para efectuar una división algebraica hay que tener en cuenta los signos, los
exponentes y los coeficientes de las cantidades que se dividen.
(+)÷(+)=+
(–)÷(–)=+
(+)÷(–)=–
(–)÷(+)=–
DIVISIÓN DE UN MONOMIO POR OTRO
Para dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividiendo entre el coeficiente
del divisor y a continuación se escriben las letras ordenadas alfabéticamente, elevando
cada letra a un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el
dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo del cociente será el que
corresponda al aplicar la regla de los signos.
EJEMPLO:
Dividir
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:
Dividir
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:
Dividir
SOLUCIÓN:
En ocasiones el cociente de dos monomios es fraccionario y, por consiguiente, la
división propiamente dicha no puede efectuarse en los siguientes casos:
a) Cuando una letra está elevada a un exponente menor al que se halla elevada
dicha letra en el divisor.
b) Cuando el divisor contiene alguna letra que no se halla en el dividendo.
EJEMPLO:
Dividir
DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO
Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada uno de los términos del
polinomio por el monomio teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman los
cocientes parciales así obtenidos.
EJEMPLO:
Dividir
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:
Dividir
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:
Dividir
SOLUCIÓN:
DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN POLINOMIO.
Para dividir dos polinomios se procede de la manera siguiente:
1) Se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra.
2) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor,
obteniéndose así el primer término del cociente
3) Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto así
obtenido se resta del dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se escribe
cada término de su semejante. En el caso de que algún término de este
producto no tenga ningún término semejante en el dividendo, es escribe dicho
término en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del
dividendo y del divisor.
4) Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor,
obteniéndose de este modo el segundo término del cociente.
5) El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto
así obtenido se resta del dividendo, cambiándole todos los signos.
6) Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del
divisor y se repiten las operaciones anteriores hasta obtener cero como resto.
EJEMPLO:
Dividir:
Para resolver la operación anterior se procedió del modo siguiente:
En primer lugar se han ordenado dividendo y divisor en orden ascendente con
respecto a la letra y y en orden descendente con respecto a la letra x.
A continuación se ha dividido el primer término del dividendo,
término del divisor,
, obteniéndose
, entre el primer
, por cada uno de los términos del divisor,
obteniéndose como resultado
, que se escribe debajo de los
términos semejantes del dividendo cambiando los signos de todos los términos
semejantes, obteniéndose como primer resto
Después se ha dividido
entre
.
obteniéndose como cociente
es el segundo término del cociente. Multiplicando
, que
por todos los términos del
divisor que se obtiene como resultado
, que se escribe debajo
de los términos semejantes del primer resto cambiando los signos de todos sus
términos para efectuar la resta.
A continuación se ha procedido a efectuar la reducción de términos semejantes,
obteniéndose como segundo resto
Finalmente se ha dividido
Multiplicando
por
todos
entre
los
términos
, obteniéndose como cociente
del
divisor
se
obtiene
.
como
producto
, que se escribe debajo de los términos semejantes del
segundo resto cambiando los signos de todos lo términos para efectuar la resta. A
continuación se ha procedido a efectuar la reducción de términos semejantes,
obteniéndose como tercer resto 0, con lo cual queda acabada la división.
EJEMPLO:
Dividir:
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:
Dividir:
SOLUCIÓN:
EJEMPLO:
Dividir:
SOLUCIÓN:
Se dice que una división de un polinomio por otro es inexacta cuando:
a) Si después de ordenar los dos polinomios, el primer término del dividendo no
es divisible entre el primer término del divisor.
b) Si el último término del dividendo no es divisible entre el último término del
divisor.
c) Si en el primer término de algún dividendo parcial la letra ordenatriz tiene
menor exponente que en el primer término del divisor.
3.8. DIVISIÓN SINTÉTICA
La división sintética es un procedimiento práctico para hallar el cociente y el residuo de
la división de un polinomio entero en x por x-a.
Dividamos
entre
Podemos apreciar que el cociente
es un polinomio en x de un grado
menor que el del dividendo; que el coeficiente del primer término del cociente es igual
al coeficiente del primer término del dividendo y que el residuo es 5.
Sin efectuar la división, el cociente y el residuo pueden hallarse por la siguiente regla
práctica:
1) El cociente de un polinomio en x cuyo grado es 1 menos que el grado del
dividendo.
2) El coeficiente del primer término del cociente es igual al coeficiente del primer
término del dividendo.
3) El coeficiente de un término cualquiera del cociente se obtiene multiplicando el
coeficiente del término anterior por el segundo término del binomio divisor,
cambiando el signo y sumando este producto con el coeficiente del término que
ocupa el mismo lugar en el dividendo.
4) El residuo se obtiene multiplicando el coeficiente del último término del divisor,
cambiando de signo y sumando este producto con el término independiente del
dividendo.
EJEMPLO:
Dividamos
entre
SOLUCIÓN:
Dividendo
Divisor
1
-2
Resultado
-3
+5
residuo: 5
EJEMPLO:
Efectuar por división sintética
SOLUCIÓN:
Dividendo
Resultado
Divisor
residuo: 68
EJEMPLO:
Efectuar por división sintética
SOLUCIÓN:
Dividendo
Resultado
residuo: 25
Divisor
EJEMPLO:
Efectuar por división sintética
entre
SOLUCIÓN:
Como este polinomio es incompleto, pues le faltan los términos
y
, al escribir
los coeficientes ponemos 0 en los lugares que debían ocupar los coeficientes de estos
términos.
Dividendo
Divisor
Como el dividendo es de 5° grado, el cociente es de 4° grado los coeficientes del
cociente son 1, 4, 0, 0 y -202, el cociente es
y el residuo es -727
3.9. FACTORIZACIÓN
Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es
igual a la expresión propuesta.
La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación,
pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras
que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado.
Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que
multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.
Factorización
Multiplicación
Al factorizar una expresión, escribimos la expresión como un producto de sus factores.
Supongamos que tenemos dos números 3 y 5 y se pide que los multipliquemos,
escribiremos
. En el proceso inverso, tenemos el producto 15 y se nos pide
que lo factoricemos; entonces tendremos
Al factorizar el número 20, tendremos
o
.
Advierte que
y
no están factorizados por completo. Contienen
factores que no son números primos. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11,
etc. Puesto que ninguna de esas factorizaciones está completa, notamos que en la
primera factorización
, de modo que
mientras que la
segunda factorización
, de modo que
factorización completa para 20 es
, en cualquier caso la
.
De ahora en adelante cuando digamos factorizar un número, queremos decir
factorizarlo por completo. Además se supone que los factores numéricos son números
primos. De esta manera no factorizamos 20 como
.
Con estos preliminares fuera del camino, ahora podemos factorizar algunas
expresiones algebraicas.
3.9.1. Factor común.
Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si
podemos descubrir un patrón.
Usan la propiedad distributiva. Cuando multiplicamos, tenemos que:
. Cuando factorizamos
.
Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este caso a) que sea común a
todos los términos. El primer paso para tener una expresión completamente
factorizada es seleccionar el máximo factor común,
. Aquí tenemos como hacerlo:
Máximo factor común (MFC).- El término
, es el MFC de un polinomio sí:
1. a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y
2. n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio.
De
este
modo
para
factorizar
,
podríamos
escribir
Pero no está factorizado por completo por que
puede factorizarse aún más.
Aquí el mayor entero que divide a 16 y 8 es 6, y el mínimo exponente de x en todos los
términos es
Donde
. De esta manera la factorización completa es
es el MFC.
EJEMPLO:
Factorizar
EJEMPLO:
.
Factorizar
EJEMPLO:
Factorizar
EJEMPLO:
Factorizar
EJEMPLO:
Factorizar
EJEMPLO:
Factorizar
EJEMPLO:
Factorizar
3.9.2. Diferencia de cuadrados.
Aquí tenemos un producto notable
podemos utilizar esta
relación para factorizar una diferencia de cuadrados.
EJEMPLO:
Factorizar
EJEMPLO:
Factorizar
EJEMPLO:
Factorizar
3.9.3. Trinomios con término de segundo grado.
Del estudio de los productos notables sabemos que el cuadrado de un binomio es un
trinomio; tales trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos.
Los trinomios
cuadrados de un binomio.
,
son
trinomios
cuadrados
porque
son
Los siguientes puntos ayudan a identificar un trinomio cuadrado.
A. Dos de los términos deben de ser cuadrados
y
B. No debe haber signo de menos en
o en
C. Si multiplicamos A y B y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer término
2AB o su inverso aditivo -2AB.
¿Es
un trinomio cuadrado? La respuesta es no porqué solo hay un
término al cuadrado (x2) y (11) no es cuadrado de algún número.
Para factorizar trinomios cuadrados podemos utilizar las siguientes relaciones:
Hay que recordar que se deben de sacar primero los factores comunes, si es posible.
3.9.4. Suma y diferencia de cubos.
Es fácil verificar, mediante la multiplicación del segundo miembro de cada ecuación,
las siguientes fórmulas de factorización para la suma y la diferencia de dos cubos.
EJEMPLO:
Factorizar
, observemos primero que se puede escribir en otra forma:
Así, advertimos que se trata de la diferencia de dos cubos. Si aplicamos la fórmula de
factorización y usamos los siguientes valores A=y, y B=3, obtenemos:
EJEMPLO:
Factorizar
EJEMPLO:
Factorizar
3.9.5. Por Agrupación.
Podemos utilizar la propiedad distributiva para factorizar algunos polinomios con
cuatro términos. Consideremos
Sin embargo podemos factorizar a
. No hay ningún factor diferente de 1.
y
por separado:
Por lo tanto
. Podemos utilizar la propiedad
distributiva una vez más y sacamos el factor común: x+1
Este método se llama factorización por grupos (o por agrupación). No todas las
expresiones con cuatro términos se pueden factorizar con este método.
