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Temas a desarrollar
Experimento aleatorio, espacio muestral y resultado.
Eventos (simples y compuestos). Breve teoría de
conjuntos. Definiciones de probabilidad. Propiedades.
Probabilidad condicional. Eventos dependientes e
independientes. Teorema de Bayes.
Variable aleatoria. Caso discreto y continuo. Función
de densidad y de distribución poblacional. Esperanza
y varianza. Propiedades. Distribuciones Binomial,
Poisson, Normal y Student. Distribución normal
estándar. Aplicaciones.
Material Preparado por Hugo Delfino
Origen de la Teoría de Probabilidades
La teoría de probabilidades comienza a desarrollarse en el siglo XVII en
Francia con dos notables matemáticos, Blaise Pascal y Pierre de Fermat, por
la correspondencia entre ellos sobre un requerimiento de un noble Frances y
jugador Chevalier de Méré.
Se dice que de Méré habia apostado en el lanzamiento de cuatro dados al
menos un 6 aparecerá. El había ganado consistentemente, pero para atraer
a mas gente a jugar, cambió el juego a: en 24 lanzamientos de dos dados, un
par de 6 aparecerá.
Según se cuenta de Méré perdía con 24 lanzamientos y creía que 25
lanzamientos necesarios para hacer el juego favorable a él.
Problemas como estos Pascal y Fermat resolvieron e influyeron con ello a
investigadores como Huygens, Bernoulli, and DeMoivre para establecer la
teoría de probabilidades.
Hoy en día la teoría de probabilidades esta muy desarrollada y es la base de
muchas de las aplicaciones utilizadas para la toma de decisiones
Material Preparado por Hugo Delfino
Uso de la teoría de Probabilidades
El uso de la teoría de probabilidades ayuda para comprender la variabilidad y
de esta forma hace que las organizaciones puedan resolver problemas con
mayor eficiencia y eficacia.
La variabilidad puede observarse en el comportamiento y en le resultado de
muchas actividades, incluso bajo aparentes condiciones de estabilidad.
La variabilidad puede observarse en las características medibles de muchos
procesos.
La teoría de probabilidades es muy útil para resolver problemas de análisis
cuantitativo como ser:
Análisis de decisiones, modelos de regresión, de pronósticos, de
administración de proyectos y de teoría de colas.
Modelación y simulación. Control estadístico de la calidad. Teoría de juegos
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Definiciones
• Probabilidad: Es un valor comprendido entre 0 y 1, incluidos
estos dos valores, que describe la posibilidad de ocurrencia
de un evento.
• Experimento: Cualquier proceso que produce un resultado.
· Determinístico: Ante la repetición del mismo se obtiene
siempre el mismo resultado.
· Aleatorio: Repitiendo el experimento en idénticas
condiciones se obtienen distintos resultados.
• Punto muestral ó Resultado: Es un resultado particular de
un experimento.
• Evento: Es una colección de uno o mas resultados de un
experimento.
Material Preparado por Hugo Delfino
Definiciones
evento o suceso aleatorio
• Evento o Suceso Aleatorio: Es una colección
de uno o mas resultados de un experimento.
· E1=Sacar un 5 al tirar un dado
· E2=Sacar un número par al tirar un dado.
· E3=Sacar un número menor que 7 al tirar
un dado=EVENTO CIERTO
· E4=Sacar un número mayor que 6 al tirar un
dado=EVENTO IMPOSIBLE
Material Preparado por Hugo Delfino
Definiciones
sucesos compuestos
• Sucesos mutuamente excluyentes:
· Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes
cuando la ocurrencia de uno de ellos impide la
ocurrencia del otro.
· P(A B)=P(AyB)=P(AB)=0
• Sucesos colectivamente exhaustivos
· Dos sucesos A y B son colectivamente exhaustivos
cuando al menos uno de ellos deba ocurrir siempre
que se realiza el experimento.
· Dicho en otras palabras, deberá cumplirse que la suma
de las probabilidades de todos los sucesos deberá ser
igual a 1.
Material Preparado por Hugo Delfino
4-3
Definiciones
espacio muestral
• Espacio muestral: Es el conjunto de todos los posibles
resultados de un experimento.
• Suele representarse con la letra S. Puede visualizarse a través de
· Listas
– Conjunto de posibles resultados al tirar un dado={1;2;3;4;5;6}
· Diagramas de árbol
– Conjunto de posibles resultados al tirar dos monedas
C
C
S
C
S
S
Material Preparado por Hugo Delfino
4-3
Definiciones
espacio muestral
· Tablas rejilla
– Conjunto de posibles resultados al tirar un dado rojo
y uno azul
11
12
13
14
15
16
21
22
23
24
25
26
31
32
33
34
35
36
41
42
43
44
45
46
51
52
53
54
55
56
61
62
63
64
65
66
Material Preparado por Hugo Delfino
4-3
Definiciones
espacio muestral
· Conjuntos ( Diagramas de Venn)
– Se pretende representar a las mujeres, a los
universitarios pero es necesario tener en cuenta que
existen mujeres universitarias.
