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2. LAS DECISIONES DE
INFORMACIÓN PERFECTA
LAS
FIRMAS
BAJO
COMPETENCIA
E
Hasta ahora, hemos analizado el proceso de decisión de los consumidores, cómo se
genera su curva de demanda por un bien y cómo se genera la curva de oferta laboral. En
las clases siguientes, se estudiará el proceso de producción de los bienes finales que
demandan los consumidores y la demanda por factores, entre los cuales se encuentra el
trabajo. Al unir la teoría del consumidor y la firma, se derivará el equilibrio de mercado
y se podrá caracterizar el proceso de formación de precio de los mercados. Los modelos
son bastante sencillos y asumen que las firmas minimizan costos o maximizan
beneficios sujetos a una restricción tecnológica.
2.1. La tecnología de producción
La tecnología de producción está compuesta por los factores de producción y la
relación tecnológica empleada para producir el bien final. Los factores de producción
son entonces instrumentos necesarios para producir un bien. En la literatura económica
se han identificado el capital, el trabajo y la tierra como los factores tradicionales de
producción.
La combinación factible de factores de producción constituye la restricción
tecnológica. Todas las posibles combinaciones de factores para producir un bien se
denomina como el conjunto de producción.
Suponga que para producir un bien y solo se requiere capital (K). El conjunto de
producción se representa entonces como la Gráfica 2.1.
Gráfica 1.1. Conjunto de producción
y
Frontera de producción
y2
y1
O
A
Conjunto de producción
K1
K
El área debajo de la curva OA denota todas las combinaciones posibles, no
necesariamente eficientes, para producir y. Por ejemplo, el punto K1 representa la
cantidad necesaria de capital para producir cierta cantidad de un bien (y1). Esta
combinación de capital y producto (K1, y1) no es, sin embargo, eficiente ya que con la
1
misma cantidad es posible producir más del bien hasta alcanzar el punto eficiente que
está representado por y2. La envolvente del conjunto de producción, que recoge todos
los puntos de “producción máxima posible”, se denomina como la función de
producción.
La isocuanta representa todas las posibles combinaciones de dos insumos de
producción para producir una cantidad constante de un bien. La curvatura y el nivel de
las isocuantas están determinados por la tecnología. La isocuanta representa entonces la
cantidad necesaria de capital y trabajo para producir una cantidad determinada de un
bien. Así una función de producción lineal se representa con la siguiente tecnología
y  aK  bL
En una función de producción lineal, los factores de producción son sustitutos perfectos.
Es más, la tecnología exhibe soluciones de esquina por lo que se podría producir con
solo trabajo o solo capital. Sin embargo, la sustitución perfecta entre factores de
producción es un ideal y es casi imposible encontrar una tecnología en el mundo real
con dichas características.
Gráfica 2.2. Función de producción lineal
K
y1
Solución de esquina (L>0,K=0)
L
El otro extremo es la función de producción con factores fijos en la cual los factores se
utilizan en proporciones fijas. Dicha tecnología se caracteriza con la siguiente ecuación
y  min(aK , bL)
donde a, b  0.
Para el caso de la función de producción de factores fijos, la firma siempre va a escoger
una proporción constante de los factores de tal modo que no se desperdicie el uso ni de
capital ni de trabajo. Por ejemplo, si la firma decide escoger L1 producirá y1 pero para
producir y1 puede utilizar menos trabajo y no desperdiciar este factor de producción. L2
representa el punto donde no se estaría desperdiciando trabajo.
2
Gráfica 2.3. Función de producción de proporciones fijas
K
a
b
y1
L2
L1
L
Otras funciones de producción se encuentran en la mitad entre la función lineal de
producción y la función de proporciones fijas. La función Cobb-Douglas es una de
estas. La función de producción Cobb-Douglas permite la sustitución entre factores de
producción, pero dicha sustitución no es en modo alguna perfecta. Con la CobbDouglas, se pueden caracterizar firmas con un mayor uso de capital por cada unidad de
trabajo o un mayor uso de trabajo por cada unidad de capital.
y  AK  L
Gráfica 2.4. Función de producción Cobb-Douglas
K
y1
Propiedades de la tecnología
L
La tecnología tiene tres propiedades importantes y poco restrictivas que se explican a
continuación: monotonicidad, convexidad y productividad marginal decreciente. Los
supuestos acerca de la tecnología son:
a. Monótona: con una cantidad igual o mayor de ambos insumos se debe obtener el
mismo nivel de producción. En la Gráfica 2.5, la monotonía de la función se muestra en
el punto A. En este punto, se tiene una combinación (K1,L1) con capacidad de producir
y1, pero dicha combinación está desperdiciando factores de producción. La
3
monotonicidad permite el desperdicio de factores de producción, es decir que los
productores escojan combinaciones de factores que no sean eficientes.
Gráfica 2.5. Propiedades de la tecnología – Monótonas
K
Kl
A
y1
L
L1
b. Convexa: Cuando existen dos combinaciones de factores para producir y1 - (K1,L1) y
(K2,L2)-, su combinación lineal produce al menos y1.
4
Gráfica 2.6. Propiedades de la tecnología – Convexidad
k
K1
y
K2
L
Ll
L2
c. Productividad marginal decreciente: La productividad marginal de un factor
disminuye a medida que se utiliza una mayor cantidad. Ello implica que, por ejemplo,
utilizar una mayor cantidad de capital incrementa la cantidad producida, pero el
crecimiento es cada vez menor. En la Gráfica 2.7, un cambio equivalente de capital
(K1 y K2) no ocasiona el mismo aumento de producción pues a medida que se utiliza
más capital su aporte es cada vez menor.
Gráfica 1.7. Propiedades de la tecnología – Productividad marginal decreciente
y
y 2
y1
y
K 1
K 2
K
En términos matemáticos, la productividad marginal decreciente tiene las dos siguientes
implicaciones cuando la función de producción es y=f(K,L)
5


y f

 0 . Ello implica que incrementos en la cantidad de capital
K K
utilizado aumenta la producción del bien.
2 y 2 f

 0 pero a una tasa decreciente.
K 2 K 2
Para caracterizar las relaciones tecnológicas explicadas de manera intuitiva con las
gráficas anteriores, se cuenta con un conjunto de definiciones que se estudiaran en los
próximos párrafos: la productividad marginal, la tasa marginal técnica de sustitución,
los rendimientos a escala y la elasticidad de sustitución. En estas relaciones tecnológicas
se analiza cuánto contribuye un factor de producción a aumentar la producción total de
un bien final (productividad marginal), cómo se sustituyen los factores de producción
cuando se mantiene constante la función de producción (tasa marginal de sustitución
técnica) y cuanto aumenta la producción cuando los dos factores de producción se
aumentan en la misma proporción (rendimientos a escala).
El producto marginal mide el efecto de aumentar un factor de producción mientras se
mantiene el otro factor de producción constante. Por ejemplo, el producto marginal
permite establecer el efecto de incrementar el capital sobre la producción del bien. Esto
se denomina la productividad marginal del capital. Si suponemos entonces que la
función de producción es igual a
y  f K , L 
La productividad marginal de capital equivale a
y f ( K , L)

.
K
K
La tasa marginal de sustitución técnica mide como deben variar los factores de
producción para mantener constante un nivel de producción. Por ejemplo, muestra en
cuanto debe incrementar el capital si se reduce el trabajo y se desea mantener constante
el nivel de producción, es decir si se quiere continuar en la misma isocuanta. La
curvatura de la isocuanta va a representar entonces la tasa marginal de sustitución
técnica.
Si se asume que la función de producción se representa con la ecuación y  f K , L  , la
tasa marginal de sustitución técnica se deriva calculando la diferencial total
dy 
f
f
dK 
dL .
L
K
Dado que la producción se mantiene constante, dy=0. Por lo tanto,
f
f
dK   dL .
L
K
La tasa marginal de sustitución técnica se define como.
dK
f L