EJEMPLO:
EJEMPLO:
Factorizar
EJEMPLO:
Factorizar
EJEMPLO:
Factorizar
El concepto de número entero es uno de los más antiguos en matemáticas. El concepto de los
números racionales (llamados así debido a que son razones de los números enteros) se
desarrollo mucho después debido a que las tribus iletradas no tenían necesidad de un concepto
de esta clase. Los números irracionales evolucionaron durante un largo período, debido a la
necesidad de ciertos tipos de medición. Por ejemplo: tomamos una varilla y cortamos dos
pedazos iguales. ¿Cuál es la longitud de cada pedazo? Un medio, por supuesto. Si cortamos la
misma varilla en cuatro pedazos iguales, entonces cada pedazo tiene un longitud de ¼. Dos
estos pedazos tendrán longitud
, lo que nos dice que deberíamos tener
Ideas como éstas condujeron al desarrollo de la aritmética de los números racionales. Durante la
Edad de Bronce, las inscripciones de jeroglíficos egipcios muestran los recíprocos de enteros
mediante un signo oval alongado.
4.1 DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN
Se llama fracción o quebrado al cociente indicado de dos expresiones algebraicas cualesquiera.
El dividendo se llama numerador y el divisor se llama denominador y ambos se conocen como
términos del quebrado. Así, a/bes una fracción algebraica porque es el cociente indicado de la
expresión a (dividendo) entre expresión b(divisor).
Fracción algebraica simple
Es la que el numerador y denominador son expresiones racionales enteras. Son ejemplos de
fracciones simples:
.
Fracción propia e impropia
Una fracción simple se llama propia si el grado del numerador es menor que el grado del
denominador; y se llama impropia si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del
denominador.
Por
ejemplo,
son
fracciones
propias,
mientras
que
son fracciones impropias. Una fracción impropia puede escribirse
como la suma de un polinomio y una fracción propia.
Fracción compuesta
Una fracción compuesta es aquella que contiene una o más fracciones ya sea en su numerador o
en su denominador, o en ambos. Son ejemplos de fracciones compuestas:
Significados de una fracción
Significado 1.- Una fracción indica una división. Por ejemplo, ¾ quiere decir 3 divido por 4 o
bien 34. Cuando una fracción significa división, el numerador es el dividendo y el
denominador es el divisor.
Significado 2.- Una fracción indica una razón. Por ejemplo, ¾ quiere decir 3 a 4 o bien 3:4.
Cuando una fracción significa razón de dos cantidades, éstas deben estar expresadas en las
mismas unidades. Por ejemplo la razón de 3 días a 2 semanas es 3:14 o bien 3/14. Se ha hecho
la equivalencia de 2 semanas a 14 días eliminándose luego la unidad común.
Significado 3.- Una fracción indica una parte de todo o una parte de un grupo de cosas. Por
ejemplo, ¾ puede expresarse tres cuartos de una moneda o bien 3 monedas de 4 monedas.
Numerador o Denominador Nulo
Si el denominador de una fracción es cero, el valor de dicha fracción es nulo siempre que el
denominador sea distinto de cero. Por ejemplo 0/3 = 0. Asimismo, si x/3=0 se deduce que x=0.
La fracción
para x = 5 vale cero. Sin embargo 0/0 es indeterminado.
Como la división por cero carece de sentido, una fracción cuyo denominador sea cero es
imposible. Por ejemplo 30 es imposible. O bien 3/0 carece de sentido. Asimismo, si x = 0 la
fracción 5x es imposible o bien 5/xcarece de sentido.
4.2 PROPIEDADES
Fracciones equivalentes
Dos fracciones algebraicas son equivalentes, si tienen el mismo valor cuando se asignan valores
específicos a sus números literales. l valor de una fracción no varía si el numerador y el
denominador se multiplican (o dividen) por una misma cantidad no nula.
Ya que la división entre un número es equivalente a la multiplicación por su recíproco, tenemos
que:
Entonces las fracciones equivalentes son aquellas que tienen el mismo valor, pero distintos
numerador
y
denominador.
Por
ejemplo
son
fracciones
equivalentes
porque
Para obtener fracciones equivalentes se aplican las siguientes propiedades:
Propiedad 1: Se multiplican numerador y denominador de una fracción por un mismo número
distinto de cero, la fracción no varía.
Tanto 3 como 4 se han multiplicado por 10
Tanto 5 como 7 se han multiplicado por x
Propiedad 2: Se dividen numerador y denominador de una fracción por un mismo número,
distinto de cero, la fracción no varía.
Tanto 400 como 500 se han divido entre 100
Tanto 7a2 como 9a2 se han divido entre a2
Fracciones equivalentes multiplicando numerador y denominador por los valores dados:
2
5
x
4x
x-3
x2
x2+x-3
Fracciones equivalentes a las dadas dividiendo numerador y denominador:
2
5
x
4x
x2
20x2
El reciproco de un número
El reciproco de un número de un número es igual a la unidad dividido por dicho número. Por
ejemplo, el inverso de 5 es 1/5. Asimismo, el reciproco de 2/3 es 3/2, porque 3/2=12/3
Propiedad 1. Las fracciones a/b y b/a son reciprocas; esto es, el reciproco de una fracción se
obtiene permutando numerador y denominador.
Propiedad 2. El producto de dos recíprocos es la unidad. Por ejemplo
,
Propiedad 3. Para dividir por un número o una fracción se multiplica por el reciproco. Por
ejemplo
,
Propiedad 4. Para resolver una ecuación con un coeficiente fraccionario se multiplican los dos
miembros por la fracción reciproca. Por ejemplo para resolver la
ecuación
decir
,
se
multiplican
ambos
miembros
por
.
Es
de donde x = 15
Forma estándar de una fracción
se escribe como
se escribe como
se escribe como
se escribe como
se escribe como
se escribe como
Las formas
y
se llaman formas estándar de una fracción y sirven para escribir respuestas
que incluyen fracciones.
4.3 SIMPLIFICACIÓN
Se dice que una fracción está reducida a sus términos más sencillos o totalmente simplificados,
cuando no existe ningún factor común al numerador y denominador. Evidentemente una
fracción dada puede reducirse a sus términos más sencillos dividiendo el numerador y el
denominador entre los factores que tengan en común. Este proceso se llama también
cancelación de factores comunes:
Ejemplo
Simplificar la fracción
SOLUCIÓN: Primeramente factorizaremos el numerador y el denominador y luego cancelaremos
los factores comunes a ellos:
Para reducir una fracción algebraica a expresión algebraica mixta o entera, se divide el
numerador entre el denominador. Si la división es exacta la fracción equivalente es una
expresión algebraica entera. Si la división no es exacta, se prosigue la división hasta que el
primer término del resto sea de menor grado que el primer termino del divisor y al cociente así
obtenido se le añada una fracción cuyo numerador es el resto cuyo denominador es el divisor.
Ejemplo
Reducir a expresión algebraica entera la fracción algebraica
SOLUCIÓN: Dividamos el numerador entre el denominador. Tendremos
xy
3
-18x y
12x2y2
6xy3
-6xy3
Así pues
=
Ejemplo
Reducir a expresión algebraica mixta la fracción algebraica
SOLUCIÓN: Dividamos el numerador entre el denominador. Tendremos
2x
-2x
4
3x3-4x-3
2
-8x - 6x +1
8x2
6x +1
-6x +1
1
Como la división no es exacta tendremos
Ejemplo
Reducir a expresión algebraica mixta la fracción
SOLUCIÓN: Dividamos el numerador entre el denominador. Tendremos
-3
Como la división es inexacta. Tendremos
=
Ejemplo
Reducir a su mínima expresión
SOLUCIÓN: El m.c.d. de los dos términos del quebrado es
Ejemplo
Reducir a su más simple expresión
SOLUCIÓN:
Ejemplo
Reducir a su mínima expresión
SOLUCIÓN:
Ejemplo
Reducir a su mínima expresión
, entonces:
SOLUCIÓN:
Para reducir una expresión algebraica mixta a fracción algebraica, se multiplica la parte entera
por el denominador y el producto resultante se le suma algebraicamente el numerador. El
resultado así obtenido es el numerador de la fracción algebraica. El denominador de la fracción
algebraica es el mismo que el de la expresión algebraica mixta.
Ejemplo
Reducir
a fracción algebraica
SOLUCIÓN: Tendremos:
Que es el numerador de la fracción algebraica.
Así pues,
Ejemplo
Reducir
a fracción algebraica
SOLUCIÓN: Tendremos:
Que es el numerador de la fracción algebraica. Así pues,
Ejemplo
Reducir
a fracción algebraica
SOLUCIÓN: Tendremos:
Que es el numerador de la fracción algebraica. Así pues,
Fracciones Irreducibles
Un fracción es irreducible cuando su numerador y denominador no tienen más factores
(divisores), comunes que la unidad.
Por ejemplo
no es irreducible porque x es un factor común al numerador y denominador (es
un divisor de ambos). Eliminando x por división resulta 3/7, que sí es irreducible.
Para hallar la fracción irreducible de una dada.
1.- Descomponer en factores sus términos (numerador y denominador).
2.- Dividir ambos términos por cada factor común.
Ejemplo
Reducir:
Soluciones
Propiedad 1: Si dos expresiones son exactamente iguales su cociente es 1
,
Propiedad 2: El cociente de dos binomios opuestos es -1.
,
,
Reducción de fracciones cuyos términos tienen factores monomios
comunes
Ejemplo
Reducción de fracciones cuyos términos tienen factores binómicos
comunes
Ejemplo
Reducción de fracciones cuyos términos tienen factores binómicos
opuestos
Ejemplo
a)
b)
c)
d)
Fracciones que tienen al menos un término trinómico
Ejemplo
a)
b)
c)
Fracciones algebraicas con mínimo común denominador
Reducir fracciones algebraicas al mínimo común denominador consiste en convertirlas en
fracciones equivalentes que tengan el menor denominador posible.