A
mujeres
B
universitarios
Mujeres universitarias
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Definiciones
espacio muestral
· Tablas de doble entrada
–Cuando se tienen dos o mas variables con
dos o mas categorías cada una, por ejemplo
sexo( hombres y mujeres), nivel
socioeconómico (Bajo, Alto).
M
H
Bajo
Alto
40
60
100
25
30
55
65
90
155
Recordemos cuales son los totales marginales y el gran total.
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4-4
Definiciones de probabilidad
TIPOS DE PROBABILIDAD
PROBABILIDAD
OBJETIVA
PROBABILIDAD
CLASICA
PROBABILIDAD
EMPIRICA
DEFINICION
CLASICA
DEFINICION
FRECUENCIAL
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PROBABILIDAD
SUBJETIVA
DEFINICION
SUBJETIVA
Definición clasica
• Se basa en que todos los resultados son
· igualmente probables o equiprobables.
· Mutuamente excluyentes
· Colectivamente exhaustivos
Número de resultados favorables
Probabilidad de un evento =
Número de resultados posibles
Ejemplo: Sea el experimento de tirar dos monedas a la vez
•El espacio muestral será S = {CC, CS, SC, SS}
•Consideremos el evento de que salga una sola cara.
•Probabilidad de una sola cara = {CS, SC}/{CC, CS, SC, SS}=
= 2/4 = ½ = 0,5.
Material Preparado por Hugo Delfino
Ejemplos de ensayos realizados
El naturalista francés Buffon lanzó una moneda
4.040 veces. Resultando 2.048 caras, una razón de
2.048/4.040 = 0,5069
El matemático inglés John Kerrich, mientras fue
prisionero de los alemanes durante la Segunda Guerra
Mundial, lanzó una moneda 10.000 veces. Resultando
5.067 caras, una razón de 0,5067
Alrededor de 1900, el estadístico inglés Karl
Pearson en un acto sin precedentes lanzó una
moneda 24.000 veces. Resultando 12.012 caras,
una razón de 0,5005
Material Preparado por Hugo Delfino
Ley de los grandes números
• Si realizamos un experimento de lanzar una moneda un cierto
número de veces y calculamos la frecuencia relativa de la
aparición de cara.
• Podremos observar que la frecuencia relativa del suceso cara
tiende a estabilizarse en 0,5.
• A esto lo llamaremos probabilidad de un suceso.
Material Preparado por Hugo Delfino
Definición frecuencial
• Cuando los resultados no son equiprobables la probabilidad de
ocurrencia de un evento se determina por observación del número
de veces que eventos similares ocurrieron en el pasado.
(frecuencia relativa)
Número de veces que el evento ocurrió en el pasado
Probabilidad de un evento =
Número de observaciones
Ejemplo: Sea el experimento de estudiar una droga que cura
cierta enfermedad en vacunos enfermos. Se aplicó a 1000
vacunos y se curaron 700.
•El espacio muestral será S = {curado; no curado}
•Consideremos el evento de que el vacuno se cure.
•Probabilidad de curado = 700/1000=0,7
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Ejemplo
• Se quiere estudiar la demanda de camisas en una gran tienda
departamental, para ver los talles que se demandan, para ello se
utilizaron los registros de las ventas diarias del último año y se
obtuvo la siguiente tabla
Talle
38
39
40
41
42
43
44
TOTAL
Número de camisas
vendidas
231
343
520
685
897
540
333
3549
Frecuencia
Relativa
0,065
0,097
0,147
0,193
0,253
0,152
0,094
1
• ¿Cuál es la probabilidad de vender en un año una camisa de talle
42?
• ¿Cuál es la probabilidad de vender en un año una camisa de talle
41?
Material Preparado por Hugo Delfino
Definición subjetiva
• Cuando no se tienen datos para ningún tipo de cálculo,
ni posibilidad de efectuar repetidamente el experimento,
se recurre a un experto, quien de acuerdo a su buen
saber y entender estimará la probabilidad.
Ejemplos:
•Calcular la probabilidad de que un tenista gane un campeonato
•Calcular la probabilidad de que un club de futbol salga campeón
•Calcular la probabilidad de que el precio de las acciones de una
compañía se incremente en dos años.
Material Preparado por Hugo Delfino
Axiomas de probabilidades
• Independientemente de que definición de probabilidad
utilicemos, siempre se deberán cumplir los siguientes
tres axiomas.
Axiomas:
•Axioma 1: La probabilidad de un evento existe y es un número
mayor o igual a cero
0
P( A)
•Axioma 2: La probabilidad de todo el espacio muestral es 1.
