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Probabilidad
y
Estadística
●
Probabilidad, un concepto básico el cual puede
considerarse como indefinido, expresando de
algún modo un grado de creencia, o la
frecuencia límite de una serie aleatoria. Ambos
enfoques tienen sus dificultades/deficiencias y
la más conveniente axiomización de la teoría
de probabilidad es cuestión de gustos.
Afortudamente, ambos enfoques llevan al
mismo cálculo de probabilidades.
[Diccionario de términos estadísticos (Kendall and Buckland)]
Diferentes interpretaciones de la
probabilidad ...
Interpretación clásica de probabilidad:
●
Esta interpretación está basada en la idea de
eventos igualmente posibles (probables).
Ejemplo. Si existen n posibles resultados, todos
ellos con la misma posibilidad de que ocurran,
entonces la probabilidad de cada evento es 1/n
Pero, el concepto de “igualmente probable” está
basado en el concepto de probabilidad que
queremos definir !
¿Qué hacemos cuando los eventos no son
igualmente probables?
Diferentes interpretaciones de la
probabilidad ...
Probabilidad como frecuencia de
sucesos:
●
Aquí la probabilidad se obtiene a través
de la frecuencia relativa, si el proceso se
repitiera muchas veces bajo condiciones
similares.
Pero, ¿cuánto es “mucho”? ¿Qué significa
condiciones similares ?
Diferentes interpretaciones de la
probabilidad ...
Interpretación subjetiva de la probabilidad:
●
Esta es la probabilidad que una persona asigna a
los posibles eventos de una situación. El juicio
para la asignación de probabilidades está basada
en creencias o información del individuo.
Obviamente, aquí la probabilidad cambia de
persona a persona.
Teoría de Probabilidades
Aquí veremos una teoría de probabilidades sin
considerar las controversias respecto a la
interpretación de lo que es una probabilidad.
Por supuesto, la teoría que veremos es
formalmente correcta y podrá utilizarse para la
asignación de valores de probabilidad en
problemas reales.
En resumen:
La teoría de probabilidades nos dará una forma
de cuantificar que tan verosímil/probable es que
ocurra un evento en un experimento
Conceptos preliminares
Un experimento es cualquier proceso, real
o hipotético, cuyo posible resultado puede
identificarse de antemano.
Un evento es un conjunto bien definido de
los posibles resultados de un experimento.
Conceptos preliminares
Espacio muestral: es la colección de todos
los posibles resultados de un experimento.
Usualmente, denotaremos por “S ” al
espacio muestral.
Un posible resultado “x ” de “S ” se dice
que es un miembro del espacio muestral y
se denota como
Conceptos preliminares
Cuando se realiza un experimento y se dice
que un evento ha ocurrido, significa que el
resultado del experimento satisface las
condiciones que especifican a ese evento.
Cada evento puede considerarse como un
subconjunto del espacio muestral
Conceptos preliminares
Ejemplo:
Experimento: lanzamiento de un dado
de seis caras
Espacio muestral S :
Sea A el evento de obtener un número par:
Conceptos preliminares
Sea B el evento de obtener un número
mayor o igual que 2
Vemos que los elementos de conjunto A
también están en B
Teoría de conjuntos
Se dice que un evento A está contenido en
otro evento B, si cada resultado que pertece al subconjunto que define a A también
pertenece al subconjunto que define a B :
o bien
Teoría de conjuntos
Si dos eventos A y B son tales que
y
Entonces A y B tienen los mismos
elementos, es decir,
Teoría de conjuntos
(Transitividad)
Si A, B y C son tres eventos tales que
y
se sigue entonces que:
Teoría de conjuntos
Conjunto vacío:
Algunos eventos son imposibles de obtener.
Por ejemplo, obtener un número negativo al lanzar
un dado.
Es decir, el evento está definido por un subconjunto
de S sin resultados. A este subconjunto de S se le
llama conjunto vacío y se denota por:
Para un evento arbitrario A es lógicamente correcto
decir que cada elemento del pertenece a A:
Teoría de conjuntos
Conjuntos finitos e infinitos
El número de elementos de un conjunto puede ser
finito o infinitos
Un conjunto infinito puede ser a su vez contable o
incontable
Un conjunto es contable si hay una
correspondencia uno a uno de sus elementos con
los números naturales {1,2,3, ...}.