Para reducir fracciones algebraicas al mínimo común denominador se procede del modo
siguiente:
a) Se simplifica al máximo las fracciones dadas.
b) Se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores, que será el mínimo común
denominador de las fracciones equivalentes.
c) Para hallar los numeradores de las fracciones equivalentes se divide al mínimo común
denominador anteriormente obtenido entre cada uno de los denominadores y los
cocientes resultantes se multiplican por cada uno de los numeradores respectivos.
Ejemplo
Para reducir al mínimo común denominador las fracciones algebraicas:
SOLUCIÓN: Como las fracciones algebraicas dadas ya están simplificadas al máximo,
hallaremos el mínimo común múltiplo de los denominadores. Para ello descomponemos
factorialmente los coeficientes
32
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
48
24
12
6
3
1
2
2
2
2
3
40
20
10
5
1
Es decir 32
48
40
=25
=243
=235
m.c.m.= 2535
=480
2
2
2
5
Así pues el mínimo común denominador será: 480x4
A continuación dividiremos el mínimo común denominador entre cada uno de los
denominadores. Tendremos:
480x4  32x3 = 15x
480x4  48x2 = 10x2
480x4  40x4 = 12
Multipliquemos ahora los cocientes anteriores por los numeradores respectivos:
15x  3 = 45x
10x2  5 = 20x2
12  7 = 84
Por consiguiente:
=
Ejemplo
Reducir al mínimo común denominador las fracciones algebraicas:
SOLUCIÓN: Como las fracciones algebraicas dadas ya están simplificadas al máximo,
hallaremos el mínimo común múltiplo de los denominadores. Para ello, en primer lugar
descomponemos factorialmente los coeficientes.
54
27
9
3
1
2
3
3
3
64
32
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
2
81
27
9
3
1
3
3
3
3
Es decir 54
64
81
m.c.m.= 2634
=233
=26
=34
=5184
Así pues, el mínimo común denominador (m.c.d.) será: 5184(x2-y2)
Enseguida dividir el m.c.d. entre cada uno de los denominadores:
5184(x2-y2):54(x+y)=96(x-y)
5184(x2-y2) : 64(x2-y2) = 81
5184(x2-y2):81(x-y)=64(x+y)
Multipliquemos ahora los cocientes anteriores por los numeradores respectivos
96(x-y)  5 = 480(x-y)
81  3 = 243
64 (x+y)  4 = 256 (x+y)
Por consiguiente:
=
Ejemplo
Reducir al mínimo común denominador las fracciones algebraicas:
SOLUCIÓN: Como las fracciones algebraicas dadas ya están simplificadas al máximo,
hallaremos el mínimo común múltiplo de los denominadores. Para ello, en primer lugar
descomponemos factorialmente los coeficientes.
=245
80
2
72
2
64
2
Es decir 80
40
2
36
2
32
2
72
=2332
20
2
18
2
16
2
64
=26
10
2
9
3
8
2
5
5
3
3
4
2
2
2
1
1
m.c.m.= 26325
=2880
1
Así pues, el mínimo común denominador será: 2880(x2y2z3)
Se divide el m.c.d. entre cada uno de los denominadores:
2880(x2y2z3): 80xy2 = 36xz3
2880(x2y2z3) : 72y2z3 = 40x2
2880(x2y2z3): 64x2z2 = 45y2z
Multipliquemos ahora los cocientes anteriores por los numeradores respectivos
36xz3 3z = 108xz4
Por consiguiente:
40x2  5x = 200x3
=
Ejemplo
Reduce a su mínimo común denominador las siguientes fracciones:
SOLUCIÓN: El m.c.m. de
Ahora :
Por lo tanto las fracciones quedan así:
Ejemplo
45y2z 3y = 135y3z
Reduce a su menor común denominador las siguientes fracciones:
SOLUCIÓN: Factorizas primero ambos denominadores
m.c.m. de
Ahora
Quedando las fracciones de la manera siguiente:
Ejemplo
Reduce a su menor común denominador las siguientes fracciones:
SOLUCIÓN: Factorizando los denominadores
m.c.m. de los denominadores:
Con lo cual los quebrado quedan de la manera siguiente:
4.4 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
Procedimiento para multiplicar fracciones cuyo producto es irreducible
a) Multiplicar los numeradores, obteniéndose el numerador del producto.
b) Multiplicar los denominadores, obteniéndose el denominador del producto.
Ejemplo
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Procedimiento para multiplicar fracciones cuyo producto se puede simplificar
1) Descomponer en factores los polinomios que figuran en los numeradores y
denominadores.
2) Dividir por los factores comunes del numerador y denominador.
3) Multiplicar los factores restantes.
Ejemplo
a)
b)
c)
d)
e)
Ejemplo
Calcula el producto de
SOLUCIÓN: Multiplicamos entre sí los numeradores y los denominadores. A continuación
simplificamos la fracción que resulte.
Ejemplo
Calcula el producto de
SOLUCIÓN:
Ejemplo
Multiplica
SOLUCIÓN:
4.5 DIVISIÓN DE FRACCIONES
Para dividir una fracción se multiplica por la fracción recíproca
Ejemplo
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
g)
h)
Ejemplo
Dividir
entre
SOLUCIÓN: Como se ha indicado, invertimos el divisor y luego procedemos como en la
multiplicación.
4.7 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
Adición o sustracción de expresiones racionales con denominadores
comunes.
Procedimiento
1) Poner el denominador común y sumar algebraicamente los numeradores.
2) Reducir la fracción que resulte.
Al sumar algebraicamente los numeradores encerrar cada polinomio numerador en un paréntesis
precedido del signo que corresponde a su fracción.
Ejemplo
a)
b)
c)
Adición o sustracción de expresiones racionales con denominadores
distintos.
Para sumar o restar fracciones con denominadores diferentes, primero las convertimos a
fracciones que tengan el mismo denominador. Cuando los denominadores son opuesto
multiplicamos una de ellas por 1, escrito en la forma
Ejemplo
Sumar
SOLUCIÓN:
, para obtener un común denominador.
Cuando los denominadores de dos o más fracciones son distintos, en ocasiones es necesario
multiplicar una o más fracciones por 1, escrito en la forma adecuada, para obtener un común
denominador.
Ejemplo
Sumar
SOLUCIÓN:
Ejemplo
Sumar
SOLUCIÓN:
Ejemplo
Sumar
SOLUCIÓN:
Ejemplo
Efectúa la siguiente operación:
SOLUCIÓN: El m.c.m. de los denominadores:
entonces:
Ejemplo
Efectúa la siguiente operación:
SOLUCIÓN: Los enteros los convertimos en quebrados poniéndoles a la unidad como
denominador:
m.c.m. de los denominadores:
Ejemplo
Efectúa la siguiente operación:
SOLUCIÓN: Primero factorizaremos los denominadores:
el m.c.m. de los denominadores es:
. Ahora:
luego:
Ejemplo
Sumar
SOLUCIÓN: Factorizamos el denominador y determinados el común denominador:
El mínimo común denominador
A continuación escribimos cada fracción con su denominador en forma factorizada, y
convertimos las fracciones en unas que tengan el denominador común
sumamos las fracciones.
Ejemplo
Restar
SOLUCIÓN: Factorizamos cada denominador para encontrar el MCD=
Ejemplo
Hacer las operaciones indicadas
SOLUCIÓN: Factorizamos cada denominador para encontrar el MCD=
. Por último,
En este caso se puede simplificar el resultado final
4.8 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES COMPLEJAS
Se le llama fracción compleja o compuesta, a cualquier forma fraccionaria que tenga fracciones
en el numerador o el denominador. Con frecuencia es necesario representar una fracción
compleja en la forma de fracción simple
Se entiende por simplificación de una fracción compleja su transformación a una fracción
simple, reducida en términos a sus términos más sencillos, que sea equivalente a ella. Pueden
usarse dos métodos.
Uno: Consiste en transformar el numerador y denominador en fracciones simples (si es
necesario) y luego proceder como en la división de fracciones.
Otro: Que generalmente es más sencillo, consiste en obtener una fracción simple multiplicando
el numerador y el denominador originales por el menor denominador común de todas las
fracciones.
Ejemplo
Simplificar
SOLUCIÓN: Utilizaremos el primer método, o sea la división de una fracción simple entre otra:
Ejemplo
Simplificar la misma fracción compleja
SOLUCIÓN: Utilizaremos ahora el segundo método. Multiplicaremos el numerador y
denominador por el denominador común de todas las fracciones:
Factorizamos los denominadores de la fracción
m.c.d. (denominadores): (x+1)(x-1)(x+3)
Ejemplo
Simplificar
SOLUCIÓN: Ahora aplicaremos el segundo método.
Como 2x2 - 3x - 2 = (2x + 1)(x - 2), resulta que el menor denominador común de las fracciones
del numerador y el denominador es (2x + 1)(x - 2), tenemos
Ejemplo
Simplificar
SOLUCIÓN: Multiplicamos por x2 el numerador y el denominador, por ser el m.c.m. de las
fracciones incluidas
Ejemplo
Simplificar
SOLUCIÓN: Multiplicamos por el m.c.m. de los denominadores =
Ejemplo
Simplificar
SOLUCIÓN: Multiplicamos por el m.c.m. de los denominadores = x2
Ejemplo
Simplificar
SOLUCIÓN: Multiplicamos por el m.c.m. de los denominadores = x-1
Ejemplo
Simplificar
SOLUCIÓN: Multiplicamos por el m.c.m. de los denominadores = x-4
Ejemplo
Simplificar
SOLUCIÓN: Dividimos una fracción simple entre otra
Ejemplo
Simplificar la fracción
SOLUCIÓN: Obtenemos una fracción simple multiplicando el numerador y el denominador
originales
por
el menor
denominador
común de
todas
las
fracciones.
