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ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
Ing. Javier León Cárdenas
Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas
Instituto Politécnico Nacional
PRIMERA EDICIÓN EBOOK
MÉXICO, 2014
GRUPO EDITORIAL PATRIA
info
editorialpatria.com.mx
www.editorialpatria.com.mx
Dirección editorial: Javier Enrique Callejas
Coordinación editorial: Estela Delfín Ramírez
Producción: Gerardo Briones González
Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís
Ilustraciones: Adrian Zamorategui Berber
Fotografías: Thinkstockphoto
Diagramación: Gustavo Vargas M. y Jorge Martínez J.
Revisión técnica: Alex Polo Velázquez
Universidad Autónoma Metropolitana
Álgebra
Derechos reservados:
© 2014, Javier León Cárdenas
© 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V.
Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca
Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana
Registro Núm. 43
ISBN ebook: 978-607-438-893-0
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra
en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
Impreso en México
Printed in Mexico
Primera edición ebook: 2014
Prólogo
En la antigüedad, los egipcios y los babilonios utilizaron el álgebra para resolver problemas
cotidianos que tenían que ver con la repartición de los alimentos. Hacia el siglo ix, el matemático y astrónomo persa Al-Jwarizmi desarrolló diferentes métodos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones, por lo que es considerado el padre del álgebra. Siglos más
tarde, en 1591, el matemático francés François Viète desarrolló una notación algebraica muy
cómoda y sencilla, que se utiliza hasta nuestros días.
El álgebra es una de las ramas más importantes de las matemáticas; es considerada de
gran utilidad para la vida cotidiana de cualquier persona, por esa razón es muy importante
que todos los estudiantes de nivel universitario conozcan y practiquen álgebra, estos conocimientos les serán de utilidad a lo largo de toda su formación profesional.
Este material de álgebra, más que un libro de texto, es un libro de apoyo para cualquier
estudiante universitario que desee poner en práctica cada uno de los conceptos y principios
del álgebra.
Por su estructura y metodología, el lector tiene la oportunidad de desarrollar diferentes habilidades y capacidades, las cuales le serán de utilidad para la solución de distintos
problemas algebraicos; en otras palabras, los estudiantes serán competentes para resolver
diferentes situaciones con la aplicación del álgebra.
El libro es totalmente flexible; entre sus ventajas destaca el hecho de que el alumno o
el profesor pueden elegir diferentes estrategias de uso de la información del libro, y no se
ven forzados a estudiar capítulo por capítulo; es decir, es posible ajustarlo a las propias necesidades de cada lector.
Los problemas resueltos que se incluyen en todas las unidades de estudio, ofrecen al
alumno la posibilidad de entender, paso a paso, la solución a dichos problemas, proporcionando las herramientas necesarias para resolver, él mismo, los problemas que se encuentran
al final de cada unidad.
La obra se divide en cinco unidades. La unidad 1 está dedicada al estudio de los números reales; mientras que en la unidad 2 se presenta y analiza el tema de los números
complejos; en la unidad 3 se expone el tema de los polinomios; la unidad 4 está dedicada
al estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, y, por último, en la unidad 5 se aborda el
tema de matrices y determinantes. También se incluyen dos apéndices: Estructuras algebraicas y Formulario de matemáticas.
Contenido
Unidad 1 Números reales
1.1 Conceptos básicos de la teoría de conjuntos
1
2
1.2 Números reales
11
Problema reto
Referencias
Direcciones electrónicas
35
35
35
Unidad 2 Números complejos
37
2.1 Introducción
38
2.2 Unidad imaginaria
38
2.3 Formas de expresar un número complejo
38
2.4 Desigualdad del triángulo
41
2.5 Forma polar o trigonométrica de un número complejo 42
2.6 Producto y cociente de números complejos
en forma polar 46
2.7 Potencia de un número complejo
50
2.8 Conjugado de un número complejo
52
2.9 Soluciones complejas de una ecuación de segundo
grado 53
2.10 Igualdad de números complejos
55
2.11 Operaciones aritméticas
55
2.12 Leyes del álgebra compleja
58
Problema reto
Referencias Direcciones electrónicas
70
70
70
VII
Contenido
Unidad 3 Polinomios
71
3.1 Conceptos básicos
72
3.2 Productos notables
77
3.3 Factorización de polinomios
84
3.4 División sintética
89
3.5 Número de raíces de un polinomio
91
3.6 Fórmula general para la ecuación de segundo grado 101
3.7 Fórmula general para resolver una ecuación cúbica
103
3.8 Ecuación cuártica
106
Problemas reto
Referencias
Direcciones electrónicas
114
114
114
Unidad 4 Sistemas de ecuaciones lineales
115
4.1 Ecuación lineal
116
4.2 Ecuación lineal con dos incógnitas
118
4.3 Sistema de ecuaciones
121
4.4 Sistemas con dos incógnitas
123
4.5 Método de solución de sistemas de ecuaciones
de Gauss-Jordan129
4.6 Ecuaciones con tres incógnitas
134
4.7 Sistemas homogéneos
142
Problema reto
Referencias Direcciones electrónicas
146
146
146
Unidad 5 Matrices y determinantes
VIII
147
5.1 Introducción
148
5.2 Matrices
148
5.3 Clasificación de matrices de acuerdo a la forma
150
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5.4 Clasificación de matrices de acuerdo con
los elementos150
5.5 Operaciones con matrices
152
5.6 Independencia lineal
158
5.7 Rango de una matriz
160
5.8 Aplicaciones de matrices
161
5.9 Determinantes
162
5.10 Regla de Sarrus para calcular determinantes
164
5.11 Propiedades de los determinantes
165
5.12 Matriz inversa
168
5.13 Matriz adjunta
172
5.14 Sistemas de ecuaciones lineales resueltas
con matrices173
5.15 Regla de Cramer
176
Problema reto
Referencias Direcciones electrónicas
186
186
186
Apéndice 1 Estructuras algebraicas
187
Topología
188
Estructura algebraica
188
Operación binaria
188
Definición de grupo. Propiedades elementales
de los grupos. Grupo abeliano. Subgrupo
189
Definición de anillo, tipos de anillo. Definición
de dominio entero
191
Definición de campo. Números racionales, números
reales y números complejos, como ejemplos de campos
con la adición y la multiplicación
192
Espacio vectorial
193
Isomorfismos y homomorfismos entre grupos
y entre anillos. Propiedades elementales
193
Referencias Direcciones electrónicas
195
195
IX
Contenido
Apéndice 2 Formulario de matemáticas
196
Fórmulas básicas de álgebra
197
Exponentes y radicales
197
Fórmulas básicas de trigonometría
197
Valores de las funciones de ángulos importantes
198
UNIDAD
1
Números reales
Objetivos
Utilizar diversos conjuntos de números.
Utilizar el lenguaje de los símbolos y de los sistemas matemáticos formales.
Utilizar y demostrar fórmulas y expresiones simbólicas.
Comunicarse en, con y sobre las matemáticas, es decir, interpretar textos escritos en diversos lenguajes.
¿Qué sabes?
¿Por qué son importantes los conjuntos?
¿Qué tipo de operaciones se pueden realizar con los conjuntos?
¿Quién fue Giuseppe Peano?
¿Cuáles son los números naturales?
¿Conoces las operaciones mal definidas de los números naturales?
UNIDAD
1
Números reales
1.1 Conceptos básicos de la teoría de conjuntos
La expresión conjunto es un término matemático introducido en 1879, por Georg Cantor (1845-1918).