.
dL
f K
6
d. Rendimiento a escala: En los rendimientos a escala, se incrementa de manera
proporcional TODOS los factores de producción y se establece su efecto sobre la
producción total. Supongamos un cambio en los dos factores igual a t de tal modo que
f (tK , tL) .
La tecnología presenta rendimientos constantes a escala cuando un incremento en t en
ambos factores de producción aumenta de manera proporcional la producción, es decir
f (tK , tL)  tf ( K , L).
Hay rendimientos crecientes a escala cuando un incremento en t en ambos factores de
producción incrementa la producción en una proporción mayor a t de modo que
f (tK , tL)  tf ( K , L).
Por último, hay rendimientos decrecientes a escala cuando un incremento en t en
ambos factores de producción incrementa la producción en una proporción menor a t de
modo que
f (tK , tL)  tf ( K , L).
Los rendimientos constantes, crecientes y decrecientes se representan en la Gráfica 2.8.
Gráfica 2.8. Rendimientos a escala
K
 t
 t
 t
y0
L
La principal diferencia entre los rendimientos y la productividad marginal radica en que
los rendimientos significan cambios en TODOS los factores de producción mientras la
productividad marginal significa el cambio en UN SOLO factor de producción.
e. La elasticidad de sustitución
Una herramienta adicional a la tasa marginal de sustitución para medir el grado de
sustituibilidad entre dos insumos es la elasticidad de sustitución. La elasticidad de
sustitución está determinada por la curvatura de la isocuanta y cambia a lo largo de esta.
Para entender el concepto de la elasticidad de sustitución, es importante entender antes
como funciona la sustitución entre dos insumos y como esta varía lo largo de la
isocuanta. La gráfica 2.9 ilustra el proceso de sustitución a lo largo de la isocuanta. La
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sustitución entre capital y trabajo en el punto A y en el punto B difiere. En comparación
con el punto B, en el punto A para remplazar una unidad de trabajo se requiere utilizar
más capital.
Gráfica 2.9. La sustitución entre capital y trabajo
K
A
TMSTA
TMSTB
(K/L)A
B
(K/L)B
y0
L
La manera de medir la sustituibilidad entre insumos de producción sin tener en cuenta la
escala de producción, es decir sin necesidad de tener en cuenta las cantidades, es la
elasticidad de sustitución. La elasticidad de sustitución mide el cambio proporcional en
K/L relativo al cambio proporcional a la tasa marginal de sustitución técnica. Si la
función de producción es y  f ( K , L)

 ln( K / L)
d K / L  TMST
 porcentual K / L


 porcentual TMST d TMST  K / L  ln(TMST )
La gráfica 2.9 también permite establecer como es la elasticidad de sustitución en los
puntos A y B. En la elasticidad de sustitución, se compara los cambios en la TMST
frente a cambios en el uso de ambos factores (K/L). Cuando se pasa del punto A al punto
B, la TMST y (K/L) están cambiando. La elasticidad de sustitución permite establecer
que tan pronunciados son esos cambios. En el punto A, los insumos no son fácilmente
sustituibles y, por lo tanto, la elasticidad de sustitución es baja. En el punto B, de otro
lado, la sustitución entre los factores de producción es alta y la elasticidad de sustitución
es más alta que en el punto A.
Los conceptos de productividad marginal, retornos a escala y elasticidad de sustitución
se estudian en los próximos párrafos con una función de producción Cobb-Douglas.
Asuma la siguiente función de producción
y  10 K 1 / 2 L1 / 2 .
La productividad marginal del capital y el trabajo se define respectivamente como
8
y
L1 / 2
 5 1/ 2
K
K
y
K 1/ 2
 5 1/ 2 .
L
L
La tasa marginal de sustitución técnica es igual a
dK f L 5 K 1 / 2 L1 / 2 K 1 / 2 K 1 / 2 K
TMST  


 1/ 2 1/ 2  .
dL f K 5 L1 / 2 K 1 / 2
L
L
L
La tasa marginal de sustitución técnica de esta tecnología disminuye a medida que
incrementa L , es decir a medida que nos desplazamos a lo largo de la isocuanta se
requiere sustituir menos capital por cada unidad adicional de trabajo.
La elasticidad de sustitución es por lo tanto igual a

d K / L  TMST
TMST K / L
1

 1.
d TMST  K / L
K/L
K/L
La elasticidad de sustitución de esta tecnología no varía a lo largo de la isocuanta ya que
no depende de la cantidad total de insumos utilizada. Por lo tanto, la elasticidad de
sustitución siempre es igual a uno.
¿Cómo son los retornos a escala de esta función de producción?
y  10tK 
1/ 2
tL 1 / 2  10t 1 / 2 K 1 / 2 t 1 / 2 L1 / 2
y  10tK 
1/ 2

tL 1 / 2  10tK 1 / 2 L1 / 2

t 10 K 1 / 2 L1 / 2  ty .
La tecnología tiene, por consiguiente retornos constantes a escala.
2.2. Minimización de costos
La tecnología es uno de los elementos utilizados por las firmas en su proceso de
decisión. Sin embargo, la tecnología no involucra aun conceptos de mercados tales
como los precios de los insumos y del bien final. Estos conceptos se incorporan en el
análisis de la minimización de costos y la maximización de beneficios. La función de
costos, tal como se define en economía, son los costos de producción sujetos a una
restricción tecnológica y estos reflejan el costo de oportunidad por la utilización de los
insumos. Los costos laborales reflejan, por ejemplo, el costo de oportunidad del empleo
y los costos de capital son el pago que estaría dispuesto a dar otra firma por el uso del
capital (p.ej., una máquina). Por lo tanto, el costo de una máquina no es el costo de
inversión, como se reporta en los costos contables, sino la tarifa a la cual se podría
alquilar dicha máquina para el mejor uso alternativo.
Antes de definir la función de costos y analizar el proceso de decisión, es necesario
realizar dos supuestos que se mantendrán a lo largo de toda la clase, salvo cuando se
mencione de manera explicita lo contrario. El primer supuesto asume que sólo se
utilizan dos insumos de producción el trabajo homogéneo (representado por L) y el
capital homogéneo (representado por K). Segundo, se asume que los insumos operan en
9
mercado perfectamente competitivos, por lo tanto, tanto los demandantes como los
oferentes de insumos son precio aceptantes.
2.2.1. El problema de minimización de costos
La firma puede tomar una decisión en etapas. En la primera etapa, la firma minimiza los
costos de alcanzar una producción dada. En la segunda etapa, la firma decide entonces
cuanto producir, dados unos costos óptimos de acuerdo a la combinación de insumos.
La función de costos de una firma es igual a
c( w, r , y )  min wL  rK
k ,l
sujeto a y0  f ( K , L).
donde L representa la cantidad de trabajo utilizada, K representa la cantidad de capital
utilizada, w el costo por cada unidad de trabajo y r el costo por cada unidad de capital.
En la decisión de la minimización de costos se escoge la cantidad óptima de insumos,
pero no la cantidad total.
La decisión de cuanto producir del bien final se realiza en la maximización de
beneficios. Las firmas pueden también maximizar sus beneficios los cuales están
representados por
 ( w, r , p)  max py  wL  rK
k ,l , y
sujeto a y 0  f ( K , L).
Sin embargo, la minimización de costos es más general ya que con la maximización de
beneficios se realiza un supuesto más restrictivo: el objetivo final de la firma es
maximizar sus beneficios. Pero el objetivo de algunas firmas no necesariamente es la
maximización de beneficios. Por ejemplo, ciertas firmas pueden buscar maximizar las
ventas o incrementar el precio de sus acciones, o una universidad busca aumentar la
calidad de su educación y prestigio académico. No obstante, las firmas siempre buscan
minimizar sus costos; por lo tanto, la minimización de costos es un problema más
general.
El análisis gráfico de la minimización de costos se presenta a continuación. Dada la
isocuanta y0 y los costos de los insumos, el objetivo de la firma es encontrar la
combinación de K y L que alcance esta producción a un mínimo costo posible. La
gráfica 2.10 muestra los costos totales para unos precios constantes de los insumos. A
medida que se utilizan más insumos los costos totales se incrementan de tal forma que
CT3  CT2  CT1 . La firma debe entonces escoger el mínimo costo para producir y0. Si
la firma escoge una combinación de insumos en la curva de costos CT3, la firma alcanza
a producir y0 pero estaría desperdiciando insumos. Lo mismo sucede con casi todas las
combinaciones que ofrece la curva CT2. Los costos se minimizan cuando la firma
escoge el punto de tangencia entre la isocuanta y la curva de costos. Esto sucede cuando
se iguala la relación de precios de precios de los insumos con la tasa marginal de
sustitución técnica. Para los precios y la producción dada, la minimización de costos se
produce en la combinación de insumos K*, L*.
10
Gráfica 2.10. Minimización de costos
CT3
K
CT2