Como
, resulta que el menor denominador común de las fracciones
del numerador y denominador es
denominador por
. Por tanto, multiplicando el numerador y
, tenemos:
Antecedentes
Vestigios arqueológicos encontrados en Mesopotamia han permitido comprobar que los
babilonios utilizaban la potenciación para efectuar multiplicaciones basándose en la propiedad
de que el producto de dos números es igual al cuadrado de la semisuma menos el cuadrado de
su semidiferencia. El matemático griego Diofanto utilizó la yuxtaposición para representar las
potencias. De este modo x, xx, xxx… representaban la primera, segunda y tercera potencias
de x respectivamente. La notación actual con exponentes fue introducida por René Descartes
(1596-1650).
A principios del Siglo X y hasta el siglo XIV, los matemáticos chinos se interesaron en el
álgebra aritmética. Un matemático chino descubrió la relación entre el cálculo de raíces y el
arreglo de coeficientes binomiales del triángulo de Pascal. Este descubrimiento y la
multiplicación repetitiva (con iteraciones) se emplearon para extender la extracción de raíces y
para resolver ecuaciones de grado mayor al cúbico.
El signo de la raíz cuadrada
puede rastrearse en el tiempo hasta Christoff Rudolf (15001545), quien lo escribió como  con dos trazos. Rudolf pensó que  recordaba el aspecto de
la r minúscula, la inicial de la palabra radix, que significa raíz. Así la notación es
“la raíz cuadrada de x”
y se lee
5.1 Propiedades de los exponentes fraccionarios
Los exponentes fraccionarios provienen de extraer una raíz a una potencia cuando el exponente
del término radicando se divide por el índice de la raíz; si el cociente no es una cantidad entera,
la división queda indicada, dando lugar al exponente fraccionario, es decir:
5.2 Operaciones con exponentes fraccionarios
La ley de los exponentes en la multiplicación, que nos dice que para multiplicar potencias de la
misma base se suman los exponentes es general y se aplica igualmente cuando las cantidades
que se multiplican tienen exponentes negativos o fraccionarios.
a-4  a = a-3
a-1  a-2 = a-3
a3  a-5 = a-2
a3  a-3 = a0 = 1
Recordando las propiedades de los exponentes:
así
mismo
Ejemplo:
Multiplicar
por
Los polinomios están ordenados en orden ascendente con relación a x porque el exponente
de x en el segundo termino -½ es mayor que el exponente de x en el primer termino -1 y el tercer
termino y-1 equivale a x0y-1 y 0 es mayor que el -½.
Tendremos
Ejemplo:
Multiplicar
por
El 1 último se obtiene porque el producto
La ley de los exponentes en la división que nos dice que para dividir potencias de la misma base
se resta el exponente del dividendo, se aplica igualmente cuando los exponentes de las
cantidades que se dividen son negativos o fraccionarios.
Ejemplo:
Dividir
entre
Dividendo y divisor están ordenados en orden ascendente a la a. Tendremos:
Al dividir 2b-4 entre a2b-2 como en el dividendo no hay a y en el divisor hay a2 debe de tenerse
presente que 2b-4 equivale a 2a0b-4 y dividiendo esta cantidad entre a2b-2 tenemos
2a0b-4  a2b-2 = 2a0-2b-4+2 = 2a2b-2
que es el resultado del cociente.
Ejemplo:
Dividir:
Al efectuar la división entre de 12 entre
podemos considerar que 12 tiene x0 y tendremos
O sea que si en el divisor hay una letra que no la hay en el dividendo, esa letra aparece en el
cociente con el signo cambiado.
5.3 Definición de raíz
La
se llama signo radical. El número o expresión dentro del radical se llama radicando.
Toda la expresión, incluyendo el signo radical y el radicando recibe el nombre de expresión
radical. Otra parte de una expresión radical es su índice. El índice indica la “raíz” de la
expresión. Las raíces cuadradas tienen un índice de 2. El índice de las raíces cuadradas por lo
general no se escribe.
Significa
ejemplo
.Otros tipos de expresiones radicales tienen índices diferentes. Por
es la raíz tercera o cúbica de x. El índice de las raíces cúbicas es 3.
se lee “la raíz cuadrada de 8” y su radicando es 8
se lee “la raíz cuadrada de 5x” y su radicando es 5x
se lee “la raíz cuadrada de x entre 2y” y el radicando es
Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas, una raíz cuadrada positiva y una raíz cuadrada
negativa.
La raíz cuadrada positiva o principal de un número real positivo x, que se describe como
es el número positivo cuyo cuadrado es igual a x.
,
Algo que debes de comprender bien es que las raíces cuadradas de los números negativos no
son número reales. Consideremos
¿A que es igual
? Para evaluar esto,
,
debemos encontrar un número cuyo cuadrado sea igual a –4. Pero sabemos que el cuadrado de
cualquier número distinto de cero debe de ser un número positivo. Por lo tanto ningún número
elevado al cuadrado da –4 y
no tiene valor real. Los números como
cuadrada de cualquier número negativo, se llaman números imaginarios.
o la raíz
Para ayudarnos en el análisis de los números racionales e irracionales, definiremos los números
cuadrados perfectos. Los números 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,... se llaman números cuadrados
perfectos porque cada uno de ellos es el cuadrado de un número natural. Cuando un número
cuadrado perfecto es un factor de un radicando, nos referimos a él como un factor cuadrado
perfecto.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... número naturales
12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, ... cuadrados de los número naturales
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... números cuadrados perfectos
Un número racional es aquel que se puede escribir de la forma , donde a y b son enteros
diferentes de cero (b0). Todos los enteros son números racionales, por que se pueden expresar
con un denominador igual a 1. Las raíces cuadradas de los números cuadrados perfectos
también son números racionales porque cada uno es un entero. Cuando un número racional se
escribe como decimal, será un decimal finito o periódico.
Decimal finito
Decimal periódico
Los números reales que no son racionales se llaman números irracionales. Al escribir los
números irracionales como decimales, no son decimales infinitos ni periódicos. La raíz cuadrada
de cualquier entero positivo que no sea un cuadrado perfecto es un número irracional.
Por ejemplo,
y
son números irracionales.
Número cuadrado
perfecto
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
256
289
324
361
400
Raíz cuadrada del número
cuadrado perfecto
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
256
289
324
361
400
Valor
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Clasificar los números que aparecen en la tabla siguiente; los que sean racionales expresarlos
como el cociente de dos enteros.
N U M E R O
-3
Entero
positivo

Entero
negativo
Racional 
Cociente
de dos
enteros
Irracional
0
20% 0.333...
.333


 









Hay ocasiones en que es más conveniente trabajar con radicales que con exponentes racionales
y viceversa. Con frecuencia es preferible intercambiar las dos formas. Las siguientes relaciones
son útiles al respecto:
Considera que para b no negativo, cuando n es par
Los siguientes ejemplos deben aclarar el proceso de cambiar una forma por la otra. Todas las
variables representan números reales positivos.
o bien
Para ayudarnos a cambiar y simplificar las expresiones con radicales, veremos varias
propiedades de los radicales. Para comenzar, consideremos los siguientes ejemplos:
Ejemplo:
o bien
o bien
5.4 Propiedades de los radicales
Para ayudarnos a cambiar y simplificar las expresiones con radicales, veremos varias
propiedades de los radicales. Para comenzar, consideremos los siguientes ejemplos:
Ejemplo:
o bien
o bien
Estos ejemplos sugieren las siguientes propiedades generales de los radicales. n, m y k son
números naturales 2, x y y son números reales positivos.
1.-
3.2.4.Estas propiedades se comprueban de la siguiente manera:
1.-
3.2.4.El siguiente ejemplo ilustra como se aplican estas propiedades. Todas las variables representan
números reales positivos.
Propiedad 1:
Propiedad 2:
Propiedad 3:
o bien:
Propiedad 4:
Las leyes de los radicales nos brindan los elementos para cambiar las expresiones algebraicas
con radicales por una variedad de formas equivalentes.
Una forma muy útil es la forma radical más simple. Se dice que una expresión algebraica con
radicales está en la forma radical más simple, cuando satisface las cuatro condiciones siguientes:
Forma radical más simple
1.- El radicando (expresión dentro del signo radical) no contiene ningún factor polinomial de
una potencia mayor o igual al índice del radical.
Viola esta condición
2.- La potencia del radicando y el índice del radical no tienen ningún factor común, que no sea
1.
Viola esta condición
3.- No aparece un radical en el denominador.
Viola esta condición
4.- No aparece ninguna fracción dentro del radical.
Viola esta condición
Es necesario comprender que ocasionalmente, pueden ser más útiles otras formas que no sean
con la forma radical más simple. La elección depende de la situación.
Ejemplo:
Cambia a la forma radical más simple
o bien
Al proceso de suprimir los radicales de un denominador se le llama racionalización del
denominador.
5.5 Simplificación de un radical
Una expresión que contiene radicales está en su forma más sencilla sí:
 No se puede sacar ningún factor del radicando.
 No puede reducirse ningún índice.
 No hay fracciones dentro del radical.
 No hay radicales en el denominador.
Ejemplo:
Reducir:
Para eliminar el radical 2 del denominador recordemos la formula del producto
de binomios conjugados (a-b)(a+b)=a2-b2; así multiplicando el numerador y el denominador de
la expresión por (x+2), obtenemos:
5.6 Suma y resta de radicales
Con frecuencia es posible simplificar las expresiones algebraicas con radicales sumando o
restando términos que contengan exactamente las mismas expresiones.
