Download números naturales y enteros

© José Juan González Gómez, 2004
MATEMÁTICAS DE 3º DE ESO
UNIDAD DIDÁCTICA I:
INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE NÚMERO. NÚMEROS NATURALES Y
ENTEROS. DIVISIBILIDAD
Profesor: José Juan González Gómez
Introducción.
Este tema será el primero dentro de la programación de la asignatura de
Matemáticas de 3º de ESO, con una duración de cinco sesiones ordinarias. A
continuación se describen los objetivos que el alumno debe alcanzar, y contenidos a
desarrollar.
Objetivos a conseguir…
Contenidos que veremos…
- Conocer el concepto de número, sistema - Introducción al concepto de número.
de numeración y las necesidades de
Funciones del mismo.
ampliación del conjunto de los naturales.
- Concepto de número natural. Divisibilidad.
- Realizar operaciones combinadas según
la jerarquía de operaciones.
- Conjunto de los números enteros. Necesidad
del mismo.
- Saber ordenar los números naturales y
enteros.
- Operaciones básicas. Propiedades. Jerarquía
de operaciones. Reglas de signos. Orden.
- Conocer el valor absoluto de un número.
- Divisibilidad en Z. Algoritmos de cálculo del
- Operar con potencias de exponente
MCM y MCD.
entero y base natural.
- Potenciación y valor absoluto.
- Determinar si un número es primo o
compuesto.
- Números
primos
y
compuestos.
Factorización. Criterios de divisibilidad.
- Manejar los criterios de divisibilidad.
- Algunos conjuntos de números enteros.
- Obtener el MCD y el MCM.
- Reconocer la utilidad del lenguaje
numérico para resolver problemas
cotidianos.
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Esquema del tema.
1-. Funciones y utilidad de los números.
El concepto matemático de número es de carácter abstracto, es una idea, no
hemos de asociarlo directamente con el símbolo numérico que lo representa. La palabra
número proviene del latín numerus, y se define como un “concepto matemático que
expresa cantidad, orden, y también sirve para identificar, medir, etc.”.
A lo largo de la historia del hombre, la idea de número se desarrolló muy
lentamente: se creó a lo largo del tiempo una especie de “conciencia” gradual con
respecto a propiedades que poseían distintos conjuntos de cosas (animales, objetos…)1:
un guerrero, un arco, una flecha, etc. tenían eso en común: eran conjuntos unitarios o
con un solo elemento. Asímismo, el hombre se percató de la existencia de dualidades
en nuestro mundo: hombre-mujer, día-noche, vida-muerte, etc., con lo que se fue
concibiendo la idea de paridad. Durante mucho tiempo el hombre no supo pensar en
cantidades mayores que tres, frontera de lo imaginable, e inmediatamente pasaban a
hablar de multitud. Ni que decir tiene que la necesidad del hombre de contar los objetos
que poseía, las fases lunares, los días, los rebaños de ganado, etc. hizo que la idea de
número se desarrollara, hasta que apareció (mucho más tarde) la escritura simbólica
que representaba dicho concepto. Hasta entonces, el hombre tuvo que contar con
muescas, con piedras, oralmente o con multitud de invenciones que impieran olvidar
los calculos mentales desarrollados; a partir de la invención de los símbolos numéricos
(que posiblemente ocurriera antes de que se desarrollara la escritura general) el hombre
pudo realizar operaciones eficazmente, mantener la información en el tiempo y crear lo
que fue el germen de la Aritmética2 más elemental, que aparecería en la Grecia Clásica
recogiendo toda la tradición mesopotámica.
La aparición de la escritura simbólica numérica hizo que se desarrollaran
numerosos sistemas de numeración, según las distintas culturas, sobre bases como la
vigesimal (20), sexagesimal (60), quinaria (5), duodecimal (12) y como no la decimal
(base 10). Seguro que encuentras una buena razón para que finalmente eligiésemos la
decimal ¿no?. Estos sistemas de numeración se denominan posicionales, pues el valor
del número depende de la posición que ocupe con respecto a los demás de la cifra:
1
Estamos hablando de la Edad del Fuego, en
Disciplina matemática que se ocupa del estudio de las operaciones con los distintos tipos de números,
propiedades y sus relaciones.
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3456 = 3x103 + 4x102 + 5x101 + 6x100
(
¿recuerdas cómo se expresa un número según el sistema decimal?)
