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 Departamento de Matemáticas TRIGONOMETRÍA
Construcción de un aparato medidor de ángulos
Se llama línea de visión a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el
lugar observado. Llamamos ángulo de elevación al que forman la horizontal del
observador y el lugar observado cuando éste está situado arriba del observador. Cuando
el observador está más alto lo llamaremos ángulo de depresión.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO
Tangente de un ángulo
Marta, que vive en primera línea de playa, observa un hidropedal averiado bajo un
ángulo de depresión de 10º. Ella estima que la altura de su apartamento es de 20 m y
que la distancia del portal a las olas es de 15 m.
1 Departamento de Matemáticas Como desea conocer lo que deben nadar sus ocupantes hasta alcanzar la costa, con la
ayuda de un transportador de ángulos dibuja un triángulo semejante y, posteriormente,
mide sus catetos. Por ser proporcionales con el triángulo real, Marta consigue averiguar
lo que debían nadar sus ocupantes para alcanzar la playa.
Realiza en tu cuaderno la proeza de Marta.
Definición
Consideremos un ángulo agudo cualquiera y tracemos una perpendicular por su
semirrecta base obteniendo el triángulo ABC, llamaremos tangente de A a la razón
BC/AC.
El Teorema de Thales garantiza que el lugar por el que trazamos la perpendicular es
indiferente para el cálculo de la tangente:
En general, sobre un triángulo rectángulo, diremos que la tangente del ángulo es la
razón cateto opuesto/cateto contiguo.
2 Departamento de Matemáticas De igual manera diremos que el coseno del ángulo es la razón cateto
contiguo/hipotenusa y que el seno de éste es cateto opuesto/hipotenusa.
También se utilizan las inversas de la tangente, el coseno y el seno, que se llaman
respectivamente cotangente, secante y cosecante:
A la tangente, coseno, seno y a sus inversas se las llama razones trigonométricas del
ángulo "
•
Estima, sirviéndote de un transportador de ángulos y midiendo segmentos en los
correspondientes dibujos, las razones trigonométricas de los ángulos de 40º y
60º.
Obtención de las razones trigonométricas mediante la calculadora
Anteriormente hemos estimado las razones de los ángulos mediante la medida de
segmentos. La imprecisión de la medida provoca que se obtengan valores con poca
exactitud. Existen técnicas matemáticas que permiten conocer con suficiente finura el
valor de la tangente, el coseno y el seno de un ángulo, pero no se estudian en este curso.
No obstante, puedes hacer uso de tu calculadora para obtener una buena estimación
utilizando la teclas TAN, COS y SIN.
Pasos para hallar el valor de la tangente del ángulo de 40º:
40 TAN = 0.8390996.
En otros modelos de calculadora se pone TAN en primer lugar y después se introduce
40.
3 Departamento de Matemáticas También es posible, conocida la tangente del ángulo, averiguar el ángulo del que se
trata. Supongamos que la tangente de un ángulo vale 2.75:
2.75 TAN-1 = 70.016893, se trata de un ángulo 70º aproximadamente. En otras
calculadoras se introduce 2.75 después de TAN-1.
---------------------------------------------------------------------------------------Si Marta hubiera estudiado la tangente y dispuesto de una calculadora, no tendría que
haber recurrido al dibujo para calcular la distancia del hidropedal hasta el portal de su
casa:
tg(80º)=x/20; x=20. tg(80º)=20 . 5'6712818 =113'42 m aproximadamente.
---------------------------------------------------------------------------------------APLICACIONES
1) Estimación de la distancia Tierra-Luna
4 Departamento de Matemáticas Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km. Se puede comprobar que si observamos
la Luna desde la Tierra, contemplamos su disco bajo un ángulo de medio grado.
Si a x, que es la distancia hasta el centro de la Luna, le quitamos los 1738 Km del radio
obtendremos un valor estimado de la separación entre Tierra y Luna de 396579 Km..
(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de la
Luna. Se ha podido conocer, mediante el envío de rayos láser, que la distancia media
hasta la superficie lunar es de 384403 km)
2) Estimación de la distancia Tierra-Sol
Aristarco (s. III a. J.), célebre astrónomo de Alejandría, intentó calcular cuántas veces
era mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna. Cuando observamos
la Luna en cuarto creciente las líneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un ángulo de 90º.
Aristarco midió el ángulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valor
en 87º.
De esta forma:
Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayor
que hasta la Luna. Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente, obtenemos
una distancia solar de 7344920 Km.
Volviendo con nuestro astrónomo, faltaba comentar que cometió un pequeño error al
medir el ángulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89º 50'. Esta pequeña diferencia
en la medida del ángulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdadera
separación Tierra-Sol
Con mayor precisión se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km.
Como recordarás, a este valor se le llama unidad astronómica (UA).
5 Departamento de Matemáticas 3) Mediciones
Se desea construir un puente sobre un río, que mide 10 m de ancho, de manera que
quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una
inclinación de 20E. ¿Cuál debe ser la longitud de la baranda?, ¿a qué distancia del cauce
se situará el comienzo de la rampa?
la baranda es de unos 21 m y 70 cm.
La escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce.
4) Cálculo de alturas
Se desea calcular la altura de la torre, para ello se miden los ángulos de elevación desde
los puntos A y B. Con los datos de
la figura tenemos que:
Si despejamos h en las dos
igualdades e igualamos tenemos:
(10+x)·0'839=1'96·x; 8'39+0'839·x=1'96·x; 8'39=1'121·x; x=7'484 m, aproximadamente.
h=7'484·1'96=14'668. La torre mide unos 14 metros y medio de alto.
•
Halla la altura del puente, sabiendo que tiene 17 m de largo.
6 Departamento de Matemáticas PROPIEDADES
Consideremos el triángulo rectángulo de la figura:
1) En todo triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que los catetos, si consideramos
la definición del seno y el coseno es evidente que:
0 < cos " <1 y 0 < sen " < 1, para cualquier ángulo agudo ".
2)
3) Propiedad fundamental:
Es frecuente en trigonometría que aparezcan los términos (sen ")2 y (cos ")2, para
abreviar su escritura suelen notarse como sen2 " y cos2 "..
De esta manera el teorema fundamental aparece como
7 Departamento de Matemáticas 4) Demostremos que
:
5) Diremos que " y $ son complementarios si "+$=90E. Esto ocurre con los ángulos
agudos de un triángulo rectángulo.
Podemos observar en la figura anterior que el cateto contiguo a " coincide con el
opuesto a $ y que la hipotenusa es común a ambos ángulos, por lo tanto cos " = b/c =
sen $. De igual manera tenemos que
¿Qué relación existe entre las tangentes de " y $?
Actividad resuelta
De un ángulo agudo " sabemos que su seno vale 0'8. Hallar el coseno y la
tangente:
. Sustituyendo:
;
. Tomando raíces,
Aunque es conveniente que conozcas muy bien el procedimiento anterior, también es
posible resolver el problema con la ayuda de la calculadora:
0'8
= 53.130120, nos devuelve el valor aproximado del ángulo cuyo seno vale 0'8.
A continuación sólo queda hallar su coseno y su tangente con la propia máquina.
•
De un ángulo " sabemos que su tangente vale 7'3. Hallar, utilizando la propiedad
4, el coseno y el seno del ángulo.
CÁLCULO EXACTO DE LAS RAZONES DE LOS ÁNGULOS DE 45º 30º y
60º
La calculadora aporta un valor aproximado de las razones de un ángulo con un error
muy pequeño. No obstante, cuando operamos con valores aproximados, los errores
aumentan después de cada operación y conviene por ello conocer su valor exacto.
8 Departamento de Matemáticas Cálculo de las razones trigonométricas del ángulo de 45º.Como el triángulo es isósceles, los dos catetos son iguales.
Cálculo de las razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º.Si construimos el triángulo auxiliar señalado en trazo discontinuo, obtenemos un
triángulo equilátero de lado c.
Por ser 60º complementario de 30º:
Se puede obtener el valor preciso de muchos más ángulos mediante el empleo de
fórmulas trigonométricas que no estudiarás este curso.
LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD
Se llama circunferencia unidad (S1) a la que tiene su centro en el origen de coordenadas
y cuyo radio es la unidad.
9 Departamento de Matemáticas En la figura observamos que el ángulo " determina un punto P(x,y) sobre la
circunferencia.
sen ".= cateto opuesto / hipotenusa = y / 1 = y
cos ".= cateto contiguo / hipotenusa = x / 1 = x
tg ".= cateto opuesto / cateto contiguo = y / x.
Determinación geométrica de la tangente
La tangente coincide con la longitud del segmento t determinado por el ángulo sobre la
semirrecta del dibujo. ¿Qué ocurre cuando el ángulo se acerca a 90º? Compruébalo con
la calculadora.
Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera
Para los ángulos agudos se
verifica que el coseno y el
seno se determinan mediante
el punto que definen sobre S1,
10 Departamento de Matemáticas esto nos va a permitir definir sobre un ángulo cualquiera, no necesariamente agudo, el
coseno como la primera coordenada (abscisa) del punto asociado y el seno como la
segunda coordenada (ordenada) del mismo.
Ejemplo: estimación de las razones trigonométricas del ángulo de 120º.
Su seno está alrededor de 0'87 y su coseno de -0'5.La calculadora confirma el valor del
coseno y da un valor del seno igual a 0'86602...
Tg 120º = sen 120º / cos 120º = -1'732...
•
Estima, utilizando la plantilla del final del capítulo, las razones trigonométricas
de los ángulos de 220º y 295º.
Signo de las razones en función de los cuadrantes: es el signo de las coordenadas del
punto determinado por el ángulo.
•
•
•
Observa los puntos que determinan sobre la
circunferencia unidad los ángulos de 0º,90º,
180º y 270º, y calcula el valor de sus senos y
cosenos.
Dibuja dos ángulos cuyo seno valga 0'4.
Sobre la circunferencia unidad, dibuja:
dos ángulos cuyo seno sea -0'7.
dos ángulos cuyo coseno sea 0'5.
dos ángulos cuya tangente valga 3.
