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3 Divisibilidad Presentación de la unidad •La unidad retoma el estudio de la divisibilidad en el campo de los números naturales, consolidando conceptos y procedimientos ya iniciados en Primaria. •Comenzamos recordando, como base previa, la reciprocidad entre multiplicación y división. Esa base servirá de punto de partida para asentar y manejar con soltura las expresiones “es múltiplo de” (es divisible por), “es divisor de”, y entender que son igualmente recíprocas. •A continuación, se introduce una serie de contenidos básicos imprescindibles para seguir avanzando: diferenciación entre primos y compuestos, identificación de los primeros primos, criterios de divisibilidad, descomposición en factores, identificación de múltiplos y divisores de números descompuestos en factores primos. •En el siguiente paso se aborda la construcción de los conceptos de máximo común divisor y de mínimo común múltiplo. Y, conseguido eso, se estudian métodos para optimizar el cálculo. Resaltamos las dos fases de este último paso: construcción de ideas-optimización del cálculo, como partes bien diferenciadas del proceso. •La experiencia nos muestra la dificultad que ofrecen estos contenidos para una buena parte de los alumnos y alumnas. Por eso se propone su introducción intuitiva y experimental, con ejemplos muy sencillos, partiendo de los conjuntos de múltiplos (o divisores), realizando su intersección, y seleccionando el menor múltiplo (o el mayor divisor). •Conseguido ese objetivo, pasamos a la obtención mediante los factores primos. En esta fase, llamamos la atención sobre la importancia de identificar, previamente, múltiplos y divisores de un número factorizado. •Paralelamente a la secuencia presentada, se proponen problemas de aplicación que, aportando contexto a los conceptos, complementan su comprensión. Conocimientos mínimos •Significado de los conceptos de múltiplo y divisor. Identificación de la relación de divisibilidad, cuando exista. •Cálculo de los múltiplos y divisores de un número. •Conocer y aplicar los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 10 y 11. •Identificar los números primos menores que 30. •Descomponer un número en factores primos. •Calcular el mínimo común múltiplo de dos números sencillos, mediante la intersección de los divisores comunes. Esquema de la unidad DIVISIBILIDAD Entre dos números naturales puede existir relación de divisibilidad. cuando la división es exacta que genera MÚLTIPLOS que clasifican a los números en que pueden ser que pueden ser comunes a distintos números comunes a distintos números NÚMEROS PRIMOS NÚMEROS COMPUESTOS y al menor de los comunes se le denomina y al mayor de los comunes se le denomina cuando cuando sus únicos divisores son él mismo y la unidad tiene más de dos divisores MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 50 DIVISORES MÁXIMO COMÚN DIVISOR Anticipación de tareas •Revisar las propiedades y las relaciones entre la multiplicación y la división. •Practicar y asegurar el cálculo mental y el cálculo escrito con la multiplicación y, especialmente, con la división. •Recordar algunas estrategias y procedimientos generales para resolver problemas y describir los procesos de resolución. La lectura inicial servirá para ejercitar la comprensión lectora y para mostrar los dos aspectos que justifican el estudio de las matemáticas: el práctico y el intelectual. Los contenidos, si se adaptan a esos mínimos exigibles, o bien no han sufrido cambio alguno o bien se han modificado ligeramente para adecuarlos al posible nivel de los estudiantes a quienes va dirigido. Lo mismo cabe decir de los ejercicios prácticos que se proponen. Si algún contenido supera los mínimos exigibles, o bien se ha suprimido o bien se ha adaptado para ajustarlo a los requisitos exigidos. Adaptación curricular En la parte de “Recursos fotocopiables” se ofrece una adaptación curricular de esta unidad 3 del libro del alumnado, para cuya elaboración se han tenido en cuenta los conocimientos mínimos que aquí se proponen. Finalmente, los ejercicios y problemas con los que finaliza la unidad se han reducido en cantidad y se han modificado o bajado de nivel hasta adaptarse a lo convenido. Lo mismo cabe decir de la autoevaluación. En la siguiente tabla se recoge una relación de actividades para atender y trabajar el aprendizaje cooperativo, el pensamiento comprensivo, el pensamiento crítico, la interdisciplinariedad, las TIC, el emprendimiento y la resolución de problemas. Unas están propuestas en el libro del alumnado (L.A.), y aquí se hace referencia a ellas indicando la página y la actividad y otras, como se indica, se sugieren en esta Propuesta Didáctica (P.D.). Una selección de estas sugerencias están marcadas en el libro del alumnado con un icono; aquí se han marcado con (*). APRENDIZAJE COOPERATIVO PENSAMIENTO COMPRENSIVO Pág. 45. Todas las propuestas PENSAMIENTO CRÍTICO Pág. 47. Actividad 5 Pág. 47. Actividad 13 Pág. 55. Actividad sugerida en esta P.D.(*) Pág. 49. Actividades 5 y 9 Pág. 49. Actividad 11 Pág. 58. Actividad sugerida en esta P.D.(*) Pág. 51. Actividad 4 Pág. 50. Actividad 15 Pág. 58. Actividad sugerida en esta P.D. Pág. 53. Actividad TIC Pág. 56. Actividad 8 Pág. 56. Actividad 9(*) Pág. 59. Actividad 8(*) Pág. 60. Actividad 14 Pág. 62. Actividad “El 101 es el protagonista” Pág. 60. Actividad INTERDISCIPLINARIEDAD 11(*) 16(*) EMPRENDIMIENTO 6(*) RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 44. Historia Pág. 50. Actividad suge- Pág. 49. Actividad y actividad rida en esta P.D. sugerida en esta P.D. Todos los problemas propuestos en el L.A. están encuadrados en este apartado. Aquí se señalan algunos que tienen especial interés. Pág. 49. Actividad 10 Página 52. Ladillo Pág. 49. Actividad sugerida en esta P.D. Pág. 47. Actividad 15 Pág. 50 Actividad sugerida en esta P.D. (*) Pág. 56. Actividad 10 Pág. 51. Actividad sugerida en esta P.D. Pág. 59. Actividad 10 Pág. 60. Actividad 10 Pág. 61. Actividad “Aprende a resolver problemas” Pág. 62. Actividad “Divisibilidad y geometría” (*) Pág. 61 . Actividades “Problemas +”(*) Pág. 62. Actividad “Los primos valen dinero” Pág. 63. Actividad “Entrénate resolviendo problemas” Pág. 60. Actividad 11 (*) 51 3 Divisibilidad Alejandría, fundada por Alejandro Magno en el siglo IV a.C., pasó a ser el centro cultural (científico, artístico) de la civilización griega. Divisiones al estilo egipcio Antes de la llegada del sistema de numeración decimal, la operación de dividir no era tan sencilla como ahora. Observa, por ejemplo, cómo dividían los antiguos egipcios 380 : 20. Empezaban escribiendo dos columnas: — La primera, con sucesivas duplicaciones del divisor, 20, sin pasar de 380. ←• 20 ⎯→ 1 → ←• 40 ⎯→ 2 → 80 4 160 8 ←• 320 ⎯→ 16 → 19 ← → 380 1 — La segunda, con sucesivas duplicaciones de la unidad. — Tomaban, en la columna de la izquierda, las sumas necesarias para obtener 380 → 20 + 40 + 320 = 380. — Después, tomaban los sumandos correspondientes en la columna de la derecha → 1 + 2 + 16 = 19. — El resultado obtenido en la segunda columna es el cociente: 380 : 20 = 19 Divide, por el mismo procedimiento, 414 : 18. Rectángulos Sobre una cuadrícula, se pueden construir cuatro rectángulos diferentes que ocupen una superficie de 30 cuadraditos: 1 × 30 2 × 15 5×6 3 × 10 Los pares de números que coinciden con las dimensiones de los lados, 1-30, 2-15, 3-10 y 5-6, guardan con 30 relaciones que serán objeto de estudio en esta unidad. E l sabio griego Euclides vivió en Alejandría en el siglo III a.C., donde fundó una gran escuela de matemáticas. Recopiló y sistematizó todo el conocimiento matemático de su época y plasmó su obra en una colección de trece libros que se denominaron Elementos. La mayor parte de estos libros estaban dedicados a la geometría, y solo cuatro de ellos, a la aritmética. En estos últimos desarrolló, entre otras cosas, la teoría de la divisibilidad: números primos y compuestos, divisores, múltiplos, etc. Los Elementos de Euclides han sido estudiados y admirados en todas las épocas. Al iniciar la unidad • La lectura sirve de introducción a la unidad, informando de que sus contenidos, los conceptos relativos a la divisibilidad, ya preocupaban a los matemáticos de la Antigüedad, en Grecia y Egipto, trescientos años antes de Cristo. Los estudiantes constatarán así que el interés por la estructura y las propiedades de los números van unidos a su aparición y desarrollo, siendo consecuencia de la curiosidad humana y del afán de saber, cosas estas no exclusivas de la sociedad moderna. Es decir, somos consecuencia, beneficiarios y herederos de los que vivieron antes que nosotros. • También puede servir como punto de partida para ampliar información en distintas direcciones: (TIC, emprendimiento, interdisciplinariedad…). – Matemáticos de la Antigüedad. – Vida y obra de Euclides. – El papel de Alejandría y sus escuelas en la conservación y el impulso del saber en la historia antigua. – El sistema de numeración griego. Cuestiones para detectar ideas previas •Al hilo de la lectura de la página anterior, se puede hacer notar al alumnado la dificultad añadida que suponía para aquellos matemáticos, al carecer del sistema de numeración decimal, investigar sobre los números; es decir, con sistemas mucho más rudimentarios y menos potentes. Como prueba, pueden reflexionar sobre el hecho de que el algoritmo que usamos para dividir es imposible fuera del sistema decimal, y que los antiguos utilizaban otros métodos como el que se muestra en las actividades de esta página. Y conste que nosotros, para explicarlo, recurrimos a los números en forma decimal. Pueden imaginar la dificultad y el engorro que supondría hacerlo en el sistema de numeración egipcio o en el griego; este último utilizaba letras, de forma similar al romano que conocemos. 52 2 Dibuja sobre una cuadrícula todos los rectángulos que ocupen 36 cuadraditos. 3 ¿Cuántos rectángulos de 100 cuadraditos podrías construir? ¿Y de 101? Series en la calculadora En una calculadora sencilla, de las de 4 operaciones, pulsa esta secuencia de teclas: 7++====… Irás obteniendo la serie → 7; 14; 21; 28; 35; … O lo que es igual → 7 × 1; 7 × 2; 7 × 3; 7 × 4; 7 × 5; … Estas series están relacionadas con lo que vas a estudiar en la unidad. 4 Experimenta, partiendo de otros números, la formación de nuevas series obtenidas de la misma manera. •En el segundo apartado, “Rectángulos”, en un contexto geométrico, los estudiantes resolverán cuestiones (búsqueda intuitiva de los divisores de un número), que después relacionarán con los contenidos de la unidad. •En el último apartado, “Series en la calculadora”, se anticipa, también informalmente, la obtención de los múltiplos de un número. Aprendizaje cooperativo Si el profesor o la profesora lo considera oportuno, las actividades de este apartado pueden realizarse en grupo, estimulando el aprendizaje entre iguales. En un primer tiempo, los grupos buscarán soluciones, que se contrastarán en una posterior puesta en común, justificando los logros conseguidos, rebatiendo en los desacuerdos y llegando, finalmente, a conclusiones comunes. Soluciones de las actividades 1 18 1 36 2 72 4 144 8 414 : 18 = 23 16 288 414 23 2 Dibujarán rectángulos de 1 × 36 cuadraditos, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9 y 6 × 6 cuadraditos. 