Un conjunto es un grupo o una colección de objetos; cada objeto que pertenece al conjunto se denomina elemento o miembro del conjunto.
Si T es un conjunto, la notación x ∈T significa que x es un elemento de T. La notación x ∉T significa
que x no es un elemento de T.
Un conjunto se puede expresar de las siguientes maneras:
Descripción verbal: “El conjunto de los números naturales pares menores que 15”.
Alerta
El símbolo | significa
“tal que”.
Extensión: El conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves, por ejemplo: A = { 2, 4,
6, 8, 10, 12, 14 }.
Por compresión o en forma constructiva del conjunto: { x | x es un número natural par menor que
15 }.
Diagramas de Venn: Son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o
las relaciones entre conjuntos.
Alerta
Por ejemplo, el conjunto de números naturales pares menores que 9:
Los conjuntos se denotan
entre llaves { }. Por
ejemplo, el conjunto de
números naturales menores
que 9: { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 }.
6
2
4
8
Figura 1.1 Diagrama de Venn del conjunto
de números naturales pares menores que 9.
Problema resuelto
Dada la descripción verbal: “El conjunto de los días de la semana”, expresarla por extensión, en su
forma constructiva o por compresión y por diagrama de Venn.
Solución
Por extensión: V = { lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo }
En su forma constructiva o por compresión: V = { x | x es un día de la semana }
Por diagrama de Venn:
viernes
lunes
martes
jueves
miércoles
sábado
domingo
Figura 1.2 Diagrama de Venn.
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❚ Subconjuntos
Si cada elemento de un conjunto A es también un elemento del
conjunto B, se dice que A es un subconjunto de B. La notación
A ⊂ B significa que A está incluido en B y se lee: “A es subconjunto de B” o “A está contenido en B”.
A
A⊂B
B
B⊄A
Figura 1.3
Si no todos los elementos de un conjunto A son elementos del conjunto B, se dice que A no es subconjunto de B. En este caso, la notación A ⊄ B significa que A no es un subconjunto de B.
A⊄B
B
A
B⊄A
Figura 1.4
Un conjunto que no contiene elementos se conoce como conjunto vacío o conjunto nulo. Se utiliza
el símbolo ∅ para denotar el conjunto vacío; sin embargo, es un error escribir { ∅ }, ya que el conjunto
vacío no tiene elementos. Por ejemplo, el número de mujeres mayores de 500 años que aún vive.
Un conjunto universo U es aquel que contiene a todos los elementos a considerar. Gráficamente
se le representa mediante un rectángulo.
U
Figura 1.5 Conjunto universo.
El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universo U es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A y se denota por Ac:
Ac = { x ∈ U | x ∉ A }
U
A
Ac
Figura 1.6
UNIDAD
1
Números reales
Ejemplo:
Un dígito es cada una de las cifras que componen un número en un sistema determinado; en el sistema
decimal son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
U = { x | x son todos los dígitos decimales } = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A = { x | x son todos los dígitos decimales pares } = { 2, 4, 6, 8 }
B = { x | x son todos los dígitos decimales impares } = { 1, 3, 5, 7, 9 }
C = { x | x = 0 } = { 0 }
Obsérvese que: A ⊂ U, B ⊂ U, C ⊂ U
U
C
{0}
B
{1, 3, 5, 7, 9}
A
{2, 4, 6, 8}
Figura 1.7
Un conjunto finito es aquel cuyos elementos pueden ser contados.
Ejemplos:
A = { x | x es el número de días de la semana }
B = { x | x es el número de alumnos en una universidad dada }
❚ Igualdad de conjuntos
Si A y B son conjuntos, entonces el conjunto A será igual al conjunto B siempre que se cumplan las dos
condiciones siguientes:
a) todo elemento de A es un elemento de B, y
b) todo elemento de B es un elemento de A.
Un conjunto infinito es aquel cuyos elementos no pueden ser contados.
La cardinalidad de un conjunto se define como el número de elementos que tiene. Se denota por
medio de los símbolos N o #. Por ejemplo, de los conjuntos anteriores N(A) = 7, N(B) = 1 500.
Para un conjunto infinito, su cardinalidad no está definida.
Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos; se denota por el símbolo =.
A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
B = { x | x es un dígito }
A=B
❚ Operaciones con conjuntos
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos
de B, sin repetir ninguno, y se denota por A ∪ B:
A ∪ B = { x | x ∈ A o x ∈ B }
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A
B
A∪B
Figura 1.8
La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también pertenecen
a B y se denota como A ∩ B:
A ∩ B = { x | x ∈A y x ∈B }
De acuerdo con estas definiciones, la cardinalidad de
A ∪ B está dada por:
N(A ∪ B) = N(A) + N(B) - N(A ∩ B)
A
B
A∩B
Figura 1.9 Dos conjuntos son disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío, es decir, cuando no tienen
nada en común.
A
B
A∩B= ∅
Figura 1.10
La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que pertenecen a
A y no pertenecen a B y se denota como A - B:
A - B = { x | x ∈ A y x ∉ B }
A
B
A−B
Figura 1.11
UNIDAD
1
Números reales
La cardinalidad de A - B es:
N(A - B) = N(A) - N(A ∩ B)
La cardinalidad del complemento del conjunto A es:
N(AC ) = N(U ) - N(A)
Problema resuelto
Sean A = { 1, 2, 3, 4 }; B = { 2, 4, 6, 8 }; C = { 3, 4, 5, 6 }
Determinar:
a) A ∪ B
b) A ∪ C
c ) B ∪ C
d) B ∪ B
Solución
a) A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 6, 8 }
b) A ∪ C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
c ) B ∪ C = { 2, 4, 6, 3, 5, 8 }
d) B ∪ B = { 2, 4, 6, 8 }
El conjunto potencia de un conjunto A se denota por P(A), o Pot(A) es el conjunto formado por todos
los subconjuntos de A.
Ejemplo:
Sea A = { m, n, p }
Los subconjuntos de A son:
{ m }, { n }, { p }, { m, n }, { m, p }, { n, p }, { m, n, p }, ∅
Entonces, el conjunto potencia de A es:
P(A) = { { m }, { n }, { p }, { m, n }, { m, p }, { n, p }, { m, n, p }, ∅ }
Problema resuelto
Dado el conjunto A = { 6, 2, 8, 4, 3 }, determinar todos los subconjuntos de A que se puedan construir
con sus elementos, es decir el conjunto potencia.
Solución
Pot(A) = { { 6 }, { 2 }, { 8 }, { 4 }, { 3 }, { 6, 2 }, { 6, 8 }, { 6, 4 }, { 6, 3 }, { 2, 8 }, { 2, 4 }, { 2, 3 }, { 8, 4 }, { 8, 3 }, { 4, 3 },
{ 6, 2, 8 }, { 6, 2, 4 }, { 6, 2, 3 }, { 6, 8, 4 }, { 6, 8, 3 }, { 6, 4, 3 }, { 2, 8, 4 }, { 2, 8, 3 }, { 8, 4, 3 }, { 6, 2, 8, 4 }, { 6, 2, 8, 3 },
{ 2, 8, 4, 3, }, { 6, 8, 4, 3, }, { 6, 2, 4, 3, }, { 6, 2, 8, 4, 3 }, { ∅ } }
❚ Conjunto unitario
Es todo conjunto que está formado por un solo y único elemento.