Ejemplo:
Combinando todos los términos posibles
Así vemos que, si dos términos contienen exactamente el mismo radical con el mismo índice y
también el mismo radicando, se pueden combinar en uno solo.
Ejemplo:
Expresemos ahora, los términos en su forma radical más simple y combinarlos hasta donde sea
posible.
o bien
5.7 Multiplicación y división con radicales
Ahora estudiaremos varios tipos de productos y cocientes especiales con radicales. En nuestro
planteamiento de estos problemas la propiedad distributiva de los números reales desempeña un
papel importante.
Ejemplo:
Multiplicamos y simplificamos
Recuerda que para expresar 2/3 en su forma radical más simple multiplicamos por 3 el
numerador y el denominador, con el propósito de suprimir del denominador el radical.
El denominador se convierte así en un número racional.
5.8 Racionalización
El proceso de convertir los denominadores irracionales en formas racionales se llama
racionalización del denominador.
Veamos ahora como se racionaliza el denominador binomial de
De nada sirve multiplicar el numerador y denominador por 3 o por 2. Pero al recordar el
producto notable: (a-b)(a+b)=a2-b2. Observamos que conviene multiplicar el numerador y el
denominador pero con el signo central opuesto. Así:
6.1 Definición, partes y clasificación en base al grado y número de
incógnitas.
Una de las mayores aportaciones a la teoría de las ecuaciones se debe al matemático
francés, aunque nacido en Italia, Joseph Luis Lagrange (1736-1813). Lagrange fue
uno de los mayores analistas de su época aunque también destaco en otras
disciplinas. Su mayor aportación al Álgebra es su famosa memoria “sobre la
resolución de las ecuaciones numéricas” escrita en 1776.
Una igualdad o equivalencia es la relación que existe entre dos expresiones diferentes
de una misma cantidad. Así, por ejemplo, serían igualdades 7 = 6 + 1 o bien 2x = x +
3.
Una identidad o formula es la relación que existe entre dos expresiones iguales de
una misma cantidad y es independiente del valor que se le atribuya a las letras. Así,
por ejemplo x2-y2 = (x-y)(x+y) y (x+y)2 = x2+2xy+y2 son identidades.
Se llama ecuación a toda igualdad que contiene una o más cantidades desconocidas,
que reciben el nombre de incógnitas y que solo se verifica, generalmente, para
determinados valores de la incógnita.
Generalmente, las incógnitas se representan mediante las últimas letras del
abecedario: x, y,z…
Así, por ejemplo 4x + 3 = 2x + 7 es una ecuación porque es una igualdad en la que
hay una incógnita, la x y está igualdad tan sólo se verifica para el valor x=2. En efecto,
si sustituimos lax por 2, tendremos: 4(2) + 3 = 2(2) + 7.
Es decir 8 + 3 = 4 + 7. O sea, 11 = 11, tal como queríamos comprobar.
Análogamente, y2 - 3y + 2 = 0 también es una ecuación puesto que es una igualdad
únicamente se verifica para los valores y = 2 e y = 1. En efecto, si sustituimos la y por
2 tendremos:
22 – 3(2) + 2 = 0
4–6+2=0
-2 + 2 = 0
Si sustituimos la y por 1 tendremos:
12 – 3(1) + 2 = 0
1–3+2=0
Se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión que
queda a la izquierda del signo de la igualdad, y segundo miembro a la expresión que
queda a la derecha del signo de igualdad.
Así, por ejemplo en la ecuación 3x – 1 = 2x – 3, el primer miembro es 3x – 1 y el
segundo miembro es 2x – 3.
Se llaman términos a cada una de las cantidades que están relacionadas con otras
con los signos + o –, o bien la cantidad que aparece sola en un miembro.
Así, por ejemplo, en la ecuación anterior los términos son: 3x, -1, 2x y -3.
Se dice que una ecuación es literal cuando las cantidades conocidas están
representadas por letras. Así, por ejemplo, x + 2a = x + 5 es una ecuación literal en la
cual a y b representan cantidades conocidas.
Por el contrario, se dice que una ecuación es numérica cuando las cantidades
conocidas están representadas por números. Así, por ejemplo, 2x + 7 = -x + 5 es una
ecuación numérica puesto que la única letra que aparece representa la incógnita.
Se dice que una ecuación es entera cuando ninguno de sus términos tiene
denominador.
Por el contrario, se dice que una ecuación es fraccionaria cuando alguno de sus
términos tiene denominador, la ecuación
es fraccionaria.
Se dice que una ecuación tiene una, dos, tres o más incógnitas según contenga una,
dos, tres o más letras que representan cantidades desconocidas.
El grado de una ecuación es la suma de los exponentes de las incógnitas en el
término que la tenga mayor.
Así, por ejemplo, las ecuaciones:
2x + 2y = 8
es de primer grado con dos incógnitas
4 – 3x = 2x2 – 5
es de segundo grado con una incógnita
5 – 3x2 = 2xy2
es de tercer grado con dos incógnitas
La solución o raíz de una ecuación con una sola variable es el valor de una constante
que, al sustituir a la variable, hace que el lado izquierdo de la ecuación se iguale al
lado derecho. Al conjunto de todas las ecuaciones se le llama conjunto solución.
Resolver una ecuación es encontrar el conjunto solución.
Así pues, resolver una ecuación consiste en hallar los valores que sustituidos en las
incógnitas transforman la ecuación en una igualdad.
Las ecuaciones de primer grado con una incógnita tienen una única raíz. Una
ecuación puede tener tantas raíces como unidades tenga su grado.
Se dice que dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
Así, por ejemplo, las ecuaciones x2-3x+2 = 0 y 2x2-6x+4 = 0 son equivalentes puesto
que la solución de ambas son x=2 y x=1.
6.2 Propiedades de las ecuaciones
El axioma fundamental de las ecuaciones es que una ecuación se transforma en otra
equivalente cuando se ejecutan operaciones elementales iguales en ambos miembros.
Es decir
 Si a los dos miembros de una ecuación se les suma una misma cantidad
positiva o negativa, la igualdad subsiste.
 Si a los dos miembros de una ecuación se les resta una misma cantidad,
positiva o negativa, la igualdad subsiste.
 Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad,
positiva o negativa, la igualdad subsiste.
 Si a los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad,
positiva o negativa, la igualdad subsiste.
Al exponer las propiedades de la igualdad en su forma general, para cualesquiera de
los números reales a, b y c.
Si a = b entonces
a+c = b+c
Si a = b entonces
a-c = b-c
Si a = b entonces
ac = bc
Si a = b entonces
a/c = b/c siempre que c≠0
Transponer términos consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro
a otro. Consideremos la ecuación 3x-2 = x+6
Para transponer el término -2 del primer miembro al segundo añadimos 2 a ambos
miebros y resulta 3x-2 +2= x+6+2.
Es decir 3x = x+8
En ocasiones se trasponen al primer miembro todos los términos de una ecuación y,
en ese caso, el segundo miembro es cero. Así, en la ecuación 3x-2 = x+6 tendríamos
3x-2-6 = x+6-6
O sea 3x-8 = x
Añadiendo –x a ambos miembros resultaría: 3x-8-x = x-x
Es decir, 2x-8 = 0
Como consecuencia de lo anteriormente expuesto, resulta obvio que términos iguales
con signos iguales en distinto miembro de una ecuación puedan suprimirse.
Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que una
ecuación varíe, puesto que esto equivale a multiplicar ambos miembros de la
multiplicación por -1, por lo cual la igualdad no varía.
Así, por ejemplo, si consideramos la ecuación 2x+1 = x-2 y multiplicamos ambos
miembros por -1 obtendremos. -2x-1 = --x +2, que es la ecuación inicial con todos los
signos cambiados.
Para quitar los denominadores de una ecuación, basta con multiplicar sus dos
miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Así, por ejemplo, si consideramos la ecuación
, para eliminar los
denominadores multiplicaremos ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los
denominadores, o sea por 8, tendremos:
O sea 2x -16 = 3x que es una ecuación equivalente a la inicial y en la cual no
aparecen los denominadores.
Si se eleva a una misma potencia los dos miembros de una ecuación, la ecuación
resultante tiene, generalmente, más soluciones que la ecuación inicial. En este caso
se prescinde de aquellas soluciones que no satisfacen la primera ecuación..
6.3 Soluciones de ecuaciones de primer grado con una incógnita
Para resolver una ecuación de primer grado se procede del modo siguiente:
a) Se eliminan los radicales, en caso de que los haya.
b) Se efectúan las operaciones indicadas en la ecuación, suprimiendo de este
modo los paréntesis y los signos de agrupación.
c) Se suprimen los denominadores, sí los hay.
d) Se trasponen y reducen términos.
e) Se despeja la incógnita, descomponiendo el primer miembro en dos factores.
f) Se dividen ambos miembros por el coeficiente de la incógnita.
Ejemplo
Resolver la ecuación
Solución: Trasponemos el término
al primer miembro
A continuación trasponemos el término 5 al segundo miembro.
5 +x -5 = 7 -5
x=2
Comprobemos que x = 2 satisface la ecuación dada.
5 +4(2) = 3(2) +7
5 +8 = 6 +7
13 = 13, tal como queríamos comprobar
Ejemplo
Resolver la ecuación
2(x+1) +3(x-2) = x +3
Solución:
Se suprimen los paréntesis
2x +2+3x-6= x +3
Trasponemos la x:
5x -4 –x = x –x +3
O sea, 4x -4 = 3, trasponemos el término -4 tendremos: 4x -4 +4 = 3 +4
O sea 4x = 7. Dividamos ambos miembros por 4:
Comprobemos que 7/4, satisface la ecuación dada.