3 Podría ser de 1 × 100, de 2 × 50, de 4 × 25, de 5 × 20 y de 10 × 10. De 101 cuadrados solo podría ser un rectángulo de 1 × 101. 4 Solución abierta. 1 La relación de divisibilidad Piensa y practica 1. Piensa y contesta, justificando tus respuestas. Dos números están emparentados por la relación de divisibilidad cuando uno contiene al otro una cantidad exacta de veces; es decir, cuando su cociente es exacto. Ejemplos • Un listón de 60 cm se puede partir, exactamente, en trozos de 15 cm. 60 15 60 00 15 4 15 15 15 b) Marta da pasos de 60 cm. ¿Puede recorrer 100 metros en un número exacto de pasos? d) ¿Tiene algún mes un número exacto de semanas? c) Tres números que sean divisores de 770. 2. Observa estas divisiones y completa en tu cuaderno: 36 0 10 b) ¿Es 1 800 múltiplo de 90? 9. Busca: a) Tres números que sean divisores de 40. 9 4 55 05 0 575 115 00 6 2 15 3 225 15 75 15 0 126 12 006 10 60 25 a) ¿Es 35 divisor de 728? c) ¿Puede vaciarse una tina de aceite, de 1 500 litros, en un número exacto de garrafas de 5 litros? → La división es exacta. → 60 es divisible entre 15. 25 8. Calcula y responde, justificando tu respuesta. a) ¿Se puede dividir una clase de 30 alumnos en equipos de 7, sin que sobre ninguno? • Sin embargo, un liston de 60 cm no se puede partir, exactamente, en trozos de 25 cm. b) Tres números que sean múltiplos de 7. d) Tres números que sean múltiplos de 50. 10. Busca entre estos números: 5 11 23 25 60 10 Practica la relación de divisibilidad. 25 2 → La división no es exacta. → 60 no es divisible entre 25. a 0 • El mayor es múltiplo del menor. b — 36 es divisible por … c Ejemplo 40 8 → 40 = 8 · 5 → 0 5 división exacta ↓ división exacta a es divisible entre b. a es múltiplo de b. 8 8 8 es divisor de 40. 8 8 si la división a : b es exacta. • b es divisor de a c) 613 y 13 d) 513 y 19 e) 688 y 44 f ) 2 070 y 46 4. Copia estos números y une con flechas los que están 12 108 75 20 13 57 3 100 99 260 8 5 ↔ 8 es divisor de 40. 5 8 5 es divisor de 40. 5. ¿Verdadero o falso? c) 42 es divisible entre 7. ↔ Existe relación de divisibilidad La relación fundamental D = d · c debe ser manejada mentalmente por los alumnos y las alumnas para reconocer relaciones de divisibilidad. • Una vez construida la idea de divisibilidad, es necesario dotar a sus elementos de una nomenclatura que facilite su incorporación al lenguaje. Con este fin se introducen los términos múltiplo y divisor. Los estudiantes han de integrar ambos conceptos como inseparables: D : d = c (exacta) ↔ D es múltiplo de c y de d ↔ c y d son divisores de D • Se sugiere practicar la implantación de dichos conceptos tomando conciencia de que todos los mensajes siguientes son equivalentes y se utilizan de forma indistinta: 12 es divisible entre 4, 4 divide a 12, 12 es múltiplo de 4, 4 es divisor de 12 Refuerzo y Ampliación Como ejercicios de refuerzo y ampliación se recomiendan los siguientes, todos ellos del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: Refuerzo: Ejercicios 1, 2 y 3 de la pág. 22. Ampliación: Ejercicio 4 de la pág. 22. Soluciones de “Piensa y practica” 1 a)No. 30 : 7 no es exacta. b)No. 100 m = 10 000 cm : 60 no da exacto. c) Sí. La división 1 500 : 5 es exacta. d)Solo febrero en años no bisiestos. 20 24 30 75 95 120 a) ¿Cuáles son múltiplos de 4? b) ¿Cuáles son múltiplos de 10? c) ¿Cuáles son múltiplos de 15? 12. Observa el ejemplo, copia en tu cuaderno y completa. • 20 : 5 = 4 20 : 4 = 5 30 : 6 = 5 c) 56 : 7 = 8 56 : 8 = 7 → → → → 20 es múltiplo de 4 y de 5. 4 y 5 son divisores de 20. 12 es … de 3 y de 4. 3 y 4 son … de 12. … … … … b) Si a es distinto de b y divisible entre b, a es mayor que b. c) Si u es múltiplo de v, v es divisor de u. a) ¿Por qué 522 es múltiplo de 29? d) Si b cabe una cantidad exacta de veces en a, b es múltiplo de a. b) ¿Por qué 17 es divisor de 544? e) Si m ∙ n = k, m y n son divisores de k. • Encuentra múltiplos de un número. • Encuentra divisores de un número. 2 • 36 es divisible por 9. Cabe una cantidad La división ↔ exacta de veces es exacta 10 60 a) Si m es divisible entre n, n es divisible entre m. 7. Explica con claridad. 46 • Comenzamos con un planteamiento gráfico muy sencillo del concepto de divisibilidad asociado a la división: 8 45 13. ¿Verdadero o falso? d) 54 es divisible entre 8. En la web Sugerencias 90 b) 30 : 5 = 6 una cantidad exacta de veces. 40 0 30 75 12 : 3 = 4 e) 65 contiene a 13 un número exacto de veces. 40 0 20 60 a) 12 : 4 = 3 6. Busca todos los números que están contenidos en 24 Cada divisor de un número lleva otro divisor emparejado. 5 5 5 5 5 5 5 5 8·5 b) 420 y 35 b) 75 está contenido exactamente 3 veces en 225. o lo que es igual 5·8 a) 224 y 16 a) 15 está contenido exactamente 4 veces en 60. Los divisores van por parejas 40 8 40 es múltiplo de 8. • a es múltiplo de b b es divisor de a. — … emparentados por la relación de divisibilidad: • El menor es divisor del mayor. 15 45 b) Todos los que sean múltiplos de 3. por la relación de divisibilidad: Cuando dos números están emparejados por la relación de divisibilidad, decimos que: Relación de divisibilidad 10 11. Considera estos números: 3. Di si los números de cada pareja están emparentados Ser múltiplo de…, ser divisor de… 5 35 a) Todos los que sean divisores de 90. — 15 no es divisible por … En la web 3 UNIDAD 47 • 15 no es divisible por 6. • 55 es divisible por 5. • 126 no es divisible por 12. • 255 es divisible por 15. • 575 es divisible por 23. 3 a) Síb) Síc) No d) Síe) No f ) Sí 4 12 57 108 75 20 13 3 100 99 260 5 a) Verdadero b) Verdadero c) Verdadero d) Falso e) Verdadero 6 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. 7 a)Porque 522 : 29 = 18 y, por tanto, 522 = 29 · 18. b)Porque la división de 544 entre 17 es exacta, 544 : 17 = 32. 8 a)35 no es divisor de 728 porque 728 : 35 no es exacta. b)Sí, pues 1 800 : 90 = 20 de manera exacta. 9 a)1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 b)7, 14, 21, 28, … c) 1, 2, 5, 7, 10, 11, 14, 22, … 10 a)5, 10, 15, 30, 45, 90 11 a)8, 20, 24, 60, 120 d)50, 100, 150, 200, … b)15, 30, 45, 60, 75, 90 b)10, 20, 30, 60, 120 c) 30, 45, 60, 75, 120 12 a)12 es múltiplo de 3 y de 4. 3 y 4 son divisores de 12. b)30 es múltiplo de 5 y de 6. 5 y 6 son divisores de 30. c) 56 es múltiplo de 7 y de 8. 7 y 8 son divisores de 56. 13 a) Falso b) Verdadero c) Verdadero d) Falso e) Verdadero 53 2 Los múltiplos y los divisores de un número Criterios de divisibilidad Los criterios de divisibilidad son reglas prácticas que sirven para descubrir si un número es divisible por 2, 3, 5 u otros números sencillos. Cálculo de los múltiplos de un número ■ DIVISIBILIDAD POR Observa los primeros múltiplos de 20: Notación Cuando nos referimos a un múltiplo de un número, podemos escribirlo con un punto encima, así: • 7 → múltiplo de 7 a• → múltiplo de a Los múltiplos de 2 son los números pares: 2 - 4 - 6 - 8 ‐ 10 - … - 68 - 70 - … • 516 → cifra par 516 es múltiplo de 2. • 371 → cifra impar 371 no es múltiplo de 2. Y para que un número sea par, basta con que lo sea su última cifra. Un número es divisible por 2 (es múltiplo de 2) si termina en cifra par: 0-2-4-6-8 ■ DIVISIBILIDAD POR Los números 20, 40, 60, 80, … son divisibles por 20; es decir, son múltiplos de 20. 20 · 2 ↓ 40 20 · 3 ↓ 60 … … 20 · 6 ↓ 120 … … 20 · 10 ↓ 200 • 5 → 10 - 15 - 20 - 25 - … - 125 - 130 - … - 200 - 205 - … Ejemplos • • 325 → es múltiplo de 5. • 560 → es múltiplo de 5 y de 10. • 703 → no es múltiplo ni de 5 ni de 10. … … • Los múltiplos de un número natural, a, se obtienen al multiplicar a por Ejemplos cualquier otro número natural k. a · k → múltiplo de a • 3 • 9 411 es múltiplo de 3 pero no de 9. • Todo número natural, a, es múltiplo de sí mismo y de la unidad. → a · 1 = a • 411 → 4 + 1 + 1 = 6 • Un número distinto de cero tiene infinitos múltiplos. • 3 • 432 → 4 + 3 + 2 = 9 • 9 432 es múltiplo de 3 y de 9. Cálculo de los divisores de un número Observa, ahora, cómo calculamos los divisores de 20: 20 00 Divisores de 18 Búsqueda de los divisores de 18: : 1 = 18 → SÍ : 2 = 9 → SÍ : 3 = 6 → SÍ 18 :4 → NO :5 → NO : 6 = 3 → SÍ Los divisores de 18 son: 1 2 3 18 9 6 20 00 1 20 20 00 20 1 20 00 2 10 • 3 • 9 473 no es múltiplo ni de 3 ni de 9. • 473 → 4 + 7 + 3 = 14 20 4 00 5 10 2 20 5 00 4 Practica los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 9 y 10. Los múltiplos de 5, y solo ellos, terminan en 0 o 5, y los de 10, en 0. • Un número es divisible por 5 (es múltiplo de 5) si termina en 0 o en 5. • Un número es divisible por 10 (es múltiplo de 10) si termina en 0. ■ DIVISIBILIDAD POR • • 418 → (4 + 8) – (1) = 11 Es múltiplo de 11. • 1 543 → (5 + 3) – (1 + 4) = 3 No es múltiplo de 11. • 7 458 → (7 + 5) – (4 + 8) = 0 Es múltiplo de 11. 4 ∙ 5 = 20 • Para obtener todos los divisores de un número, a, buscamos las divisiones exactas: a:b=c → a = b · c → Entonces b y c son divisores de a. a:c=b • Todo número es divisor de sí mismo. → a : a = 1 • 3 ∙ 16 = 48 → 4 + 8 = 12 → 3 3 ∙ 47 = 141 → 1 + 4 + 1 = 6 → 3 Comprueba, también, que eso solo les ocurre a los múltiplos de 3. Toma cualquier múltiplo de 9 y suma sus cifras. Obtendrás un múltiplo de 9. • 9 ∙ 21 = 189 → 1 + 8 + 9 = 18 → 9 • 9 ∙ 68 = 612 → 6 + 1 + 2 = 9 → 9 Comprueba, también, que eso solo les ocurre a los múltiplos de 9. • Un número es divisible por 3 (es múltiplo de 3) si la suma de sus cifras es • Un número es divisible por 9 (es múltiplo de 9) si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. 11 Toma algunos múltiplos de 11, por ejemplo: 11 · 34 = 374 y 11 · 347 = 3 817 Ejemplos Observa, también, que forman parejas cuyo producto es 20: 3 Y POR 9 Toma cualquier múltiplo de 3 y suma sus cifras. Obtendrás un múltiplo de 3. ■ DIVISIBILIDAD POR Son todas las cantidades entre las que se puede dividir 20 de forma exacta. 2 ∙ 10 = 20 10 → 10 - 20 - 30 - 40 - … - 120 - 130 - … - 200 - 210 - … múltiplo de 3. En la web Los números 1, 2, 4, 5, 10 y 20 son los divisores de 20. 1 ∙ 20 = 20 5 Y POR 10 Observa las series de los múltiplos de 5 y de 10: Cada uno de ellos se obtiene multiplicando 20 por un número natural. Y la serie puede continuar indefinidamente. 