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Pérdida Esperada
Uno de los objetivos de este estudio es construir una función de pérdidas para el
portafolio de la cartera de préstamos que ofrece la entidad G&T Continental, basados en
el comportamiento crediticio, a fin de determinar las pérdidas esperadas para la
determinación de requerimientos de provisiones y capital.
Garantías Comunitarias Grupo S.A. quiere brindarles un informe detallado en el que
ustedes puedan conocer las variables que pueden llegar a intervenir en el
comportamiento en el pago de su cartera.
En primer lugar bajo el análisis de Basilea II y Basilea III, según la normatividad podrán
conocer e identificar los posibles impactos económicos de la pérdida esperada.
Se presentarán una serie de modelos ajustados a la pérdida esperada con el fin de
comparar con nuestro modelo econométrico.
Para la gestión del riesgo de crédito suelen utilizarse los conceptos de pérdidas esperadas.
Generalmente, suele calcularse como el producto de:
-La probabilidad de incumplimiento.
-Exposición en riesgo, o tamaño de la deuda.
-Pérdida en caso de incumplimiento.
Pérdida Esperada (PE): Valor esperado de pérdida por riesgo crediticio en un horizonte de
tiempo determinado.
Probabilidad de Incumplimiento (PI): Es la probabilidad de que ocurra el incumplimiento
parcial o total de una obligación de pago.
Pérdida dado el Incumplimiento (PDI): Es la magnitud de la pérdida si el incumplimiento
realmente ocurriese, el PDI se calcula como (1-Tr) donde Tr representa la de Tasa de
recuperabilidad (cuánto espera recuperar la entidad del prestatario).
Distribuciones de Probabilidad
1. Binomial
Realizamos un determinado n veces de manera independiente, donde la probabilidad de
éxito es constantemente p. Entonces la v.a. X definida como el número de éxitos
obtenidos en las n realizaciones sigue una distribución Binomial con parámetros n y p, que
denotamos por B(n, p). Esta variable puede tomar los valores 0, 1,..., n y su función de
probabilidad es:
𝑛
𝑃(𝑋 = 𝑥) = ( ) 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝)𝑛−𝑥 , 𝑥 = 0,1, … , 𝑛
𝑥
Perdida Esperada: Dado n créditos desembolsados en determinado período de tiempo
con una probabilidad de incumplimiento del pago p y según la calificación crediticia
basada en los días de mora. Sea X el número de pagos de créditos, la distribución binomial
calcula la probabilidad de que en determinado período de tiempo, de n créditos
desembolsados x créditos sean clasificados en las respectivas categorías (Normal,
Mención Especial, Subnormal, Dudoso e Irrecuperable).
Utilidad Esperada: La distribución binomial calcula la probabilidad de que en
determinado período de tiempo, de n créditos desembolsados x créditos sean clasificados
en las respectivas categorías (Normal, Mención Especial, Subnormal, Dudoso e
Irrecuperable) con una probabilidad de pago p.
2. Binomial negativa
Realizamos ahora el experimento de forma independiente hasta conseguir k éxitos, donde
la probabilidad de éxito en cada realización es constante e igual a p. Entonces, la v.a. X
=Número de fracasos antes del k−ésimo éxito sigue una distribución Binomial Negativa de
parámetros k y p, que denotamos por BN(k, p). Su función de probabilidad viene dada por:
𝑘+𝑥−1 𝑘
) 𝑝 (1 − 𝑝)𝑥 , 𝑥 = 0,1, …
𝑥
𝑃(𝑋 = 𝑥) = (
Perdida Esperada: Realizar análisis de la cartera de créditos hasta conseguir k créditos
clasificados en las respectivas categorías (Normal, Mención Especial, Subnormal, Dudoso e
Irrecuperable) en base a la cantidad de días de mora que tiene el crédito.
Utilidad Esperada: Realizar análisis de la cartera de créditos hasta conseguir k créditos
clasificados en la categoría Normal (Calidad de pago excelente).
3. Poisson
Suele representar el número de sucesos independientes que ocurren a velocidad
constante en un intervalo de tiempo o espacio. Así por ejemplo, X =Número de
ocurrencias por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson de parámetro λ, λ > 0,
que denotamos por P(λ), si su función de probabilidad es:
𝑃(𝑋 = 𝑥) =
𝑒 −λ λ𝑥
, 𝑥 = 0,1, …
𝑥!