Ejemplos:
A = { 3 }
B = { números pares entre 4 y 8 } = { 6 }
C = { la capital de Jalisco } = { Guadalajara }
D = { x | 2x + 1 = 6 } = { 2.5 }
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❚ Propiedades de los conjuntos
Sean los conjuntos A, B, C dentro del universo U. Las seis propiedades que rigen las operaciones con
dichos conjuntos son:
1. Propiedades de identidad
A∪∅=AyA∩∅=∅
A∪U=UyA∩U=A
2. Propiedades de idempotencia
A∪A=A
A∩A=A
3. Propiedades de complemento
A ∪ Ac =U
A ∩ Ac = ∅
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )
4. Propiedades asociativas
5. Propiedades conmutativas
A∪B=B∪A
A∩B=B∩A
6. Propiedades distributivas
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
❚ Leyes de Morgan
Las leyes de Morgan establecen los complementos de la unión e intersección entre conjuntos:
Primera ley de Morgan
El complemento de la unión de dos conjuntos es la intersección de sus complementos.
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc
Demostración:
x ∈ (A ∪ B)c ⇒ x ∉(A ∪ B) ⇒ x ∉ A o x ∉ B ⇒ x ∈ (Ac ∪ BC )
Segunda ley de Morgan
El complemento de la intersección de dos conjuntos es la unión de sus complementos:
(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
Demostración:
x ∈ (A ∩ B)c ⇒ x ∉(A ∩ B) ⇒ x ∉ A y x ∉ B ⇒ x ∈ (Ac ∩ BC )
Problema resuelto
Sean los conjuntos A, B, C. Demostrar que:
A ∩(B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
Solución
x ∈ (A ∩(B ∪ C )) ⇒ x ∈ A y x ∈ (B ∪ C ) ⇒ x ∈ A y (x ∈ B o x ∈ C ) ⇒ x ∈ A y x ∈ B o x ∈ A y
x ∈ C ⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
Problema resuelto
Demostrar el siguiente teorema:
Teorema 1: Si A y B son conjuntos disjuntos (A ∩ B = ∅) con cardinalidad finita, entonces:
N(A ∪ B)= N(A)+ N(B)
UNIDAD
1
Números reales
Solución
Puesto que los conjuntos A - B, B - A y A ∩ B, son mutuamente excluyentes:
A ∪ B = (A - B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B - A)
Y como (A ∩ B = ∅), entonces:
N(A ∪ B) = N(A - B) + N(B - A) = N(A) + N(B)
Problema resuelto
Sean los conjuntos A y B. Demostrar con diagramas de Venn que:
N(A ∪ B) = N(A) + N(B) - N(A ∩ B)
Solución
Puesto que A ∪ B es:
A ∪ B = (A - B) ∪ (B - A) ∪ (A ∩ B)
A
B
A∪B
Figura 1.12
Entonces:
Alerta
N(A ∪ B) = N(A - B) + N(B - A) + N(A ∩ B)
= N(A) - N(A ∩ B) + N(B) - N(A ∩ B) + N(A ∩ B)
N(A ∪ B) =
N(A) + N(B) - N(A ∩ B)
A
B
A
B
Figura 1.13
Entonces:
N(A ∪ B) = N(A) + N(B) - N(A ∩ B)
Problema resuelto
Sean los conjuntos A, B y C. Demostrar con diagramas de Venn que:
N(A ∪ B ∪ C ) = N(A) + N(B) + N(C ) - N(A ∩ B) - N(A ∩ C ) - N(B ∩ C ) + N(A ∩ B ∩ C )
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Solución
Ya hemos demostrado que: N(A ∪ B) = N(A) + N(B) - N(A ∩ B), entonces, sea A = A ∪ B y B = C, esto
es:
N(A ∪ B ∪ C ) = N(A ∪ B) + N(C ) - N((A ∪ B) ∩ C )
N(A ∪ B ∪ C ) = N(A) + N(B) + N(C ) - N(A ∩ B)- N((A ∪ B) ∩ C )
N(A ∪ B ∪ C ) = N(A) + N(B) + N(C ) - N(A ∩ B)- N((A ∪ B) ∩ C )
Alerta
B
A
Cardinalidad:
N(A ∪ B ∪ C ) = N(A)
+ N(B) + N(C ) - N(A ∩ B)
- N(A ∩ C ) - N(B ∩ C )
+ N(A ∩ B ∩ C )
C
Figura 1.14
De la figura 1.14, tenemos que:
N((A ∪ B) ∩ C ) = N(A ∩ C ) + N(B ∩ C ) - N(A ∩ B ∩ C ),
entonces:
N(A ∪ B ∪ C ) = N(A) + N(B) + N(C ) - N(A ∩ B)- N(A ∩ C ) - N(B ∩ C ) + N(A ∩ B ∩ C )
Problema resuelto
Necesitamos determinar el número de alumnos en un salón de clases. Se sabe que cada uno de los
alumnos estudia al menos 1 de las 3 asignaturas siguientes, se les pide que levanten la mano cuando
se menciona la asignatura y lo hacen:
a) Matemáticas, 48
b) Física, 45
c ) Química, 49
d) Matemáticas y Física, 28
e) Matemáticas y Química, 26
f ) Física y Química, 28
g) Matemáticas, Física y Química, 18
Determinar:
a) ¿Cuántos alumnos hay en el salón?
b) ¿Cuántos estudian Matemáticas y/o Física pero no Química?
c ) ¿Cuántos estudian nada más Química?
UNIDAD
1
Números reales
Solución
N(M ) = 48
N(F ) = 45
N(Q) = 49
Física
Mate
N(M ∩ F ) = 28
Química
Figura 1.15 N(M ∩ F ) = 28
Física
Mate
Química
Figura 1.16 N(M ∩ Q) = 26
Física
Mate
Química
Figura 1.17 N(F ∩ Q) = 28
Física
Mate
Química
N(M ∩ F ∩ Q) = 18
10
Figura 1.18 Grupo Editorial Patria©
a) Usamos la propiedad:
N(A ∪ B ∪ C ) = N(A) + N(B) + N(C ) - N(A ∩ B)- N(A ∩ C )- N(B ∩C ) + N(A ∩ B ∩ C )
N(M ∪ F ∪ Q) = N(M ) + N(F ) + N(Q) - N(M ∩ F )- N(M ∩ Q)- N(F ∩ Q) + N(M ∩ F ∩ Q)
N(M ∪ F ∪ Q) = 48 + 45 + 49 - 28 - 26 - 28 + 18 = 78
Por tanto, hay 78 alumnos en el salón.
b) N(QC ) = N(U ) - N(Q) = 78 - 49 = 29
Esto es, hay 29 alumnos que estudian Matemáticas y Física.
c ) Q - (Q ∩ M - Q ∩ M ∩ F ) - (Q ∩ F - Q ∩ M ∩ F ) - Q ∩ M ∩ F
= 49 - (26 - 18) - (28 - 18) - 18 = 13
Por lo que, hay 13 alumnos que estudian sólo Química.