20 · 1 ↓ 20 2 Ejemplos • 18 = 3 → 18 es múltiplo de 3. Ahora, observa: 3+4=7 3 7 4 7–7=0 7 8 + 7 = 15 3 8 1 7 15 – 4 = 11 3+1=4 Si, en cada uno, sumas por un lado las cifras de las casillas rojas, y por otro, las de las casillas verdes, y restas los resultados, obtienes cero u once. Comprueba, también, que solo ocurre con los múltiplos de 11. Un número es divisible por 11 si la suma de las cifras de lugar par menos la suma de las cifras de lugar impar es 0 o un múltiplo de 11. • El 1 es divisor de cualquier número. → a : 1 = a 48 49 Sugerencias • Tratamos, ahora, distintos procedimientos para encontrar los múltiplos de un número: • Podemos también proponer actividades destinadas a investigar las propiedades de los divisores: – ¿Cuál es el mayor divisor de un número? – Si a es divisor de b y b lo es de c, ¿es a divisor de c? – Buscar cantidades que lo contienen un número exacto de veces. – Buscar cantidades divisibles por el número. – Multiplicar el número por cualquier otro número natural. Este procedimiento ayuda a ver que es posible encontrar tantos múltiplos de un número como se desee. • Los criterios de divisibilidad son reglas prácticas que apoyan el cálculo mental y simplifican multitud de tareas, todas ellas relacionadas con los contenidos que se presentarán en las próximas páginas. Estas reglas se descubren aquí a través de la observación de regularidades en conjuntos numéricos apropiados, quedando la demostración rigurosa para niveles superiores. • Por otro lado, vale la pena que los alumnos y las alumnas, de forma individual o en pequeño grupo, mediante propuestas guiadas, investiguen algunas propiedades: Ahora nos interesa, sobre todo, su adquisición práctica y su aplicación con agilidad y destreza. – Buscar el menor múltiplo de un número dado. – Buscar un múltiplo comprendido entre dos valores a y b. – Buscar números que sean a la vez múltiplos de 2 y de 3. ¿Son múltiplos de 6? – Si a es múltiplo de b y b es múltiplo de c, ¿es a múltiplo de c? • Abordamos, también, la construcción del conjunto de los divisores de un número dado. Para ello, proponemos ir buscando divisiones exactas que tengan al número por dividendo. • Señalaremos a los estudiantes que un número tiene una cantidad finita de divisores, en contraste con los múltiplos, que son infinitos. • Resaltaremos también el hecho de que los divisores van emparejados como consecuencia de las relaciones entre los términos de una división exacta: D : d = c; D : c = d; d · c = D Esta propiedad solo se rompe en los cuadrados perfectos, en los que hay un divisor que se empareja consigo mismo. De ahí que todos los números tienen una cantidad par de divisores, excepto los cuadrados perfectos. 54 3 UNIDAD Emprendimiento Se sugiere la siguiente actividad: Investiga. Los divisores de un número van emparejados. Sin embargo, hay números con una cantidad impar de divisores. ¿Cuáles son? Refuerzo y Ampliación Se recomiendan los siguientes ejercicios, todos ellos del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: Refuerzo: Ejercicios 1, 2 y 3 de la pág. 24. Ejercicios 1, 2 y 3 de la pág. 25. Ejercicios 1, 2 y 3 de la pág. 27. Ampliación: Ejercicios 4, 5 y 6 de la pág. 24. Ejercicios 4 y 5 de la pág. 25. Ejercicios 4 y 5 de la pág. 27. Soluciones de “Piensa y practica” 1 3 Ejercicios resueltos Calcular los múltiplos de 17 comprendidos entre 150 y 200. Los números naturales Primero, buscaremos los múltiplos de 17 próximos a 150: 1. 150 17 17 · 8 = 136 14 tenido 8 17 sistema · 9 = 153de→numeración. primer múltiplo 17 mayor que 150. Todas las civilizaciones han un Estosdehan pasado de unos pueblos a otros y han evolucionado a lo largo del tiempo. 17 · 10 = 170 2 a)1, 4, 8 ←•→12, ⎯→ 18 = 2 · 918 → ←• 2 ⎯→ 17 · 11 = 187 8 44 4 En la web 44 00 2 22 5 8 44 2 Egipcios Ya tenemos seis divisores de 44: 3500 a.C. Mayas 2000 a.C. Resuelve el problema "Las estanterías". Romanos 1 ↔ 44 100 a.C. 44 14 2 6 7 2 ↔ 22 3 14 44 00 44 2 → ← d)1, 2, 4, 7, 14, 28 23 4 11 e)1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 7 6 2000 a.C. f ) 1, 5, 11, 55 13 = 13 · 1 18como + 36 +13, + 288 =se414 Los 12, números, que no pueden descomponer en factores más sencig)1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15, 20,7230, 60 4 ↔ 11 Chinos 3500 a.C. Piensa y practica 7. ¿Verdadero o falso? a) Tres múltiplos de 9. b) Tres múltiplos de 15. a) Un múltiplo de a es igual o mayor que a. c) Tres múltiplos de 17. d) Tres múltiplos de 40. b) Un divisor de a es siempre menor que a. c) Un número tiene infinitos divisores. 2. Encuentra todos los divisores de cada número: a) 8 b) 12 c) 15 d) 28 e) 36 f ) 55 g) 700 60 d.C. h) 80 Árabes d) Los múltiplos de un número son infinitos. e) Todo número es a la vez múltiplo y divisor de sí Hindúes mismo. 500 a.C. 3. Busca todos los múltiplos de 7 comprendidos entre 300 y 360. Sistema decimal que usamos a) ¿Cuál es el primer múltiplo de 8 mayor que 100? 4. 8. De los números siguientes, ¿cuáles son múltiplos de 3? ¿Y de 5? ¿Y de 9? ¿Hay algún múltiplo de 11? Justifica tus respuestas. b) ¿Cuál es el último múltiplo de 8, antes de 1 000? 5. Encuentra todos los divisores de: a) 7 b) 13 c) 17 173 510 555 576 679 754 774 1 023 L Copia yde sigue las instrucciones. os9. sistemas numeración sirven para escribir números d) 29 ¿Qué observas? 6. ¿De cuántas formas diferentes se pueden repartir y, así, recordarlos y transmitirlos. Pero deben tam108; 123; 162; 215; 247; 315; 328; 370;servir, 417; 455 bién, para operar con ellos. Piensa en el sistema romano (que a) Rodea de rojoselos depara 2. efectuar sumas. ya conoces) y en cómo lasmúltiplos apañarían Por ejemplo, MCCCXLVI + DCCCXXXIV. Pues b) Rodea de azul los múltiplos de ¿Complicado? 3. enimagina lo difícil que tendría que ser multiplicar. equipos iguales los 24 alumnos y alumnas de una clase? ¿Cuántos equipos salen en cada caso? c) Los múltiplos de 2 y de 3, ¿son también múltiplos de 6? En la web 414 El 13 no se puede descomponer Babilonios Y no es necesario buscar más, pues en las divisiones que siguen, entre 8, 9, 10, … el cociente es menor que el dividendo. Es decir, solo lograríamos encontrar exactas las que ya conocemos de antemano: 44 : 11, 44 : 22 y 44 : 44, cuyos cocientes son 4, 2 y 1. 1. Escribe. 144 = 2 ·15 3·3 c)←• 1,→163,18⎯→ 5, 288 → Buscamos, ordenadamente, las divisiones exactas con dividendo 44: 1 44 36 → Los divisores de un número permiten expresarlo en forma de producto. Escribían dos columnas de números siguiendo las siEjemplo Z guientes reglas: ]18 = 2 · 9 DIVISORES – En la primera, duplicaban sucesivamente 1 sin sobrepan " [18 = 3 · 6 18 " d sar el primer nuestro ]caso, sin pasarse de 23. 1 - 2 -factor; 3 - 6 - 9en- 18 18 = 2 · el 3 ·segundo 3 – La segunda, duplicaban sucesivamente fac\ tor, en nuestro ejemplo, 18, tantas veces como habían Los números, como 18, columna. que se pueden descomponer en factores más sencillos duplicado 1 en la primera se llaman números compuestos. – Después, en la primera columna tomaban los números necesarios para que al sumarlos se obtuviera el primer Sin embargo, hay números que solo tienen dos divisores (el mismo número y la factor; en nuesro caso, para quer sumaran 23: unidad), lo cual impide su descomposición. 1 + 2 + 4 + 16 = 23 Ejemplo – Para concluir, cogían, en la segunda columna, los núDIVISORES de la primera n " 13a= los 1meros 3 " dcorrespondientes 13 ·sumandos 1 13sumaban. En nuestro caso: columna y1 -los 18 3, = 3 ·4, 672 6, 12 b)1, ←•→42, ⎯→ → 17 · 12 = 204 2. Calcular todos los divisores de 44. 44 00 3 Los egipcios multiplicaban por duplicaciones sucesivas. Observa, por ejemplo, cómo c) 17, 34, 51, 68, 85, 102, … d)40, 80, 120, 160, 200, 240, … hacían 23 × 18. Descomposiciones de 18 Entonces, los múltiplos de 17 entre 150 y 200 son: 17 · 9 = 153 UNIDAD 1Números a)9, 18, 27,primos 36, 45, 54, … b)15, 30, 45, 60, 75, 90, … y compuestos Así multiplicaban los antiguos egipcios Resuelve el problema "Los collares". 50 llos se llamanen números primos. El resultado de la suma obtenida la columna de la derecha era el producto buscado. En nuestro ejemplo: Un número primo 80 solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad. h)1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 23 × 18 = 414 En la tabla se han marcado: 3 301, 308, 315, 322,— 329, 336,de 343, 350, los múltiplos 2, •, excepto el 2.357 1 4 a)Es el 104. 13 En la web Efectua las multiplcaciones siguientes al estilo egipcio: Marca números primos en una1 tabla numérica. a) 17 × 41 — los múltiplos b) 41 × de 17 3, •, excepto el 3. 5 a)1, 7 En la web — los múltiplos de 5, •, excepto b)Es el 5. el 992. — … y así, sucesivamente, con los múltiplos de 7, ⊕; de 11, *; de 13, ▲; … b)1, 13 7 c) 1, 17 19 25 • 2 3 8 9 • • 14⊕ 15 • •• 20 21 •• •⊕ 26 27 •▲ • 4 • 10 •• 16 • 22 •* 28 •⊕ 6 •• 12 •• 17 18 •• 23 24 •• 29 30 ••• 5 11 d)1, 29 Los números sin marcar, rodeados con un círculo, son los primos menores que Clasifica y compuestos. 6en primos 5 número 30. Comprueba que ninguno de ellos seél puede descomponer factores. sí multiplicaban losdos antiguos hindúes Cada tiene solo divisores, mismo y laenunidad. 3 0 4 7 – En cada casilla se pone el resultado de multiplicar los 2 0 4 2 El número 1, como solo tiene un divisor, no se considera primo. Cualquier 3 dos dígitos que la determinan. Por ejemplo, en la ca1 2 5 42 equipos 8 número, o es primo o es compuesto. de 1; 1otroequipo 2 silla sombreada, 4 × 7 = 28. de 24; 12 equipos de 2; 2 equipos de 2 1 1 yequipos 12 Piensa practica – Se 3; suman resultados en de vertical. columna de 4; 4 equipos de 6 de 3 los equipos 8;En6cada equipos 9 6 solo cabe un dígito. 1. Clasifica en primos y compuestos. 4. ¿Verdadero o falso? 1 2 a) El número uno (1) no es primo ni compuesto. 1 59 87 11 2 215 21 28 31 33 45 49 A 6 7 a) Verdadero b) Falso c) Falso 2. Entre estos números hay dos primos. Búscalos. d) Verdadero 12; 8 e) Verdadero b) No hay números primos mayores que 100. c) Un número, si es impar, es primo. 47 57 siguiendo este método, las siguientes multiplicaciones: 2 Efectúa, Expresa cada uno los compuestos coMúltiplos de 3:de 510, 555, 576, 774 y 1 023, pues suma deimpares. sus d) Todos los números primos,la excepto el 2, son 67 mo un producto de dos factores. a) 208 × 34 b) 453 × 26 77 87 múltiplo de tres. 5. Descompón el número 100. 3 Comparando estas formas de multiplicar con la nuestra, ¿cuál 8 En dos factores. 3. Busca todos los números primos menoresyque 60. Justifica tua)respuesta. te parece más cómoda efectiva? cifras es b) En tres factores. Múltiplos de 5: 510 y 555, pues c)acaban en 0 o en 5. En el máximo número de factores que sea posible. Son diecisiete en total. Múltiplos de 9: 576 y 774, pues la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Múltiplos de 11: 1 023, pues (3 + 0) – (2 + 1) = 0. 51 9 a)108, 162, 328, 370 Sugerencias • El ejercicio resuelto 1 se centra en la búsqueda de los múltiplos de un número que están comprendidos entre dos cantidades dadas. Incide, por tanto, en reforzar el concepto de múltiplo, marcando pautas que serán muy útiles para resolver problemas similares. b)108, 123, 162, 315, 417 c) Sí, 108 = 6 · 18 y 162 = 6 · 27 ANOTACIONES • El ejercicio resuelto 2 pide buscar todos los divisores de un número, remarcando de nuevo la diferencia entre la finitud de los divisores y la infinitud de los múltiplos. A la vez, se hace uso de la propiedad que dicta que los divisores de un número van emparejados. • Podemos proponer la búsqueda de los criterios de divisibilidad por 6, 9, 25 o 100, donde los alumnos y las alumnas tendrán que combinar criterios ya conocidos. En estos ejercicios de ampliación, la tarea de detectar regularidades y las de formular y comprobar hipótesis tienen valor por sí mismas para el estímulo de capacidades y para la implantación de competencias en los estudiantes, más allá de la obtención de reglas prácticas para el cálculo. TIC Se sugiere la siguiente actividad: Busca en Internet el criterio de divisibilidad por 7. Escríbelo en tu cuaderno y pruébalo con distintos números. Emprendimiento Se sugiere la siguiente actividad: Reflexiona. ¿Qué le tiene que ocurrir a un número para ser múltiplo de 20? Enuncia el criterio de divisibilidad por 20. 