w
 TMSTk ,l
r
K*
.
y0
CT1
L*
L
El lagrangiano para la minimización de costos está definida por
c( w, r , y0 )  L  wL  rK   ( y0  f ( K , L)).
Las condiciones de primer orden para el proceso de minimización de costos son iguales
a
1.
L
f
 w
0
L
L
2.
L
f
 r 
0
K
K
3.
L
 y 0  f ( K , L)  0

La explicación intuitiva de las condiciones de primer orden es la siguiente. La firma
iguala el costo de una unidad adicional de trabajo o capital (w,r) con el aumento en
f f
)
producción que le significa usar más de cualquiera de los dos factores ( ,
L K
multiplicado por el costo de aumentar en una unidad el producto final (  )1, es decir el
f
f 

costo marginal del producto  w   ; r  
 . La condición 3 significa que la
L
K 

firma se va a ubicar en el punto máximo de la frontera de producción y, por ende, no
desperdiciará recursos  y 0  f ( K , L)  .
La condición 1. y 2. se pueden despejar como
1
Para derivar el significado de
 , se utiliza el teorema de la envolvente donde
c
L

 .
y0 y0
11

w
f L

r
f K
Cuando se igualan las dos ecuaciones, se tiene que

w
r

f L f K
Lo cual equivale a
w f L

.
r f K
Es decir, la firma va a igualar la relación de los precios de los insumos con la tasa
marginal de sustitución técnica. Esta condición también implica que la productividad
marginal por dólar gastado de todos los insumos se iguala

w
r

f L f K
Cabe anotar que las curvas de costos están condicionadas por el nivel de producción
del bien final decidido por la firma. De este proceso de minimización, se obtienen
entonces las funciones de demanda condicionadas de los factores, es decir las
demandas que minimizan los costos de producir un nivel dado del bien final. Las
demandas condicionadas de factores son iguales a
Lc  Lc (r , w, y 0 ) y
K c  K c (r , w, y 0 ) .
En los ejemplos anteriores, el nivel de producción del bien final escogido por la firma es
y0. ¿Que pasa con la combinación de insumos cuando la firma decide expandir la
producción del bien final y el precio de los insumos permanece constante? La gráfica
2.11 muestra un ejemplo de un sendero de expansión. A medida que se incrementa la
producción escogida y el precio de los insumos permanece constante, el uso de capital y
trabajo se incrementa tal como muestra el sendero de expansión de la gráfica. El
sendero de expansión indica, por lo tanto, todas las combinaciones óptimas de insumo
cuando varía la cantidad total producida.
12
Gráfica 2.11. El sendero de expansión de la firma
K
y3
y2
CT1 CT2 CT3
y1
L
El sendero de expansión de la gráfica anterior es un caso particular en el cual
incrementos en la producción del bien final se traducen en un mayor uso de ambos
insumos. Sin embargo, hay casos, poco comunes, en los cuales un incremento en la
producción deriva en la reducción del uso de uno de los insumos de producción. Estos
insumos se denominan insumos inferiores.
2.2.2. Las funciones de costos
Las funciones de costo de las firmas se pueden analizar desde distintos ángulos: los
costos totales, los costos medios y los costos marginales. Esta sección define y analiza
los tres tipos de costos. Los costos totales representan el costo total óptimo, es decir
después de minimizar, dados unos precios de los insumos y la cantidad a producir. El
costo medio es el costo por unidad producida y el costo marginal es el costo de producir
la última unidad.
La función de costos totales representa el mínimo costo dado unos precios de los
insumos y un nivel de producción y se define como
CT  CT w, r , y  .
Los costos totales denotan, por lo tanto, las decisiones óptimas de la firma dado un
vector de precios y una producción predeterminada.
Para analizar cambios en los costos por unidad de producción del bien final, se definen
los costos medios y los costos marginales. El costo medio representa el costo promedio
por unidad producida y el costo marginal representa el costo de producir una unidad
adicional. Los costos medios están definidos por
13
CT w, r , y 
.
y
CMe 
Los costos marginales están definidos por
CMg 
CT w, r , y 
.
y
Las anteriores definiciones asumen que los precios de los insumos permanecen
constantes y que la tecnología no se modifica.
Un ejemplo gráfico de las relaciones entre los costos totales, los costos medios y los
costos marginales se presenta en la gráfica 2.12. Asuma una función de costos que
proviene de una tecnología con retornos constantes a escala. Para producir una unidad
del producto final, se requiere K1 unidades de capital y L1 unidades de trabajo. Por lo
tanto,
CT ( y  1)  rK 1  wL1 .
Dado que la función tiene retornos constantes a escala, es decir es una función
homogénea de grado uno, para producir m unidades del bien final se necesita utilizar
mK1 unidades de capital y mL1 unidades de trabajo. La función de costos es igual a
CT ( y  m)  rmK 1  wmL1
CT ( y  m)  mrK 1  wL1 
CT ( y  m)  mCT ( y  1) .
Los costos totales son entonces proporcionales a la cantidad de producto tal como se
representa en la gráfica. Para derivar los costos medios y costos marginales, los costos
totales se pueden definir como
CT ( y )  ay
donde a= CT ( y  1)  rK 1  wL1 , es decir el costo de producir una unidad del bien final.
El costo medio está definido entonces por
CMe 
CT ( y )
a
y
y el costo marginal es igual a
CMg 
CT ( y )
 a.
y
Ambas funciones de costos se presentan en la gráfica.
14
Gráfica 2.12. Costos totales, costos medios y costos marginales de una tecnología
con retornos constantes a escala
CT
CT
y
CMe
CMg
CMe=CMg
y
Un ejemplo de función de costos más complicada se presenta en la gráfica 2.13. Esta
función es en el primer rango de producción cóncava y en el punto de inflexión, y*, se
convierte en una función convexa. Los costos marginales hasta el punto de inflexión son
decrecientes y una vez se alcanza el punto de inflexión los costos son crecientes. Para
derivar la curva de costos medios se deben llevar a cabo varios pasos. En primer lugar,
para la primera unidad producida los costos medios y los costos marginales son
idénticos.
En segundo lugar, una vez se expande la producción, los costos medios son superiores a
los costos marginales. Esto se produce porque los costos medios no solo reflejan el
costo de la última unidad producida, como los costos marginales, sino los costos
promedios de todas las unidades producidas hasta el momento, es decir el costo
agregado dividido por la cantidad producida. Como los costos marginales son
decrecientes, la acumulación de los costos, reflejada en los costos medios, es mayor que
los costos marginales.
En tercer lugar, los costos marginales no siempre son decrecientes. A partir del punto de
inflexión los costos marginales se tornan crecientes. Por lo tanto, hay un punto donde
los costos marginales exceden los costos medios. Esto sucede a partir de la igualación
de los costos medios y los costos marginales. La igualación de los costos medios y los
15
costos marginales se presenta en el punto mínimo de los costos medios como se
demuestra a continuación. El mínimo de los costos medios está definido por
CMe  CT y 