Mate
12
10
Física
7
18
10
8
Química
13
Figura 1.19 ❚ Producto cartesiano de dos conjuntos
Si tenemos dos conjuntos A y B, y se forman todos los pares posibles formados por un elemento del
conjunto A y un elemento del conjunto B, obtendremos el producto cartesiano de los dos conjuntos,
que se denota por:
A × B = { (a, b) | a ∈ A y b ∈ B }
Ejemplo:
A = { 1, 2 } B = { 3, 4, 5 }
A × B = { (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5) }
1.2 Números reales
❚ Conjuntos de números
Hasta aquí hemos estudiado el concepto de conjunto. Un conjunto puede no tener una estructura particular, pero cuando se introducen formas de combinar los elementos, por medio de “operaciones”, y
formas de comparar los elementos, o “relaciones”, se obtiene un sistema matemático.
Sistema
matemático
Conjunto de
elementos
Relaciones para
comparar elementos
Operaciones para
combinar elementos
Figura 1.20
11
UNIDAD
1
Números reales
❚ Sistema de números naturales
Los números naturales son los que usamos para contar, y forman un conjunto infinito.
N = { 1, 2, 3, 4, … }
Giuseppe Peano (1858-1932) introdujo los números naturales mediante un sencillo teorema consistente en cinco afirmaciones, las cuales conforman los Axiomas de Peano para los números naturales, que
permiten estructurar algebraicamente el conjunto N. El conjunto N satisface las siguientes condiciones
axiomáticas:
1. Existe al menos un número natural, que llamaremos uno y se denota por 1.
Alerta
El símbolo ∃ significa
existe.
∃1∈N
2. Existe una aplicación s: N → N, llamada aplicación siguiente, la cual aplica todo elemento n de N
en otro elemento n* de N, llamado sucesor o siguiente de n.
∃ s:N → N | ∀n ∈ N, s(n) = n* ∈ N
Alerta
3. El uno no es sucesor de ningún otro elemento de N.
El símbolo ∀ significa para
todo.
∀n ∈ N, s(n) = n* ≠ 1
4. Dos elementos de N distintos no tienen igual sucesor; o sea, la aplicación siguiente es inyectiva.
∀n, n′ ∈ N, s(n) = s(n′) ⇒ n = n′
Alerta
El axioma de la inducción
completa es la piedra
angular para las
demostraciones por
inducción matemática.
5. Axioma de la inducción completa. Todo subconjunto N′ de N, para el cual se verifique que contenga al uno, y que el sucesor de cualquier elemento de N′ está en N′, coincide con N.
(∀N′ ⊂ N)(1 ∈ N′)(∀a ∈ N′ ⇒ a* ∈,N′) → N′ = N
❚ Orden en el sistema de los números naturales
Un número natural es más grande que otro si usa más posiciones, es decir, si tiene grupos más grandes.
En este sentido, 12 es más grande que 9, ya que 12 usa dos posiciones y 9 sólo una.
Si tenemos dos números naturales que usan la misma cantidad de posiciones, primero tenemos
que comparar los grupos más grandes, las cifras de la izquierda. Por ejemplo: entre 15 y 23, ¿cuál es
el número más grande? Nos fijamos en el dígito de la izquierda y vemos que 23 tiene 2 decenas y que
15 solo tiene 1 decena, entonces 23 es más grande que 15.
❚ Recta numérica
Se acostumbra representar a los números naturales junto con muchos otros en una recta numérica, y
esto se hace de la siguiente manera: 1) se dibuja una línea recta; 2) se elige el lugar donde se marca el
cero; 3) se decide a qué distancia del cero se dibujará el uno, y 4) con esa misma distancia (la unidad)
se marcan los siguientes números en orden 0, 1, 2, 3, …
En la recta numérica, los números son más grandes mientras más se alejan del cero en la dirección
del uno.
0
Figura 1.21
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Grupo Editorial Patria©
En la recta numérica, los números a la derecha de un número son más grandes que este número y los
números a la izquierda de un número son más pequeños que el número dado.
a
b
Figura 1.22
En la recta que se muestra en la figura 1.22, a es menor que b, esto se denota por: a < b; el símbolo <
denota menor que. Entonces, también se dice b es mayor que a, esto se denota por: b > a; el símbolo
> denota mayor que.
El símbolo ≤ denota menor o igual que, el símbolo ≥ denota mayor o igual que.
❚ Operaciones en el conjunto de los números naturales
Suma
1. Propiedad de cerradura de la suma de naturales. Al sumar dos números naturales cualesquiera,
a y b, su suma será otro número natural c.
2. Propiedad conmutativa de la suma. El orden de los sumandos no altera la suma.
a+b=b+a
3. Propiedad asociativa de la suma. La suma de números naturales debe hacerse en forma binaria,
tomando dos números a la vez; comenzando desde la izquierda o desde la derecha, hasta incorporar todos los sumandos al resultado.
(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9
En la suma de números naturales no están bien definidas las propiedades del neutro aditivo y del
inverso aditivo.
Problema resuelto
En las siguientes operaciones, buscar el término desconocido:
a) 327 + __________ = 1 208
b) ________ - 4 121 = 626
Solución
a) El término buscado es 1 208 - 327 = 881.
b) El término buscado es 626 + 4 121 = 4 747.
Multiplicación
1. Propiedad de cerradura del producto de naturales. Al multiplicar dos naturales cualesquiera a y
b, su producto o multiplicación será otro número natural c.
9 × 2 = 18
13
UNIDAD
1
Números reales
2. Propiedad conmutativa de la multiplicación. El orden de los factores no altera el producto.
9 × 2 = 2 × 9 = 18
3. Propiedad asociativa del producto. El producto de naturales debe hacerse en forma binaria,
esto es tomando dos factores a la vez, comenzando desde la izquierda o desde la derecha, hasta
incorporar todos los factores al producto.
9 × 2 × 3 = (9 × 2) × 3 = 9 × (2 × 3) = 54
4. Propiedad del neutro multiplicativo. Existe un único número natural que al multiplicarse por
cualquier otro no lo cambia. Este número es único; se llama el neutro, y es el 1.
5×1=5
No existe la propiedad del inverso multiplicativo en los naturales.
Problema resuelto
En las siguientes operaciones, buscar el término desconocido.
a) 321 × ___________ = 32 100
b) 28 035 ÷ ________ = 623
c ) 4 × (5 + ________ ) = 36
Solución
a) El número buscado es 32 100/321 = 100.
b) El número buscado es 28 035 ÷ 623 = 45.
c ) El número buscado es (36 ÷ 4) - 5 = 4.
Problema resuelto
Calcular de dos modos distintos la siguiente operación:
17 × 38 + 17 × 12 =
Solución
17 × 38 + 17 × 12 = 646 + 204 = 850
17 × 38 + 17 × 12 = 17 × (38 + 12) = 17 × 50 = 850
Potenciación
La potenciación es una forma abreviada de la multiplicación, por tanto tiene las mismas propiedades
que esta.
Para cualquier número, a, y para cualquier número natural, m:
Donde a es la base y m es el exponente.
14
am = a × a × … × a







m factores iguales a a.