. Es decir x = 7/4
Ejemplo
Resuelve la ecuación 8x +7 = 9x +3
Solución
1.- La ecuación ya está simplificada: 8x +7 = 9x +3
2.- Resta 7 de ambos lados.
3.- Resta 9x de ambos lados
Puesto que –x = -4, entonces x = -(-4) = 4, y la solución es 4
Comprobación
Cada una de las ecuaciones tenía exactamente una solución. Cuando se da una
ecuación que puede escribirse como ax+b=c, existen tres posibilidades para la
solución:
1) La ecuación tiene una sola solución. Se trata de una ecuación condicional.
2) La ecuación no tiene solución. Es una ecuación contradictoria.
3) La ecuación tiene un número infinito de soluciones. Es una identidad.
Solución de una ecuación contradictoria.
Ejemplo
Resuelva 3 +8(x+1) = 5 +8x
Solución:
a) Simplificar aplicando la propiedad distributiva y combinando términos
semejantes.
b) Restar 5 de ambos términos.
c) Restar 8x de ambos lados
La proposición 6=0 es una proposición falsa. Cuando esto ocurre, indica que la
ecuación no tiene solución, es decir, es una ecuación contradictoria y escribimos “no
hay solución”.
Solución de una ecuación con un número infinito de soluciones.
Ejemplo
Resolver 7+2(x+1) = 9+2x
Solución:
1.Simplificamos usando la propiedad distributiva y combinando términos
semejantes.
Nos podríamos detener aquí. Puesto que ambos lados son idénticos, la ecuación es
una identidad. Todo número real es una solución. Pero ¿Qué pasa si continúa?.
Veamos
2.-
Restar 9 de ambos lados
3.-
Restar 2x de ambos lados.
La proposición 0=0 es una proposición verdadera. Cuando esto ocurre, indica que
cualquier número real es una solución. La ecuación tiene un número infinito de
soluciones y escribimos “todos los números reales” para la solución.
6.4 Problemas que conducen a ecuaciones de primer grado con una
incógnita
Solución de una ecuación literal
Un trapezoide es una figura de cuatro lados en la cual
sólo dos de ellos son paralelos: el área del trapezoide
ilustrado
es
,
donde h es
la
altura
y b1 y b2 son las bases. Resolver para b2.
1.-
Elimina las fracciones; el MCM 2
2.-
Elimina los paréntesis
3.4.-
No hay números que restar.
Resta el mismo término, hb1, en ambos lados.
5.-
Divide ambos lados entre el coeficiente de b2, h
Ejemplo
Comprobación
Comprobación
Comprobación
Comprobación
Comprobación
Comprobación
Comprobación
Comprobación
Comprobación
Comprobación
Comprobación
Comprobación
mcm de los denominadores
a(a-b)(a+b)=a(a2-b2)
Mcm de a y c = ac
6.5 Solución gráfica de una ecuación de primer grado con dos
incógnitas.
Una manera de resolver un sistema de ecuaciones es graficar las ecuaciones y
encontrar las coordenadas del punto o puntos de intersección. Ya que el punto o
puntos de intersección están en ambas rectas, estas parejas ordenadas son
soluciones del sistema.
Ejemplo
Resolver por graficación.
Graficamos las ecuaciones. El punto P de intersección tiene coordenadas (5,1).
Sustituyendo x=5 y y=1.
x + 2y = 7
x =y+4
(5)+2(1)=7
(5) = (1) + 4
5+2=7
5=5
(5,1) es la solución del sistema.
Cuando graficamos un sistema de dos ecuaciones lineales, se puede presentar una
de tres situaciones:
1. Las rectas tienen un solo punto de intersección, y éste es la única solución del
sistema.
2. Las rectas son paralelas. En este caso no existe un punto que satisfaga las
dos ecuaciones. El sistema no tiene solución, es decir, es inconsistente.
3. Las rectas coinciden. Las ecuaciones tienen la misma gráfica y toda solución
de una ecuación es solución de la otra. Existe un número infinito de soluciones
6.6 Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Se llama sistema de ecuaciones a un conjunto de dos o más ecuaciones que tienen
idéntica solución, es decir, que las soluciones satisfacen a cada una de las ecuaciones
dadas; también se les llama sistema de ecuaciones simultaneas.
La Solución de un sistema de ecuaciones requiere de tantas ecuaciones
independientes como incógnitas se tengan que determinar; así un sistema de
ecuaciones de primer grado con dos incógnitas constara de dos ecuaciones
independientes; así un sistema de ecuaciones de primer grado con tres incógnitas
constara de tres ecuaciones independientes; etc.
Si un sistema tiene solución se dice que es un sistema posible o Compatible. Si la
solución es única diremos que el sistema es Compatible y determinado. Si tiene
infinitas soluciones diremos que el sistema es Compatible e indeterminado. Cuando
el sistema no tiene solución, diremos que las ecuaciones y el sistema son
incompatibles.
Una expresión general de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos variables es:
Las ecuaciones simultáneas con dos o más incógnitas son simultáneas cuando las
soluciones son las mismas.
Las ecuaciones equivalentes son las que se obtienen al multiplicar o dividir una
ecuación por un mismo número.
x +y = 4
2x +2y = 8
Son equivalentes porque dividiendo por 2 la segunda ecuación se obtiene la primera.
Las ecuaciones equivalentes tienen infinitas soluciones comunes. Ecuaciones
independientes son las que no se obtienen una de la otra.
Entendemos que un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones para las
cuales buscamos una solución común. Una solución de un sistema de dos ecuaciones
en dos variables es una pareja ordenada que hace que ambas ecuaciones sean
verdaderas. Como la solución de un sistema satisface ambas ecuaciones
simultáneamente, decimos que tenemos un sistema de ecuaciones simultáneas.
Cuando encontramos todas las soluciones de un sistema, decimos que hemos
resuelto el sistema.
Ejemplo
Determinar si (1,2) es una solución del sistema
y=x+1
2x+y=4
y=x+1
2x+y=4
2(1)+2=4
2+2=4
2=1+1
2=2
4=4
(1, 2) es una solución del sistema
Determinar si (-3, 2) es una solución del sistema.
a+b=-1
b+3a=4
a+b=-1
-3+2=-1
-1=-1
b+3a=4
2+3(-3)=4
2-9=4
-7=4
Ya que (-3, 2) no es una solución de b+3a=4, no es una solución del sistema.
Solución de ecuaciones lineales
Ejemplo
Resolver
1.Elimina cualquier fracción multiplicando cada término en ambos lados de la
ecuación por el M.C.M. de los denominadores.
2.Elimina los paréntesis y une los términos semejantes, simplificando si es
necesario.
3.Suma o resta el mismo número en ambos lados de la ecuación de manera que
los números aislados en un solo lado.
4.Suma o resta el mismo término o expresión en ambos lados de la ecuación de
modo que las variables queden asiladas en el otro lado.
5.Si el coeficiente de la variable no es 1, divide ambos lados de la ecuación entre
este coeficiente (o, de manera equivalente multiplica por el recíproco del coeficiente de
la variable)
6.-
Asegurate de comprobar la respuesta en la ecuación original.
Ejemplo
Resolver
1.Eliminamos las fracciones; el MCM es 24
2.-
Restando 4
3.-
Dividiendo entre 3 (o multiplica por el recíproco 3)
4.-
Comprobación
Ejemplo
Resolver
1.-
Eliminamos las fracciones; el MCM es 20
2.-
Simplifica y aplica la ley distributiva.
3.-
Restando 4
4.-
Resta 14x
5.-
Dividiendo entre -19 (o multiplica por el recíproco -19)
4.-
Comprobación
El procedimiento para resolver ecuaciones lineales que acabamos de describir,
también es útil para resolver algunas ecuaciones literales.
Una ecuación literal es una ecuación que contiene varias variables. En el mundo de
los negocios, de la ciencia y la ingeniería, estas ecuaciones literales usualmente
aparecen a manera de fórmulas como la del área de un circulo de radio r (A=r2), el
interés ganado sobre un capital C a una tasa t dada durante cierto período p (I=ctp), y
así sucesivamente. Por desgracia, estas fórmulas no siempre están en la forma que
necesitamos para resolver el problema de una manera práctica.
Aquí es donde entran los primeros cinco pasos de nuestro procedimiento. Para
solucionar una variable en particular de una de estas fórmulas, podemos usar los
métodos que acabamos de aprender. Por ejemplo, resolvamos C en la fórmula I=Ctp.
Para dar seguimiento a la variable C, primero la marcamos:
6.7. Método de solución (eliminación y por determinantes) e
interpretación geométrica
PROCEDIMIENTO
Solución de un sistema de ecuaciones mediante el método de
sustitución:
1.
2.
3.
4.
5.
Resuelve una de las ecuaciones para x o y.
Sustituye la expresión resultante de la otra ecuación. (Ahora se tiene una
ecuación con una variable).
Resuelve la nueva ecuación para la variable.
El valor de esa variable se sustituye en una de las ecuaciones originales
y se resuelve esta ecuación para obtener el valor de la segunda variable.
La solución se comprueba sustituyendo los valores numéricos de las
variables en ambas ecuaciones
Ejemplo 1
Resuelve:
SOLUCIÓN Utilicemos el procedimiento de los cinco pasos:
1. Resuelve una de las ecuaciones para x o y. Resolveremos aquí la primera ecuación
para y). y = 8 - x
2. En la ecuación 2x – 3y = -9; escribe 8 – x en lugar de la y. 2x – 3(8 – x) = -9
3. Resuelve la nueva ecuación para la variable:
2x – 3(8 – x) = -9
2x – 24 +3x = -9
Simplificando
5x – 24 = -9
Combinando términos semejantes
5x = 15
Suma 24 a ambos lados
x = 3
Divide entre 5
4. Sustituye el valor de la variable x=3 en una de las ecuaciones originales. (aquí lo
hacemos en la ecuación x + y = 8. Luego resuelve para la segunda variable 3+y=8
Nuestra solución es el par ordenado (3, 5) ya que y = 5.
