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Probabilidad
y
Estadística
Probabilidad
Conceptos como probabilidad, azar, aleatorio son
tan viejos como la misma civilización.
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Y es que a diario utilizamos el concepto de
probabilidad:
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“Quizá llueva mañana”
“Probablemente llegaremos tarde”
“Seguramente tendré notable en Métodos
Matemáticos para la Física ...”
¿Pero, qué es la probabilidad ?
Diferentes interpretaciones de la probabilidad ...
Interpretación clásica de probabilidad:
esta interpretación esta basada en la idea de
eventos igualmente posibles (probables).
●
Ejemplo. Si existen n posibles resultados, todos
ellos con la misma posibilidad de que ocurran,
entonces la probabilidad de cada evento es 1/n
Pero, el concepto de “igualmente probable” está
basado en el concepto de probabilidad que
queremos definir !
¿Qué hacemos cuando los eventos no son
igualemente probables?
Diferentes interpretaciones de la probabilidad ...
Probabilidad como frecuencia de
sucesos:
●
Aquí la probabilidad se obtiene a través
de la frecuencia relativa, si el proceso se
repitiera muchas veces bajo las mismas
condiciones.
Pero, ¿cuánto es “mucho”?¿Qué significa
condiciones similares ?
Diferentes interpretaciones de la probabilidad ...
Interpretación subjetiva de laprobabilidad:
●
Esta es la probabilidad que una persona asigna a
los posibles eventos de una situación. El juicio
para la asignación de probabilidades está basada
en creencias o información del individuo.
Obviamente, aquí la probabilidad cambia de
persona a persona.
Teoría de Probabilidades
Aquí veremos/desarrollaremos una teoría
de probabilidades sin considerar las
controversias respecto a la interpretación
de lo que es una probabilidad.
Por supuesto, la teoría que veremos es
formalmente correcta y podrá utilizarse
para la asignación de valores de
probabilidad en problemas reales.
Conceptos preliminares
Un experimento es cualquier proceso, real
o hipotético, cuyo posible resultado puede
identificarse de antemano.
Un evento es un conjunto bien definido de
los posibles resultados de un experimento.
Teoría de conjuntos
Algunas definiciones:
Espacio muestral: es la colección de todos
los posibles resultados de un experimento.
Denotaremos por “S” al espacio muestral.
Un posible resultado “x” de “S” se dice que
es un miembro del espacio muestral y se
denota como
Teoría de conjuntos
Cuando un experimento se realiza y se dice
que un evento ha ocurrido, significa que el
resultado del experimento satisface las
condiciones que especifican a ese evento.
Cada evento puede considerarse como un
subconjunto del espacio muestral
Teoría de conjuntos
Ejemplo: Dado de seis caras (once again)
Espacio muestral (lanzamiento de un dado) S
Sea A el evento de obtener un número par:
Teoría de conjuntos
Sea B el evento de obtener un número
mayor o igual que 2
Se dice que un evento A está contenido en
otro evento B, si cada resultado que pertece al subconjunto que define a A, también
pertenece al subconjunto que define B:
o bien
Teoría de conjuntos
Conjunto vacío
Algunos eventos son imposibles de obtener.
Por ejemplo, obtener un número negativo al lanzar un
dado.
Es decir, el evento está definido por un subconjunto de
S sin resultados. A este subconjunto de S se le llama
conjunto vacío y se denota por:
Para un evento arbitrario A es lógicamente correcto
decir que cada elemento del
pertenece a A:
Teoría de conjuntos
Conjuntos finitos e infinitos
El número de elementos de un conjunto puede ser
finito o infinitos
Un conjunto infinito puede ser a su vez contable o
incontable
Un conjunto es contable si hay una correspondencia
uno a uno de sus elementos con los números naturales
{1,2,3, ...}.
Un conjunto es incontable si no es finito ni contable
Diagramas de Venn
Una representación gráfica de los resultados de
un experimento son los diagramas de Venn
Diagramas de Venn
Diagramas de Venn
Regiones:
i)
Resultados que pertenecen al evento A, pero no al
evento B
ii) Resultados que pertencen al evento B, pero no al
evento A
iii) Resultados que pertenecen a ambos eventos A y B
iv) Resultados que no pertenecen ni a A ni a B
Teoría de conjuntos
Algunas relaciones entre las operaciones de unión e
intersección:
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Conmutatividad
●
Asociatividad
●
Distributividad
●
Idempotencia
Teoría de conjuntos
Leyes de Morgan:
●
●
●
Homework
Un experimento consiste en escoger al azar un número
entero entre 0 y 9 (incluyendo ambos números). Sean
A, B y C los eventos definido por
Encontrar los elementos de los siguientes eventos
Teoría de probabilidades
Teoría de Probabilidades
Queremos asignar un valor/número Pr(A) a cada
evento de A en un espacio muestral S.