Nuestro actual sistema de numeración es el decimal, y proviene del antiguo
sistema de numeración Indio, introducido en occidente por la tradición y cultura árabes
en Europa a partir del siglo XI. Es de destacar que el número 0 = “cero” (que representa
la diea de vacío o nada) no fue introducido hasta entonces, pues para la cultura India el
concepto de vacío o nada no tenía sentido. Hay matemáticos que no lo consideran un
número natural.
El número más elemental que conocemos es el llamado natural, pues es el que el
hombre encuentra al estudiar la naturaleza y lo que en ella existe: 1, 2, 3, 4, 5,… A
partir de ahora, llamaremos conjunto de los números naturales a:
N = 1, 2, 3, 4, ….
Estos números que ya conocemos tienen diversas funciones o usos, entre los que
cabemos distinguir:
a) Para contar cantidades: nos sirven para contar cantidades de magnitud. Así
tenemos los números cardinales.
b) Para ordenar: también los usamos para ordenar los elementos de cualquier
conjunto; en tal caso, aparecen los números ordinales (primero, segundo,…).
En la antigüedad, el número también tenía asignado unas propiedades
mágicas y una cierta mística, pues servían p.e. para ordenar el Universo: los
dioses en primer lugar, los hombres y mujeres en segundo, los animales en
tercero; también los griegos Pitagóricos rendían culto al “número”: sobre su
lema “todo es número” daban así una importancia divina a este concepto.
c) Para identificar elementos de un conjunto, codificar mensajes, etc.: p.e.
los números del DNI, o los mensajes informáticos cifrados,…
d) Para realizar operaciones, medidas… en la vida diaria.
Pero, ¿es suficiente con estos números?. Recordemos la célebre frase del
matemático alemán Krönecker: “Dios creo los números naturales; lo demás es obra del
hombre”.
2.- Necesidad de los números enteros.
Dos importantes razones propician la aparición de los números negativos a lo
largo de la historia: la existencia de cantidades de magnitud que varían en dos sentidos
(uno positivo y otro negativo), y que por tanto necesitan distinguir cuando una medida
ha sido obtenida en uno u otro sentido; y, matemáticamente, la imposibilidad de
obtener solución de la siguiente ecuación dentro de N:
x+b=0, b∈
∈N
A lo largo de la historia, el número negativo (y el entero) no fue introducido hasta
la Edad Media, por su dificultad conceptual para la mente humana: pero, ¿qué significa
un número que se escribe -3? Pues bien, siempre que hablemos de números negativos,
hasta que nos acostumbremos a su uso abstracto, pensaremos en cantidades que se
adeudan, fechas anteriores a cierto momento (p.e. el año cero en la Era Cristiana), o la
expresión en grados de una temperatura. Llegamos así a la:
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Definición: un “ número entero” es un número natural precedido del signo + o del
signo menos, para indicar el sentido de lo que expresa dicho símbolo. Los que van
precedidos de + se llaman “ enteros positivos”, y los qu e llevan el signo – se llaman
“ enteros negativos” . Lo representaremos como:
Z = …, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, … = Z+ U ZEl número 0 y los positivos no se suelen escribir con el signo + (se
sobreentiende).
3-. Representación gráfica.
En primer lugar, fijamos la unidad de medida:
u
Llevamos sobre una recta estos segmentos a izquierda y derecha de un punto O
llamado origen, y que se corresponderá con el número cero. En la semirrecta de la
derecha se disponen los enteros positivos, y a la izquierda los negativos, de modo que
hacemos corresponder los puntos extremos de los segmentos con los números enteros:
-5 -4 -3 -2
-1
Z-
+1 +2 +3 +4 +5
0
Z+
4-. Valor absoluto de un número entero.
Ya sabemos que los signos + y – (por ahora) no son símbolos de operaciones sino
que indican simplemente la cualidad de ser positivos/negativos. Cuando prescindimos
del signo, el número natural resultante se denomina valor absoluto del número, y se
expresa entre dos barras:
-7 =7
5-. Propiedades de la adición y sustracción de los número enteros.
SUMA
a) Conmutativa:
b) Asociativa:
c) Elemento neutro:
d) Elemento opuesto:
Nota: Esta última propiedad nos permite definir la sustracción como la operación resultante de
suma con el elemento opuesto: 2 – 3 = 2 + (-3) = -1. Interprétalo en la recta.