Grupo Editorial Patria©
Los exponentes cumplen las siguientes propiedades:
1. an × am = an + m
1
5. a-n = —n (a ≠ 0)
a
an
2. an ÷ am = ——
= an - m (a ≠ 0)
am
6. (a × b)n = an × bn
3. a0 = 1 (a ≠ 0)
an  a 
=  — (a ≠ 0)
7. an ÷ bn = ——
bn  b 
4. (an)m = an ⋅ m
 a
8.  —
 b
n
-n
b
=  —
a
n
Problema resuelto
• Expresar el siguiente número en forma de potencias:
a) 50 000
• Escribir en forma de una sola potencia los siguientes:
b) 33 × 34 × 3 = 33 + 4 + 1
c ) 57 ÷ 53 = 57 - 3
d) (53)4
• Utilizando potencias de 10, realizar la descomposición de:
e) 3 257
Solución
a) 50 000 = 5 × 10 000 = 5 × 104
b) 33 × 34 × 3 = 33 + 4 + 1 = 38
c ) 57 ÷ 53 = 57 - 3 = 54
d) (53)4 = 512
e) 3 257 = 3 × 1 000 + 2 × 100 + 5 × 10 + 7 × 100
3 257 = 3 × 103 + 2 × 102 + 5 × 101 + 7 × 100
❚ Operaciones mal definidas en el conjunto de los naturales
Resta
La resta está mal definida en los números naturales, porque no tiene la propiedad de cerradura. Esta
característica hace que se formen los números enteros.
◗ Los números enteros
En ciertas ocasiones necesitamos expresar valores que están antes o por debajo del valor que consideramos punto de partida o valor cero.
Por eso, hay que ampliar el conjunto de los números, incluyendo también los negativos, para ello
añadimos al número natural un signo + o -.
De esta manera, han surgido los números enteros, los cuales expresan valores que van de uno en
uno, sin embargo, éstos permiten expresar valores positivos y valores negativos.
−∞
… −4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
…
∞
Figura 1.23
15
UNIDAD
1
Números reales
Un número entero consiste de dos partes: 1) el signo y 2) el valor absoluto (es decir, su distancia al 0).
El conjunto de los números enteros lo denotamos con la letra Z. Por tanto:
Z = { …, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, +7,… }
| −3 | = 3
| +2 | = 2
+2
−3
Valor absoluto 2
Valor absoluto 3
∞
… −4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
…
∞
Figura 1.24
El valor absoluto de un número x, se denota por | x | , y está dado por:
 x si x > 0

x =  0 si x = 0

 -x si x < 0
y
f(x) = abs(x)
8
6
4
2
x
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2 −1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−2
−4
−6
−8
Figura 1.25 Función valor absoluto (figura elaborada con el programa Graph).
División
Por lo que respecta a la división, no está bien definida en el conjunto de los números naturales, porque
no tiene la propiedad de cerradura. Esto obliga a formar los números racionales.
Radicación
La radicación tampoco está bien definida en el conjunto de los números naturales. Esto obliga posteriormente a formar los números irracionales.
16
Grupo Editorial Patria©
❚ Método de inducción completa
El último enunciado del teorema de Peano, también llamado axioma de la inducción completa, permite probar resultados con números naturales generalizando situaciones particulares.
El método, consta de dos partes:
1. Paso básico. Es la demostración deductiva de que se cumple la proposición para algún número
natural dado a:
Proposición → f (a) verdadera
2. Paso inductivo. Es la demostración, de carácter también deductivo, de que si la proposición se
supone verdadera para un número natural n, también ha de ser verdadera para el número sucesor
de n, es decir, para el número n + 1.
Proposición → f (n) verdadera ⇒ f (n + 1) verdadera
De lo que se infiere que la proposición es verdadera para el número natural a y para todos los números naturales siguientes al número a, es decir es verdadera para el conjunto de los números naturales
{ a, ∞ }. Evidentemente, si a es el primero de los números naturales, la proposición será verdadera para
todo el conjunto N.
Ambos pasos parciales son procesos deductivos, por lo que cabría decir que el método de inducción matemática es, en realidad, un proceso de deducción.
Problema resuelto
Demostrar que la suma de los n primeros números naturales está dada por la expresión
sea:
1+2+…+n=
n(n + 1)
,o
2
n(n + 1)
2
Solución
• Paso básico
Se cumple para n = 1:
1=
11
( + 1)
=1
2
Se cumple para n = 2:
1+2=
2(2 + 1)
=3
2
• Paso inductivo
Se supone verdadera para n - 1:
1+2+…+n-1=
(n - 1)n
2
Y veamos si es verdadera para n:
1 + 2 + … + (n - 1) + n =
(n )(n + 1)
2
En efecto:
1 + 2 + … + (n - 1) + n =
(n - 1)n
(n - 1)n + 2n n(n + 1)
=
+ (n - 1) + 1 =
2
2
2
17
UNIDAD
1
Números reales
Problema resuelto
Demostrar que para todo natural, n, n5 -n, es divisible entre 5.
Solución
• Paso básico
Para n = 1, la proposición es válida, ya que:
15 - 1 = 0 = 0 ⋅ 5, 0 es divisible entre 5.
La suponemos válida para n - 1.
(n - 1)5 - (n - 1) = k ⋅ 5
Y lo demostramos para n:
n5 - n = j ⋅ 5
(n - 1 + 1)5 - (n - 1 + 1) = (n - 1)5 + 5(n - 1)4 + 10(n - 1)3 + 10(n - 1)2 + 5(n - 1) + 1 - n
= (n - 1)5 + 5(n - 1)4 + 10(n - 1)3 + 10(n - 1)2 + 5(n - 1) - (n - 1)
= (n - 1)5 - (n -1) + 5(n - 1)[(n - 1)3 + 2(n - 1)2 + 2(n - 1) + 1]
= 5 ⋅ k + 5(n - 1)[(n - 1)3 + 2(n - 1)2 + 2(n - 1) + 1] = j ⋅ 5
Que es lo que queríamos demostrar.
❚ Divisores de un número entero
Un divisor de un número entero es simplemente algún otro número por el cual se puede dividir el
mismo.
Por ejemplo, 100 se divide entre 5; entonces, se dice que 5 es un divisor de 100. Asimismo, también decimos que 5 divide a 100.
Si el número no es muy grande (menor que 100), primero debemos recordar las tablas de multiplicar. Si el número se encuentra en alguna tabla de multiplicar, entonces es divisible entre ese número.
Por ejemplo, 56 está en la tabla del 7. Por tanto, 56 se puede dividir entre 7 y también se puede dividir
entre 8.
❚ Criterios de divisibilidad para determinar divisores
Divisibilidad entre 2
Un número entero es divisible entre 2, si su última cifra es 0, 2, 4, 6 u 8.
Divisibilidad entre 3
Un número entero es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es divisible entre 3. Por ejemplo, 3 + 7 +
5 = 15; esto es, 15 es divisible entre 3. Asimismo, 375 también es divisible entre 3:
375
= 125
3
También se puede usar este método para hallar el residuo, para lo cual se suman las cifras y se prueba dividir
entre 3. El residuo de esta división también es el residuo
de la división del número original.
Por ejemplo, 3 + 8 + 0 = 11, 11 no es divisible entre 3.
126
3 380
08
20
2
3
3 11
2
mismo residuo
Figura 1.26 18
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Divisibilidad entre 4
Un número es divisible entre 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es divisible entre 4.
Por ejemplo, 45 228, 28 es divisible entre 4, y 45 228 también lo es.
11307
4 45228
012
028
0
Divisibilidad entre 5
Si la última cifra de un número es 0 o 5, se dice que el número es divisible entre 5. Por ejemplo:
9044
5 45220
022
020
0
Divisibilidad entre 10
Si la última cifra de un número es 0, siempre es divisible entre 10. Por ejemplo:
4522
10 45220
522
220
20
0
Divisibilidad entre 6
Si un número es divisible tanto entre 2 como entre 3, es divisible entre 6.