55 3 2 Primos → 47 y 67 1 UNIDAD Compuestos → 57 = 3 · 19 3 Números primos y compuestos Así multiplicaban los antiguos 77 = 7egipcios · 11 Los números naturales Los egipcios multiplicaban por duplicaciones sucesivas. Observa, por ejemplo, cómo hacían 23 × 18. Los divisores de un número permiten expresarlo en forma de producto. Descomposiciones de 18 Ejemplo Z 18numeración. =2·9 Todas Estos han → 18 = 2 · 9las civilizaciones han tenido un sistema ]de DIVISORES pasado de unos pueblos n " [18 =a3lo 18 " da otros y han evolucionado · 6largo del tiempo. 1 - 2 - 3 - 6 - 9 - 18 ] → 18 = 3 · 6 18 = 2 · 3 · 3 \ → 18 = 2 · 3 · 3 13 " d Mayas 1 - 13 n " 13 = 13 · 1 c)Falso En la tabla se han marcado: — los múltiplos de 2, •, excepto el 2. — los múltiplos de 3, •, excepto el 3. — los múltiplos de 5, •, excepto el 5. — … y así, sucesivamente, con los múltiplos de 7, ⊕; de 11, *; de 13, ▲; … En la web 7 13 19 25 • 2 3 8 9 • • 14⊕ 15 • •• 20 21 •• •⊕ 26 27 •▲ • 4 • 10 •• 16 • 22 •* 28 •⊕ Árabes 700 d.C. 6 •• 12 •• 17 18 •• 23 24 •• 29 30 ••• Son diecisiete en total. L b) 41 × 17 ANOTACIONES 6 5 3 0 7 3 2 0 4 2 1 5 2 8 2 2 1 4 12 9 6 1 2 1 9 7 2 2 a) El número uno (1) no es primo ni compuesto. Efectua las multiplcaciones siguientes al estilo egipcio: a) 17 × 41 1 Así multiplicaban los antiguos hindúes – En cada casilla se pone el resultado de multiplicar los dos dígitos que la determinan. Por ejemplo, en la casilla sombreada, 4 × 7 = 28. – Se suman los resultados en vertical. En cada columna solo cabe un dígito. b) No hay números primos mayores que 100. ya conoces) y en cómo se las apañarían para efectuar sumas. 5. Descompón el número 100. Por ejemplo, MCCCXLVI + DCCCXXXIV. ¿Complicado? Pues imagina loa)difícil quefactores. tendría que ser b) multiplicar. En dos En tres factores. c) En el máximo número de factores que sea posible. 51 Sugerencias • Se sugiere abordar el epígrafe con actividades manipulativas como la que se representa en el margen: “Buscar todas las formas de construir ortoedros con n cubitos”. Los alumnos y las alumnas descubrirán que hay números que ofrecen una sola solución a la propuesta anterior, son los números que no se pueden descomponer, los números primos. • Se señalará que primo significa “primero”, en el sentido de que son las piezas con las que se construirán, mediante el producto, todos los demás números. • Posteriormente se propone una criba de Eratóstenes en la que aparecen los números primos menores que 30. Como actividad complementaria, se sugiere continuar dicha criba hasta el 50 o hasta el 100. Refuerzo y Ampliación Se recomiendan los siguientes ejercicios del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: Refuerzo: Ejercicios 1, 3 y 6 de la pág. 26. Ampliación: Ejercicios 2, 4 y 5 de la pág. 26. Emprendimiento Se sugiere la siguiente actividad: Busca el menor número primo mayor que 500. Soluciones de “Piensa y practica” 1 Primos → 5, 11, 31 Compuestos → 8, 15, 21, 28, 33, 45, 49 56 1 11 os sistemas de numeración sirven para escribir números c) Un número, si es impar, es primo. Expresa cada uno de los compuestos co- y, así, recordarlos y transmitirlos. Pero deben servir, tamTodoscon los números primos, excepto el 2, son impares. bién, parad) operar ellos. Piensa en el sistema romano (que mo un producto de dos factores. 3. Busca todos los números primos menores que 60. c) 100 = 2 · 2 · 5 · 5 5 Chinos 4. ¿Verdadero o falso? 5 8 11 15 21 28 31 33 45 49 2. Entre estos números hay dos primos. Búscalos. 1 + 2 + 4 + 16 = 23 – Para concluir, cogían, en la segunda columna, los números correspondientes a los sumandos de la primera columna y los sumaban. En nuestro caso: ducto buscado. En nuestro ejemplo: 3500 a.C. El número 1, como solo tiene un divisor, no se considera primo. Cualquier Hindúes otro número, o es primo o es compuesto. 500 a.C. Piensa y Sistema practica decimal que usamos 1. Clasifica en primos y compuestos. – Después, en la primera columna tomaban los números necesarios para que al sumarlos se obtuviera el primer factor; en nuesro caso, para quer sumaran 23: b)100 = 2 · 2 · 25 = 4 · 523·×518 = 10 · 2 · 5 = 414 Los números sin marcar, rodeados con un círculo, son los primos menores que 30. Comprueba que ninguno de ellos se puede descomponer en factores. Clasifica en primos y compuestos. 47 57 67 77 87 1 – La segunda, duplicaban sucesivamente el segundo factor, en nuestro ejemplo, 18, tantas veces como habían duplicado 1 en la primera columna. 18 + 36 + 72 + 288 = 414 5 a)100 =El resultado 2 · 50de=la 4suma · 25 obtenida en la columna de la derecha era el pro- Un número primo solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad. En la web 414 ← d)Verdadero Los Romanos números, como 13,3500 quea.C.no se pueden descomponer en factores más senci100 a.C. llos se llaman números primos. Marca números primos en una tabla numérica. 72 → → 23 b)Falso 2000 a.C. Egipcios 2000 a.C. ←• 4 ⎯→ ←• 16 ⎯→ 288 → Babilonios DIVISORES 13 = 13 · 1 18 → 8 144 4 a)Verdadero Sin embargo, hay números que solo tienen dos divisores (el mismo número y la unidad), lo cual impide su descomposición. Ejemplo ←• 1 ⎯→ En la-primera, 1 sin- sobrepa3 2 -←•3 2- ⎯→ 5 - 736- → 11 - –13 17 - duplicaban 19 - 23sucesivamente - 29 - 31 37 - 41 - 43 - 47 - 53 - 59 sar el primer factor; en nuestro caso, sin pasarse de 23. Los números, como 18, que se pueden descomponer en factores más sencillos se llaman números compuestos. El 13 no se puede descomponer 87 = 3 · 29 Escribían dos columnas de números siguiendo las siguientes reglas: 2 Efectúa, siguiendo este método, las siguientes multiplicaciones: a) 208 × 34 3 b) 453 × 26 Comparando estas formas de multiplicar con la nuestra, ¿cuál te parece más cómoda y efectiva? Justifica tu respuesta. 4 Descomposición de un número en sus factores primos ¿Cuál es la relación entre la descomposición de un número y la descomposición de sus múltiplos? Compara los divisores primos de 40 con los de algunos de sus múltiplos: Un número, si no es primo, se puede descomponer en factores, y estos, a su vez, en otros factores, hasta que todos sean primos. 40 = Veamos dos formas de conseguir esa factorización: • Si el número es pequeño, puedes apoyarte en el cálculo mental. los divisores de un número • Sin embargo, para números mayores conviene actuar con método, teniendo en cuenta los criterios de divisibilidad. Ejemplo factores primos Descomponer 792 en factores primos. 792 2 → 396 2 → 198 2 → 99 3 → 33 3 → 11 11 → 1 792 = 23 · 32 · 11 792 : 2 396 : 2 198 : 2 99 : 3 33 : 3 11 : 11 792 es divisible entre 2 → 792 = 2 · 396 396 es divisible entre 2 → 792 = 2 · 2 · 198 198 es divisible entre 2 → 792 = 2 · 2 · 2 · 99 99 es divisible entre 3 → 792 = 2 · 2 · 2 · 3 · 33 33 es divisible entre 3 → 792 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 11 Como el último factor (11) es primo, hemos terminado la descomposición: 792 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 11 = 23 · 32 · 11 Todo el proceso se suele abreviar como se indica al margen. En la web Piensa y practica 1. Calcula mentalmente y completa en tu cuaderno la descomposición en factores de estos números: 8 × 10 × × 4. Copia, completa y descompón en factores primos. 4 2 × 7 25 × × × × 1 42 = … c) 40 d) 72 a) 45 f ) 240 3. ¿Qué números tienen las siguientes descomposiciones b) 2 · 5 · 13 b) 60 c) 76 d) 81 e) 88 f ) 98 6. Escribe como producto de números primos. factoriales? a) 22 · 32 · 5 126 = … 5. Descompón en factores primos. e) 150 c ) 2 · 52 · 7 ¿Cuál es la relación entre la descomposición de un número y la descomposición de sus divisores? Compara, ahora, los factores primos de 40 con los de algunos de sus divisores: 40 = 2·2·2·5 40 = 8 · 5 = 2 · 2 · 2 · 5 40 = 4 · 10 = 2 · 2 · 2 · 5 40 = 2 · 20 = 2 · 2 · 2 · 5 Un divisor de 40 contiene algunos de los factores primos de 40. En la descomposición de los divisores de un número aparecen algunos de los factores primos del número (generalmente, no todos) y ningún factor más. 7. Contesta, sin hacer ninguna operación, y razona tus respuestas como en el ejemplo. • 18 es divisor de 90, porque todos los factores primos de 18 están en 90 → 90 = 2 · 3 · 3 · 5 = 18 · 5 12 = 2 · 2 · 3 a) ¿Es 12 divisor de 270? * 270 = 2 · 3 · 3 · 3 · 5 126 = 2 · 3 · 3 · 7 = 2 · b) 21 = 3 · 7 c) 18 = 2 · 3 · 3 d) 28 = 2 · 2 · 7 21 55 c) 495 : 55 ↔ 495 = 3 · 3 · 5 · 11 b) 350 c) 580 a) Tres múltiplos de 12 = 22 · 3. d) 888 e) 1 024 f ) 1 296 b) Tres múltiplos de 45 = 32 · 5. En la web 12. ¿Verdadero o falso? a) Si m es múltiplo de n, todos los factores primos de m están también en n. b) Si a es divisor de b, todos los factores primos de a están también en b. c) El número a2 ∙ b es divisor del número a ∙ b2. d) El número a2 ∙ b2 ∙ c es múltiplo de a ∙ b ∙ c. 9. Escribe factorizados, sin hacer operaciones: a) 170 b) 80 = 2 · 2 · 2 · 2 · 5 Responde a simple vista, sin dividir, cuál es el cociente en cada caso: b) 294 : 21 ↔ 294 = 2 · 3 · 7 · 7 ·7 a) 4 = 2 · 2 a) 70 = 2 · 5 · 7 11. 12 126, averigua, a simple vista, cuáles de los números que aparecen a continuación están entre sus divisores: 32 10. Escribe todos los divisores de: a) 300 : 12 ↔ 300 = 2 · 2 · 3 · 5 · 5 8. Teniendo en cuenta la descomposición en factores de 1 90 = … En la descomposición de los múltiplos de un número aparecen todos los factores primos del número (y, generalmente, algunos más). 270 = 2 · 3 3 · 5 b) ¿Es 270 múltiplo de 18? * 18 = 2 · 3 2 2 1 × • 24 = 6 · 4 = 2 · 3 · 2 · 2 = 23 · 3 b) 20 1 2 6 3 2. Descompón artesanalmente, como en el ejemplo. a) 18 9 0 100 80 Con el número descompuesto en factores, buscamos todos los productos posibles entre ellos. Por ejemplo, calculemos los divisores de 40: 40 = 1 · 2 · 2 · 2 · 5 1=1 2=2 5=5 2·2=4 2 · 5 = 10 2·2·2=8 2 · 2 · 5 = 20 2 · 2 · 2 · 5 = 40 Piensa y practica Para descomponer un número en sus factores primos (factorizar), lo vamos dividiendo entre sus factores primos: primero, entre 2 tantas veces como sea posible; después, entre 3, entre 5, … y así, sucesivamente, hasta obtener 1 en el cociente. Practica la descomposición de un número en sus factores primos. Practica un poco más esta descomposición. 40 · 6 = 240 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5 Otra forma de obtener 36 = 4 · 9 = 2 · 2 · 3 · 3 = 22 · 32 cocientes parciales Un múltiplo de 40 contiene todos los factores primos de 40. 40 · 5 = 200 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 Descomponer 36 en factores primos. Factorización del 792 2·2·2·5 40 · 3 = 120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 Ejemplo e) Si un número, u, tiene los mismos factores primos que otro número, v, pero con los exponentes mayores, entonces u es múltiplo de v. Encuentra los divisores de un número. 