5. Comprobamos; cuando x= 3 y y=5; x + y = 8 se convierte en 3 + 5 = 8 y 8=8. Lo
cual es verdadero.
Luego para la segunda ecuación, 2x – 3y = -9 se convierte en
2(3) – 3(5) = -9
6 – 15 = -9
-9 = -9
Lo que también es cierto. De este modo nuestra solución (3,5) es correcta.
Ejemplo 2
Solución de un sistema inconsistente.
Resuelve el sistema
SOLUCIÓN Utiliza el procedimiento de los cinco pasos
1. Resuelve la ecuación para una de las variables (resolveremos aquí la
primera ecuación para x) x = 4 -2y
2. Sustituimos x = 4 -2y en la segunda ecuación
2(4 –2y) = -4y +6
8 –4y = -4y +6
8 –4y +4y = -4y +4y +6
8 = 6
Simplificamos
Suma 4y
3. No hay ecuación que resolver. El resultado 8 = 6, nunca es verdadero. Es una
contradicción. Puesto que nuestro procedimiento es incorrecto, concluimos que el
sistema dado no tiene solución; es inconsistente.
4. No necesitamos el paso 4
5. Comprueba; nota que si se divide la segunda ecuación entre 2, obtienes x = -2y+3
o x+2y=3, lo que contradice a la primera ecuación, x +2y = 4.
Ejemplo 3
Solución de un sistema dependiente
Resuelve el sistema
SOLUCIÓN. Como antes, utilizaremos el procedimiento de los cinco pasos.
1. Resuelve la primera ecuación para x obteniendo: x=4 –2y
2. Sustituye x=4 –2y en 4y +2x= 8
4y +2(4 –2y) = 8
4y +8 –4y = 8
Simplifica
8 =8
3. No hay ecuación que resolver. Observa que en este caso obtuvimos la proposición
verdadera 8 = 8, sin importar cual valor se le asigne a x o a y.
4. No necesitamos el paso 4 debido a que las ecuaciones son dependientes; es decir
tienen un número infinito de soluciones.
5. Comprueba; si hacemos x=0 en la ecuación x +2y= 4, obtenemos 2y = 4, o y = 2.
De manera semejante, si hacemos x=0 en la ecuación 4y +2x = 8, obtenemos
4y=8, o y = 2, de modo que (0, 2) es una solución para ambas ecuaciones.
También puede demostrarse que x=2, y y = 1 satisface ambas ecuaciones. Por lo
tanto (2, 1)es otra solución, y así sucesivamente. Nótese que si se divide la
segunda ecuación entre dos y se vuelve a acomodar, se obtiene x +2y= 4, la que
resulta idéntica para la primera ecuación. De este modo cualquier solución de la
primera ecuación también es la solución de la segunda ecuación; es decir la
solución consiste en todos los puntos de la ecuación x +2y= 4.
Ejemplo 4
Simplificación y solución de un sistema por sustitución.
Resuelve la ecuación
SOLUCIÓN. La segunda ecuación tiene x y constantes en ambos lados, de modo que
primero se simplifica sumando 4x y restando 6 de ambos lados para obtener
6 –3x +y +4x –6 = -4x +5 +4x – 6
x + y = -1
Ahora tenemos el sistema equivalente:
-2x = -y +2
x + y = -1
Al resolver la segunda ecuación para x obtenemos x= -y –1. Al escribir –y –1 en lugar
de x en -2x = -y +2
-2x
-2–y –1
2y +2
3y
y
= -y +2
= -y +2
= -y +2
=0
=0
Suma y, resta 2
Divide entre 3
Puesto que x= -y –1 y y = 0, tenemos que
x
= 0 – 1= -1
De este modo el sistema es consistente y su solución es (-1, 0). Esto se comprueba
escribiendo –1 en lugar de x y 0 en vez de y en las dos ecuaciones originales.
Ejemplo 5
Solución de un sistema que incluye fracciones.
Si un sistema tiene ecuaciones con fracciones, eliminamos las fracciones
multiplicando cada lado por el MCD (mínimo común denominador), para luego
resolver el sistema resultante, como se muestra a continuación.
Resuelve la ecuación:
SOLUCIÓN. Multiplicamos ambos lados de la primera ecuación por 4 y ambos lados de
la segunda ecuación por 8 (el MCD de 4 y 8) para obtener
o de manera equivalente
8x +y = -4
o de manera equivalente
2x +3y = 10
Al resolver la primera ecuación para y, obtenemos y=-8x-4. Ahora escribimos –8x-4 en
lugar de y en 2x +3y = 10
2x +3(–8x-4)
= 10
2x –24x –12
= 10
Simplificamos
-22x
= 22
Dividimos entre –22
x
=
-1
Al escribir –1 en lugar de x en 8x + y = -4, obtenemos 8(-1) +y = -4 o y = 4. De esta
manera el sistema es consistente y su solución es (-1, 4)
Uso del Método de Determinantes para Resolver un Sistema de
Ecuaciones.
La disposición de cuatro números reales en un cuadrado, como
Recibe el nombre de determinantes de segundo orden. (Es importante advertir que
los números se ordenan entre rectas paralelas y no entre corchetes. Los corchetes
tienen otro significado). El determinante anterior tiene dos renglones y dos columnas
(los renglones son horizontales y las columnas, verticales). A cada número del
determinante se le llama elemento del propio determinante.
En general, podemos simbolizar un determinante de segundo orden de la manera
siguiente:
donde se usa una sola letra, con doble subíndice, para facilitar la generalización de
los determinantes de orden superior. El primer número del subíndice indica el renglón
en que está el elemento; y el segundo número, la columna. Así, a21 es el elemento
situado en el segundo renglón y primera columna.
Cada determinante de segundo orden representa un número real, dado por la
siguiente formula:
Valor de un determinante 2 x 2
Si a, b,.c y d son números, el determinante de la matriz
es
El determinante de una matriz 2 x 2 es el número que se obtiene con el producto de
los números de la diagonal principal.
menos el producto de los números de la otra diagonal
PROCEDIMIENTO
Solución de un sistema de ecuaciones mediante el método de
determinantes de segundo orden:
Para resolver el sistema
r, s, son números reales.
1.
2.
donde x y y son las incógnitas y a, b, c, d,
Consideramos el arreglo
que consta de los coeficientes de las
variables.
Obtenemos el denominador para ambas variables si multiplicamos los
números que se encuentran en la esquina superior izquierda e inferior
derecha y restando el producto de los números que están en las esquinas
inferior izquierda y superior derecha. El número obtenido se llama
determinante del arreglo. Aunque parezca complicado, es fácil de
recordar si usamos símbolos
Recuerda que para calcular el determinante efectuamos los productos
señalados por las flechas que aparecen en el diagrama, asignando a la
flecha hacia abajo un signo positivo y hacia arriba un signo negativo y
sumando los resultados obtenidos.
3.
Con la notación observamos que la solución del sistema es
Conviene observar, para recordar la solución, que el denominador de
ambos se obtiene tomando el determinante de los coeficientes de las variables
en el sistema y para el numerador consideramos el determinante obtenido al
sustituir, en el determinante del sistema en la columna de la variable que se
quiere encontrar, los términos independientes.
Ejemplo 1
Resuelve el sistema
utilizando los determinantes.
SOLUCIÓN Calculamos primero el determinante del sistema.
Ahora calculamos el valor de x sustituyendo los valores de la primera columna del
determinante del sistema por los valores de los términos independientes y divididos
entre el determinante del sistema
Para calcular el valor de y sustituimos los valores de la segunda columna del
determinante del sistema por los valores de los términos independientes y dividimos
entre el determinante del sistema.
COMPROBACIÓN Sustituimos los valores x=-8 y y=5 en las ecuaciones
Primera ecuación:
5x +6y = 5(-8) +6(5) = -10
Segunda ecuación
2x +3y = 2(-8) +3(5) = -1
Ejemplo 2
Resuelve el sistema
utilizando determinantes.
SOLUCIÓN Calculamos el determinante del sistema.
Ahora calculemos el valor de w sustituyendo los valores de la primera columna del
determinante del sistema por los valores de los términos independientes y dividiendo
entre el determinante del sistema:
para calcular el valor de z sustituimos los valores de la segunda columna del
determinante del sistema por los valores de los términos independientes y dividiendo
entre el determinante del sistema:
COMPROBACIÓN Sustituimos los valores w= 6 y z=
en las ecuaciones
Primera ecuación:
Segunda ecuación:
Valor de un determinante 3 x 3
Menor
de a1
Menor
de b1
Menor
de c1
Para encontrar el menor de a1, formamos un determinante tachando los elementos de
la matriz que se encuentran en el mismo renglón y en la misma columna que a1:
Para encontrar el menor de b1, formamos un determinante tachando los elementos
de la matriz que se encuentran en el mismo renglón y en la misma columna que b1:
Para encontrar el menor de c1, formamos un determinante tachando los elementos de
la matriz que se encuentran en el mismo renglón y en la misma columna que c1:
Ejemplo 2
Resuelve el determinante
SOLUCIÓN Desarrollaremos el determinante a lo largo del primer renglón:
Menor
de 1
Menor
de 3
Menor
de -2
Podemos evaluar un determinante 3 x 3 desarrollándolo a lo largo de cualquier
renglón o columna. Para definir los signos entre los términos del desarrollo de un
determinante 3 x 3, usamos el siguiente arreglo de signos:
Arreglo de signos para un determinante 3 x 3
+
-
+
-
+
-
+
-
+
Ejemplo 3
Resuelve el determinante
intermedia
desarrollándolo a lo largo de la columna
SOLUCIÓN Se trata del determinante del ejemplo 2. Para desarrollarlo a lo largo de la
columna intermedia:
Menor
de 3
Menor
de 1
Menor
de 2
Como ya esperábamos, obtenemos el mismo valor que en el ejemplo 2.