Divisibilidad entre 11
Un número es divisible entre 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras
de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, de derecha a izquierda, es
cero o múltiplo de 11. Por ejemplo, 121, si se alterna sumando y restando sus cifras, comenzando por
la derecha: 1 + 1 - 2 = 0. Así, 0 es divisible entre 11, entonces 121 también lo es.
❚ Divisores
Se prueban todos los números enteros entre 1 y la raíz cuadrada de su número.
112
2
56
2
28
2
14
2
7
7
112 = 24 × 7, entonces
todos los divisores son:
1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28,
56 y 112.
1
❚ Números primos
Un número es primo cuando es un entero positivo, distinto de 0 y 1, y que únicamente se puede dividir
entre sí mismo y entre 1, dando un número entero.
19
UNIDAD
1
Números reales
Por ejemplo, divisores de:
3
= > 3 es primo
9
3
= > 9 no es primo, es divisible entre 1, 3 y 9
3
3
3
1
1
El teorema fundamental de la Aritmética establece que todo entero positivo se puede representar
como producto de factores primos de una forma única, salvo el orden. Este teorema establece la importancia de los números primos. En esencia, son los “ladrillos básicos” con los que se construyen los
enteros positivos.
❚ Máximo común divisor
1. El máximo común divisor (mcd) de dos números se define, como su propio nombre indica, como
el número más grande que divide a ambos números. Para calcular el mcd se factorizan ambos
números, y el máximo común divisor se obtiene tomando todos los factores (comunes) elevados a
los menores exponentes.
Ejemplo:
Calcular el mcd de 24, 28 y 40.
1. Factorizamos los números.
24
2
28
2
40
2
12
2
14
2
20
2
7
6
2
7
10
2
3
3
1
5
5
28 = 22 × 7
1
40 = 23 × 5
1
24 = 23 × 3
2. Tomamos todos los factores (comunes) elevados a los menores exponentes: 22
Entonces, el mcd es 22 = 4.
❚ Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo (mcm), como indica su nombre, es el múltiplo más pequeño que ambos
números tienen en común. Se obtiene factorizando los números y se consideran todos los factores
distintos que aparecen (comunes y no comunes); cada uno de ellos elevado al mayor exponente con
el que aparezca.
Problema resuelto
Alerta
El mcm de dos números es
igual a su producto dividido
entre su mcd. El mínimo
común múltiplo (mcm) de
varios números es el menor
de sus múltiplos comunes.
Determinar el mcd y el mcm de: 40 y 60.
Solución
Primero, descomponemos a 40 y 60 en sus factores primos.
40 = 23 × 5
60 = 22 × 3 × 5
Después, determinamos el mcm:
23 × 3 × 5 = 120
Ahora, determinamos el mcd:
(40)(60)/120 = 2 400/120 = 20
20
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Problema resuelto
Un jardinero desea colocar 720 jacarandas, 240 fresnos, 360 jacintos y 480 claveles, en el menor número posible de jardineras que contengan el mismo número de plantas, sin mezclar las mismas. ¿Qué
cantidad de plantas debe contener cada jardinera y cuántas debe haber?
Solución
Todas las plantas:
720 + 240 + 360 + 480 = 1 800
Se van a colocar en jardineras, por tanto el número de jardineras que contengan el mismo número de
plantas sin mezclarlas es el máximo comun divisor de: 720, 240, 360 y 480; así:
720 = 24 × 32 × 5
240 = 24 × 3 × 5
360 = 23 × 32 × 5
480 = 25 × 3 × 5
Entonces, el mcd de 720, 240, 360 y 480 es 23 × 3 × 5 = 120.
Ahora, el número de plantas que va a tener cada jardinera, esto es el mcm, será:
1 800/120 = 15
❚ Números racionales
x
3
no siempre pertenece al conjunto de los números enteros, por ejemplo: . Por lo que, en
y
8
este caso, es necesario definir un nuevo conjunto, que se denota con Q.
El cociente


p
Q =  x | x = tales que p, q ∈ Z , q ≠ 0 
q


Operaciones con números racionales
◗ Suma y resta
La suma de números racionales con un denominador común es un número racional cuyo numerador es
la suma de los numeradores y cuyo denominador es el denominador común.
Ejemplo:
5 2 5+2 7
+ =
=
3 3
3
3
En general, para dos números racionales cualesquiera, la definición de suma es:
a c
ad + cb
+ =
b d
bd
En tanto, la definición de resta es:
a c
ad − cb
− =
b d
bd
Ejemplos:
3 7 3(5) + 7(8) 15 + 56
71
+ =
=
=
8 5
(8)(5)
40
40
5 1 4(5) − 6(1) 20 − 6 14
7
− =
=
=
=
6 4
6( 4 )
24
24 12
Como se puede observar, en el resultado se obtiene una fracción que puede ser reducida a una fracción equivalente.
21
UNIDAD
1
Números reales
◗ Fracciones equivalentes
Dos fracciones son equivalentes, si el cociente de cada una de ellas es igual:
a
k (a )
=
b k (b )
Ejemplo:
15 3(5) 5
=
=
18 3(6 ) 6
Problema resuelto
Realizar la siguiente suma de fracciones:
1 7
+
6 4
Solución
Primero, calculamos el mcm de 6 y 4:
6
2
4
2
3
3
2
2
1
1
6 = 2 × 3
4 = 22
mcm = 22 × 3
Enseguida, tomamos como denominador común al mcm, y se obtiene el resultado:
1 7 2(1) + 3(7) 2 + 21 23
+ =
=
=
6 4
12
12
12
◗ Multiplicación de números racionales
El producto de números racionales es un número racional cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores:
a c
ac
× =
b d bd
Ejemplo:
2  3
6
3
=
=
7  4  28 14
Problema resuelto
Un auto circula a 50
km
. ¿Qué distancia recorre en 20 minutos?
h
Solución
La rapidez en un movimiento rectilíneo uniforme está dada por:
v = rapidez =
Así, 20 minutos equivale en horas a:
22
distancia
d
d
⇒v =
o t =
o d = vt
tiempo
t
v
1
h.
3
Grupo Editorial Patria©
Entonces, la distancia recorrida será:
d = 50
km  1  50
2
h =
km = 16 km = 16.667 km
h  3 
3
3
16
3 50
20
2
0.66
3 2.0 20
2
◗ Inverso multiplicativo
Si el producto de dos números es 1, se dice que los números son recíprocos o inversos multiplicativos.
Ejemplo:
3  8  24
=
=1
8  3  24
◗ División de números racionales
La división de números racionales se define como la multiplicación del dividendo por el recíproco del
divisor.
a
a c
a d ad
ad
b
÷ =
=
o
=
c
b d bc
bc
bc
d
Ejemplo:
1
1 2 9
(1)(9 )
9
4
÷ =
o
=
=
2
4 9 8
(4 )(2) 8
9
◗ Notación decimal
Dividiendo numerador entre denominador puede expresarse un número racional por medio de la
llamada notación decimal.
Ejemplo:
1
1
= 0. 2;
= 0. 3333...
5
3
Se dice que dos números racionales en notación decimal son iguales, si todos sus dígitos son iguales.
Ejemplo:
1
2
=
= 0. 125
8 18
Para representar números racionales muy pequeños es útil la notación decimal o las potencias de 10.