Pr(A) indicará la probabilidad de que ése evento
ocurra.
Teoría de probabilidades
Axioma 1. Para cada A en un espacio muestral S,
Axioma 2. Para un espacio espacio muestral S
Axioma 3. Si dos eventos A y B son mutuamente
excluyentes
Para una serie infinita de eventos disjuntos
asumimos que
Teoría de Probabilidades
Definición matemática de probabilidad:
Una probabilidad en un espacio muestral S es una
especificación de números Pr(A) que satisfacen los
axiomas 1, 2 y 3
Teoría de Probabilidades
Algunos teoremas:
1)
2) Para cada serie finita de eventos disjuntos
3) Para cada evento A
Teoría de probabilidades
4) Si
entonces
5) Para cada evento A
6) Para dos eventos A y B
Teoría de probabilidades
Ejemplo:
Un paciente visita al médico por un dolor de garganta y
fiebre. Después de examinar al paciente, el médico
piensa que el paciente sufre o una infección
bacteriana, o una de tipo viral. El doctor decide que
hay una probabilidad de 0.7 que el paciente tenga una
infección bacteriana y una probabilidad de 0.4 que la
persona tenga una infección viral.
¿Cuál es la probabilidad de que el paciente tenga
ambos tipos de infección?
Teoría de probabilidades (espacio
muestral simple)
Un espacio muestral
se le llama simple
si la probablidad asignada a cada posible resultado
es 1/n
Si un evento A en este espacio contiene m resultados,
entonces
Teoría de probabilidades (espacio
muestral simple)
Similarmente, sea
el número de resultados de un
evento A y
el número total de resultados del espacio
muestral. Entonces
Ahora, si A y B son dos eventos en S:
Teoría de probabilidades
●
Ejercicio:
Calcule la probabilidad de obtener un as o una
espada/pica de un paquete de cartas
Teoría de probabilidades
Ejercicio: supongamos que se lanzan 3 monedas
simultáneamente.
¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras?
Número posible de eventos (C:cara, R:cruz):
1- C C C
2- R C C
3- C R C
4- C C R
5- C R R
6- R C R
7- R R C
8- R R R
Teoría de probabilidades
Ejercicio:
calcule la probabilidad de obtener un as o una
espada/pica o un número par {2,4,6,8,10}
Solución:
Sea A el evento de obtener un as
Sea B el evento de obtener una espada/pica
Sea C el evento de obtener un número par
Se nos pide entonces calcular
Teoría de probabilidades
que está dada por:
Métodos de conteo
Para espacios muestrales simples es muy importante
saber contar el número de resultados posibles de un
evento y el número de resultados posibles del espacio
muestral, pues de aquí podemos calcular la
probabilidad de un evento dado
- Multiplicación
- Permutación
- Combinación
Métodos de conteo
Multiplicación
Regla de multiplicación.
Si en un experimento tenemos que:
i) el experimento se realiza en dos partes
ii) la primera parte tiene m posibles resultados:
y, no importando cuales sean estos
resultados, la segunda parte del experimento tiene n
resultados:
Cada resultado del espacio muestral está dado por la
pareja
y S está dado por:
Métodos de conteo
De aquí que el espacio muestral tiene mxn resultados
Métodos de conteo
Ejemplo:
Lanzamiento de dos dados.
Como cada dado tiene 6 posibles resultados, el número
total de posibles resultados es 6x6=36
Por supuesto, la regla de multiplicación puede
extenderse a experimentos con más de dos partes.
Si un experimento tiene k partes (k>2), tal que la iésima parte del experimento tiene
posibles
resultados. Entonces el tamaño del espacio muestral es
Ejemplo:
Lanzamiento de 6 monedas.
Como cada parte del experimento tiene 2 posibidades
(cara o cruz) tenemos entonces que el número total de
posibles resultados es
2x2x2x2x2x2 = 64
Métodos de conteo
Permutaciones
Una permutación es un arreglo en un orden particular
de los objetos que forman un conjunto.
Entonces nos preguntamos de cuántas formas n objetos
distintos pueden arreglarse/acomodarse (?)
Métodos de conteo
Respuesta:
Si ahora seleccionamos solamente k elementos
(uno a la vez) de los n, entonces vimos que:
Métodos de conteo
Ejemplo: Sea
¿Cuáles son las permutaciones de 2 elementos
tomados del conjunto anterior ?
Respuesta:
Conteo con reemplazamiento
Considerando ahora un experimento en que una bola,
seleccionada de una caja con n bolas, se regresa a la
misma caja. A este proceso se le llama muestreo con
reemplazamiento.
Si se hace un total de k selecciones, el espacio muestral
S contiene todos los vectores de la forma
Como existen n posibles resultados para cada una de
las selecciones, el número total de vectores en S es