52 53 Sugerencias • Aquí se puede insistir en el significado de los números primos (piezas básicas para construir todos los demás). Así, la descomposición de un número nos permitirá establecer relaciones de divisibilidad con otros números, descubrir todos sus divisores, construir sus múltiplos y, luego, calcular ágilmente el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, herramientas que ayudarán a resolver problemas y facilitarán nuevos procedimientos matemáticos. • Desde el punto de vista didáctico, se puede empezar descomponiendo números con lo que ya se sabe, sin instrucciones previas. Por ejemplo: 400 = 4 · 100 = 4 · 10 · 10 = 2 · 2 · 2 · 5 · 2 · 5 • El alumnado debe llegar a la conclusión de que la descomposición en factores de un número es única, sin que importe el orden en que se obtenga, pero, aun así, por cuestión de eficacia, conviene acostumbrarse a proceder ordenadamente probando con los sucesivos números primos, de menor a mayor. • Como último objetivo del epígrafe, los estudiantes han de reconocer y construir múltiplos y divisores de un número a partir de sus divisores primos. Aquí reforzaremos las ideas de todos los divisores primos, para los múltiplos, y solo algunos, para los divisores. Este aprendizaje es básico en la comprensión de los procedimientos óptimos para el cálculo del mínimo común múltiplo y del máximo común divisor. Refuerzo y Ampliación Como ejercicios de refuerzo y ampliación recomendamos, del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: Refuerzo: Ejercicio 1 de la pág. 28. 3 UNIDAD Ejercicios 2, 3 y 4 de la pág. 29. Ampliación: Ejercicio 5 de la pág. 29. Soluciones de “Piensa y practica” 1 80 = 8 · 10 = 2 · 2 · 2 · 2 · 5 100 = 25 · 4 = 5 · 5 · 2 · 2 2 a)18 = 2 · 9 = 2 · 3 · 3 = 2 · 32 b)20 = 4 · 5 = 2 · 2 · 5 = 22 · 5 c) 40 = 8 · 5 = 2 · 2 · 2 · 5 = 23 · 5 d)72 = 8 · 9 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 23 · 32 e)150 = 10 · 15 = 2 · 5 · 3 · 5 = 2 · 3 · 52 f ) 240 = 24 · 10 = 8 · 3 · 2 · 5 = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 · 5 = 24 · 3 · 5 3 a) 180b) 130c) 350 4 42 = 2 · 3 · 7 90 = 2 · 32 · 5 126 = 2 · 32 · 7 5 a)45 = 32 · 5 b)60 = 22 · 3 · 5 c) 76 = 22 · 19 e)88 = 23 · 11 f ) 98 = 2 · 72 b)350 = 2 · 52 · 7 c) 580 = 22 · 5 · 29 e)1 024 = 210 f ) 1 296 = 24 · 34 d)81 = 34 6 a)170 = 2 · 5 · 17 d)888 = 23 · 3 · 37 7 a)12 no es divisor de 270 porque no todos los factores de 12 están en la descomposición de 270. b 270 sí es múltiplo de 18 porque en su descomposición están todos los factores primos de 18. 8 b)21 y c) 18. 9 a)22 · 32; 22 · 3 · 5; 22 · 3 · 7 b)2 · 32 · 5; 32 · 52; 32 · 5 · 7 10 a)1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70 11 a)5 · 5 = 25 12 a)Falso b)1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 40, 80 b)2 · 7 = 14 b) Verdadero c) Falso c) 3 · 3 = 9 d) Verdadero e) Verdadero 57 5 UNIDAD Mínimo común múltiplo de dos números El método anterior resulta apropiado para números sencillos, pero se complica demasiado con números mayores. La resolución de ciertos problemas exige el manejo de los múltiplos comunes de varios números. Veamos un ejemplo: Observa una nueva forma de calcular el mínimo común múltiplo con los números descompuestos en factores primos. Ejemplo Ejemplo En una compañía de taxis, tienen por norma lavar los coches cada cuatro días y revisar el nivel de aceite cada 6 días. Método artesanal Calcular mín.c.m. (20, 30). ¿Cada cuántos días coinciden en un coche ambas tareas de mantenimiento? múltiplos → 20 - 40 - 60 - 80 … de 20 • Primer paso: Descomponer en factores primos. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 23 24 25 26 múltiplos → 30 - 60 - 90 - 120 … de 30 mín.c.m. (20, 30) = 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 23 24 25 26 múltiplos → 4 - 8 - 12 - 16 - 20 - 24 de 4 múltiplos → 6 - 12 - 18 - 24 - 30 - 36 de 6 múltiplos4 → 12 - 24 - 36 - 48 comunes Ambas coinciden en los días que son múltiplos comunes de 4 y 6, y se repiten cada 12 días. 12 24 +12 36 +12 48 +12 … El menor de los múltiplos comunes de dos o más números, a, b, c, … se llama mínimo común múltiplo, y se expresa así: mín.c.m. (a, b, c, …) mín.c.m. (4, 6) = 12 Calcula el mín.c.m. de dos números. +12 El menor de estos múltiplos comunes es 12 y recibe el nombre de mínimo común múltiplo de 4 y 6. Cálculo del mínimo común múltiplo (método artesanal) Ten en cuenta Cuando uno de los números es múltiplo del otro, el mín.c.m. es el mayor. Ejemplo: mín.c.m. (15, 30) = 30 Compruébalo. 15 = 3 · 5 30 = 2 · 3 · 5 15 3·5 mín.c.m. (15, 30) = 2 · 3 · 5 = 30 Para obtener el mínimo común múltiplo de dos números: 2·3·5 30 • Escribimos los múltiplos de cada uno. • Entresacamos los comunes. Ejercicio resuelto Múltiplos de 10 → 10 20 30 40 50 60 70 … Múltiplos de 15 → 15 30 45 60 75 90 105 … Múltiplos comunes → 30 - 60 - 90 … El menor de los múltiplos 4 → mín.c.m. (10, 15) = 30 comunes de 10 y 15 es 30. 2 2 5 20 = 22 · 5 3 0 1 5 5 1 2 3 5 30 = 2 · 3 · 5 Recordando que el mín.c.m. ha de ser múltiplo de 20 y de 30, y lo más pequeño posible, hemos de tomar: 20 — Todos los factores primos de 20. 2·2·5 — Todos los factores primos de 30. mín.c.m. (20, 30) = 2 · 2 · 3 · 5 — El mínimo número de factores 2·3·5 que sea posible. 30 Comprueba que todos los factores escogidos son imprescindibles, pues si se suprime cualquiera de ellos, deja de ser múltiplo de alguno de los números. • Tercer paso: Calcular, finalmente, el mín.c.m. mín.c.m. (20, 30) = 2 · 2 · 3 · 5 = 60 Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números: 1. Se descomponen los números en factores primos. 2. Se toman todos los factores primos (comunes y no comunes) elevado cada uno al mayor exponente con el que aparece. 3. Se multiplican los factores elegidos. Problema resuelto • Tomamos el menor. Calcular mín.c.m. (10, 15). 2 0 1 0 5 1 • Segundo paso: Elegir los factores primos del mín.c.m. En la web Cálculo del mín.c.m. (4, 6) Cálculo del mín.c.m. (45, 40) 4 5 1 5 5 1 3 3 5 4 0 2 0 1 0 5 1 2 2 2 5 mín.c.m. (45, 40) = 23 · 32 · 5 = 360 Un distribuidor de electrodomésticos desea cargar dos palés, uno con lavavajillas de 45 kg y otro con frigoríficos de 40 kg, de forma que ambos pesen lo mismo y lo menos posible. ¿Cuánto pesará cada palé? La carga de un palé será un múltiplo común de 45 kg y de 40 kg, y además el más pequeño posible, es decir, su mínimo común múltiplo. 360 : 45 = 8 lavavajillas mín.c.m. (45, 40) = 360 kg * 360 : 40 = 9 frigoríficos Solución: Cada palé pesará 360 kilos, uno con 8 lavavajillas y el otro con 9 frigoríficos. 54 Sugerencias • Presentamos la idea de mínimo común múltiplo contextualizado en un ejemplo sencillo, y con ayuda de un gráfico, haciendo hincapié en que las dos colecciones de números representadas coinciden con los sucesivos múltiplos de 4 y de 6. Después, generalizando el proceso, presentamos el primer método para la obtención del mínimo común múltiplo. • En él, destacamos las siguientes etapas: – Construcción de las series ordenadas de los primeros múltiplos de cada número. – Intersección de las series obtenidas. – Selección del menor número de la intersección. 55 Refuerzo y Ampliación Como ejercicios de refuerzo y ampliación recomendamos, del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: Refuerzo: Ejercicios 1, 2, 3, 4 y 5 de la pág. 30. Ejercicios 6, 7, 8 y 9 de la pág. 31. Ejercicio 10 de la pág. 32. Ampliación: Ejercicios 1, 2, 3 y 4 de la pág. 36. Ejercicio 9 de la pág. 37. Aprendizaje cooperativo Si la programación lo contempla, se sugiere la siguiente dinámica metodológica, que persigue afianzar los procedimientos para el cálculo del mín.c.m., recurriendo al aprendizaje entre iguales: Se trata, evidentemente, de un método artesanal que resulta muy adecuado en la etapa de construcción de ideas. Una vez adquirido el concepto de mínimo común múltiplo, se propone la optimización del cálculo mediante la descomposición en factores primos. – Formar parejas según el criterio del profesorado (puede ser interesante mezclar estudiantes con diferentes niveles de competencia). • En este aprendizaje se sugiere que el estudiante, inicialmente, ante los números descompuestos en factores primos, decida por sí mismo los factores primos necesarios, sin el apoyo de ninguna regla. El trabajo puede comenzar con la realización colectiva de ejemplos, en gran grupo, y pasar después a la práctica individual seguida de cerca por el profesorado. La regla aparecerá, por sí sola, como resultado final de la praxis. – En cada pareja, un alumno o alumna resolverá por el método artesanal, y su compañero por el método óptimo. Este camino fijará sólidamente el procedimiento y contribuirá a evitar las dudas que observamos frecuentemente sobre la elección de factores y exponentes cuando los estudiantes tratan de aplicar mecánicamente el algoritmo sin haber comprendido los conceptos. • El alumnado contrastará los dos métodos aprendidos, el artesanal y el de los factores primos. Así, comprobará la ventaja del primero cuando se trabaja con ejemplos sencillos, dándose cuenta de lo engorroso que resulta cuando los números son más complicados. Es decir, podemos dejar el primer método para el cálculo mental, y el segundo, para todos los demás casos. 58 3 Cálculo del mínimo común múltiplo (método óptimo) – Se propondrán ejercicios para calcular el mín.c.m. – Si no coinciden los resultados, los mismos estudiantes, en colaboración, deben descubrir los errores. El profesorado hará las propuestas y actuará de supervisor. ANOTACIONES Piensa y practica 1. Copia, observa y completa a simple vista. 7. Calcula mín.c.m. (a, b) en cada caso. ¿Qué obser- vas?: a) a = 4 b=8 • a) 6 → 6 12 18 24 30 36 42 48 54 … • 8 → 8 16 24 32 40 48 56 … mín.c.m. (6, 8) = • b) 9 → 9 18 27 36 45 54 63 72 … • mín.c.m. (9, 12) = • • 25 → 25 50 75 100 125 150 … mín.c.m. (15, 25) = 2. Calcula como en el ejercicio anterior. a) mín.c.m. (5, 8) b) mín.c.m. (8, 12) c) mín.c.m. (12, 24) d) mín.c.m. (30, 40) e) mín.c.m. (50, 75) f ) mín.c.m. (200, 300) 9. a) mín.c.m. (6, 9) b) mín.c.m. (6, 12) c) mín.c.m. (5, 10) d) mín.c.m. (15, 20) 4. Observa, completa en tu cuaderno y calcula. 4 0 2 0 5 4 1 1 _ 30 = 2 · 3 · 5 b mín.c.m.(30, 40) = … 40 = … ` b mín.c.m.(40, 54) = … 54 = … a 5. Calcula mín.c.m. (a, b) por el método óptimo: d) a = 24 · 32 c) a = 52 · 7 b = 22 · 52 b = 5 · 72 e) a = 2 · 5 · 11 f ) a = 23 · 3 · 5 b = 3 · 5 · 11 b = 22 · 32 · 5 b = 3 · 11 b = 22 · 3 · 5 4 8 Se van a colocar maceteros, a intervalos iguales, en las esquinas y bordes de un patio interior de 8 × 12 metros. 6. Calcula. a) mín.c.m. (20, 25) b) mín.c.m. (28, 35) c) mín.c.m. (35, 40) d) mín.c.m. (36, 54) e) mín.c.m. (42, 63) f ) mín.c.m. (72, 108) g) mín.c.m. (99, 165) h) mín.c.m. (216, 288) ¿A qué distancia se debe colocar un macetero del siguiente? Tanteando, se encuentran tres posibles soluciones: 6 12 10 20 12 18 30 A 1 metro de distancia. Cálculo del máx.c.d. (8, 12) 16 … 24 … divisores →1-2-4-8 de 8 … divisores → 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 12 de 12 40 10. Victoria tiene fichas de colores que puede apilar en b) a = 24 · 5 Ejemplo Julio cuenta de cuatro en cuatro; Adela, de seis en seis, y Virginia, de diez en diez. ¿Cuáles son los tres primeros números en los que coinciden? 3. Calcula mentalmente. a) a = 2 · 11 También encontrarás problemas que exigen el manejo de los divisores comunes a varios números. Veamos un ejemplo: d) a = 6 b = 18 a) El mínimo común múltiplo de dos números es igual al mayor de ellos. b) El mín.c.m. de dos números contiene los factores comunes a ambos y también los no comunes. c) mín.c.m (1, k) = k d) Si a es múltiplo de b, mín.c.m. (a, b) = a. e) El mínimo común múltiplo de dos números primos es su producto. c) 15 → 15 30 45 60 75 90 105 … 2 3 5 c) a = 4 b = 12 montones de 8 y, también, en montones de 10 sin que sobre ninguna. Explica cuántas fichas puede tener Victoria y justifica tu respuesta. 