P(S)=1
•Axioma 3: Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes
P(A B)=P(A)+P(B)
Material Preparado por Hugo Delfino
Consecuencias de los axiomas de
probabilidades
1. P( )=0
2. Si Ā = suceso complementario de A es decir
Ā = S – A, será P(Ā) = 1 – P(A)
3. Si A1 A2, entonces P(A1)
4.
A se cumple que P(A)
P(A2)
1
Material Preparado por Hugo Delfino
Regla general de la suma
• Si A y B son dos sucesos no mutuamente
excluyentes, luego la probabilidad de la unión entre
ambos está dada por la siguiente fórmula.
P(A
B) = P(A) + P(B) - P(A
B)
B
A
A and B
• Si A y B son dos sucesos mutuamente excluyentes,
se cumple:
P(A B) = P(A) + P(B)
Material Preparado por Hugo Delfino
Ejemplo
Un experimento genera
un espacio muestral que
contiene ocho sucesos
E1,...,E8 con p(Ei)=1/8,
i=1,...,8. Los sucesos A
y B se definen así:
A
E3
E4
E1
B
E5
E6
E7
E2
A= {E1,E4,E6}
B= {E3,E4,E5,E6,E7}
a) P(A)= 3/8
Encuentre:
(b) P(Ā)= 5/8
(a) P(A)
(c) P(A U B)= P(A) + P(B) – P(A B)
(b) P(Ā)
(c) P(A U B)
E8
P(A U B)= 3/8 + 5/8 – 2/8= 6/8= 0,75
resultado que es muy fácil verificar
visualmente en el diagrama.
Material Preparado por Hugo Delfino
Ejemplo
En una agencia bancaria hay dos sistemas de alarma A y B. El
sistema A funciona en 7 de cada 10 atracos, B funciona en 8 de
cada 10 y los dos a la vez lo hacen 6 de cada 10 atracos.
¿Cuál es la probabilidad de que en caso de atraco funcione al
menos una de estas alarmas?
Solución:
Se definen los sucesos
A:”El sistema A funciona”
B:”El sistema B funciona”
P( A ) 0,7
P( B ) 0,8 P( A B ) 0,6
P( A U B ) 0,7 0,8 0,6 0,9
Material Preparado por Hugo Delfino
Independencia
• Dos eventos A y B son independientes cuando se
cumple que la probabilidad conjunta es igual al
producto de las probabilidades marginales.
P(A
B) = P(A)*P(B)
PROBABILIDAD CONDICIONAL
• Probabilidad Condicional es la probabilidad de
ocurrencia de un evento en particular, dado que
otro evento ha ocurrido. La probabilidad
condicional del evento A dado que el evento B ha
ocurrido se escribe P(A|B).
Material Preparado por Hugo Delfino
Ejemplo de Independencia y Probabilidad
conjunta y condicional
Una empresa clasifica a sus clientes en función de dos variables, la calificación de
tamaño de cada uno según el monto operado en tres categorias (Gran, Mediano y
Pequeño) y los días promedio para cobrar una factura ( menos de 15 días, entre
15 y 30 días, más de 30 días).
• Si se toma un cliente al azar ¿Cuál es la probabilidad de que sea un cliente Grande y
pague sus facturas en menos de 15 días?
• Se desea saber si hay independencia entre el tamaño del cliente y los días promedio
para la cobranza.
• Si se toma un cliente al azar ¿Cuál es la probabilidad de que sabiendo que es un
cliente Grande el mismo pague sus facturas en menos de 15 días?
Frecuencias absolutas
menos de 15 días
entre 15 y 30 días
mas de 30 días
Total
Pequeña
152
116
87
355
Mediana
50
60
45
155
Material Preparado por Hugo Delfino
Grande
6
12
25
43
Total
208
188
157
553
Ejemplo de Independencia y Probabilidad
condicional
• Si se toma un cliente al azar ¿Cuál es la probabilidad de que sea un cliente Grande y
pague sus facturas en menos de 15 días?
Probabilidad Conjunta
menos de 15 días
entre 15 y 30 días
mas de 30 días
Total
Pequeña
0,275
0,210
0,157
0,642
Mediana
0,090
0,108
0,081
0,280
Grande
0,011
0,022
0,045
0,078
Total
0,376
0,340
0,284
1,000
• Se desea saber si hay independencia entre el tamaño del cliente y los días promedio
para la cobranza.
Producto de las marginales
menos de 15 días
entre 15 y 30 días
mas de 30 días
Total
Pequeña
0,241
0,218
0,182
0,642
Mediana
0,105
0,095
0,080
0,280
Grande
0,029
0,026
0,022
0,078
Total
0,376
0,340
0,284
1,000
• Si se toma un cliente al azar ¿Cuál es la probabilidad de que sabiendo que es un
cliente Grande el mismo pague sus facturas en menos de 15 días?