Ejemplos:
1
= 0. 1 = 10 −1
10
1
= 0. 01 = 10 −2
100
1
= 0. 001 = 10 −3
1 000
1
= 0. 0001 = 10 −4
10 000
23
UNIDAD
1
Números reales
Problema resuelto
Escribir en notación científica los siguientes números:
a) 0.000 000 000 000 000 425
e) 12 billones
b) 101 354.3
f ) 13.4
c ) 7 234 000 000 000 000 000 000
g) 0.000 000 002
d) 7 millonésimas
h) La centésima parte de una milésima
Solución
a) 0.000 000 000 000 000 425 , entonces 0.000 000 000 000 000 425 = 4.25 × 10-16


El número de posiciones es 16
5
b) 1 01354
 .3 = 1.01354 × 10
5 posiciones
c ) 7234 000 000 000 000 000 000 = 7.234 × 1021




21 posiciones
d) 1 millonésima es 1 × 10-6, entonces 7 millonésimas = 7 × 10-6
e) Un billón es igual a 1012 = 1 000 000 000 000; es decir, un millón de millones. Entonces, 12 billones
= 1.2 × 1013
f ) 13.4 = 1.34 × 101
g) 0. 000 000 002 = 2 × 10-9



9 posiciones
h) La centésima parte de una milésima =
1  1 
= 1 × 10-5
100  1 000 
❚ Números irracionales
Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como una fracción, o sea un cociente de
dos números enteros.
Ejemplos de números irracionales:
El número que se denota con la letra griega π = 3.14159... (Pi) relaciona la longitud de la circunferencia
con su diámetro (longitud = 2 × π × radio = π × diámetro).
En el caso del número que se denota con e = 2.71828..., y que obtuvo su nombre de la primera
letra del apellido de su descubridor, Leonhard Euler (matemático suizo del siglo xviii), aparece como
límite de la sucesión de término general:

1
 1 + n 
n
Por su parte, el número que se denota con la letra griega φ = 1.61803... (Fi), llamado número de
oro, y que es la inicial del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presente en sus obras, es muy
usado en arte, y además se encuentra en la naturaleza.
Los tres números antes descritos tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos, es decir, sus
cifras decimales no se repiten en forma periódica.
24
Grupo Editorial Patria©
Radicales
Se dice que todas las raíces que no son exactas son números irracionales, por ejemplo:
√ 2 = 1.41421 35623 73095 04880 16887 24209
69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799…
Los cuales son una expresión de la forma: n am , donde a es el radicando, n es el índice y m es el exponente.
◗ Propiedades de los radicales
a× b =
n
a × nb =
n
a÷ b =
n
a÷ b =
n
n
a×b
a×b
a× a =a
m n
a÷b
n
an − b × n ab = a
a =
nm
a
a÷b
◗ Simplificación de radicales
Para simplificar radicales, debemos considerar que los radicales se pueden escribir como potencias
racionales y reducir a los radicales a su más simple expresión. Esto es, dejar el menor número posible
dentro del radical.
Para extraer los factores de un radical, primero se descompone en factores el radicando, luego se
buscan potencias con el mismo exponente que el índice de la raíz y se sacan fuera de la raíz.
Problema resuelto
Simplificar
12x 9 .
Solución
Siguiendo los pasos descritos, se tiene:
1
1
2
8
1
12x 9 = (12x 9 ) 2 = (22 × 3 × x 8 × x ) 2 = 2 2 x 2 (3x ) 2 = 2x 4 3x
◗ Suma y resta de radicales
Para sumar o restar radicales es necesario que éstos sean semejantes, es decir, que tengan el mismo
índice y el mismo radicando. Cuando los radicales son semejantes, sólo es necesario sumar sus respectivos coeficientes.
a n x m + b n x m = (a + b ) n x m
Problema resuelto
Realizar la operación:
12 + 48 - 27 .
Solución
Primero, simplificamos cada uno de los radicales:
12 =
22 × 3 = 2 3
48 =
24 × 3 = 22 3
27 =
32 × 3 = 3 3
Ahora, realizamos la operación:
12 + 48 - 27 = 2 3 + 22 3 - 3 3 = 3 3
25
UNIDAD
1
Números reales
◗ Multiplicación de radicales
Para multiplicar radicales con el mismo índice, se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice:
a b =
ab
Problema resuelto
Simplificar
2 6.
Solución
2 6 = 12 =
22 × 3 = 2 3
Problema resuelto
Simplificar la siguiente expresión:
(
3 + 2 )( 3 - 2 ) .
Solución
Usando productos notables:
(
3 + 2 )( 3 - 2 ) = 3 - 2 = 1
Problema resuelto
Simplificar la expresión: 6 3 × 5 2 .
Solución
Multiplicando los radicandos y los coeficientes:
6 3 × 5 2 = 30 6
◗ Racionalización
Para racionalizar una raíz cuadrada en el denominador, se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el denominador de la misma.
Problema resuelto
Racionalizar
5
3
.
Solución
Para obtener el resultado, se multiplica el numerador y el denominador de la fracción, así:
5
3
3
3
=
5 3
3
Para racionalizar un denominador que tenga suma que tenga una raíz cuadrada, se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el conjugado del denominador.
26
Grupo Editorial Patria©
Problema resuelto
Racionalizar la expresión:
2
2+ 3
.
Solución
El binomio conjugado de
2 + 3 es
2- 3.
2- 3.
Así, multiplicamos al numerador y al denominador de la fracción por:
(
2
2+
(
3) (
2 - 3)
2 - 3)
=
2( 2 - 3 ) 2( 2 - 3 )
=
= -2 ( 2 - 3 )
2-3
-1
❚ Números reales
El conjunto de los números reales es la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de
los números irracionales; se denota con el símbolo R.
Propiedades del conjunto de los números reales
El conjunto de los números reales es el conjunto de todos los números que corresponden a los puntos
de la recta numérica.
Intervalos de números reales
Un intervalo de números reales es un subconjunto de R que tiene la siguiente propiedad: “dados dos
números a y b en el intervalo, todos los números comprendidos entre a y b también pertenecen al
intervalo”. Gráficamente, un intervalo se identifica en la recta real con un segmento o una semirrecta,
con o sin sus extremos, o con toda la recta real.
Ejemplos:
1. { x | 2 ≤ x ≤ 4 } = [2, 4] es un intervalo que comprende todos los números entre 2 y 4, inclusive.
−∞
… −4
−3
−2
−1
0
1
2
3
…
4
∞
Figura 1.27
2. { x | x > 5 }= (5, ∞) es un intervalo, que se representa en la recta real como una semirrecta, con origen
en 5, sin contar este extremo.
−∞ … −20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20 …
∞
Figura 1.28
Para los intervalos se utiliza una notación específica. A los intervalos se les clasifica, en intervalos cerrados, abiertos y semiabiertos.
El intervalo cerrado [a, b], con a y b números reales, es el subconjunto de R definido como:
[a, b] = { x | a ≤ x ≤ b }.
En particular, a y b son elementos de [a, b].
27
UNIDAD
1
Números reales
El intervalo abierto (a, b), con a y b números reales, es el subconjunto de R definido como:
(a, b) = { x | a < x < b }.
En este caso, a y b no son elementos de (a, b).
Los subconjuntos de la forma { x | x > a } y { x | x < a }, también se llaman intervalos abiertos, y para
estos se utiliza la notación (a, ∞) y (-∞, a), respectivamente.
El conjunto R es también un intervalo abierto, que se denota (-∞, ∞).
