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Universidad de Vigo
Departamento de Física Aplicada
Ampliación de Física. Año Académico 2008-2009.
E.T.S.I.Industriales
Boletín # 7 Vigo 4 de mayo de 2009
Problema 7.1.- Una espira rectangular plana de lados a y b paralelos a los ejes OX y
OY respectivamente, se mueve en el plano XY con velocidad uniforme v paralela al eje
OX y sentido de las x crecientes. En el plano XY existe un campo magnético de
dirección perpendicular a dicho plano y módulo B(x,t) = Bo cos(wt)cos(kx) , donde Bo ,
w y k son constantes. Determínese la fuerza electromotriz inducida en la espira en
función del tiempo. Supóngase que, para t=0 el lado de la espira más atrasado en el
sentido del movimiento está situado en la posición x=0.
Solución:
ε=(Bobω/k) senωt [senk(x+a)-senkx] - Bobv cosωt [cosk(x+a)-coskx]
Problema 7.2.- Frente a una línea conductora
rectilínea indefinida recorrida por una corriente I(t)
se mueve perpendicularmente a ella con una velocidad
constante v una espira cuadrada conductora de lado
d, resistencia R y autoinducción L, tal como se indica
en la figura. Si la línea y la espira son, en todo
momento, coplanarias, hállese la ecuación diferencial
que liga a ambas intensidades I(t) e i.
I(t)
µο
i
d
v
d
r
Solución: iR+Ldi/dt = (µod/2π)[-Ln((r+d)/r) dI/dt + Ivd/[r(r+d)]
Problema 7.3 (Examen SEPTIEMBRE 2003).- Una
espira rectangular de resistencia R y lados a y b,
está contenida en plano en el que existe una línea
conductora rectilínea indefinida recorrida por una
corriente I(t) = Iocos(wt), como muestra la figura.
Calcular la fuerza sobre cada uno de los lados (MN,
NP, PQ y QM) de la espira.
Solución:
FNP =[(µo2b2Io2ω)/(4π2R(c+a))]Ln((c+a)/c) senωt cosωt (-i)
FQM =[(µo2b2Io2ω)/(4π2Rc)]Ln((c+a)/c) senωt cosωt (i)
FMN =[(µo2b2Io2ω)/(4π2R)]Ln2((c+a)/c) senωt cosωt (j)
FNP = - FMN
c
Q
P
b
I(t)
M
N
a
Problema 7.4 (Examen JUNIO 2003).- Considere un solenoide semi-infinito y núcleo
de aire, con N´ vueltas por unidad de longitud, por donde circula una intensidad de
corriente variable dada por I=Ioe-αt, siendo Io y α constantes. En el extremo superior
del solenoide, concéntrico a el y sin tocarlo, se fija un anillo delgado de aluminio de
radio a, ligeramente mayor que el radio del solenoide, y resistencia R, como se indica
en la figura.
Suponiendo que el campo magnético producido por el
I
solenoide tiene la misma dirección, sentido y módulo en
a
toda la superficie encerrada por el anillo y coincide con el
valor en el eje del solenoide. También suponga que la
autoinducción del anillo es despreciable:
(a)¿Cuál es la intensidad de corriente inducida en el anillo?
(b)¿Cuál es el campo magnético, en el centro del anillo,
I
producido por la corriente inducida? y ¿Cuál es su
dirección y sentido?.
Solución:
(a) i= (µoIoN´πa2αe-αt)/2R
(b) B =[(µo2IoN´πaα)/4R] e-αt uz
Problema 7.5.- Calcular la inductancia mutua por unidad
de longitud entre dos líneas de transmisión de dos cables
conductores cada una A-A`y B-B` mostradas en la figura
adjunta. Asúmase que los radios de los cables conductores
son mucho más pequeños que d y D.
Solución: M =(µo/2π)Ln[1+(d/D)2]
A
d
D
B
Problema 7.6 (Examen DICIEMBRE 2004).- Una espira cuadrada de alambre se
mueve con velocidad constante en dirección transversal a un campo magnético
uniforme confinado en una región cuadrada cuyos lados son de longitud el doble de las
de la espira. Calcular y hacer un gráfico esquemático de la f.e.m. inducida en la espira
en función de la distancia x, desde x = -2l hasta x = 2 l, especificando claramente su
sentido en cada punto.
Problema 7.7 (Examen SEPTIEMBRE 2004).- Un toroide delgado de radio medio b
y sección S, está dividido en dos mitades por un plano que contiene al eje de
revolución, cuyos materiales tienen permeabilidades µ1 y µ2 , respectivamente. Sobre
el toroide se arrollan N espiras por las que circula una corriente I. Calcular los
vectores H y B en ambos materiales y el coeficiente de autoinducción L del circuito.
Solución:
B= NI/[πb((µ1+ µ2)/( µ1 µ2))] uφ
H1= (NI/πb)( µ2/µ1+ µ2)] uφ
H2= (NI/πb)( µ1/µ1+ µ2)] uφ
L= (NS/πb)(µ1 µ2)/( µ1 + µ2)]
A`
B`
Problema 7.8(SEPTIEMBRE 2008).-Se tiene un núcleo magnético toroidal de
permeabilidad µ y sección rectangular de radio interior a exterior b y altura h, tales
que no se puede considerar que el toroide sea delgado. Sobre este núcleo se han
bobinado dos arrollamientos de N1 y N2 vueltas respectivamente, ambos
uniformemente distribuidos a los largo de la coordenada circunferencial del toroide.