3 Máximo común divisor de dos números 8. ¿Verdadero o falso? 12 → 12 24 36 48 60 72 84 … 3 0 1 5 5 1 b) a = 5 b = 10 6 UNIDAD divisores 4→ 1 - 2 - 4 comunes A 2 metros de distancia. A 4 metros de distancia. Las soluciones coinciden con los divisores comunes de 8 y 12: 1-2-4 El mayor de estos divisores comunes es 4 y recibe el nombre de máximo común divisor de 8 y 12. El mayor de los divisores comunes a dos o más números, a, b, c, … se llama máximo común divisor, y se expresa así: máx.c.d. (a, b, c, …) máx.c.d. (8, 12) = 4 Cálculo del máximo común divisor (método artesanal) 11. Una fábrica envía mercancía a Valencia cada 6 días y a Sevilla cada 8 días. Hoy han coincidido ambos envíos. ¿Cuándo volverán a coincidir? Para obtener el máximo común divisor de dos números: • Escribimos los divisores de cada uno. 12. Se han construido dos columnas de igual altura: la • Entresacamos los comunes. primera apilando cubos de 40 cm de arista, y la segunda, con cubos de 30 cm de arista. ¿Qué altura alcanzarán sabiendo que superan los dos metros, pero no llegan a tres? • Tomamos el mayor. Ejercicio resuelto Calcular máx.c.d. (20, 30) 13. El autobús de la línea roja pasa por la parada, frente Divisores de 20 → 1 2 4 5 10 20 a mi casa, cada 20 minutos, y el de la línea verde, cada 30 minutos. Si ambos pasan juntos a las dos de la tarde, ¿a qué hora vuelven a coincidir? Divisores de 30 → 1 2 3 5 6 10 15 30 Divisores comunes → 1 - 2 - 5 - 10 El mayor de los divisores 4 → máx.c.d. (20, 30) = 10 comunes de 20 y 30 es 10. En la web Resuelve los problemas: “Las balizas”, “Los coches”. 56 57 8 a)Falso b) Verdadero c) Verdadero d) Verdadero e) Verdadero Sugerencias • Como en el caso del mínimo común múltiplo, una vez presentado el concepto de máximo común divisor, se afianzará con el cálculo mediante el método artesanal: 9 60, 120 y 180. 10 El número de fichas de Victoria será múltiplo del mín.c.m (8, 10) = 40. – Obtención de los respectivos conjuntos de divisores. 11 Ambos envíos coinciden cada 24 días. – Intersección de los conjuntos obtenidos. 12 2,4 m – Selección del mayor número de la intersección. • Los estudiantes comprobarán, también aquí, que este método resulta eficaz con números sencillos, y que siempre será un recurso cuando el cálculo se haga mentalmente. Sin embargo, se complica demasiado cuando los números son grandes. 13 Vuelven a coincidir una hora después, a las tres de la tarde. ANOTACIONES Soluciones de “Piensa y practica” 1 a) 24b) 36c) 75 2 a) 40b) 24c) 24 d) 120 e) 150 f ) 600 3 a) 18b) 12c) 10d) 60 4 mín.c.m. (30, 40) = 23 · 3 · 5 = 120 mín.c.m. (40, 54) = 23 · 33 · 5 = 1 080 5 a) 66 b) 400 c) 1 225 d) 720e) 330f ) 360 6 a) 100b) 140c) 280d) 108 e) 126f ) 216g) 495h) 864 7 a)8 b)10 c) 12 d)18 Si b es múltiplo de a, mín.c.m. (a, b) = b. 59 3 UNIDAD Cálculo del máximo común divisor (método óptimo) Piensa y practica El método que has aprendido en la página anterior resulta adecuado para números sencillos. 1. Copia en tu cuaderno, observa y completa. En casos más complicados, resulta mucho más cómodo utilizar la descomposición en factores, como se muestra a continuación. Ejemplo Calcular máx.c.d. (40, 60). Método artesanal • Primer paso: Descomponer en factores primos. Divisores de 40 4 0 2 0 1 0 5 1 1 2 4 5 8 10 20 40 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60 Divisores de 60 2 2 2 5 40 = 23 · 5 6 0 3 0 1 5 5 1 2 2 3 5 60 = 22 · 3 · 5 • Segundo paso: Elegir los factores primos del máx.c.d. máx.c.d. (40, 60) = 20 Recordando que el máx.c.d. ha de ser divisor de 40 y de 60, y lo más grande posible, hemos de tomar: 40 = 2 · 2 · 2 · 5 60 = 2 · 2 · 3 · 5 — Los factores comunes de 40 y 60. En la web Calcula el máx.c.d. de dos números. — Ningún factor no común. — El máximo número de factores que sea posible. máx.c.d. (40, 60) = 2 · 2 · 5 • Tercer paso: Calcular, finalmente, el máx.c.d. Ten en cuenta Cuando uno de los números es múltiplo del otro, el máx.c.d. es el menor. Ejemplo: máx.c.d. (15, 30) = 15 Compruébalo. 15 = 3 · 5 30 = 2 · 3 · 5 máx.c.d. (15, 30) = 3 · 5 = 15 máx.c.d. (40, 60) = 2 · 2 · 5 = 20 2 0 0 1 0 0 5 0 2 5 5 1 2 2 2 5 5 2 6 0 1 3 0 6 5 1 3 1 máx.c.d. (200, 260) = 22 · 5 = 20 2 2 5 13 7. Calcula máx.c.d. (a, b) en cada caso. ¿Qué observas?: 2 3 4 6 12 2 4 8 16 a) a = 4 8. 3 5 15 2 4 5 10 20 1. Se descomponen los números en factores primos. 2. Se toman solamente los factores primos comunes, elevado cada uno al menor exponente con el que aparece. 3. Se multiplican los factores elegidos. En un almacén quieren envasar, para su distribución, 200 kilos de manzanas y 260 kilos de naranjas en cajones del mismo peso y de la mayor carga que sea posible. ¿Cuántos kilos deben poner en cada cajón? El peso de un cajón debe ser un divisor común de 200 y 260, y además el mayor posible, es decir, su máximo común divisor. 200 : 20 = 10 cajones de manzanas máx.c.d. (200, 260) = 20 kg * 260 : 20 = 13 cajones de naranjas Solución: Cada cajón pesará 20 kilos y llenarán 10 cajones de manzanas y 13 de naranjas. c) máx.c.d. (1, k) = k e) Si a es divisible entre b, máx.c.d. (a, b) = b. y quieres dibujar sobre ella una cuadrícula lo más grande que sea posible en la que no haya cuadros fraccionados. ¿Cuál debe ser el tamaño de los cuadros? a) máx.c.d. (2, 3) c) máx.c.d. (3, 9) e) máx.c.d. (30, 40) 10. Rosa ha sacado de la hucha un montón de mone- b) máx.c.d. (4, 5) d) máx.c.d. (6, 9) f ) máx.c.d. (50, 75) das, todas iguales, y ha comprado un lapicero de 70 céntimos. Después, ha vuelto a la tienda y ha comprado un bolígrafo de 80 céntimos. ¿Cuál puede ser el valor de cada una de esas monedas si siempre ha dado el precio exacto? (Busca todas las soluciones posibles). 4. Completa en tu cuaderno y calcula. 9 0 4 5 2 1 0 0 5 0 2 11. Alberto tiene 45 fichas rojas y 36 fichas verdes, y 1 quiere apilarlas en columnas iguales, lo más altas que sea posible, y sin mezclar colores en la misma pila. ¿Cuántas fichas pondrá en cada montón? 1 _ 60 = 2 · …b máx.c.d.(60, 90) = … 90 = 2 · …` máx.c.d.(60, 100) = … b 100 = 2 · … máx.c.d.(90, 100) = … a 5. Calcula máx.c.d. (a, b) por el método óptimo. c) a = 52 · 7 a) a = 3 · 7 b) a = 24 · 32 b = 5 · 72 b=5·7 b = 22 · 33 d) a = 3 · 5 · 11 e) a = 23 · 52 f ) a = 22 · 7 · 13 b = 2 · 32 · 13 b = 2 · 5 · 11 b = 22 · 52 · 7 12. El dueño de un restaurante compra un bidón de 80 litros de aceite de oliva y otro de 60 litros de aceite de girasol, y desea envasarlos en garrafas iguales, lo más grandes que sea posible, y sin mezclar. ¿Cuál será la capacidad de las garrafas? 6. Calcula. b) máx.c.d. (24, 36) d) máx.c.d. (56, 70) f ) máx.c.d. (140, 180) h) máx.c.d. (180, 270) 13. Un carpintero tiene dos listones de 180 cm y 240 cm, respectivamente, y desea cortarlos en trozos iguales, lo más largos que sea posible, y sin desperdiciar madera. ¿Cuánto debe medir cada trozo? 58 Sugerencias • Tratamos aquí el método óptimo para calcular el máximo común divisor mediante la descomposición de los números en factores primos. Y de la misma forma que en el epígrafe anterior, se recomienda que la regla surja de la práctica reiterada de ejercicios realizados con la guía del profesorado, atendiendo al criterio: seleccionar los factores primos adecuados, de forma que el número resultante sea divisor común de ambos números y, además, el mayor posible. Así, ahora, se han de elegir solo los factores comunes con el menor exponente. • La experiencia nos muestra que, pasado un tiempo, ante la demanda del máximo común divisor o del mínimo común múltiplo, los estudiantes dudan: ¿Son todos los factores, o solo los comunes? ¿Se toma el mayor exponente, o el menor? En este caso conviene volver a los conceptos, para que ellos mismos resuelvan la duda; en caso contrario, el algoritmo no resulta operativo. Refuerzo y Ampliación Recomendamos, del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: Refuerzo: Ejercicios 1, 2, 3, 4 y 5 de la pág. 33. Ampliación: Ejercicio 5 de la pág. 36. b = 18 ¿Verdadero o falso? 9. Supón que tienes una hoja de papel de 30 cm × 21 cm, 3. Calcula mentalmente. a) máx.c.d. (20, 24) c) máx.c.d. (54, 60) e) máx.c.d. (120, 144) g) máx.c.d. (168, 196) d) a = 6 b = 12 d) El máx.c.d. de dos números primos es uno. b) máx.c.d. (8, 20) d) máx.c.d. (12, 24) f ) máx.c.d. (40, 50) 1 c) a = 4 b) El máx.c.d. de dos números contiene solo los factores primos comunes a ambos números. 2 3 4 6 8 12 24 2 3 5 6 10 15 30 a) máx.c.d. (6, 8) c) máx.c.d. (10, 15) e) máx.c.d. (18, 24) 2 b = 10 a) El máximo común divisor de dos números es igual al menor de ellos. 2. Calcula como en el ejercicio anterior. 6 0 3 0 b) a = 5 b=8 Para calcular el máximo común divisor de varios números: Problema resuelto Cálculo del máx.c.d. (200, 260) a) Div. de 12 → 1 Div. de 16 → 1 máx.c.d. (12, 16) = b) Div. de 15 → 1 Div. de 20 → 1 máx.c.d. (15, 20) = c) Div. de 24 → 1 Div. de 30 → 1 máx.c.d. (24, 30) = 59 La resolución de problemas puede ser un campo apropiado para el aprendizaje cooperativo. Se sugiere: – Resuelven los problemas individualmente o por parejas. – En una puesta en común se hacen aflorar los intentos fallidos, los distintos caminos seguidos, las formas de resolución, las diferentes soluciones. Soluciones de “Piensa y practica” 1 a) 4b) 5c) 6 2 a) 2b) 4c) 5d) 12 e) 6f ) 10 3 a) 1b) 1c) 3d) 3e) 10 f ) 25 4 máx.c.d. (60, 90) = 2 · 3 · 5 = 30 máx.c.d. (60, 100) = 22 · 5 = 20 máx.c.d. (90, 100) = 2 · 5 = 10 5 a) 7 b) 36c) 35d) 55e) 100 f ) 26 6 a)4 b)12 c) 6 d)14 e) 24f ) 20g) 28h) 90 7 a) 4b) 5c) 4d) 6 Si a es divisor de b, máx.c.d. (a, b) = a. Aprendizaje cooperativo Se sugiere la siguiente dinámica metodológica: 60 8 a) Falso b) Verdadero c) Falso d) Verdadero e) Verdadero 9 El tamaño de los cuadros será de 3 cm. – Formar parejas según el criterio del profesorado (puede ser interesante mezclar estudiantes con diferentes niveles de competencia). 10 Pueden ser monedas de 10 cént., de 5 cént., de 2 cént. y de 1 cént. – Se propondrán ejercicios para calcular el máx.c.d. 11 En cada montón pondrá 9 fichas. – En cada pareja, un alumno o alumna resolverá por el método artesanal, y su compañero por el método óptimo. 12 Las garrafas serán de 20 litros. – Si no coinciden los resultados, deben descubrir los errores. 13 Los listones se deben cortar en trozos de 60 cm. Cuatro cajas de 15 bombones. Quince cajas de 4 bombones. 1 Ejercicios y problemas Los números naturales Busca, en cada caso, todos los valores posibles de La relación de divisibilidad 1. 10. Reflexiona, contesta “Sí” o “No” y justifícalo. a para que el número resultante sea, a la vez, múltiplo de 2 y de 3: a) ¿Se pueden guardar 300 litros de aceite en bidones Todas las civilizaciones han tenido un sistema de numeración. Estos 4 a 3 2 han a de 15 litros sinpasado que sobre nada?pueblos a otros y han evolucionado a lo largo del tiempo. de unos b) Si sacas del horno 100 magdalenas, y las empaquetas por docenas, ¿queda alguna suelta? 11. c) ¿Se puede cortar un listón de 1,80 m en un número exacto de trozos de 20 cm? 12. 3. b) 13 y 195 c) 38 y 138 d) 15 y 75 e) 23 y 203 f ) 117 y 702 — El número es múltiplo de 11 si al restar esas dos cantidades obtienes 0 o un Babilonios múltiplo de 11. ExpresaMayas el número 899 como producto de dos 2000 a.C. Romanos factores distintos de él mismo y de la unidad. 