0
y
y
CMe y CT y   CT

0
y
y2
CMe y CT y   CT

0
y
y2
y
CT
 CT  0
y
CT CT

y
y
CMg  CMe
Gráfica 2.13. Costos totales, costos medios y costos marginales de una curva de
costos totales cúbica
CT
CT
y*
CMe
CMg
y
CMg
CMe
y
y*
16
2.2.3. Cambios en los precios de los insumos
¿Que pasa con los costos cuando varían los precios de los insumos? Para analizar los
cambios en los costos de los insumos, se analizan dos casos. En primer lugar, se
examina el efecto de un cambio simultáneo e idéntico en el costo de ambos insumos. En
segundo lugar, se analiza el efecto del cambio en el costo de uno de los dos insumos.
Un cambio en el costo de ambos insumos por la misma proporción se traduce en una
variación por la misma proporción en la función de costos. Esto significa que la función
de costos totales es homogénea de grado uno tal como se demuestra a continuación. Si
la firma utiliza K1 y L1 para producir y1, la función de costos está definida por
CT1  rK 1  wL1 .
Un incremento de los costos de ambos insumos en t tiene el efecto siguiente sobre la
función de costos
CT1'  trK 1  twL1  t rK 1  wL1   tCT1 .
Por ende, la firma continúa utilizando la misma cantidad de capital y trabajo que antes
del cambio pero ahora los costos se multiplican por t. Los costos medios y los
marginales son también homogéneos de grado 1. Los nuevos costos medios se define
como
CMe1' 
CT1'
CT
 t 1  tCMe1 .
y
y
Asimismo, los costos marginales son
CMg1' 
CT1'
CT1
t
 tCMg 1 .
y
y
La variación en el costo de un solo insumo de producción genera unos procesos más
complejos ya que modifica su combinación de insumos para ajustarse a este nuevo
entorno económico. Un cambio en precios tiene dos efectos; por un lado, modifica los
costos y, por otro, induce a un proceso de sustitución de insumos.
Una variación en el costo de un insumo modifica el nivel de la función de costos. Por
ejemplo, si el costo del capital se incrementa, los costos totales aumentan. Para
demostrar este efecto, se puede utilizar el teorema de la envolvente. Tal como se
demostró anteriormente la función de costos totales está definida por el lagrangiano
CT    rK  wL    y 0  f ( K , L).
Por el teorema de la envolvente,
CT 

 K 0,
r
r
es decir, un mayor costo del capital significa un incremento en los costos totales. Los
costos medios también se incrementan como resultado de un mayor costo del capital. El
efecto sobre los costos marginales es indeterminado y depende de si el insumo es
normal o inferior. Nuevamente, por el teorema de la envolvente, el efecto de un cambio
en el precio del capital es igual a
17


K
CMg



.
r
yr ry y
Cuando el insumo es normal, el sendero de expansión es positivo y K y  0 . Cuando
el insumo es inferior, el sendero de expansión es negativo y K y  0 .
La variación en el precio de los insumos no solo afecta los costos también induce un
cambio en la combinación de insumos utilizada. Para examinar el efecto del cambio en
el precio de los insumos sobre la combinación de insumos, se puede calcular la
siguiente medida
 K L 
.
 w r 
Esto mide como se desplaza la firma a lo largo de la isocuanta debido a cambios en el
costo de los insumos. Con el fin de eliminar los efectos de escala, se puede convertir a
una elasticidad
s
 K L  w r  ln( K / L)

.
 w r  K L  ln(w / r )
Cuando el cambio en s es significativo, implica que las firmas reaccionan fuertemente a
cambios en los precios mientras que un s pequeño significa que variaciones en los
precios de los insumos no inducen cambios fuertes en el uso de insumo. Esta medida se
denomina elasticidad parcial de sustitución y es similar a la elasticidad de sustitución.
Sin embargo, la elasticidad de sustitución está atada a la función de producción, a través
de la tasa marginal de sustitución técnica, mientras la elasticidad parcial de sustitución
simplemente analiza como se alteran las decisiones óptimas con variaciones en los
precios. Además, la elasticidad de sustitución asume que los otros insumos de
producción permanecen constantes mientras que la elasticidad parcial permite que el
uso de otros insumos también se modifique. Una definición más general de la
elasticidad parcial de sustitución es
s ij 
 X i X j  w j wi
 w j wi  X i X j

 ln( X i X j )
 ln( w j wi )
.
El efecto total de la variación de un precio del insumo sobre los costos totales depende
entonces de la importancia del insumo en el proceso de producción y del grado de
sustituibilidad del insumo. En el primer caso, si el insumo es importante en el proceso
de producción, el efecto de un incremento en el precio significará un aumento
importante en los costos totales. En el segundo caso, si el insumo puede ser fácilmente
sustituido, el impacto sobre el costo total no es necesariamente significativo.
2.2.4. La diferencia entre el corto y el largo plazo
La diferenciación entre el corto y el largo plazo radica en la flexibilidad de decisión de
los agentes económicos. En el corto plazo, los agentes económicos enfrentan conjuntos
de decisión más restrictivos y, por lo tanto la flexibilidad para decidir es menor mientras
en el largo plazo la libertad para tomar decisiones es bastante mayor. Una definición de
corto plazo más rigurosa es que en el corto plazo se mantienen constantes algunos
factores de producción y la firma puede únicamente tomar decisiones acerca de los
factores de producción variables.
18
Por ejemplo, asuma que en el corto plazo el capital se mantiene fijo en K1 y la función
de producción del corto plazo es igual a
y  f ( K 1 , L) .
Los costos totales de corto plazo están entonces definidos por
SCT  rK 1  wL .
Por lo tanto, en el corto plazo, la firma está enfrentando un costo que varía de acuerdo a
las decisiones de la firma y un costo que se mantiene fijo independientemente de los
cambios en el comportamiento de la firma. Los primeros se denominan costos variables
(SCV) y los segundos se denominan costos fijos (SCF). En el corto plazo, la firma tiene
discrecionalidad sobre los costos variables, es decir, la firma puede decidir no incurrir
en los costos variables. De otro lado, la firma no tiene discrecionalidad sobre los costos
fijos en el corto plazo. Ello implica que si la firma decide no producir bien final debe,
de todos modos, incurrir en los costos fijos. Estos son costos entonces que se deben
pagar independientemente de si el proceso de producción se llevó a cabo. En el largo
plazo, todos los costos son variables ya que ninguno de los insumos permanece fijo.
Por ejemplo, los costos de un restaurante son los costos laborales, el pago de insumos
como la comida y el alquiler del local. Si el dueño del restaurante decide no abrir el día
siguiente, puede obviar el pago de los costos laborales (si son empleados pagados por
hora) y el pago de los insumos. Sin embargo, el alquiler del local deberá seguir siendo
pagado así el restaurante no abra ese día. Los costos variables serán entonces los costos
laborales y el pago de los insumos y los costos fijos serán el alquiler del local y el pago
de los servicios.
La obligación de mantener fijo uno o varios insumos de producción impone una
restricción adicional a las firmas e impide, en la mayoría de los casos, que la firma tome
decisiones óptimas; por lo tanto, en el corto plazo es posible que la firma no iguale su
tasa marginal de sustitución técnica a la pendiente de los precios. Esto se ilustra en la
Gráfica 2.14. En el corto plazo, el capital está fijo en K1. Como consecuencia, la firma
solo podrá escoger la cantidad de trabajo para minimizar los costos totales de corto
plazo. Si la firma decidió producir y1 y el capital está fijo en K1, los costos totales de
corto plazo no se minimizan ya que el uso posible de trabajo es L1 y en este punto no se
iguala la tasa marginal de sustitución técnica con la pendiente de los precios de los
insumos.
Gráfica 2.14. La minimización de costos en el corto plazo
19
K
K1
y2
SCT2
L1
SCT1
L2
y1
L
Los costos medios y marginales de corto plazo están definidos respectivamente por
SCMe 
SCT SCV SCF


