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Clases de Conjuntos
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Problemas
1. Sea fA :
2 g una familia no vacía de álgebras en
A=
es un álgebra en
T
2
, entonces
A
.
2. Sea C es una familia no vacía de subconjuntos de . Demuestre que A(C) es el
álgebra más chica que contiene a C. En otras palabras, si B es un álgebra en que
contiene a C entonces A(C) B.
3. Sea C es una familia no vacía de subconjuntos de . Demuestre que (C) es la menor
-álgebra que contiene a C.
4. Demuestre que todo -álgebra A es cerrado respecto a límites superiores y límites
inferiores de sucesiones de conjuntos.
5. Sea A la colección de todos los subconjuntos de
que son …nitos o tienen un
complemento …nito. Demuestre que A es un álgebra. Demuestre que si
no es
…nito, entonces A no es una -álgebra.
6. Sea
A
un espacio in…nito no contable. Sea A la colección de todos los conjuntos
tal que A o Ac son contables. Demuestre que A es una -álgebra en .
7. Sea A una -álgebra en y sea f : ! X una función arbitraria. Demuestre que
la colección B = B : f 1 (B) 2 A es una -álgebra en X.
8. Sea A la familia formada por R y todos los subconjuntos de R de la forma
n
P
(ak ; bk ],
k=1
(uniones …nitas y disjuntas de intervalos de la forma (a; b] ; ( 1; b] y (a; 1), con
a; b 2 R). Demuestre que A es un álgebra pero no una -álgebra.
9. Sea
= f1; 2; 3g y sea C = ff1g ; f1; 2gg. Halle A(C) y (C).
10. Sea ( ; ) un espacio topológico. Denotaremos por B( ) la -álgebra generada por la
topología. Esto es B( ) = ( ). Esta -álgebra se conoce como la -álgebra de Borel.
Demuestre que la -álgebra de Borel en = R coincide con la -álgebra generada por
la colección C = f(a; b] : a; b 2 Rg. Esto es, demuestre que B (R) = (C). Demuestre
un resultado similar para = R usando la misma colección.
11. Demuestre que la -álgebra de Borel en
= R o en R coincide con la -álgebra
generada por la colección C = f[a; b] : a; b 2 Rg. Demuestre un resultado análogo
usando la colección C = f(a; b) : a; b 2 Rg.
12. Sean C1 y C2 dos familias no vacías de subconjuntos de
Demuestre las siguientes inclusiones:
A(C 1 )
A(C 1 ) y
(C1 )
13. Sea C una familia no vacía de subconjuntos de
una familia contable D C tal que A 2 (D).
. Suponga que C1
C2 .
(C2 ) :
. Sea A 2
(C). Entonces existe
Colecciones Monótonas
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14. Sea C una familia no vacía y A
. Denotemos por
C \ A = fC \ A : C 2 Cg :
Demuestre que (C) \ A = (C \ A), en donde
por C \ A en el espacio
= A.
(C \ A) es la -álgebra generada
15. Sean C una familia in…nita de subconjuntos de
la misma cardinalidad.
. Demuestre que C y A(C) tienen
16. Se dice que una -álgebra A es separable si existe A0
(A0 ) = A.
A, con A0 contable, tal que
a) Demuestre que la -álgebra de Borel en R es separable.
b) Demuestre que la -álgebra de Borel de un espacio métrico separable es separable.
17. Demuestre que no existe una -álgebra A in…nita numerable.
18. Sea C es una familia no vacía de subconjuntos de
familia monótona más chica que contiene a C.
. Demuestre que M(C) es la
19. Sea A una álgebra de conjuntos en
y (An ) una sucesión de conjuntos en A.
Entonces existe una colección monótona creciente (En ) de conjuntos en A tal que
1
[
An =
n=1
1
[
En = l m En :
n!1
n=1
20. Sea A una álgebra de conjuntos en
y (An ) una sucesión de conjuntos en A.
Entonces existe una sucesión disjunta de conjuntos (En ) en A tal que
1
[
n=1
An =
1
[
En :
n=1
21. Demuestre que toda álgebra monótona es una -álgebra.
22. Demuestre que toda -álgebra es una familia monótona.
23. Demuestre que si A es un álgebra, entonces también lo es M(A).
24. Demuestre que si A es un álgebra, entonces M(A) = (A).
25. Sea = Q, el conjunto de todos los números racionales. En considere el álgebra
A formada por Q y todas las uniones …nitas y disjuntas de intervalos de la forma
(vea Problema 8):
(a; b] = fx 2 Q : a < x b; a; b 2 Qg
( 1; b] = fx 2 Q : x b; b 2 Qg :
(a; 1) = fx 2 Q : a < x; a 2 Qg
Demuestre que (A) = P (Q).
Clases de Conjuntos
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26. Sea R una colección no vacía de subconjuntos de
A4B = (A
B) + (B
y sean A; B 2 R. Al conjunto:
A);
se lo conoce como diferencia simétrica de A y B. Por otro lado, la diferencia A
se conoce como diferencia propia si B A.
B
Demuestre que son equivalentes las siguientes a…rmaciones respecto a R:
a) R es cerrada bajo diferencias y uniones …nitas.
b) R es cerrada bajo diferencias propias y uniones …nitas.
c) R es cerrada bajo diferencias simétrica e intersecciones …nitas.
d ) R es cerrada bajo diferencias propias, intersecciones …nitas y uniones …nitas
disjuntas.
Si R satisface alguna de estas a…rmaciones (y por lo tanto las cuatro), entonces se
dice que R es un anillo. Note que un anillo siempre contiene al conjunto vacío.
27. Sea A una colección de subconjuntos de
sólo si A es un anillo conteniendo .
28. Sea R un anillo de subconjuntos de
A
B =A\B
. Demuestre que A es una álgebra si y
(ver Problema 26). Para A; B 2 R de…namos
y A
B = A 4 B:
Demuestre que con estas operaciones de suma y producto , el sistema (R; ; )
es un anillo en el sentido algebraico de la palabra. Estos anillos algebraicos, en que
cada elemento es idempotente, vale decir que cumple con A A = A para cada
A 2 R se conocen como anillos de Boole.
29. Una colección A de subconjuntos de .se dice que es -aditiva si
2 A y si es
cerrada bajo diferencias propias, sumas …nitas y uniones crecientes. Demuestre que
si C es una colección no vacía de subconjuntos de , entonces existe una colección
-aditiva A más pequeña que contiene a C y se conoce como la colección -aditiva
generada por C. Demuestre que si C es cerrada bajo intersecciones …nitas, entonces
la clase -aditiva generada por C es igual a (C), esto es a la -álgebra generada
por C.