Perdida Esperada: Calcular la probabilidad de que determinado crédito desembolsado
tenga pérdida esperada.
Utilidad Esperada: Calcular la probabilidad de que determinado crédito desembolsado
tenga una utilidad deseada.
4. Geométrica
Es un caso particular de la distribución Binomial Negativa; se obtiene cuando k = 1 y por
tanto contabiliza el número de fracasos anteriores al primer éxito. La denotamos por G(p).
Su función de probabilidad es:
𝑓(𝑥) = (1 − 𝑝)𝑥 𝑝
Pérdida Esperada: Realizar análisis de la cartera de créditos hasta conseguir 1 crédito que
incurra en pérdida esperada.
Utilidad Esperada: Realizar análisis de la cartera de créditos de tal manera de controlar la
buena calidad de pago para obtener un buen beneficio monetario.
5. Hipergeométrica
Supongamos que tenemos una urna con N bolas, de las cuales Np son rojas y Nq negras.
La proporción de bolas rojas es por lo tanto p = Np/N y la proporción de negras q = 1−p =
Nq/N. Si extraemos de la urna n bolas sin reemplazamiento, entonces X =Número de bolas
rojas obtenidas sigue una distribución Hipergeométrica de parámetros (N, n, p), que
denotamos por H(N, n, p). Su función de probabilidad es:
𝑁
𝑁
( 𝑝) ( 𝑞)
𝑥 ,
𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑥
𝑁
( )
𝑛
𝑚á𝑥 {0, 𝑛 − 𝑁𝑞 } ≤ 𝑀í𝑛{𝑛, 𝑁𝑃 }
Pérdida Esperada: Dada la clasificación del crédito: en normal, mención especial,
subnormal, dudoso e irrecuperable, X es la variable que denota que la cantidad de
créditos con pago incumplido que se pueden obtener.
Utilidad Esperada: Dada la clasificación del crédito: en normal, mención especial,
subnormal, dudoso e irrecuperable, Y es la variable que denota que la cantidad de
créditos con excelente calidad de pago.
𝑁
𝑁
( 𝑝) ( 𝑞)
𝑦
𝑦
𝑃(𝑌 = 𝑦) =
,
𝑁
( )
𝑛
𝑚á𝑥 {0, 𝑛 − 𝑁𝑞 } ≤ 𝑀í𝑛{𝑛, 𝑁𝑃 }
6. Chi cuadrado
La distribución Chi-cuadrado con parámetro n (grados de libertad), denotada por 𝜒𝑛2 ,
𝑛
1
resulta también un caso particular de la Gamma al considerar 𝛼 = 2 𝑦 𝜆 = 2. Su función
de probabilidad es:
1
𝑛/2−1 −𝑥/2
𝑓(𝑥) =
𝑒
,𝑥 ≥ 0
𝑛 𝑛/2 𝑥
𝛤 (2) 2
La distribución χ² tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística. La más conocida es la de la
denominada prueba χ² utilizada como prueba de independencia y como prueba de bondad de
ajuste y en la estimación de varianzas. Pero también está involucrada en el problema de estimar la
media de una población normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una
recta de regresión lineal, a través de su papel en la distribución t de Student.
Pérdida Esperada: Análisis de la variabilidad de la probabilidad de incumplimiento X en el
transcurso del tiempo.
Utilidad Esperada: Análisis de la variabilidad de la probabilidad de pago de un crédito
determinado.
7. Exponencial
Se utiliza fundamentalmente para modelizar tiempos de vida o tamaños. Se dice que una
v.a X sigue una distribución Exponencial de parámetro λ, X → Exp(λ), si su función de
probabilidad es:
𝑃(𝑋 = 𝑥) = λ𝑒 −λx , 𝑥 ≥ 0 , λ > 0
Pérdida Esperada: Análisis de la calidad de pago de un crédito, es decir, el análisis del
crédito hasta que este se convierta en un crédito irrecuperable.
Utilidad Esperada: Análisis la calidad de pago de un crédito, es decir, el análisis del
crédito tenga un buen comportamiento durante su plazo de pago.
