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AUTOINDUCCION
Cuando se tiene un dispositivo generador de campo magnético como es un solenoide, un toroide, o una
espira, ellos generan en ciertas regiones del espacio la presencia de un Campo Magnético cuando circula
por ellos una corriente eléctrica.
Si se tiene un solenoide en las cercanías de otro, el primero genera un campo magnético cuando circula a
través de él una corriente, ese campo magnético tiene influencia sobre el segundo solenoide.
Ese campo magnético genera un flujo de campo magnético sobre cada espira del segundo solenoide.
Si la corriente en el primer solenoide es variable, en el segundo solenoide se generará un flujo de campo
magnético variable sobre cada espira del segundo solenoide.
Esta variación de flujo de Campo Magnético en cada espira del segundo solenoide, generará a su ves un
fuerza electromotriz inducida, según la Ley de Inducción de faraday.
Sin embargo, el fenómeno de fuerza electromotriz inducida no es privativo de un solenoide sobre otro,
sino que también se presenta cuando se tiene un solo dispositivo generador de campo magnético, en este
caso la fuerza electromotriz inducida actúa sobre el mismo dispositivo, es decir la inducción de una fuerza
electromotriz también se presenta sobre el mismo dispositivo generador del campo variable.
A este fenómeno se le llama AUTOINDUCCION.
En consecuencia la Autoinducción es el resultado de la circulación de una corriente variable generadora
de campo magnético variable, que a su ves produce sobre cada espira del dispositivo generador de campo,
un flujo de campo magnético variable que tiende oponerse a la variación del flujo de campo magnético,
por medio de la inducción de una fuerza electromotriz de dirección adecuada para ese fin.
El dispositivo generador de campo magnético del que estamos hablando podría ser:
•
•
•
Una Bobina hecha de vueltas “muy apretadas”.
La parte central de un solenoide muy largo.
Un Toroide.
En estos casos, el campo magnético generado dentro de esos dispositivos depende de la intensidad de la
corriente que circula en su arrollamiento.
Podemos considerar como primera buena aproximación, que el flujo de campo magnético calculado sobre
cada vuelta del arrollamiento es el mismo para todas las espiras que constituyen el dispositivo.
Sea el flujo de campo magnético en cada vuelta dado por:
ΦB
es evidente que el flujo sobre todo el dispositivo es la suma del flujo en cada vuelta.
Si el dispositivo tiene en total N vueltas, el flujo que está presente en el dispositivo es dado por la
cantidad:
N ΦB
A esta cantidad se le denomina “ENCADENAMIENTOS DE FLUJO” y debe considerarse como el
flujo total en el dispositivo.
Por aplicación de la Ley de Lenz, la fuerza electromotriz inducida en el dispositivo por una corriente
variable cumple la relación:
E= −
d
(N Φ B )
dt
Los encadenamientos de flujo son importantes para el cálculo de la fuerza electromotriz inducida según se
desprende de la expresión anterior.
Como los encadenamientos de flujo dependen del flujo sobre cada espira del dispositivo, y éste a su vez
es proporcional a la corriente que circula en el dispositivo, entonces se puede escribir la relación de
proporción directa siguiente:
N ΦB ∝ i
la cual puede escribirse en forma de igualdad al utilizar una constante de proporción, que denominaremos
“autoinductancia” o símplemente “inductancia” del dispositivo, ella se representa por la letra latina
mayúscula “L”, en consecuencia, la relación anterior se convierte en la igualdad:
N ΦB = L i
De tal manera que la fuerza electromotriz inducida en el solenoide es dada por:
E= − L
d
(i )
dt
Expresión útil para definir la inductancia magnética de un dispositivo generador de campo magnético.
A partir de esta ecuación puede despejarse la Inductancia dando como resultado:
L=−
E
di
dt
de donde se pueden dar las unidades de la inductancia:
[L]= [E] = [E][d t ] = Volt − seg
[d i ] Ampère
⎡d i⎤
⎢d t ⎥
⎣ ⎦
a la unidad derivada
Volt − seg
se le denomina Henry y es la unidad en que se medirá la Inductancia
Ampère
de un dispositivo.
Es común encontrar como unidades de la inductancia el MILIHENRY y el MICROHENRY , su definicien
es lógicamente evidente.
El sentido de la fuerza electromotriz inducida debe ser tal que se oponga al crecimiento o decrecimiento
de la corriente, en el caso en que la corriente se encuentre en proceso de decrecimiento, la fuerza
electromotriz debe crear una corriente que se oponga a ese decrecimiento, por lo tanto ella debe tener
sentido tal que haga circular una corriente en el mismo sentido de la corriente en el dispositivo para tratar
de compensar la disminución.
En el caso en que la corriente esté en proceso de crecimiento, la fuerza electromotriz tiene sentido tal que
genere una corriente en contra de la corriente en aumento para tratar de compensar ese crecimiento.
En consecuencia, el signo de la ecuación
L=−
E
di
dt
nos indica que el sentido de la rapidez de variación de la corriente y el de la fuerza electromotriz inducida
son contrarios, lo que es completamente correcto, ya que se debe cumplir que la fuerza electromotriz
inducida siempre se opone al cambio de la corriente en el dispositivo.