100 a.C. Egipcios 3500 a.C. 13. b) Un múltiplo de 13 comprendido entre 190 y 200. Busca todos los divisores de: a) 10 b) 18 c) 20 d) 24 e) 28 f ) 30 g) 39 h) 45 i) 50 j) 80 6. ¿De cuántas formas diferentes se pueden envasar 60 bombones en cajas con el mismo número de uniÁrabes dades en cada una sin que sobre 700ninguno? d.C. 7. Busca todas las formas posibles de hacer montones iguales con 72 terrones de azúcar. Sistema decimal que usamos 8. 14 17 28 29 47 53 57 63 71 79 91 99 Chinos Busca el primer número, mayor que 500, que no 3500 a.C. se pueda expresar como el producto de dos factores diferentes de él mismo y de la unidad. 15. Averigua si el número 521 es primo o compuesto. Justifica tu respuesta. 16. Para saber si el número 223 es primo, solo se necesita aplicar los criterios de divisibilidad y dividir entre 7, 11, 13 y 17. ¿Por qué? Mínimo común múltiplo y máximo común denominador Hindúes 500 a.C. 17. Criterios de divisibilidad Separa los números primos de los compuestos. 14. c) Todos los pares de números cuyo producto es 80. Escribe. L 3 Así multiplicaban los antiguos egipcios Seis cajas de 10 bombones. Diez cajas de 6 bombones. Los egipcios multiplicaban por duplicaciones sucesivas. Observa, por ejemplo, cómo Aprende a resolver problemas hacían 23 × 18. Dos hornadas iguales de magdalenas se1envasan, una, en 6 unidades, y72 terrones. dos columnas dede números siguiendo las si72 montones deEscribían terrón. 1 bolsas montón de la otra, en bolsas de 10 unidades, sin guientes que sobrereglas: ninguna en ambos casos. ¿Cuántas 1 18 ←• ⎯→ → magdalenas salen en cada hornada si–seEn han llenado algo más de 30 bolsas? la primera, duplicaban sucesivamente 1 sin sobrepa36←•montones terrones. 2 montones de 36 terrones. 2 ⎯→ 36 →de 2 sar el primer factor; en nuestro caso, sin pasarse de 23. Comprueba has entendido 4 ⎯→ 72 → el–enunciado. ←• que La segunda, duplicaban sucesivamente el segundo fac24 hornadas montones de 3tor,terrones. montones de 24 terrones. ¿Cuántas iguales ¿Cómo empaquetan las3magdalenas? 8 144 hay? en nuestro ejemplo, 18, tantas veces como habían duplicado 1 en la primera columna. ¿Cuántas←• bolsas se han288 llenado? te preguntan? 16 ⎯→ → ¿Qué 18→montones de–4Después, terrones. 4 montones de 18 terrones. en la primera columna tomaban los números 23 414 ← Piensa en el camino que vas a seguirnecesarios para resolver el problema. necesitas saber? para que al sumarlos¿Qué se obtuviera el primer factor; en nuesro caso, para quer sumaran 23: de 6—terrones. 6 montones 12 terrones. Fíjate12 que montones cada hornada puede Ya veo… Entonces estamos buscandode un múltiplo común de 6 y 10. Como + 2 += 430, + 16los= 23 embolsarse de 6 en 6 y de 10 mín.c.m (6,1 10) múltiplos comunes son 30 - 60 - 90 - 120 - … en 10. Estos son posibles números de unidades de una hornada. concluir, cogían, en la segunda columna, nú9 montones de 8– Para terrones. 8 montones de 9los terrones. meros correspondientes a los sumandos de la primera columna sumaban. Enmagdalenas nuestro caso:por hornada salen (90 : 6) + (90 : 10) = 24 Muy bien. Ahora recuerda que — Voy ya los probar. Con 90 se han bolsas. Con 120 6) + (120 : 10) = 32 bolsas. ¡Algo más de 30! 18 +2 090 36 +salen 72 + (120 288 =: 414 a)llenado 561algo más de 30 b) c) 10 647 bolsas. Solucion: Cada tiene magdalenas. El resultado de la suma obtenida enhornada la columna de120 la derecha era el producto buscado. En nuestro ejemplo: A51 → 351 - 651 – 951 23 × 18 = 414 25. Una bodega comercializa sus vinos en cajas con el Resuelve problemas mismo número de botellas. ¿Cuántas botellas van en 2B8 → 228 - 258 - 288 multiplcaciones al estilo egipcio: cada caja, si un comercio ha comprado 60 botellas de 20. Los miembros 1deEfectua un clublassocial se pueden siguientes agruvino tinto, 57 de blanco y 45 de rosado? par,31C sin que→ ninguno suelto, por parejas, 17 × 41 b) 41 ×por 17 312a)quede - 315 – 318 tríos y por grupos de 7. ¿Cuántos miembros tiene el 26. Un comerciante de ropa recibe una partida de club, sabiendo que son más de 80 pero menos de 90? camisas a 24 € la unidad. Un amigo suyo, con tien52D → 522 - 525 - 528 da en otro barrio, recibe una partida de pantalones 21. Ramón tiene un montón de monedas de 10 céna 45 €. Puestos en contacto, deciden intercambiar timos, que → puede agrupar en montones cén1E8 108 - 138 - 168de- 80 198 parte de sus mercancías para mejorar la oferta de sus timos y también en montones de un euro. ¿Cuánto negocios. ¿En qué condiciones harán el intercambio? dinero6tiene,5 sabiendo que en total hay máslos de antiguos 5 € sí multiplicaban hindúes 3 0 44a 710 €? pero menos →4 de42 –– En 48cada casilla se pone el 32a →de 324 24a → 240 - 246 resultado multiplicar los 2 0 2 Problemas 3 dos dígitos que la determinan. Por ejemplo, en la ca-“+” 22. 1 5Los2 trenes a Miramar salen cada 18 min, y los 8 2 4 ×h7 45 = 28. 27. Un restaurante, que está reponiendo menaje, inde Arandilla, cada 24 silla min.sombreada, Si son las 15 min, y 2 1 2020, 2024 vierte 300 € en la compra de vasos y otro tanto en la 1 2016, 12 ¿cuándo – Se suman los resultados en vertical. En cada columna salen a la vez, volverán a coincidir? de tazas. Sabiendo que una taza cuesta un euro más 9 6 solo cabe un dígito. que un vaso, y que ha comprado 15 vasos más que 23. Se desea 1 2 partir una cartulina de 48 cm × 60 cm Por tazas, ¿cuántos vasos y cuántas tazas ha adquirido? en que tengan entre cinco y diez 1 tarjetas 9 7 ejemplo: 2cuadradas 2 centímetros de lado. ¿Cuál debe ser el tamaño de las 28. Un granjero, tras recoger en una cesta su cosecha tarjetas para no desperdiciar recortes de cartulina? 11 · 15 = 165 → 1 + 5 = 6; 6 – 6 = de0huevos, piensa: 2 Efectúa, siguiendo este método, las siguientes multiplicaciones: 7 8 Números primos y compuestos Escribe. a) Los múltiplos de 20 comprendidos entre 150 y 210. 5. 2000 a.C. Compruébalo. Múltiplos y divisores 4. Para saber si un número es múltiplo de 11: — Suma las cifras que ocupan lugar impar. Razona si existe relación de divisibilidad entre: a) 20 y 300 Un año es bisiesto si es múltiplo de cuatro, pero no de 100. ¿Cuáles son los tres próximos bisiestos? — Suma las cifras que ocupan lugar par. d) ¿Hacen 100 minutos un número exacto de cuartos de hora? 2. 2 4 a UNIDAD Cinco cajas de 12 bombones. Doce cajas de 5 bombones. Obtén mentalmente tres múltiplos comunes de: a) 4 y 5 b) 10 y 12 c) 15 y 25 d) 20 y 40 e) 100 y 150 f ) 20, 25 y 30 a) Un número de tres cifras que sea divisible por 3. os sistemas de numeración sirven para escribir números 18. El mínimo común múltiplo de dos números es y transmitirlos. Pero deben servir, tamb) Un número de cuatro cifras que sea divisible por 5. y, así, recordarlos 15. ¿Cuáles pueden ser esos números? bién, para operar con ellos. Piensa en el sistema romano (que c) Un número de cinco cifras que sea divisible porya 9. conoces) y en cómo se las apañarían para efectuar sumas. 19. Calcula. Por ejemplo, MCCCXLVI + DCCCXXXIV. ¿Complicado? Pues 9. Sustituye cada letra por una cifra, para que el núa) mín.c.m. (2, 4,que 8) ser multiplicar. b) máx.c.d. (2, 4, 8) imagina lo difícil que tendría mero resultante sea divisible entre 3. c) mín.c.m. (10, 15, 20) d) máx.c.d. (10, 15, 20) A51 2B8 31C 52D 1E8 e) mín.c.m. (20, 30, 40) f ) máx.c.d. (20, 30, 40) 9 A 10 11 12 24. En una escuela de baloncesto 20453 a) 208 × 34→ 1 había b) 11 121 + 1Debido =equipos, 2;×a262un – 2 = —0 Si los envaso por docenas, me sobran 5. todos con· 11 igual = número de jugadores. — Si tuviera uno más, podría envasarlos exactamente estas formascuatro de multiplicar con la nuestra, ¿cuál 3 Comparando recorte de presupuesto, se han suprimido equien cajas de 10. te parece más cómoda y efectiva? Justifica tu respuesta. pos, distribuyendo sus miembros entre los demás. 29, 47, 71, 79 — Casi he cogido 100. Así,Primos cada equipo→ ha 17, aumentado en dos53, elementos. ¿Cuántos huevos tiene? ¿Cuántos jugadores hay en la escuela de baloncesto? 13 Compuestos → 14, 28, 57, 63, 91, 99 61 60 14 503 es el número buscado. 15 521 es primo, porque todas sus divisiones entre 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 y 23 tienen resto distinto de cero y, además, 521 : 23 ≈ 22,65. Interdisciplinaridad Al realizar la actividad 11, se sugiere pedir a los estudiantes que se informen de la razón de ser de los años bisiestos, y que evalúen lo que ocurriría si no se incluyeran en el calendario. 16 Porque el cociente de 223 : 17 es un número menor que 17, y si hubiese divisores menores que 17 se habrían hallado antes de probar con este número. 17 a)20, 40, 60 Soluciones de “Ejercicios y problemas” d)40, 80, 120 b)120, 240, 360 c) 75, 150, 300 e)300, 600, 900 f ) 300, 600, 900 c) 60 e)120 18 3 y 5, o bien, 1 y 15. 1 a)Sí, porque 300 : 15 = 20. b)Sí, quedan 4 sueltas (100 = 12 · 8 + 4). 19 a)8 b)2 d)5 f ) 10 c) Sí, se puede cortar en 9 trozos de 20 cm (180 : 20 = 9). d)No (100 = 15 · 6 + 10). 2 a)300 : 20 = 15 → exacta → Sí. ANOTACIONES b)195 : 13 = 15 → exacta → Sí. c) 138 : 38 → inexacta → No. d)75 : 15 = 5 → exacta → Sí. e) 203 : 23 → inexacta → No. f ) 702 : 117 = 6 → exacta → Sí. 3 899 = 31 · 29 4 a)160, 180, 200 b)195 = 13 · 15 c) 1 y 80, 2 y 40, 4 y 20, 5 y 16, 8 y 10 5 a)1, 2, 5, 10 b)1, 2, 3, 6, 9, 18 c) 1, 2, 4, 5, 10, 20 d)1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 e)1, 2, 4, 7, 14, 28 f ) 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 g)1, 3, 13, 39 h)1, 3, 5, 9, 15, 45 i ) 1, 2, 5, 10, 25, 50 j ) 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80 6 Una caja de 60 bombones. Sesenta cajas de 1 bombón. Dos cajas de 30 bombones. Treinta cajas de 2 bombones. Tres cajas de 20 bombones. Veinte cajas de 3 bombones. 61 26 Habría que intercambiar lotes de 15 camisas por lotes de 8 pantalo- 1 UNIDAD Asíhan multiplicaban los antiguos egipcios 27 Se adquirido 75 vasos y 60 tazas. Los egipcios multiplicaban por duplicaciones sucesivas. Observa, por ejemplo, cómo Los números naturales Aprende a resolver problemas e - nes. 3 hacían 23 × 18. dos columnas de números siguiendo las si28 El granjero tieneEscribían 89 huevos. Dos hornadas iguales de magdalenas se envasan, una, en bolsas de 6 unidades, y la otra, en bolsas de 10 unidades, sin que sobre ninguna en ambos casos. ¿Cuántas las civilizaciones han tenido un sistema de numeración. Estos han magdalenas salen enTodas cada hornada si se han llenado algo más de 30 bolsas? ←• 1 ⎯→ ←• 2 ⎯→ ←• 4 ⎯→ pasado de unos pueblos a otros y han evolucionado a lo largo del tiempo. , ? Comprueba que has entendido el enunciado. ←• 16 ⎯→ 288 → → 23 Piensa en el camino que vas a seguir para resolver el problema. ¿Qué necesitas saber? Fíjate que cada hornada puede embolsarse de 6 en 6 y de 10 en 10. — Ya veo… Entonces estamos buscando un múltiplo común de 6 y 10. Como mín.c.m (6, 10) = 30, los múltiplos comunes son 30 - 60 - 90 - 120 - … Babilonios Estos son posibles números de unidades de una hornada. 2000 a.C. Muy bien. Ahora recuerda que Mayas se han llenado algo más de 30 2000 a.C. bolsas. — Voy a probar. Con 90 magdalenas por hornada salen (90 : 6) + (90 : 10) = 24 Egipcios bolsas. Con 120 salen3500 (120 a.C. : 6) + (120 : 10) = 32 bolsas. ¡Algo más de 30! Romanos 100 a.C. Solucion: Cada hornada tiene 120 magdalenas. 