y
y
y
SCMg 
SCT SCV

.
y
y
Dado que en el corto plazo la firma tiene restringida sus decisiones, en pocas ocasiones
la decisión de la firma en el corto plazo coincide con la minimización de costos. La
gráfica 2.14 muestra un caso donde coinciden. Asuma que el capital está fijo en K1 y la
firma decide producir y2. En este caso, la cantidad fija de capital y la producción
deseada permiten escoger una cantidad de trabajo óptima donde se iguale la tasa
marginal de sustitución técnica y la pendiente de los precios. No obstante la posibilidad
de esto, es una coincidencia que no siempre se presenta.
Las curvas de costos totales de largo plazo son entonces una envolvente de las curvas de
costos totales de corto plazo. Las curvas de corto plazo son siempre mayores que las
curvas de largo plazo; debido a las restricciones en el corto plazo, la firma no siempre
puede alcanzar el mínimo costo posible tal como se mostró en la Gráfica 2.14. Las
curvas únicamente coinciden cuando la decisión en el corto plazo coincide con la
minimización de costos en el largo plazo como sucede en la combinación de factores
(K1,L2). Un ejemplo de la relación entre curvas de corto y largo plazo se presenta en la
gráfica 2.15.
20
Gráfica 2.15. Relación entre curvas de costos totales de corto y largo plazo
SCT(K2)
CT
SCT(K1)
SCT(K0)
y0
CT
Y1
Y2
y
2.3. La maximización de beneficios
La minimización de costos, pese a ser más general, no define de manera explícita el
proceso para decidir cuanto se produce del bien final y, en últimas, se ofrece. Esta
decisión es entonces dada y exógena al modelo de minimización de costos. Por lo tanto,
es necesario caracterizar el proceso de decisión de la firma que conlleva a la decisión de
producción del bien final. La regla de decisión más utilizada es la maximización de
beneficios. En la maximización de beneficios, las firmas escogen la cantidad de insumos
y productos que maximicen los beneficios de la firma, es decir la firma maximiza la
brecha entre los ingresos y los costos totales. Esta sección analiza como se lleva a cabo
el proceso de maximización de beneficios. En primer lugar, se examina como las firmas
escogen la cantidad de producción del bien final y, en segundo lugar, como las firmas
escogen la cantidad de insumos a utilizar.
2.3.1. La decisión de producción del bien final
La función de beneficios de la firma está definida por
 ( y )  IT ( y )  CT ( y )
donde IT(y) representa los ingresos totales de la firma y CT(y) los costos totales. Los
ingresos totales están representados por
IT ( y )  P( y ) y .
El término P(y) denota la función inversa de demanda y muestra como la cantidad total
producida puede afectar el precio del bien final. Cuando la firma está en competencia
perfecta, es precio aceptante y, por lo tanto, no puede influenciar el precio del bien final
con cambios en la producción. De otro lado, cuando el mercado está compuesto por una
o pocas firmas en el sector, estas pueden influenciar el precio del bien final. Ambos
casos se estudiarán este semestre.
La firma escoge la cantidad del bien final tal que maximice su función de beneficios.
Esto sucede cuando
21
 ( y ) IT ( y ) CT ( y )


0
y
y
y
IT ( y ) CT ( y )

y
y
IMg  CMg .
Los beneficios se maximizan una vez el ingreso por producir una unidad adicional del
bien se iguala a los costos de producir una unidad adicional, es decir cuando los
ingresos marginales y los costos marginales se igualan. Las condiciones de primer orden
no son suficientes para maximizar los beneficios también es necesario que se cumplan
las condiciones de segundo orden
 2 ( y )
 0.
y 2
La gráfica 2.16 ilustra un ejemplo de maximización de beneficios. En dos puntos de la
gráfica (y*, y1) se observa que el ingreso marginal es igual al costo marginal y, por lo
tanto, las condiciones de primer orden se cumplen. Sin embargo, el punto óptimo es y*.
Si la firma decide producir menos que y*, por ejemplo y1, donde IMG=CMG, los costos
totales serán mayores que los ingresos totales y la firma enfrentará beneficios negativos.
En este punto, pese a que las pendientes del ingreso y costo total son iguales (es decir
los ingresos y costos marginales son iguales), no hay maximización de beneficios
porque no se cumplen las condiciones de segundo orden. La expansión de la producción
incrementa los ingresos y, dado que en ese punto los costos son decrecientes, la brecha
entre el ingreso y los costos se reduce. A partir del punto y2, los ingresos son superiores
a los costos y entre y2 y y* los incrementos en la producción aumentan los beneficios
totales de la firma. Estos beneficios se maximizan cuando la brecha entre el ingreso y el
costo total es más alta. Ello sucede en y*, punto en el cual la brecha es la más amplia y
los costos e ingresos marginales son idénticos.
Gráfica 2.16. La maximización de beneficios
CT
IT
CT
y1
y2
y*
y
22
2.3.2. El ingreso marginal
Los ingresos marginales de una firma representan el ingreso adicional por vender una
unidad adicional del bien final. El ingreso marginal difiere cuando las firmas son precioaceptantes y cuando las firmas pueden influenciar el precio del bien final y ambos casos
se analizan a continuación. El ingreso total está definido como
IT ( y )  P( y ) y .
El ingreso marginal es entonces igual a
IMg 
IT ( y )
dP ( y )
 P( y) 
y.
y
dy
Las firmas precio aceptantes no pueden influenciar el precio del bien final, por lo tanto,
dP
 0 y el ingreso marginal está representado por el precio de mercado que enfrenta la
dy
firma.
IMg  P( y ) .
Ello significa que por cada unidad adicional vendida la firma obtiene un ingreso
adicional de P.
De otro lado, si la firma puede modificar el precio de mercado el ingreso marginal es
igual a
IMg  P( y ) 
dP( y )
y.
dy
dP
. Este
dy
término representa la derivada de la función inversa de demanda, es decir como cambios
en la cantidad producida afecta el precio de demanda del bien. Si la función de demanda
tiene una pendiente negativa, el efecto de cambios en la producción sobre el precio es
dP
 0 , es decir una mayor cantidad del bien reduce los precios. Esto se da
negativo
dy
porque cuando el bien es abundante los precios caen. Cuando las firmas pueden
influenciar el precio, escogen la cantidad con el objetivo de maximizar los beneficios.
Las firmas no pueden, sin embargo, escoger los precios con total libertad pues estarán
restringidas por la elasticidad precio de la demanda.
Para analizar este ingreso marginal, es necesario entender el significado de
Un ejemplo de esto se presenta en la gráfica 2.17. Asuma que en un periodo inicial el
precio del bien final es P*. La demanda por el bien final a un precio P* es igual a y*. Si
la firma desea ampliar sus ventas más allá de y* a un punto y1, debe reducir el precio del
bien final a P1. Por el contrario, si la firma desea incrementar el precio del bien a P2,
debe restringir la producción a y2. Por lo tanto, la discrecionalidad de la firma para fijar
el precio del bien final está restringida por la función de demanda prevalente en el
mercado. La función inversa de demanda, al mostrar como reaccionan los consumidores
a cambios en los precios del bien final, representa esta restricción.
23
Gráfica 2.17. La función inversa de demanda
P
P2
P*
P1
y2
y*
y1
y
El ingreso marginal es, por consiguiente, menor que el precio de vender una unidad
adicional de bien (P) ya que para vender esa unidad adicional es necesario reducir el
precio de todas las unidades
IMg  P( y ) 
dP( y )
y P.
dy
La capacidad de las firmas para modificar el precio depende de cuan elástica es la
función de demanda por el bien final. Las firmas que enfrentan demandas elásticas
tienen facilidad para influir sobre los precios ya que un cambio pequeño en la cantidad
producida induce una variación sustancial en la cantidad demandada y, por ende, en el
precio. Las firmas que enfrentan, por otro lado, una demanda inelástica no tienen mucha
injerencia sobre el precio puesto que para modificarlo es necesario variar la producción
en una cantidad considerable y esto produce ingresos negativos a la firma.
Esta explicación intuitiva se deriva a continuación. El ingreso marginal se puede
reescribir como
 dP ( y ) y 
.
IMg  P( y )1 
dy P ( y ) 

Por lo tanto, las condiciones de primer orden se pueden reescribir como

1
IMg  P1 
 e
y, p


  CMg


Dado que la elasticidad precio de la función de demanda está definida como
e y, p 
dY P
,
dP y
24
1
e y, p

dP ( y ) y
.
dy P( y )
El ingreso marginal es entonces igual a

1
IMg  P( y )1 
 e
y, p


.