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ORDEN
Un número entero “a” es “ mayor” que otro “b”, y se escribe a>b, si podemos
hallar otro “c” que sumad o con “b” nos de “a”: a = b + c. Es fácil entenderlo en la
recta:
0
Análogamente definiremos “ menor que” (inténtalo decir con palabras):
PRODUCTO
En primer lugar, recuerda la regla de los signos:
Las propiedades son:
+ por - Æ
+ por + Æ
- por + Æ
- por - Æ
a) Conmutativa:
b) Asociativa:
c) Elemento neutro:
d) Elemento absorbente:
Existe otra propiedad que relaciona la suma y el producto, la propiedad distributiva del
producto respecto a la suma:
7-. Identificación de los naturales con los enteros positivos.
Hemos ampliado el conjunto de los número naturales; o sea, lo hemos hecho más
grande, creando así el de los número enteros. Por lo tanto, podemos considerar que el
conjunto de los naturales está “ dentro del conjunto de los enteros”, o sea, es un
subconjunto suyo. Ya que coincide exactamente con el conjunto de los enteros
N
Z
positivos:
Identifico los naturales con
los enteros positivos
1
2
3
…
Así pues, solemos escribir: N
+1
+2
+3
…
⊂ Z.
8-. Jerarquía de operaciones.
1º-. Eliminamos paréntesis y corchetes, teniendo en cuenta siempre las reglas de
signos.
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2-. A la hora de operar dentro de los mismos, daremos prioridad a productos,
divisiones y potenciaciones.
3-. En último lugar se resolverán sumas y restas.
Nota: véase el apartado dedicado a las potencias de base entera y exponente natural en hoja aparte.
9-. Concepto de múltiplo y divisor en Z.
Un número entero “a” es múltiplo de otro entero “b” si existe un entero “n” tal
que a = b . n ; o sea, “a” es “b” n veces. El conjunto de múltiplos de un número se suele
denotar con un puntito encima del mismo:
3 = múltiplos enteros de 3 = ±3, ±6, ±9,…
Un número “b” es divisor de “a” si la división es exacta: a / b = n, siendo n
entero. En tal caso, diremos que a es divisible por b. El conjunto de divisores de “b” s e
denota por Div(b):
Div(9) = divisores enteros de 9 = ±1, ±3, ±9,…
Nota: la regla de los signos para la división es idéntica a la del producto.
10-. Criterios de divisibilidad.
-
Un número es divisible por 10 si
-
Un número es divisible por 2 si
-
Un número es divisible por 5 si
-
Un número es divisible por 3 o por 9 si
-
Un número es divisible por 6 si
-
Un número es divisible por 11 si
11-. Cálculo del Mínimo Común Múltiplo (MCM) / Máximo Común Divisor
(MCD).
MCM de dos o más números = menor de los múltiplos que son comunes a esos números
(luego siempre será un número mayor que todos ellos)
Cálculo del MCM:
1-. Factorizamos los números;
2-. Tomamos los factores repetidos y no repetidos, elevados al mayor exponente que
aparezca;
3-. Los multiplicamos.
Ejemplo:
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MCM ( 9, 16, 21)= 32 . 24 . 7 =
9 3
3 3
1
9 = 32
16
8
4
2
1
2
2
2
2
16 = 24
21 3
7 7
1
21= 7.3
Calcula el MCM (4,7) y el MCM (9, 11); ¿qué concluyes?
Por otra parte, el MCD será el mayor de los divisores que tengan en común dos o
más números enteros (por tanto, debe ser siempre un número menor que esos
números).
Cálculo del MCD:
1-. Factorizamos los números;
2-. Tomamos los factores repetidos, elevados al menor exponente que aparezca;
3-. Los multiplicamos.
Ejemplo:
MCD ( 10, 25) =
10
25
Cuando el MCD de dos o más números sea 1, diremos que dichos números son primos
entre sí (o sea, no son divisibles entre sí) : MCD (11, 20) = 1
Ejercicio: comprobar la propiedad MCM (a,b) . MCD (a,b) = a . b
12-. Números primos y compuestos.
Un número es primo si únicamente es divisible por él mismo y por la unidad.Un
número compuesto es un número que no es primo, y descompone en producto de
primos (p.e., cualquiera de los ejemplos anteriores, salvo el 11 que es primo).
Ejercicio: escribir los primos del uno al cien siguiendo la Criba de Eratóstenes.
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