1. Calcular la inducción magnética B producida por el arrollamiento N1 en todo el
espacio cuando pasa por el una corriente de intensidad I constante.
2. Calcular el coeficiente de autoinducción del arrollamiento 1
3. Calcular el coeficiente de inducción mutua entre ambos arrollamientos.
Solución: 1) B =
µNI
2πr
, 2)
M 11 =
µN1h ⎛ b ⎞
µN1 N 2 h ⎛ b ⎞
ln⎜ ⎟ , 3) M 12 =
ln⎜ ⎟
2π
2π
⎝a⎠
⎝a⎠
Problema 7.9(Examen SEPTIEMBRE 2005).- Una espira cuadrada de lado 2b se
encuentra situada entre dos hilos paralelos, separados una distancia 2a. La espira es
coplanaria con los dos hilos y dos de sus lados son
paralelos a ellos, estando su centro separado una
distancia c del punto medio entre los hilos.
I1
Halle la fuerza sobre la espira cuando ambos hilos I
Io
o
circula una corriente Io pero en sentido opuesto
entre sí, y por la espira fluye una corriente I1.
d
Solución:
F = (I1 Io µo 2ab/ π )[(1/((b+c)2-a2) – 1/(a2-(c-b)2) i
c
Problema 7.10(Septiembre 2006).- Una espira
cuadrada plana de lados a está contenida en el plano XY, en el que existe una línea
conductora rectilínea indefinida recorrida por una
corriente variable que sigue la ley I(t)=Io(1-e-αt) con Io I(t)
y a constantes (véase figura). Despreciando la
autoinducción de la espira:
v
a) Determínese la fuerza electromotriz inducida
a
x
en la espira, supuesta en reposo, y el coeficiente
de inducción mútua entre el largo hilo y la espira.
b) Si la espira se desplaza con velocidad uniforme v paralela al eje OX y sentido
de los x crecientes, determínese la fuerza electromotriz inducida en la espira.
Suponga que para t=0 el lado de la espira más atrasado en el sentido del
movimiento está situado en la posición x=0.
Solución:
(b) ε =
(a)
aµ o I o
2π
ε =−
aµ o I o ⎛ x + a ⎞ −αt
Ln⎜
⎟αe
2π
⎝ x ⎠
−αt
⎡
⎛ vt + a ⎞ a(1 − e ) ⎤
−αt
⎟+
⎢− αe Ln⎜
⎥
⎝ vt ⎠ (vt + a)t ⎦⎥
⎣⎢
L12 =
aµ o ⎛ x + a ⎞
Ln⎜
⎟
2π
⎝ x ⎠
Problema 7.11 (Diciembre 2006).- En el interior de un solenoide indefinido, de radio
R y de N´e espiras por unidad de longitud y que soporta una corriente alterna
Ie=Ieosenωt se dispone, concentricamente con él, una varilla infinitamente larga de
radio a, siendo a<R, hecha de una sustancia de permeabilidad magnética µ y sobre cuya
superficie se ha arrollado un solenoide indefinido de N´i espiras por unidad de
longitud. Se pide:
a) La inductancia mutua por unidad de longitud entre ambos solenoides.
b) La fuerza electromotriz inducida por unidad de longitud en el solenoide interior,
suponiendo que la corriente por dicho solenoide interior, Ii, es nula en todo
instante.
(a) L´ie = µN´i N´e π a2
Solución:
ε´i =- µN´i N´e π a2 Ieocoswt
Problema 7.12 (Septiembre 2007).- Suponga que en una región del espacio existe un
campo magnético que sigue la ley B = k ( z ux + x uz ) con k una constante.
En el plano XY y centrado en el origen se encuentra un anillo de radio a, conductividad
σ y sección S. Soldada a este anillo se encuentra una varilla del mismo material, de
longitud 2a y situada en un diámetro del aro (Figura 1).
Si el anillo gira con velocidad angular uniforme ω = ω uz. en torno a su centro:
a) Calcule la f.e.m. inducida en el circuito cerrado CI formado por la varilla, en la
posición angular α, y la semicircunferencia α < φ < α +π (véase Figura 2)
b) Calcule la f.e.m. inducida en el circuito cerrado CII formado por la otra
semicircunferencia α +π < φ < α + 2π y la varilla.
c) Dibuje el circuito equivalente al conjunto formado por la varilla y el anillo y
calcule la corriente que circula por cada rama en función del tiempo.
y
y
dS
r
φ
α
x
x
Figura 1. Anillo de radio a con varilla
de longitud 2a y situada en un diámetro
del aro.
Figura 2. Circuito cerrado CI
Solución:
(a)
ε 2 = ε 1 = 23 ka 3 cos(ωt )ω
(b) I 2 = I 1 =
Io
2
con I o =
ε o cos(ωt )
( Ro +
R1
)
2
Problema 7.13 (Diciembre 2008).- Una espira circular de radio R y N vueltas está
sometida a un campo magnético B=Bu siendo
r⎞
⎛
B = B0 ⎜1 − ⎟ cos ωt ,
⎝ R⎠
t el tiempo, r la distancia al centro de la espira C y u el vector unitario normal al plano
que contiene a la espira (ω y B0 son constantes con las dimensiones apropiadas).
Determine la fuerza electromotriz inducida en la espira en los siguientes casos:
1. Espira en reposo.
2. Espira que rota con velocidad angular Ωu en torno a un eje que pasa por C.
Solución: 1) Ε1 =
π
3
NB0 R 2ω sin ωt 2) Ε 2 = Ε1