La relación entre la elasticidad de la función de demanda y el ingreso marginal depende
de:
1. Si la firma opera en la porción elástica de la función de demanda,
e y , p  1, IMg  0 , es decir un incremento en la cantidad producida
implica un incremento en el ingreso total.
2. Si la firma opera en la porción inelástica de la función de demanda,
e y , p  1, IMg  0 , es decir un incremento en la cantidad producida
implica una caída en el ingreso total.
3. Si la función de demanda exhibe una elasticidad unitaria
e
y, p
 1,
IMg  0 , es decir un incremento en la cantidad producida no modifica el
ingreso total.
Al analizar este mismo proceso con las condiciones de primer orden, se obtiene lo
siguiente:
1. Si la firma opera en la porción elástica de la función de demanda e y , p  1 ,

1
P 1 
 e
y, p


  CMg  0 .


2. Si la firma opera en la porción inelástica de la función de demanda


e y , p  1, P1  1   CMg  0 , es decir el costo marginal sería negativo
 e y, p 
lo cual es imposible.
Esto implica que la firma solo opera en la porción elástica de la función de demanda,
rango en el cual el ingreso y el costo marginal son positivos.
La firma buscará maximizar la brecha entre el ingreso y el costo total, lo cual sucede
cuando el ingreso marginal y el costo marginal se igualan y las condiciones de segundo
orden se cumplen. Para esto, la firma buscará imponer un precio muy por encima de su
costo marginal. Para analizar la relación entre el tamaño de la brecha y la elasticidad,

1
IMg  P1 
 e
y, p

P
P
e y, p

  CMg


 CMg
25
P  CMg  
P  CMg  
P
e y, p
P
e y, p
1
P  CMg

.
P
e y, p
La elasticidad determina, por ende, el tamaño de la brecha entre el precio y el costo
marginal. Es obvio que para las firmas es conveniente tener una brecha amplia, y
positiva, entre el precio y el costo marginal ya que esto significa mayores beneficios
totales. A medida que la demanda es más elástica, la brecha entre el precio y el costo
marginal se reduce hasta llegar a ser igual a cero lo cual sucede cuando la demanda es
infinitamente elástica e yp    y la firma no tiene, por consiguiente, ningún efecto
sobre el precio (competencia perfecta) tal como se demuestra a continuación
lim 
e yp  
1
e y, p
0.
Por lo tanto,
P  CMg
0
P
P  CMg .
En competencia perfecta, cuando las firmas son precio aceptantes, la maximización de
beneficios se da en el punto donde el ingreso marginal es igual al costo marginal. Dado
que el ingreso marginal es igual al precio de mercado, esto sucede cuando el precio de
mercado se iguala al costo marginal.
¿Cuál es la relación entre la curva de ingreso marginal y la curva de demanda? Cuando
las firmas pueden influenciar los precios, la curva de ingreso marginal siempre se ubica
por debajo de la función de demanda ya que
IMg  P( y ) 
dP( y )
y  P( y ).
dy
La gráfica 2.18 presenta un ejemplo de una curva de demanda y su respectiva curva de
ingreso marginal. Tal como se demostró la curva de ingreso marginal se encuentra
siempre ubicada debajo de la curva de demanda. El ingreso marginal es positivo en la
región elástica de la curva de demanda. En la región inelástica, el ingreso marginal se
torna negativo. Este punto se representa en la gráfica con y1.
26
Gráfica 2.18. La curva de demanda y la curva de ingreso marginal
P
eyp<-1
IMg
P1
dd
y1
y
2.3.3. La oferta de corto plazo
La curva de oferta de corto plazo refleja cuanto produce la firma para distintos opciones
de precios. Dicha oferta se deriva del proceso de maximización de beneficios
anteriormente analizado y se deriva en esta sección. La gráfica 2.19 presenta un ejemplo
del proceso de maximización de beneficios en el corto plazo, el cual permite derivar la
función de oferta. Dado que se está analizando la curva de oferta en el corto plazo, la
firma enfrenta costos totales de corto plazo (SCT), costos medios de corto plazo (SCMe)
y costos marginales de corto plazo (SCMg).
SCMe 
SCT SCV SCF


y
y
y
SCMg 
SCT
.
y
Asuma una firma tomadora de precios y operando en el corto plazo. El precio de
mercado es P*. Los costos de esta firma se ilustran en la gráfica 2.19. Estos costos
permiten derivar la curva de oferta de corto plazo. Las firmas producirán cuando los
beneficios son positivos o cuando la firma alcanza a cubrir los costos variables y un
porcentaje de los fijos. Si la firma no puede cubrir siquiera los costos variables, prefiere
no producir. A este precio, la firma igualan los ingresos y costos marginales. Dado que
la firma es tomadora de precios, el ingreso marginal es P* y el punto de optimización es
y*, es decir en el cual el ingreso marginal (P*) se iguala con el costo marginal de corto
plazo (SCMg). Los beneficios de la firma serán en este punto positivos porque el precio
excede los costos medios de producción. Si el precio es menor que los costos medios
totales, los beneficios son negativos tal como sucede en el punto y1. Los beneficios en
este punto son negativos porque los ingresos ganados no alcanzan a cubrir los costos
fijos de producción pero si alcanzan a cubrir los costos variables. Cuando el precio se
ubica en la porción decreciente de la porción de costos, como en el punto y2, la firma no
27
está en un punto de maximización de beneficios porque producir una unidad adicional
reduce los costos, incrementa los ingresos y, por lo tanto, los beneficios son mayores.
Esto implica que la firma nunca se ubica en la porción decreciente de la función de
costos marginales.
Gráfica 2.19. La maximización de beneficios en el corto plazo
P
SCMg
SCMe
P*
SCV/y
P1
P2
y2
y*
y1
y
Esta explicación intuitiva también se puede demostrar de manera formal con las
condiciones de primer y segundo orden. Las condiciones de primer orden de la
maximización de beneficios cuando la firma es precio aceptante son iguales a