Un conjunto es incontable si no es finito ni
contable
Diagramas de Venn
Una representación gráfica de los resultados
de
un experimento son los diagramas de Venn
Diagramas de Venn
Regiones:
i) Resultados que pertenecen al evento A, pero
no al evento B
ii) Resultados que pertenecen al evento B, pero
no al evento A
iii) Resultados que pertenecen a ambos eventos A
yB
iv) Resultados que no pertenecen ni a A ni a B
Teoría de conjuntos
Algunas operaciones elementales entre conjuntos:
●
●
●
Si A y B son dos eventos cualesquiera, la
intersección de A y B esta definida por los resultados
que pertenecen a ambos conjuntos, A y B.
La unión de dos eventos A y B está definida por el
conjunto de resultados que pertenecen a A, o a B, o
a ambos A y B.
Complemento: el conjunto de resultados que no
pertenecen a A se le llama complemento de A.
●
Para un evento A:
Teoría de conjuntos
Algunas relaciones entre las operaciones de
unión e intersección:
●
Conmutatividad
●
Asociatividad
●
Distributividad
●
Idempotencia
●
Ejercicio: Una vez vistas las relaciones de
conmutatividad, distributividad e idempotencia,
muestre que para dos conjuntos A y B se satisface
que:
Ahora consideremos la unión:
Similarmente se podría demostrar la segunda igualdad del ejercicio
Teoría de conjuntos
Leyes de Morgan:
●
●
●
Teoría de Probabilidades
Queremos asignar un valor/número Pr(A) a cada
evento de A en un espacio muestral S.
Pr(A) indicará la probabilidad de que ese evento
ocurra.
Teoría de probabilidades
Axioma 1. Para cada A en un espacio muestral S,
Axioma 2. Para un espacio espacio muestral S
Axioma 3. Si dos eventos A y B son mutuamente
excluyentes
Para una serie infinita de eventos disjuntos
asumimos que
Teoría de Probabilidades
Definición matemática de probabilidad:
Una probabilidad en un espacio muestral S es
una especificación de números Pr(A) que
satisfacen los axiomas 1, 2 y 3
Teoría de Probabilidades
Algunos teoremas:
1)
2) Para cada serie finita de eventos disjuntos
3) Para cada evento A
Teoría de probabilidades
4) Si
entonces
5) Para cada evento A
6) Para dos eventos A y B
Teoría de probabilidades
Ejemplo:
Un paciente visita al médico por un dolor de
garganta. Después de examinar al paciente, el
médico piensa que el paciente sufre, o una infección
bacteriana o una de tipo viral. El doctor decide que
hay una probabilidad de 0.7 que el paciente tenga
una infección bacteriana y una probabilidad de 0.4
que la persona tenga una infección viral.
¿Cuál es la probabilidad de que el paciente tenga
ambos tipos de infección?
Teoría de probabilidades (espacio
muestral simple)
Muchos experimentos muestran cierta “regularidad”,
i.e., la frecuencia relativa de un evento es
aproximadametente la misma en una serie de intentos
A un espacio muestral con posibles resultados
se le llama simple, si la probablidad
asignada a cada posible resultado
es 1/n
Si un evento A en ese espacio contiene m resultados,
entonces
Teoría de probabilidades (espacio
muestral simple)
Similarmente, sea
el número de resultados de
un evento A y
el número total de resultados
del espacio muestral. Entonces
Ahora, si A y B son dos eventos en S:
Teoría de probabilidades
●
Ejercicio:
Calcule la probabilidad de obtener un as o una
pica de un paquete de cartas
4
13
Teoría de probabilidades
Ejercicio: supongamos que lanzamos 3 monedas
simultáneamente.
¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente
2 caras?
Número posible de eventos (C:cara, R:cruz):
1-CCC
2-RCC
3-CRC
4-CCR
5-CRR
6-RCR
7-RRC
8-RRR
Teoría de probabilidades
Ejercicio:
Calcule la probabilidad de obtener de un paquete
de cartas: un as o una pica o un número par {2,
4, 6, 8, 10}
Solución:
Sea A el evento de obtener un as
Sea B el evento de obtener una pica
Sea C el evento de obtener un número par
Se nos pide entonces calcular
Teoría de probabilidades
Para 3 eventos la probabilidad de la unión está
dada por:
Métodos de conteo
Como hemos visto, para espacios muestrales
simples es importante saber contar el número de
resultados posibles de un evento y el número de
resultados posibles del espacio muestral, pues de
ahí podemos calcular la probabilidad de un
evento.