25. Resuelve problemas 20. o s - 21. o - Los miembros de un club social se pueden agrupar, sin que ninguno quede suelto, por parejas, por tríos y por grupos de 7. ¿Cuántos miembros tiene el club, sabiendo que son más de 80 pero menos de 90? Ramón tiene un montón de monedas de 10 céntimos, que puede agrupar en montones de 80 céntimos y también en montones de un euro. ¿Cuánto dinero tiene, sabiendo que en total hay más de 5 € pero menos de 10 €? Árabes 700 d.C. 26. Un comerciante de ropa recibe una partida de camisas a 24 € la unidad. Un amigo suyo, con tienda en otro barrio, recibe una partida de pantalones a 45 €. Puestos en contacto, deciden intercambiar parte de sus mercancías para mejorar la oferta de sus negocios. ¿En qué condiciones harán el intercambio? Los trenes a Miramar salen cada 18 min, y los de Arandilla, cada 24 min. Si son las 15 h 45 min, y decimal salen aSistema la vez, ¿cuándo volverán a coincidir? 23. Se desea partir una cartulina de 48 cm × 60 cm en tarjetas cuadradas que tengan entre cinco y diez centímetros de lado. ¿Cuál debe ser el tamaño de las 28. Un granjero, tras recoger en una cesta su cosecha tarjetas para no desperdiciar recortes de cartulina? os sistemas de numeración sirven para escribir números de huevos,ypiensa: y, así, recordarlos transmitirlos. Pero deben servir, tam- 24. bién, para operar ellos. Piensa en el sistema romano — Si con los envaso por docenas, me sobran 5. (que En una escuela de baloncesto había 20 equipos, cómo se las apañarían para efectuar sumas. todos con igual número de jugadores. Debido a ya unconoces) y en Si tuviera uno más, podría ¿Complicado? envasarlos exactamente Por ejemplo,—MCCCXLVI + DCCCXXXIV. Pues recorte de presupuesto, se han suprimido cuatro equienque cajas de 10.que ser multiplicar. imagina lo difícil tendría pos, distribuyendo sus miembros entre los demás. — Casi he cogido 100. Así, cada equipo ha aumentado en dos elementos. ¿Cuántos huevos tiene? ¿Cuántos jugadores hay en la escuela de baloncesto? s que usamos Hindúes 500 a.C. Un restaurante, que está reponiendo menaje, invierte 300 € en la compra de vasos y otro tanto en la de tazas. Sabiendo que una taza cuesta un euro más que un vaso, y que ha comprado 15 vasos más que tazas, ¿cuántos vasos y cuántas tazas ha adquirido? L 61 Aprende a resolver problemas En este apartado, mediante el seguimiento de un ejemplo, se pretende ofrecer a los estudiantes modelos, estrategias y pautas para resolver problemas. A saber: – Detenerse en la comprensión del enunciado. Aclarar lo que se sabe y lo que se desea averiguar. No empezar hasta haber interiorizado el enunciado. – Reflexionar sobre el proceso. Decidir los datos y los pasos intermedios necesarios para llegar a la solución. – Conviene que los alumnos y alumnas comprueben que la búsqueda de la solución es un proceso abierto, en el que se utilizan diversos recursos. Así, en este caso, tras una primera parte en la que se utilizan los conceptos y herramientas que proporciona la divisibilidad, el problema termina recurriendo al tanteo para ajustar lo descubierto a las condiciones del enunciado. – Describir el proceso. Explicar el significado de cada operación y del dato que se obtiene con ella. – Presentar la solución. Soluciones de “Ejercicios y problemas” 20 El club tiene 84 miembros. 21 Ramón tiene 800 céntimos = 8 euros. 22 Después de las 15:45, volverán a coincidir a las 16:57. 23 Las tarjetas deben ser de 6 cm de lado. 24 En la escuela hay 160 jugadores. 25 En cada caja van 3 botellas. 62 guientes reglas: – En la primera, duplicaban sucesivamente 1 sin sobrepasar el primer factor; en nuestro caso, sin pasarse de 23. – La segunda, duplicaban sucesivamente el segundo factor, en nuestro ejemplo, 18, tantas veces como habían duplicado 1 en la primera columna. – Después, en la primera columna tomaban los números necesarios para que al sumarlos se obtuviera el primer factor; en nuesro caso, para quer sumaran 23: 1 + 2 + 4 + 16 = 23 – Para concluir, cogían, en la segunda columna, los números correspondientes a los sumandos de la primera columna y los sumaban. En nuestro caso: 18 + 36 + 72 + 288 = 414 El resultado de la suma obtenida en la columna de la derecha era el producto buscado. En nuestro ejemplo: 23 × 18 = 414 1 Efectua las multiplcaciones siguientes al estilo egipcio: a) 17 × 41 6 5 3 0 7 3 2 0 4 2 1 5 2 8 2 2 1 4 22. 27. 414 ← Una bodega comercializa sus vinos en cajas con el mismo número de botellas. ¿Cuántas botellas van en Chinos cada caja, si un comercio ha comprado 60 botellas de 3500 a.C. vino tinto, 57 de blanco y 45 de rosado? Problemas “+” 72 → 8 144 ANOTACIONES ¿Cuántas hornadas iguales hay? ¿Cómo empaquetan las magdalenas? ¿Cuántas bolsas se han llenado? ¿Qué te preguntan? s 18 → 36 → 1 12 9 6 1 2 1 9 7 2 2 2 Así multiplicaban los antiguos hindúes – En cada casilla se pone el resultado de multiplicar los dos dígitos que la determinan. Por ejemplo, en la casilla sombreada, 4 × 7 = 28. – Se suman los resultados en vertical. En cada columna solo cabe un dígito. Efectúa, siguiendo este método, las siguientes multiplicaciones: a) 208 × 34 3 b) 41 × 17 b) 453 × 26 Comparando estas formas de multiplicar con la nuestra, ¿cuál te parece más cómoda y efectiva? Justifica tu respuesta. Taller de matemáticas UNIDAD emprender aprender Reflexiona y sé organizado 3 Entrénate resolviendo problemas ¡Echa cuentas! • En un colegio hay dos clases, A y B, de primero de ESO. Si en el grupo A se Divisibilidad y geometría hacen equipos de 5 para jugar a baloncesto, sobran 3 personas. Si se hace lo mismo en el grupo B, sobran 4. Ya has visto en otras ocasiones cómo las características y propiedades de los números se reflejan en relaciones y propiedades geométricas. Observa ahora cómo la descomposición factorial de un número, por ejemplo 24, está ligada a las posibilidades de construir prismas con un conjunto de 24 dados (cubos unitarios): ¿Cuántos sobrarán si se hacen los equipos después de juntar ambos grupos? • Un galgo persigue a una liebre. La liebre da saltos de 3 m y el galgo da saltos de 4 m. Si en un momento determinado las huellas del galgo coinciden con las de la liebre, ¿cuántas veces vuelve a ocurrir lo mismo en los siguientes 200 m? 1 × 24 2×2×6 2 × 12 24 = 2 · 2 · 2 · 3 2×2×2 3×8 2×3×4 Autoevaluación 4×6 2×2×2×3 1. Busca, entre los siguientes, cuatro pares de números • ¿Cuántos prismas diferentes se pueden construir con 12 dados unitarios? 7. Averigua si los números siguientes son primos o emparentados por la relación de divisibilidad: 6 15 35 80 compuestos: 90 240 a) 101 2. ¿Verdadero o falso? • Más difícil: ¿Y con un conjunto de 60 dados? a) 36 b) 7 múltiplo de 21. Ensaya y deduce Los primos valen dinero El 101 es el protagonista Los números primos se utilizan para la construcción de las claves que protegen las cuentas bancarias, los ordenadores, los teléfonos móviles, la información que circula por internet, etc. d) 162 múltiplo de 8. 3. Escribe. 29 × 101 = ? De hecho, para elaborar una clave, se necesitan dos números primos secretos. Ensaya otros casos y verifica que siempre ocurre lo mismo. Por eso, el que descubre un par de números primos nuevos, descubre un tesoro codiciado por empresas informáticas y de comunicaciones, dispuestas a comprarlos a precios elevados. • ¿Qué tienen en común todos los números de cua- tro cifras que se forman repitiendo alternativamente dos cifras? Lo malo es que los fáciles ya se han descubierto y los nuevos son muy difíciles de encontrar. • Busca el primer número primo mayor que 1 000. 4 5 4 5 8 7 8 7 1 3 1 3 4 3 4 3 b) 48 c) 396 a) mín.c.m. (36, 48) b) máx.c.d. (36, 48) c) mín.c.m. (10, 15, 25) d) máx.c.d. (10, 15, 25) 10. ¿De cuántas formas distintas se puede dividir una a) Los múltiplos de 12 comprendidos entre 50 y 100. multiplicamos por 101? c) 247 9. Calcula. c) 12 es divisor de 120. • ¿Qué le ocurre a un número de dos cifras si lo b) 147 8. Descompón en factores primos. a) 60 es divisible entre 15. Infórmate e investiga Resoluciones de estos ejercicios. En la web clase de 28 alumnos, en equipos con el mismo número de miembros, sin que sobre ninguno? b) Todos los divisores de 90. 4. Encuentra los números pedidos. 11. ¿Cuál es el lado del menor cuadrado que se puede formar uniendo baldosas rectangulares de 15 cm de largo por 6 cm de ancho? a) El primer múltiplo de 13, después de 1 000. b) El último múltiplo de 11, antes de 1 000. 12. Un grupo de 48 niños, acompañados de 36 padres, 5. Completa en tu cuaderno. acuden a un campamento de montaña. Para dormir, acuerdan ocupar cada cabaña con el mismo número de personas. Además, cuantas menos cabañas ocupen, menos pagan. Por otro lado, ni los padres quieren dormir con niños, ni los niños con padres. ¿Cuántos entrarán en cada cabaña? ¿Cuántas cabañas ocuparán? a) Un número es múltiplo de 3 cuando… b) Un número es divisible entre 5 cuando… c) Un número es múltiplo de 9 cuando… 6. Escribe, ordenados, todos los números primos meno- res que 50. 62 63 Divisibilidad y geometría Se incluyen problemas o retos que, aunque relacionados con la divisibilidad, exigen la utilización de otros recursos, y cuyo objetivo es practicar estrategias de elaboración personal y enfrentarse a situaciones de lógica. Soluciones Soluciones • 12 = 1 · 1 · 12 = 1 · 2 · 6 = 1 · 3 · 4 = 2 · 2 · 3 • Juntando ambos grupos se hace un equipo más y sobran 2. • 60 = 1 · 1 · 60 = 1 · 3 · 20 = 1 · 4 · 15 = 1 · 5 · 12 = 1 · 6 · 10 = 6 · 2 · 5 = = 4 · 3 · 5 = 2 · 6 · 5 = 2 · 3 · 10 = … • Las huellas del galgo y de la liebre coincidirán 16 veces. Reflexiona y sé organizado Puede derivarse la investigación hacia prismas de base no rectangular, del tipo de la solución 2 · 2 · 2 · 3 (de colores) que aparece en el texto. Infórmate e investiga Soluciones de la autoevaluación 1 60 y 90, 15 y 90, 80 y 240, 6 y 240 2 a)Verdadero b) Falso c) Verdadero d) Falso Los primos valen dinero 3 a)60, 72, 84, 96 b)1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90 Se puede sugerir el ir comprobando, por orden, si 1 001, 1 002, 1 003, etc., se pueden descomponer en factores. 4 a)1 001 b) 990 Soluciones: • El primer número primo mayor que 1 000 es 1 009. 5 a)… la suma de sus cifras es múltiplo de 3. b)… acaba en 0 o en 5. Ensaya y deduce El 101 es el protagonista Estos ejercicios contribuyen a desarrollar el interés por la búsqueda de regularidades y propiedades numéricas. c) … la suma de sus cifras es múltiplo de 9. 6 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 7 a)101 es primo. b)147 es compuesto. c) 247 es compuesto. Soluciones 8 a)36 = 22 · 32 b)48 = 24 · 3 c) 396 = 22 · 32 · 11 • Al multiplicar un número de dos cifras por 101, se obtiene el mismo resultado que si se escribe el número dos veces seguidas. 9 a)144 • Todos los números de cuatro cifras que se forman repitiendo alternativamente dos cifras son múltiplos de 101. Entrénate resolviendo problemas ¡Echa cuentas! 10 b)12 n.º de equipos miembros por equipo c) 150 d)5 1 2 4 7 14 28 28 14 7 4 2 1 11 El lado del menor cuadrado que se puede formar mide 30 cm. 12 En cada cabaña entrarán 12 personas. Ocuparán 7 cabañas. 63