8. T de Student
La distribución t de Student de parámetro n, que denotamos por tn, se genera a partir de
dos variables independientes, una con distribución N(0, 1) y la otra con distribución 𝜒𝑛2 .
Sea 𝑍 → 𝑁(0,1) 𝑦 𝑋 → 𝜒𝑛2 variables independientes. Entonces:
𝑇=
𝑍
√𝑋
𝑛
→ 𝑡𝑛
Pérdida Esperada: Realizar comparativos entre dos muestras de créditos de diferentes
periodos (analizar los créditos irrecuperables).
Utilidad Esperada: Realizar comparativos entre dos muestras de créditos de diferentes
periodos (analizar los créditos en categoría normal).
9. Normal
Se dice que una v.a. X sigue una distribución Normal de parámetros µ, σ, X → N(µ, σ), si su
función de probabilidad es:
−(𝑥−𝜇)2
1
𝑓(𝑥) =
𝑒 2𝜎2 , −∞ < 𝑥 < ∞ , 𝜇 ∈ 𝑅, 𝜎 > 0
√2𝜋𝜎
Pérdida Esperada: Representación de la variación de la pérdida esperada como una distribución
normal.
Utilidad Esperada: Representación de la variación de la utilidad esperada como una
distribución normal.
10. Gamma
Una v.a. X sigue una distribución Gamma de parámetros α, λ, X→ G(α, λ), si su función de
probabilidad es:
𝑓(𝑥) =
1
𝑥 𝛼−1 𝑒 −𝜆𝑥 , 𝑥 ≥ 0, 𝜆 > 0
𝛤(𝛼)
∞
Γ(α) = ∫ x α−1 e−x dx
0
Se utiliza para modelar variables que describen el tiempo hasta que se produce x veces un
determinado suceso.
Pérdida Esperada: Modelar las variables que se consideren necesarias para el análisis de
pérdida esperada que describen el tiempo hasta que se producen x veces un pago
incumplido de un crédito.
Utilidad Esperada: Modelar las variables que se consideren necesarias para el análisis de
utilidad esperada para saber cuáles afectan la cartera.
11. Beta
La distribución beta es posible para una variable aleatoria continua que toma valores en el
intervalo [0,1], lo que la hace muy apropiada para modelar proporciones. En la inferencia
bayesiana, por ejemplo, es muy utilizada como distribución a priori cuando las
observaciones tienen una distribución binomial.
𝑓(𝑥) =
𝛤(𝛼 + 𝛽) 𝛼−1
𝑥
(1 − 𝑥)𝛽−1 , 𝑥 ∈ (0,1),
𝛤(𝛼)𝛤(𝛽)
𝛼, 𝛽 > 0
Pérdida Esperada: Análisis de la proporción de en cada categoría de clasificación de los
créditos desembolsados en base a los días de mora, es decir, el porcentaje de créditos en
cada categoría.
12. Distribución F
A la distribución Snedecor de parámetros 𝑛1 , 𝑛2 la denotamos por 𝐹𝑛1 ,𝑛2 y se genera a
partir de dos distribuciones Chi-cuadrado independientes, 𝜒𝑛21 , 𝜒𝑛22 .
Sea 𝑋 → 𝜒𝑛21 e 𝑌 → 𝜒𝑛22 v.a. independientes. Entonces:
𝑋
𝑛1
𝐹=
→ 𝐹𝑛1 ,𝑛2
𝑌
𝑛2
Y a 𝑛1 , 𝑛2 se les llaman grados de libertad.
Pérdida Esperada: Distribución que permite detectar la existencia o inexistencia de
diferencias significativas entre muestras de créditos de dos periodos diferentes .
13. Uniforme Continua
Una variable aleatoria X tiene una distribución Uniforme en el intervalo [a, b], y lo
denotamos por X → U (a, b), si su función de probabilidad es:
1
𝑓(𝑥) = {𝑏 − 𝑎
0
𝑠𝑖 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Pérdida Esperada: Todos los créditos tienen la misma probabilidad entre 0 y 1 de ser
irrecuperables.
Utilidad Esperada: Todos los créditos tienen la misma probabilidad entre 0 y 1 de ser
clasificados en la categoría normal.