- Multiplicación
- Permutación
- Combinación
Métodos de conteo
Multiplicación
Regla de multiplicación.
Si en un experimento tenemos que:
i) el experimento se realiza en dos partes
ii) la primera parte tiene m posibles resultados:
y, no importando cuales sean
estos resultados, la segunda parte del
experimento tiene n resultados:
Cada resultado del espacio muestral está dado
por la pareja
y S está dado por:
Métodos de conteo
De aquí que el espacio muestral tiene mxn
resultados
Métodos de conteo
Ejemplo:
Lanzamiento de dos dados.
Como cada dado tiene 6 posibles resultados, el
número total de posibles resultados es 6x6=36
Por supuesto, la regla de multiplicación puede
extenderse a experimentos con más de dos partes.
Si un experimento tiene k partes (k>2), tal que la iésima parte del experimento tiene
posibles
resultados. Entonces el tamaño del espacio muestral
es
Ejemplo:
Lanzamiento de 6 monedas.
Como cada parte del experimento tiene 2
posibilidades (cara o cruz) tenemos entonces que
el número total de posibles resultados es
2x2x2x2x2x2 = 64
Métodos de conteo
Permutaciones
Una permutación es un arreglo en un orden
particular de los objetos que forman un conjunto.
Nos preguntamos de cuántas formas n objetos
distintos pueden arreglarse/acomodarse (?)
Métodos de conteo
Respuesta:
Ejemplo:
Cuántos arreglos pueden hacerse con las letras a, b y c?
Respuesta: 3 x 2 x 1 = 3! =6
(a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a)
Métodos de conteo
Si ahora seleccionamos solamente k elementos
(uno a la vez) de los n, entonces tenemos que:
Métodos de conteo
Ejemplo: Sea
¿Cuáles son las permutaciones de 2 elementos
tomados del conjunto anterior ?
Respuesta:
Métodos de conteo
Ejemplo:
De un grupo de 25 personas, serán seleccionados un
presidente y un secretario. ¿Cuál es el número de formas
posibles de escoger estas dos personas ?
Conteo con reemplazamiento
Consideremos ahora un experimento donde una
bola, seleccionada de una caja con n bolas, se
regresa a la misma caja.
Si se hace un total de k selecciones de esta
forma, el espacio muestral S contiene todos los
vectores de la forma:
donde
:resultado de la i-ésima selección
A este proceso se le llama muestreo con
reemplazamiento.
Como existen n posibles resultados para cada
una de las bolas/selecciones, el número total de
vectores en S es
Conteo con reemplazamiento
Permutaciones con reemplazamiento.
Si en el experimento anterior quisieramos saber la
probabilidad del evento A en que cada una de las
k bolas seleccionadas sean distintas.
El número de vectores donde los k componentes
son distintos está dado por
Como el tamaño del espacio muestral es
cada selección es igualmente probable,
entonces la probabilidad del evento A es
(y
),
Métodos de conteo
Ejemplo:
El problema del cumpleaños (versión simplificada)
Un planeta gira alrededor del sol en 3 días. ¿Cuál es la
probabilidad de que Manolo y Juan cumplan años en
fecha distinta (sin considerar el año) en ese planeta?
Las posibilidades son:
La probabilidad de cada uno de estos resultados es:
Métodos de conteo
Problema del cumpleaños:
¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos
personas de un grupo de k personas (2< k < 365)
festejen su cumpleaños el mismo día.
Supongamos que los nacimientos son
independientes (gemelos son excluidos!).
Entonces para cada una de las k personas hay
365 posibilidades. Por tanto, el espacio muestral
es
Métodos de conteo
La probabilidad de que todos los cumpleaños
sean distintos es
Así pues, la probabilidad de que al menos dos
personas tengan el mismo día su cumpleaños es
Métodos de conteo
Algunos valores de q:
k
q
5
0.027
10
0.117
15
0.253
20
0.411
25
0.507
30
0.706
40
0.891
50
0.970