CALCULO DE LA INDUCTANCIA EN ALGUNOS CASOS
ESPECIALES
Inductancia de una Porción de Solenoide.
Dado un solenoide de “n” vueltas por unidad de longitud, podemos preguntarnos cual es la inductancia de
una porción de longitud “l” del mismo colocada en el centro del solenoide.
El vector de inducción magnética es uniforme para puntos alejados de los extremos de un solenoide,
cuando la corriente tiene valor “i”.
El valor de su magnitud es dado por la expresión:
B = µ0 n i
para una porción de longitud “l” el número de vueltas de solenoide es determinado por la expresión:
N =nl
ese número “N” de vueltas, es el número de espiras del solenoide que tomaremos en consideración al
evaluar la Inductancia.
El flujo de campo magnético que atraviesa cada una de las espiras del solenoide es dado por la integral:
r r
ΦB = ∫ B⋅d S
A
donde A es el área de sección transversal de solenoide, esa área coincide con el área encerrada por cada
espira.
La diferencial de superficie sobre el área “A” es paralela al eje del solenoide, por lo tanto perpendicular al
área “A” y paralela al vector de inducción magnética (que recordamos cumple la regla de la mano
derecha).
Por esa razón el producto escalar del vector de inducción magnética y de diferencial de área involucra un
ángulo de 0°, quedando la integral que dá el flujo dada por:
r r
Φ B = ∫ B ⋅ d S = ∫ B dS = B ∫ dS = B A
A
A
A
Los enlaces de flujo que se involucran en una porción de longitud “l”, son dados por el producto:
N ΦB
La fuerza electromotriz inducida es dada por:
E= −
d ( NΦ B )
dt
los enlaces de flujo son dados por :
N Φ B = N B A = n l B A = n l µo n i A = µo n2 l i A
por lo tanto la Ley de Lenz en este caso se escribe como:
E= −
d ( NΦ B )
di
= − µo n 2 l A
dt
dt
como la expresión que da la inductancia en términos de la fem inducida es:
L=−
E
di
dt
entonces podemos inmediatamente deducir de las dos últimas expresiones:
L = µo n2 l A
que indica que la inductancia depende de propiedades netamente geométricas del dispositivo.
Se observa que la inductancia de un tramo de solenoide es proporcional al volumen encerrado por el
arrollamiento en la porción de longitud “l” de solenoide.
La inductancia es también proporcional a n2 el cuadrado del número de vueltas por unidad de longitud de
solenoide.
Inductancia de un Toroide.
En el caso de un Toroide, el vector de inducción magnética depende de la posición radial del punto donde
se quiere evaluar el campo respecto al centro del toroide.
Como lo demostramos en su oportunidad (el análisis de las aplicaciones de la Ley de Ampère), el vector
de inducción tiene una magnitud igual a:
B=
µo i N
2π r
donde N es el número total de vueltas del Toroide, “i” la corriente que circula por el mismo, “r” la
distancia radial del punto dentro del Toroide desde el centro del dispositivo.
Ese campo es tangencial a los círculos trazados desde el centro del toroide, por lo tanto perpendicular al
área “A” encerrada por cada espira del toroide, en consecuencia, al evaluar el flujo de campo magnético
tenemos:
r r
µo N i
µ o N i h r =b dr
(h dr ) =
Φ B = ∫ B ⋅ d S = ∫ B dS = ∫
2
π
2 π r ∫= a r
r
A
A
A
porque sobre el área “dS = h dr”, el campo magnético tiene el valor
B=
µo i N
2π r
considerado constante sobre toda esa superficie diferencial.
Al evaluar la última integral se encuentra que el flujo de campo magnético es dado por:
ΦB =
µo i N h ⎛ b ⎞
ln⎜ ⎟
2π
⎝a⎠
Como el toroide tiene N vueltas en total, los encadenamientos de flujo son dados por:
µo i N 2 h ⎛ b ⎞
ln⎜ ⎟
N ΦB =
2π
⎝a⎠
a partir de esta última ecuación, aplicando la Ley de Lenz, se tiene:
E= −
µ N 2 h ⎛ b ⎞⎡d i⎤
d ( NΦ B )
ln⎜ ⎟ ⎢ ⎥
=− o
2π
dt
⎝ a ⎠ ⎣d t ⎦
como la inductancia se expresa en términos de la fuerza electromotriz inducida por medio de:
L=−
E
di
dt
nos encontramos que
⎤
⎡
⎥
⎢
2
⎢ E ⎥ = − µ o N h ln⎛⎜ b ⎞⎟ = L
⎢⎡d i⎤⎥
2π
⎝a⎠
⎢⎢ ⎥⎥
⎢⎣ ⎣ d t ⎦ ⎥⎦
En consecuencia podemos concluir que la inductancia de un toroide se expresa en términos de la
geometría del mismo, es decir de los elementos fundamentales de construcción de ese dispositivo:
1.
Número de vueltas totales arrolladas.
2.
Las dimensiones de su sección transversal:
•
Dimensiones de su lado horizontal (b-a).
•
Dimensiones de su lado vertical (h).