 P  CMg  0 .
y
Las condiciones de segundo orden son
CMg
 2

 0.
2
y
y
Por lo tanto, en el punto de maximización de beneficios es necesario que la curva de
costos marginales sea creciente.
Las funciones de costos anteriores y el precio permiten derivar la curva de corto plazo
de la firma. La firma produce en la región creciente de la curva de costo marginal de
corto plazo y produce a partir del punto donde se cubren los costos variables medios. En
la Gráfica 2.20, si los precios caen debajo de P1, la firma no alcanza a cubrir los costos
variables medios y prefiere, por ende, no producir. La firma tiene entonces producción
positiva a partir de P1. De otro lado, cuando el precio está entre la curva de costo medio
variable y la curva de costo medio fijo, la firma alcanza a cubrir los costos variables
pero no los costos fijos. En este punto, la firma si produce para cubrir los costos
variables y una porción de los costos fijos. En el largo plazo, la firma puede cerrar su
28
operación pero en el corto plazo no lo puede hacer, por lo tanto, es mejor producir. La
curva de oferta está representada por las líneas gruesas de la gráfica 2.20.
Gráfica 2.20. La curva de oferta de corto plazo
P
SCMg
SCMe
SCV
P1
y2
y1
y*
y
2.3.4. La maximización de beneficios y la demanda por insumos
El análisis anterior se concentró en explicar la elección de la producción total del bien
final. En esta sección, se analiza como la firma escoge la producción del bien final y los
insumos demandados. Para esto, se asume
 Un mercado perfectamente competitivo para el bien final y los
factores; e
 Información perfecta.
Si se asume que la firma produce solo un bien final y utiliza dos factores de producción,
el proceso de decisión de la firma se define como
max py  wL  rK
y , k ,l
sujeto a y  f K , L .
.
Al sustituir la función de producción en la función de beneficios, se obtiene
max pf K , L   wL  rK .
k ,l
La firma, por ende, maximiza los ingresos de vender el bien final al precio P y minimiza
los costos de utilizar los insumos K y L a los precios w y r.
Las condiciones de primer orden son
29
p
f
r
K
p
f
 w.
L
Las condiciones de primer orden implican que el productor iguala el valor del producto
marginal de cada factor a su precio. Es decir, el productor iguala el valor que le significa
f
producir una unidad adicional del bien final ( p ) al costo de usarlo (w). Cuando
L
f
p
 w , producir una unidad adicional incrementa los ingresos por encima del costo
L
de producirla y todavía se pueden extraer beneficios adicionales. Ello significa que la
firma realiza un análisis costo-beneficio por cada unidad producida.
Las condiciones de primer orden se pueden reescribir como
p
r
f K
p
w
f L
Dado que los precios del bien son idénticos
p
w
r

f L f K
w f L

 TMST .
r f K
Esto significa que, cuando la firma maximiza beneficios, también minimiza los costos
ya que se iguala la pendiente de los precios de los insumos con la tasa marginal de
sustitución técnica.
Las condiciones de segundo orden en este caso son
 KK  0
 LL  0
2
 KK  LL   KL
0
El proceso de maximización anterior permite derivar la oferta del bien final y las
demandas de insumos como función del precio del bien final y el precio de los insumos.
Las demandas de insumos están representadas por las funciones siguientes
K *  K * P, w, r 
L*  L * P, w, r 
Estas difieren de la demanda condicionada pues no está determinada por la cantidad
producida.
30
La función de oferta se obtiene remplazando las demandas de insumos en la función de
producción de la firma
y  f K * P, w, r , L * P, w, r 
y  y * P, w, r  .
La función de oferta refleja la cantidad de bien final que maximiza los beneficios de la
firma dados el precio del bien final y el precio de los insumos. Las funciones de oferta
y demanda de los insumos se presentan en la gráfica 2.21. Los cambios en los precios
del bien final o de los insumos provocan variaciones en la demanda de los factores y en
la oferta del producto.
Gráfica 2.21. Demanda de factores y oferta del bien final
w
p
L=f(w,r,p1)
y=f(w1.r.p)
0
L=f(w,r,p )
y=f(w0.r.p)
donde p1>p0
donde w1>w0
L
Demanda de trabajo
y
Oferta del bien final
Los dos métodos de decisión de la firma, la maximización de beneficios y la
minimización de costos, son importantes. Por un lado, la maximización de beneficios
permite derivar el nivel óptimo de producción. De otro lado, la minimización de costos
permite identificar la combinación de factores óptima para una cantidad determinada del
bien a un costo mínimo. Sin embargo, la maximización de beneficios subsume la
minimización de costos. El cuadro 2.1 compara los dos procesos de decisión.
31
Cuadro 2.1. Maximización de beneficios vs. Minimización de costos
Maximización
de Minimización de costos
beneficios
Objetivo de
la decisión
Hallar el nivel óptimo de
producción y de insumos
Hallar combinación óptima
de factores para alcanzar el
costo mínimo de una
cantidad determinada del
bien final
Funciones
derivadas
y  y ( P, r , w)
Lc  Lc (r , w, y 0 )
L  L( P, r , w)
K c  K c (r , w, y 0 ) .
K  K ( P, r , w)
2.3.5 Cambios en los precios de los insumos
Con el fin de establecer el efecto de cambios en los precios de los insumos sobre la
demanda de factores, es necesario realizar ejercicios de estática comparativa. La
estática comparativa permite establecer el efecto del cambio de una variable exógena,
tal como el precio del producto o los precios de los insumos, sobre una variable
endógena, tal como la demanda de un factor o la oferta del bien, cuando las demás
variables permanecen constantes. Es decir, se analiza cómo se modifica el equilibrio
cuando cambian las condiciones exógenas.
El primer ejemplo de estática comparativa asume que la firma solo utiliza un factor de
producción. Primero, se analiza cual es el efecto de un cambio en el salario sobre la
demanda de trabajo. Dado que solo hay un factor de producción y no hay posibilidades
de sustitución por otro insumo, un incremento en el salario conlleva a una disminución
inequívoca de la demanda por trabajo. Sin embargo, es importante realizar la derivación
matemática con el fin de entender la derivación cuando hay más de un factor de
producción.
Para derivar el signo de L w cando sólo se usa un factor de producción, es necesario
utilizar las condiciones de primer orden del problema de maximización de beneficios.
Ello debido a que las condiciones de primer orden denotan las condiciones de
equilibrio.
P
f
 w.
L
Si se deriva la diferencial total respecto a w,
dw  P
 2 f L
dw
L2 w
dw
 2 f L
1 P 2
dw
L w
L
1

.
2
w P  f L2
32
Para establecer el signo de esta derivada,
 L 
signo   signo P  2 f L2 .
 w 


El signo del efecto de un cambio en el salario sobre la demanda por trabajo depende
entonces de la productividad marginal del trabajo. Las características de la
productividad marginal del trabajo son: (i) un aumento en la cantidad de trabajo
incrementa la cantidad producida; pero (ii) cada unidad adicional aporta menos a la
producción.
La productividad marginal decreciente implica que P  2 f L2  0 . Por lo tanto,
L
 0 . Otra forma de analizar el signo de la demanda por trabajo respecto al salario es
w
analizando las condiciones de primer orden de la maximización de beneficios.
P
f
 w.
L
Si w disminuye y la igualdad se debe mantener es necesario que
f
varíe ya que P es
L
f
f
debe disminuir. Para que
disminuya, es necesario que L aumente
L
L
debido a la productividad marginal decreciente del trabajo.
fijo. Entonces
Cuando hay dos factores y la firma enfrenta cambios de precios en los insumos, tiene la
posibilidad de sustituir entre factores de producción. Por ejemplo, si el salario
disminuye, la firma puede sustituir capital por trabajo y continuar produciendo la misma
cantidad. La demanda por trabajo aumenta, al igual que en el caso de un solo factor de
producción. La diferencia entre el caso de un insumo y dos insumos es la magnitud del
cambio de la demanda por trabajo.
Un cambio en el salario induce dos efectos sobre el proceso productivo. Si la
producción se mantiene constante, se produce un efecto sustitución en el cual la firma
sustituye capital por trabajo. Pero de manera paralela se produce un efecto producto en
el cual la disminución del salario deriva en un incremento de la producción total.
La gráfica 5.2. muestra un ejemplo del efecto de una disminución del salario sobre la
demanda por trabajo. En un punto inicial, la firma escoge la cantidad de capital y
trabajo que minimice los costos de la empresa lo cual equivale al punto de tangencia A
tal que se produzca un total de y1. Una disminución en el salario cambia la pendiente de
w r de modo tal que si el salario varía de w a w* se tiene la pendiente w * r . Esta
nueva pendiente traslada el punto de tangencia de A a B. En el punto de tangencia B se
utiliza una mayor cantidad de trabajo y una menor cantidad de capital si se mantiene la
cantidad de producción constante en y1.
33
Gráfica 5.2. Efecto sustitución.
K
wr
A
K1
B
y1
K2
w* r
L1
L
L2
Cuando solo se considera el efecto sustitución, los signos de los cambios en las
demandas de capital y trabajo son inequívocos
L
w
y  y1
K
w
y  y1
0
0.
Sin embargo, suponer que la producción total no cambia es demasiado restrictivo. Una
caída en el salario modifica los costos de la firma y, como consecuencia, las decisiones
de producción también. Esto se observa en la gráfica 5.3. La caída en el costo del salario
disminuye los costos marginales de la firma de CMg1 a CMg2. Los costos menores
inducen a un incremento en la producción del bien de modo tal que varía de y1 a y2. La
disminución en los costos afecta la demanda de factores. Cuando solo se tiene en
cuenta el efecto sustitución, la combinación de factores es (L2,K2). Con aumentos de
producción, la demanda por trabajo aumenta aún más. De otro lado, el cambio en capital
es el siguiente:

Por el efecto sustitución, un descenso en el salario induce a la firma a sustituir
capital por trabajo. Por lo tanto, disminuye la cantidad de capital utilizada.