Por último, los intervalos semiabiertos se denotan de la forma [a, b), (a, b], [a, ∞) y (-∞, a], siendo
a y b números reales. Se definen en su forma constructiva de la siguiente manera:
[a, b) = { x | a ≤ x < b }
(a, b] = { x | a < x ≤ b }
[a, ∞) = { x | x ≤ a }
(-∞, a] = { x | x ≤ a }
Ejemplo:
Si a = -2, y b = 3, entonces [-2, 3) = { x | -2 ≤ x < 3 }, y (-2, 3] = { x | -2 < x ≤ 3 }.
y
−2 < x < 3
8
6
4
2
x
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
−2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−4
−6
−8
Figura 1.29
Problema resuelto
Resolver la desigualdad | x | ≤ 5:
Solución
Puesto que la función valor absoluto está dada por:
 x si x >0

| x | =  0 si x = 0
 -x si x < 0

Tenemos dos casos:
1. x > 0 ⇒ | x | = x ≤ 5, entonces el intervalo solución está dado por 0 < x ≤ 5.
2. x < 0 ⇒ | x | = -x ≤ 5, al multiplicar la desigualdad por (-) se invierte el signo de la desigualdad x ≥ -5,
de esta forma el intervalo solución está dado por 0 > x ≥ -5.
28
Grupo Editorial Patria©
El conjunto solución es la unión de estos dos intervalos solución { x | 0 < x ≤ 5 } ∪ { x | 0 > x ≥ -5 } ∪
{ x | x = 0 }, que es el intervalo:
{ x | -5 ≤ x ≤ 5 } = [-5, 5]
y
0<x<5
−5 < x < 0
8
6
4
2
x
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−4
−6
−8
Figura 1.30
Problema resuelto
Resolver la desigualdad: 3 x + 1 < x + 7.
Solución
3x-x<7-1
2x<6
⇒ x < 3, entonces el intervalo solución es (-∞, 3)
y
x<3
8
6
4
2
x
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−4
−6
−8
Figura 1.31
29
UNIDAD
1
Números reales
Problema resuelto
4
≥ 2.
x-7
Resolver la desigualdad:
Solución
Para que la desigualdad se cumpla es necesario que:
x-7>0
x>7
Entonces, multiplicando la desigualdad por x - 7 (que es > 0), se tiene que:
4 ≥ 2( x - 7) ⇒ 4 ≥ 2x - 14 ⇒ 18 ≥ 2x ⇒
18
≥ x
2
Por tanto, el intervalo solución es 9 ≥ x intersección x > 7, se obtiene 7 < x ≤ 9 o (7, 9].
y
7<x<9
15
10
5
x
−4 −3 −2 −1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
−5
−10
−15
Figura 1.32
Números reales
Racionales
Fracciones
decimales
infinitos
periódicos
de
Naturales
Irracionales
Enteros
Cero
decimales
infinitos
no
periódicos
Enteros
Negativos
π
{1, 2, 3, 4, ...}
30
Figura 1.33
0
{..., −4, −3, −2, −1}
e
–
√2
UNIDAD
1
Problemas para resolver
1.1 Expresa al conjunto de las vocales, por extensión, en su
forma constructiva y con diagrama de Venn.
1.2 ¿Cuál es el conjunto formado por la intersección de los
conjuntos { e, x, i, t, o } y { t, r, i, u, n, f, o }?
1.3 Representa la unión de los conjuntos { e, x, i, t, o } y
{ t, r, i, u, n, f, o }.
1.4 ¿Cuál es la intersección de los siguientes conjuntos?
A = { l, u, n, a } y B = { t, r, i, u, n, f, o }
1.5 Obtener la diferencia A - B si A = { c, o, r, a, z, o, n } y
B = { h, i, p, e, r, t, n, s, o }.
1.6 Sean A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 2, 4, 6 }. Determina: A ∩ B,
A ∪ B.
1.7 Dados los conjuntos: A = { 1, 2, 3, 4, 5, 7 }, B = { 3, 4, 6 },
C = { 1, 2, 4, 8, 9, 5 }. Determina: A ∩ B, A ∪ C, B ∪ C,
A ∪ B, A ∩ C, B ∩ C.
1.8 Dados los conjuntos: A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 2, 4, 6 },
C = { 2, 4, 8, 9 }. Determina: A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C, A ∪ B,
A ∪ C, B ∪ C.
1.9 Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e },
C = { d, f, g }. Determina: A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C, A ∩ B,
A ∩ C, B ∩ C.
1.10 ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacíos, unitarios, finitos, infinitos?
a) A = { x | x es día de la semana }
b) B = { vocales de la palabra conjunto }
c ) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . }
1.11 Demuestra con un diagrama de Venn que:
(A - B) ∩ B = ∅.
1.12 Demuestra las propiedades asociativas siguientes:
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c ) x ∈ { o, p, q, x }
( )
d) México ∈ { países de Europa }
( )
e) Grijalva ∈ { ríos de México }
( )
1.16 ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacíos, unitarios, finitos, infinitos?
a) A = { x | x es día de la semana }
b) B = { vocales de la palabra vals }
c ) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . }
d) D = { x | x es un habitante de la Luna }
e) E= { x | x es presidente de Marte }
1.17 Escribe los siguientes conjuntos en su forma constructiva.
Por extensión
A = { a, e, i, o, u }
B = { 0, 2, 4, 6, 8 }
C = { c, o, n, j, u, n, t, o, s }
D = { 1, 3, 5, 7, 9 }
E = { b, c, d, f, g, h, j, … }
En forma constructiva
1.18 Dados los conjuntos: A = { c, h, a, t }, B = { c, h, a, r,
m }, C = { h, r, t, n }. Determina: A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C, A ∩ B,
A ∩ C, B ∩ C.
1.19 Se llevó a cabo una investigación con 1 000 personas para determinar qué medio utilizan para conocer
las noticias del día. Se encontró que 400 personas escuchan las noticias en forma regular por televisión, 300
personas escuchan las noticias por la radio y 275 se enteran de las noticias por ambos medios. Responde:
a) ¿Cuántas de las personas investigadas se enteran de las
noticias sólo por la televisión?
a) A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C
b) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
1.13 Indica en un diagrama de Venn los conjuntos:
a) A ∩ (B ∩ C )
b) ¿Cuántas de las personas investigadas se enteran de las
noticias sólo por la radio?
c ) ¿Cuántas de las personas investigadas no escuchan ni
ven las noticias?
b) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
1.20 Se realizó una encuesta a 11 personas sobre sus
preferencias por dos tipos de productos A y B. Obteniéndose los siguientes resultados:
1.14 Escribe los siguientes conjuntos:
a) El conjunto de los días de la semana.
• El número de personas que prefirieron uno solo de los
productos fueron 7.
b) El conjunto de las estaciones del año.
c ) Los números impares menores que 11.
e) Los números primos menores que 15.
• El número de personas que prefirieron ambos productos
fue igual al número de personas que no prefirió ninguno
de los dos productos.
1.15 Indica si el enunciado es verdadero o falso, anotando
en el inciso una V o una F, según corres­ponda.
• El número de personas que no prefieren el producto A y
prefirieron el producto B fueron 3.
a) 6 ∈ { 2, 4, 5, 6, 9 }
( )
Con base en los resultados de la encuesta, responde:
b) y ∈ { o, p, q, x }
( )
a) ¿Cuántas personas prefieren el producto A?
d) Los números pares mayores que 10 y menores que 20.
Problemas aplicados a la realidad
Problemas para resolver con tecnología
31