6.8. Problemas que conducen a un sistema de ecuaciones lineales con dos
incógnitas.
Muchos problemas que requieren la determinación de dos o más cantidades
desconocidas pueden ser resueltos por medio de un sistema de ecuaciones lineales.
Las cantidades desconocidas se representan con letras, por ejemplo: x, y, etc. y se
establece un sistema de ecuaciones que satisfagan las diversas condiciones del
problema. La resolución de este sistema conduce a los valores de las incógnitas.
Ejemplo 1
El costo total de 5 libros de texto y 4 lapiceros es de $32.00; el costo total de otros 6
libros de texto iguales y 3 lapiceros es de $33.00. Hallar el costo de cada artículo.
SOLUCIÓN: Sea x= el costo de un libro en pesos, y y= el costo de un lapicero en
pesos. Según el problema obtenemos las dos ecuaciones:
La solución de este sistema es de x=4, y y=3, es decir, el costo de cada libro de texto
es $4.00 y el costo de cada lapicero es $3.00. Estos resultados pueden comprobarse
fácilmente. Así, el costo de 5 libros de texto y 4 lapiceros es igual a 5(4) +4(3) = $32 y
el costo de 6 libros de texto y 3 lapiceros es igual a 6(4) +3(3) = $33.
Ejemplo 2
Hallar dos números tales que la suma de sus recíprocos sea 5, y que la diferencia de
sus recíprocos sea 1.
SOLUCIÓN: Sea x= el número menor y y= el número mayor. La suma y la diferencia
de sus recíprocos son, respectivamente,
Este no es un sistema lineal pero puede ser tratado como tal utilizando como
incógnitas 1/x y 1/y. Así, sumando las dos ecuaciones tenemos:
de donde
y
Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos:
de donde
y
Por tanto, los dos números son 1/3 y ½ .
Ejemplo 3
Si a los dos términos de una fracción se añade 3, el valor de la fracción es 1/2 , y si a
los dos términos se resta 1, el valor de la fracción es 1/3. Hallar la fracción.
SOLUCIÓN: Sea x el numerador y y el denominador. Entonces x/y = la fracción.
Añadiendo 3 a cada término, la fracción se convierte en
, y según las
condiciones del problema el valor de esta fracción es 1/2 ; luego:
Restando 1 a cada término, la fracción se convierte en
, y según las condiciones
del problema el valor de esta fracción es 1/3 ; luego:
Reuniendo las dos ecuaciones tenemos el sistema de ecuaciones:
Quitando los denominadores:
Trasponiendo y reduciendo:
Restando:
Ejemplo 3
Se tienen $120.00 en 33 billetes de a $5 y de a $2. ¿Cuántos billetes son de $5 y
cuántos de $2?
SOLUCIÓN: Sea x= el número de billetes de $2 y y= el número de billetes de $5.
Según las condiciones: x+y =33.
Con x billetes de $2 se tienen $2x y con y billetes de $5 se tienen $5 billetes de $5 se
tienen $5y, y como la cantidad es $120, tendremos: 2x + 5y = 120.
Reuniendo las ecuaciones tenemos el sistema:
Resolviendo se encuentra x=15, y y=18; luego, hay 15 billetes de $2 y 18 billetes de
$5.
6.9. Clasificación y solución de ecuaciones de segundo grado con
una incógnita
La ecuación
parece complicada; pero en realidad es una
ecuación de primer grado con una variable, ya que se puede transformar en esta
ecuación equivalente: 7x-18=0
Hemos resuelto muchas ecuaciones de este tipo y hemos visto que siempre tienen
una solución. Desde el punto de vista matemático, hemos resuelto esencialmente el
problema de solucionar ecuaciones de primer grado con una variable.
En este apartado consideraremos el siguiente tipo de ecuaciones polinomiales, que
reciben el nombre de ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas. Una
ecuación cuadrática con una variable es cualquier ecuación que se pueda escribir de
la forma:
, donde x es una variable, en tanto que a, b y c son
constantes. Nos referiremos a esta forma como la forma general de la ecuación
cuadrática.
Raíz Cuadrada
Un tipo más sencillo de ecuación cuadrática, por su solución, corresponde a la forma
especial en que falta el término con la variable de primer grado; o sea cuando está en
la siguiente forma:
El método de solución aprovecha directamente la definición de raíz cuadrada. El
proceso se ilustra en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1
Resuelve por medio de la raíz cuadrada
SOLUCIÓN:
Ejemplo 2
Resuelve por medio de la raíz cuadrada
SOLUCIÓN:
Ejemplo 3
Resuelve por medio de la raíz cuadrada
SOLUCIÓN:
Factorización
Si los coeficientes a, b y c de la ecuación cuadrática
son tales que la
expresión
puede escribirse como el producto de dos factores de
primer grado con coeficientes enteros, dicha ecuación cuadrática podrá resolverse
rápida y fácilmente. El método de resolución por factorización se basa en la siguiente
propiedad de los números reales:
Si a y b son números reales, entonces:
ab = 0 si y solo si a = 0 o b = 0 (o ambos valen cero)
Esta propiedad se demuestra con facilidad: si a = 0, hemos concluido. Si a ≠ 0,
multiplicamos ambos miembros de ab = 0 por 1/a, para obtener: b = 0.
Ejemplo 1
Resuelve por factorización
SOLUCIÓN:
Ejemplo 2
Resuelve por factorización
SOLUCIÓN:
Ejemplo 3
Resuelve por factorización
SOLUCIÓN: El polinomio no se puede factorizar con coeficientes enteros; por tanto,
debe de usarse otro método para encontrar la solución.
Completando el trinomio cuadrado perfecto
El método de compleción del cuadrado se basa en el proceso de transformar la
cuadrática
general
para
que
quede
así:
.
Donde A y B son constantes. Esta última ecuación se puede resolver fácilmente por
medio de la raíz cuadrada, como se explicó en la sección anterior. Así:
Antes de estudiar cómo se resuelve la primera parte, haremos una pausa breve para
analizar un problema relacionado con el nuestro: ¿Qué número se le debe de sumar
a
para que el resultado sea el cuadrado de una expresión lineal? Hay una
sencilla regla mecánica para encontrar tal número: se basa en los cuadrados de los
siguientes binomios:
En ambos casos, observemos que, en el miembro derecho, el tercer término es el
cuadrado de la mitad del coeficiente de x, que aparece en el segundo término. Esta
observación nos lleva directamente a la regla:
Para completar el cuadrado de una expresión cuadrática de la forma
se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, o sea:
o sea
Ejemplo 1
Completa el cuadrado de
SOLUCIÓN: Sumamos el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, usamos la
forma
, por lo que obtenemos:
Ejemplo 2
Completa el cuadrado de
SOLUCIÓN: Sumamos
; o sea
, así:
La resolución de ecuaciones cuadráticas por el método de compleción del cuadrado
se ilustra mejor con ejemplos
Ejemplo 3
Resuelve
por el método de compleción del cuadrado
SOLUCIÓN:
Sumamos 2 a ambos miembros de la ecuación para eliminar -2 del
miembro izquierdo.
Para completar el cuadrado del miembro izquierdo, sumamos el
cuadrado del coeficiente de x, en ambos miembros de la ecuación.
Factorizamos el miembro izquierdo.
Resolvemos por medio de la raíz cuadrada.
Ejemplo 4
Resuelve
por el método de compleción del cuadrado
SOLUCIÓN:
Observa que el coeficiente de x2 no es 1. En tal caso, dividimos todos
los términos entre el coeficiente principal y proseguimos como en el ejemplo anterior.
Formula cuadrática
Para obtener la formula para resolver ecuaciones de segundo grado, tomamos la
ecuación general
y resolvemos para x, en función de los
coeficientes a, b y c, por el método de compleción del cuadrado; de esta manera
obtenemos una fórmula que podremos memorizar y utilizar siempre que se conozca el
valor de a, b y c.
Para empezar haremos igual a 1 el coeficiente principal. Para ello, multiplicamos por
1/aambos miembros de la ecuación. Queda así:
Sumamos –c/a a ambos miembros de la ecuación para suprimir c/a del miembro
izquierdo.
Ahora completamos el cuadro del miembro izquierdo; para ello, sumamos a cada
miembro del cuadrado de la mitad del coeficiente de x;
Luego factorizamos el miembro izquierdo de la ecuación y la resolvemos por medio de
la raíz cuadrada.
Obtenemos esto:
Está última ecuación se llama fórmula cuadrática. Es necesario memorizarla y
emplearla para resolver ecuaciones cuadráticas, cuando no dan resultado métodos
más sencillos. Observa que b2-4ac recibe el nombre de discriminante y nos
proporciona la siguiente información útil respecto de las raíces:
b2 - 4ac
ax + bx + c = 0
2
Positivo
Dos soluciones reales
Cero
Una solución real
Negativo
Dos soluciones complejas
Ejemplo 1
Resuelve
por la fórmula cuadrática
SOLUCIÓN: anotamos la fórmula cuadrática e identificamos a=2, b=-4 y c=-3.
Sustituimos la fórmula y simplificamos.
Ejemplo 2
Resuelve
SOLUCIÓN:
= -6 y c = 11
por la fórmula cuadrática
escribimos en la forma general e identificamos a = 1, b
Sustituimos la fórmula y simplificamos.