Por el efecto producción, un descenso en el salario reduce los costos marginales
lo cual ocasiona un incremento de la producción y, por ende, es necesario
utilizar más capital.
Ello implica que los dos efectos son contradictorios y
K
 0.
w
34
El signo del efecto sobre el capital depende de la magnitud de la reducción en el
salario, la magnitud de la reducción en los costos y la sustituibilidad entre capital y
trabajo.
Gráfica 5.3. Efecto producto.
K
CMg1 CMg2
wr
K1
P
y2
K3
K2
y1
L1
L 2 L3
w* r
L
y1
y2
y
La derivación matemática del efecto sustitución y el efecto producto se describe a
continuación. La demanda de factores está determinada por
L  LP, w, r 
K  K P, w, r  .
Para conocer el efecto total de un cambio del salario sobre la demanda laboral L w  ,
se divide el cambio en dos efectos
L L
L

( y constante) 
(debido a variaciones de y) .
w
w w
El primer término es el efecto sustitución y el segundo término es el efecto producto.
Para derivar el efecto sustitución, se utiliza el teorema de la envolvente de la función de
costos pues en esta se mantiene constante la producción. La función de costos se define
como
cw, r , y   min wL  rK
K ,L
sujeto a y  f K , L .
El lagrangiano se define como
L  wL  rK    y  f K , L  .
Por el teorema de la envolvente, se puede obtener la demanda de trabajo derivando la
función de costos respecto al salario
35
c L

 L y, w, r  .
w w
Esto se conoce como el Lema de Shephard. Si se deriva de nuevo respecto al salario, se
obtiene la ecuación siguiente
 2c  2 L L
.


w2 w2 w
Las características de las funciones de costos son

c
 0; y
w

 2c
 0.
w2
Por lo tanto,
L
 0.
w
La demostración anterior nos permite afirmar que el efecto sustitución es negativo. Ello
implica que aumentos en los salarios, cuando se mantiene constante el producto, derivan
en una disminución en la demanda por trabajo.
Ahora es necesario derivar el efecto producto. Para derivar este efecto, es fundamental
tener en cuenta que dicho efecto se produce a través de cambios en el producto.
L
L y P CMg y
(debido a variaciones de y) 
.
w
y P CMg y w
La intuición de esta derivada es la siguiente, sin asumir competencia perfecta:
1. Un cambio en el salario induce un cambio en el costo marginal respecto al
CMg y
producto
.
w
2. Cambios en costo marginal respecto al producto produce cambios en el precio
de equilibrio de acuerdo a la estructura de la industria (p.ej. competencia
P
perfecta, monopolio,etc)
.
CMg y
3. Los cambios en los precios ocasionan cambios en la demanda del producto
y
.
P
4. Por último, cambios en el producto induce a cambios en la demanda de trabajo
L
.
y
Para definir el signo del efecto producto, es entonces necesario establecer el signo de
cada uno de los componentes de la ecuación anterior. Por la maximización de
beneficios, cuando una firma opera en competencia perfecta se tiene que
P  CMg y
36
P
 1.
CMg y
La expresión anterior se convierte, por lo tanto, en
L y CMg y
L
.
(debido a variaciones de y) 
y P w
w
y
representan los cambios en la demanda como consecuencia de cambios
P
y
en los precios,
0.
P
Dado que
Ahora es necesario demostrar que
L CMg y

. Por el teorema de la envolvente,
y
w
c L

L
w w
 2c
2L
L


.
wy wy y
De otro lado, el costo marginal del producto es igual a
c
 CMg y
y
CMg y
 2c

.
yw
w
Por simetría,
 2c
 2c

.
yw wy
Por lo tanto,
L CMg y

.
y
w
Esto implica que
 CMg y 
 L 
.
signo   signo
 y 
 w 
Dado que los dos signos son iguales,
L CMg y
 0.
y w
Entonces
37
L
L y CMg y
(debido a variaciones de y) 
 0.
w
y P w
Por lo tanto, la suma del efecto sustitución y efecto producto es negativa
L L
L

( y constante) 
(debido a variaciones de y)  0.
w w
w
El análisis gráfico y matemático anterior permite establecer el efecto de cambios en los
precios sobre la demanda de factores. Este análisis, sin embargo, no permite definir la
magnitud del cambio que depende de muchos factores. Los determinantes del efecto
sustitución son:

La capacidad de sustituir un factor de producción por otro determina
completamente el efecto sustitución. Cuando después de un incremento salarial
la firma puede sustituir fácilmente trabajadores por máquinas, el efecto
sustitución puede ser alto. De otro lado, si la firma tiene tecnologías de
proporciones fijas, el efecto sustitución es igual a cero.

El corto y largo plazo es otro factor importante. Es posible que en el corto plazo
los factores de producción no sean sustitutos pero en el largo plazo pueden ser
sustitutos.
La magnitud del efecto producción depende de:

Magnitud del cambio en los costos marginales por cambios en los salarios.
Dicha magnitud depende principalmente de la importancia que tiene el costo del
trabajo en la estructura de costos totales. Si los costos laborales constituyen un
porcentaje importante, un descenso del salario provoca una disminución
importante en los costos totales y, como consecuencia, un efecto producción
considerable.

Cambios en la cantidad demandada por cambios en los precios.
2.3.3. El excedente del productor
Al igual que en el caso del consumidor, es necesario definir una medida de bienestar
para el productor. Las medidas de bienestar, como su nombre lo indican, permiten
establecer el bienestar, para la sociedad, de la existencia de ese mercado. En el caso del
consumidor, el bienestar se aproxima con el excedente del consumidor. Para el
productor, el bienestar se mide con el excedente del productor, el cual en el corto plazo
equivale a los beneficios de la firma más los costos fijos.
La intuición para esto es sencilla. Si la firma no tiene permitido transar en el mercado en
el corto plazo, deberá de todos modos incurrir en los costos fijos de producción ya que
estos son inevitables. En este caso, la firma enfrenta pérdidas equivalentes a los costos
fijos. Los beneficios percibidos por la firma una vez le es permitido transar serán
entonces el beneficio por producir y* más los costos fijos  *  SCF .
Esto se representa formal y gráficamente de la siguiente manera. Si la firma produce y*,
el excedente del productor es igual a los beneficios percibidos por producir y* menos
los costos cuando no se produce nada (-SCF), lo cual se representa formalmente de la
manera siguiente
38
EP  
y*
0
P * CMg ( y)dy
EP  P * y  CT ( y )0
y*
EP  P * y * CT ( y*)  P * 0  CT (0)
EP   *  SCF .
La representación gráfica del excedente del productor se presenta en la gráfica 2.22.
Gráfica 2.22. El excedente del productor
P,CMg
S=CMg
Excedente del productor
0
y
39