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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Motivación de las razones trigonométricas
Ejemplo 1
Cálculo de la altura de un objeto.
√
Indicación-Relaciones trigonométricas en un triángulo rectángulo;tan 60º = 3
Ejemplo 2
Cálculo de la altura de un objeto de pie inaccesible.
Indicación-tan 45º=1
Ejemplo 3
Deducir (sin calculadora) sin 60º,cos60º,tan 60º.
Indicación- Considerar relaciones en un triángulo equilátero.
Ejemplo 4
Deducir (sin calculadora) sin 30º,cos30º,tan 30º.
Ejemplo 5
Deducir (sin calculadora) sin 45º,cos45º,tan 45º.
Observación
ˆ El seno de un ángulo coincide con el seno de su complementario.
ˆ El coseno de un ángulo coincide con el seno de su complementario.
ˆ Las tangentes de un ángulo y su complementario son mutuamente inversas.
Regla nemotécnica
Tabla de las razones trigonométricas de los ángulos de 30º, 45º y 60º.
Problemas
1
Denición
Sea α el ángulo que forman dos semirrectas r y s y sea O, el vértice de dicho ángulo, formado en la
intersección de r y s. Respecto de una referencia rectangular del plano centrada en O y cuyo eje de
abscisas contiene a r, sea C la circunferencia de centro O y radio 1, sea Q, el punto de coordenadas
(1,0) y sea P=(x,y) el punto de intersección de la semirrecta s con la circunferencia C.
Laa razones trigonométricas de αse denen entonces como sigue:
ˆ Coseno de α: Se escribe cosα y es la abscisa de P, es decir, cosα=x
ˆ Seno de α: Se escribe sen α y es la ordenada de P, esto es, sen α=y
ˆ Tangente de α :Se escribe tan α y es el cociente entre la ordenada y la abscisa de P, es decir,
tgα = xy = senα
cosα , siempre que x no sea nulo.
Propiedades
Teorema
En todo triángulo rectángulo se cumple que
sin α =
cateto opuesto a α
hipotenusa
cosα =
cateto contiguo a α
hipotenusa
tanα =
cateto opuesto a α
cateto contiguo a α
donde αes el ángulo formado por la hipotenusa y uno de los catetos.
Demostración
(Hecha en clase)
2
Puntos pendientes
ˆ Denición de la secante, la cosecante y la cotangente.
ˆ Notación angular en radianes.
ˆ Relación entre razones trigonométricas de ángulos de distintos cuadrantes.
ˆ Razones trigonométricas de ángulo suma, diferencia,...
ˆ Ecuaciones trigonométricas.
3