14. Weibull
Se usa para modelar situaciones del tipo tiempo- falla, o bien puede indicar la vida útil de
cierto artículo, planta o animal, confiabilidad de un componente. Se dice que X es una
variable aleatoria con distribución Weibull sí:
𝑓(𝑥) = 𝛼𝜆𝛼 𝑥 𝛼−1 𝑒 −(𝜆𝑥)
𝛼
𝛼, 𝜆 > 0
Pérdida Esperada: Modelación del deterioro de la capacidad de pago de determinado
crédito.
Utilidad Esperada: Modelación del mejoramiento de la capacidad de pago de
determinado crédito.
15. Pareto
Se dice que una variable aleatoria X de tipo continuo tiene distribución Pareto de
parámetros α y x0, α, x0 > 0 si su función de densidad es:
𝛼𝑥0𝛼
𝑓(𝑥) = 𝛼+1 , 𝑥 ≥ 𝑥0
𝑥
Pérdida Esperada: Análisis del deterioro del crédito (Clasificación del crédito)
Utilidad Esperada: Análisis del mejoramiento de la calidad de pago de un crédito.
16. Logit
La curva logística es una función real de variable real y aparece como curva adecuada para
describir el crecimiento de poblaciones y, en general, en los procesos de crecimiento que
experimentan estados de saturación.
𝑝
) = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥1 + 𝛽2 𝑥2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥𝑘
1−𝑝
L𝑜𝑔 (
Donde p es la probabilidad de incumplimiento, y 𝑥1 , . . , 𝑥𝑘 variables explicativas a
considerar en el modelo.
Pérdida Esperada: Modelamiento de la probabilidad de incumplimiento mediante
regresión logística con las variables según la información de la entidad que se consideran
necesarias para el modelo.
Utilidad Esperada: Modelamiento de la probabilidad de cumplimiento de pago mediante
regresión logística con las variables según la información de la entidad y las variables
económicas del respectivo país.
17. Probit
El propósito del modelo es estimar la probabilidad de que una observación con características
particulares, caerá en una específica de las categorías; Además, si probabilidades estimadas de
más de medio se tratan como la clasificación de una observación en una categoría pronosticada, el
modelo probit es un tipo de clasificación binaria .
Pérdida Esperada: Al igual que la distribución logit Modelamiento de la probabilidad de
incumplimiento mediante regresión probit con las variables que se consideran necesarias
para el modelo.
Utilidad Esperada:
18. Multinomial
La distribución multinomial es similar a la distribución binomial, con la diferencia de que en lugar
de dos posibles resultados en cada ensayo, puede haber múltiples resultados.
Sea la variable aleatoria 𝑥𝑖 , que indica el número de veces que se ha dado el resultado i sobre los n
sucesos. El vector 𝑋 = (𝑥1 , … , 𝑥𝑘 ) sigue una distribución multinomial con parámetros n y p,
donde𝑝 = (𝑝1 , … , 𝑝𝑘 ) .
Su función de probabilidad es:
𝑛!
𝑥
𝑥
𝑝 1 … 𝑝𝑘 𝑘
𝑥1 !, … , 𝑥𝑘 ! 1
Pérdida Esperada: Determinar la probabilidad y la cantidad de créditos que son irrecuperables.
Utilidad Esperada: Determinar la probabilidad y la cantidad de créditos que pagados en su
totalidad.
Definiciones Básicas
Probabilidad de Transición
Es una herramienta que se utiliza para obtener la probabilidad de que un crédito con una
determinada calificación cambie de calificación durante un periodo específico,
generalmente de un año. A estas probabilidades se les llama probabilidades de migración
de calidad del crédito. Las matrices de probabilidad de transición generan información
sobre el posible deterioro que puede presentar una cartera de crédito en el futuro; se
obtienen a partir de las cadenas de Markov.
Proceso Estocástico
Es una colección de variables aleatorias definidas sobre un mismo espacio de
probabilidad. Por ejemplo el monto de la deuda 𝑋𝑡 de un deudor en el mes t.
Modelo Montecarlo
El método Montecarlo es un método numérico que permite resolver problemas mediante
la simulación de variables aleatorias. La importancia actual del método Montecarlo se
basa en la existencia de problemas que tienen difícil solución por métodos exclusivamente
analíticos o numéricos, pero que dependen de factores aleatorios o se pueden asociar a
un modelo probabilística artificial