Comentarios a las propiedades
11 Departamento de Matemáticas 1) El seno y el coseno de un ángulo cualquiera no pueden ser mayores que 1 ni menores
que -1.
2) Si en la propiedad fundamental
despejamos el seno, tenemos que
dependiendo el signo del cuadrante al que pertenezca el ángulo.
Igual ocurrirá con
.
La misma precaución se tomará cuando trabajemos con la igualdad
.
Lo anterior sigue permitiendo calcular las razones trigonométricas de un ángulo, sabida
una de ellas y el cuadrante que ocupa.
•
•
De un ángulo del segundo cuadrante, sabemos que su seno vale 1/5. Hallar su
coseno y su tangente.
De un ángulo del cuarto cuadrante sabemos que su tangente vale -2'8. Calcula su
seno y su coseno.
Reducción al primer cuadrante
Veamos cómo es suficiente conocer las razones trigonométricas de los ángulos del
primer cuadrante para determinar las del resto de ángulos.
Ángulos del 2º cuadrante
12 Departamento de Matemáticas En la figura puedes observar que si al ángulo " le añadimos el $ completamos un sector
de 180º:
"+$=180º, o dicho de otra manera, $=180º-". Cuando dos ángulos suman un llano se
dirá que son suplementarios.
Del dibujo es posible deducir que se verifican las siguientes relaciones:
cos " = - cos (180º- ") sen " = sen (180º- ")
De acuerdo con lo anterior, se deduce que tg " = - tg (180º- ").
•
Calcula con exactitud, relacionándolos con sus suplementarios, las razones
trigonométricas de los ángulos de 120º, 135º y 150º.
Ángulos del tercer cuadrante
Si a un ángulo " del tercer cuadrante le restamos un llano, obtenemos otro ángulo $ del
primer cuadrante: $="-180º.
Del dibujo se desprenden las siguientes relaciones:
cos " = - cos (" - 180º)
sen " = - sen (" - 180º)
De acuerdo con esto, se tendrá que tg " = - tg (" -180º).
•
•
Basándote en lo anterior, calcula con exactitud las razones de los ángulos de
210º, 225º y 240º.
Observa el dibujo de abajo y encuentra las relaciones entre las razones
trigonométricas de un ángulo "del cuarto cuadrante" y el ángulo $=360º- ".
Determina, a continuación, las de los ángulos de 300º, 315º y 330º.
13 Departamento de Matemáticas •
Determina el valor de los ángulos ", $ y (.
Ángulos positivos y negativos
Hasta ahora sólo hemos considerado ángulos "sin orientar" . Cuando interese reseñar el
sentido de un giro se dotará de signo al ángulo correspondiente.
Se consideran positivos los ángulos cuyo sentido de giro sea contrario al de las
manecillas del reloj.
Trabajando con la calculadora
Si deseamos conocer el valor aproximado del ángulo
cuyo seno vale -0'6, procedemos de la forma que ya
conoces: -0.6 SIN-1 = -36'8698º : la calculadora
14 Departamento de Matemáticas responderá que se trata de un ángulo de -37º, aproximadamente.
Para hallar un ángulos positivo con igual seno se resta 37º a 360º y obtenemos el ángulo
de 323º. A continuación, sólo hay que determinar el otro ángulo positivo con igual seno
que el anterior.
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•
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Estima el ángulo del tercer cuadrante cuyo seno vale 0'56.
Estima los ángulos cuya tangente vale -1'5.Dibújalos.
Estima el ángulo del tercer cuadrante cuyo coseno vale -0'156.
Otras actividades:
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Comprueba que las igualdades cos " = - cos (180º- ") sen " = sen (180º- ")
Sabiendo que " es positivo, resuelve las ecuaciones:
sen " = sen 35º
cos " = cos (-115º)
cos " = cos 20º
tg " =tg 36º
sen " = sen 310º tg " = - tg 25º
cos " = cos 145º. sen " = sen (-25º)
Medida de un ángulo en radianes
Todo ángulo inscrito en una circunferencia,
determina un arco sobre ésta.
Es posible demostrar que se verifica que, es decir,
que el cociente entre el arco determinado y el radio de la circunferencia es siempre el
mismo. Diremos que este valor es la medida del ángulo en radianes.
En particular, el ángulo que mide 1 radián es aquel que tiene el arco con la misma
longitud que el radio. Posteriormente calcularemos su valor en grados.
Un ángulo de 360º determina un arco igual al perímetro de la circunferencia, si
sustituimos en la expresión anterior tendremos que su medida es
Consideremos un ángulo cualquiera que mida g grados:
15 radianes.
Departamento de Matemáticas Lo anterior nos relaciona la medida de un ángulo en radianes (r) y en grados (g).
En particular, si sustituimos r por 1 y despejamos g, veremos que1 radián equivale a
57'3º aproximadamente.
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Halla el valor en radianes de los ángulos de 30º, 45º, 60º, 90º,180º y 270º.
Un ángulo determina, sobre una circunferencia de radio 10 cm, un arco de 29
cm. Calcula su valor en grados.
Averigua la longitud del arco que describe un ángulo de 110º sobre una
circunferencia de radio 20 m.
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