Material Preparado por Hugo Delfino
Regla general del producto
• Dados dos eventos A y B la probabilidad conjunta
de que ambos sucedan se calcula según la
siguiente fórmula:
P(A
B) = P(A)*P(B/A) = P(B
A) = P(B)*P(A/B)
• Si los eventos A y B son independientes la
probabilidad conjunta de que ambos sucedan
se calcula según la siguiente fórmula:
P(A
B) = P(B
A) = P(A)*P(B) = P(B)*P(A)
Material Preparado por Hugo Delfino
Ejemplo
Un experimento genera un
espacio muestral que
contiene ocho sucesos
E1,...,E8 con p(Ei)=1/8,
i=1,...,8. Los sucesos A y B
se definen así:
A= {E1,E4,E6}
B= {E3,E4,E5,E6,E7}
A
E5
E6
E7
E2
E8
(a) No, porque A B 0
(b) No, porque P(A)*P(B)
Resolver:
(a)
¿Son los sucesos A y B
mutuamente excluyentes?
¿Por qué?
(b) ¿Son
los sucesos A y B
independientes? ¿Por qué?
(C) P(A B)
(d)
P(A/B)
E3
E4
E1
B
3/8 * 5/8
P(A B)
2/8
(c) P(A B) = 2/8= 0,25
(d) P(A/B)= P(A B) / P(B)= (2/8) / (5/8)= 2/5
Esto puede verse en el diagrama, ya que saber que
B ocurrió, reduce nuestro espacio muestral a los
cinco elementos de B. Y de ellos, sólo dos
pertenecen a A.
Material Preparado por Hugo Delfino
Consideremos el siguiente ejemplo:
80 buenos
100 artículos
20 defectuosos
Se definen los sucesos:
A: El primer artículo esta defectuoso
B: El segundo artículo esta bueno
Calculemos la probabilidad de que ocurran los sucesos
Ay B. Primero considerando que el muestreo se realiza
con reposición y luego que se hace sin reposición.
Material Preparado por Hugo Delfino
Problemas a resolver
Dos candidatos a los consejos de administración A y B, compiten por el control de
una corporación. Las probabilidades de ganar de estos candidatos son 0,7 y 0,3,
respectivamente. Si gana A, la probabilidad de introducir un nuevo producto es 0,8;
si gana B, la correspondiente probabilidad es 0,4. Demuestre que, antes de las
elecciones, la probabilidad de que sea introducido un nuevo producto es 0,68.
Sugerencias: Recordar probabilidad condicional y probabilidad conjunta
Considerar todo el espacio muestral
B
P(N B)
A
P(N A)
N
Datos:
P(A)= 0,7
P(B)= 0,3
P(N/A)= 0,8
P(N/B)= 0,4
Solución:
P(N)= P(N A) + P(N B)
P(N)= P(N/A)*P(A) + P(N/B)*P(B)
P(N)= 0,8*0,7 + 0,4*0,3= 0,68
Material Preparado por Hugo Delfino
Problemas a resolver
El 34% de las luminarias públicas de una ciudad tienen más de 5 años. El 54% son de
la Marca A. De los de la variedad A, el 7% tiene más de 5 años. Si se elige una
luminaria al azar,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga más de 5 años y sea de la Marca A?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que teniendo menos de 5 años, sea de la Marca A?
Sugerencias: Recordar probabilidad condicional y probabilidad conjunta
Considerar tablas de contingencia
Datos:
>5
<5
A 0,0378 0,5022
Ā 0,3022 0,1578
0,34
P(>5)= 0,34
P(>5/A)= 0,07
0,66
0,54
0,46
1
P(A)= 0,54
Solución:
a) P(>5 A)= P(>5/A)*P(A)
0,07*0,54= 0,0378
b) P(A/<5)= P(A <5) / P(<5)
= 0,5022 / 0,66= 0,76
Material Preparado por Hugo Delfino
=
Material Preparado por Hugo Delfino
Material Preparado por Hugo Delfino
Material Preparado por Hugo Delfino
Material Preparado por Hugo Delfino
Problemas a resolver
El 70% del ganado es inyectado con una vacuna para combatir una
enfermedad grave. La probabilidad de recuperarse de la enfermedad es 1 en
20 si no ha habido tratamiento y de 1 en 5 si hubo tratamiento. Si un animal
infectada se recupera, ¿cuál es la probabilidad de que haya recibido la vacuna
preventiva?
Sugerencias: Recordar probabilidad condicional y probabilidad conjunta
Regla del producto.
Incógnita: P( I /R )
P (I / R )
P (I  R )
P (R )
Datos:
P( I )= 0,7
P( Ī )= 0,3
P( R / I )= 0,2
P( R / Ī )= 0,05
P (R  I )
P (R  I )
P (R / I ) * P (I )
P (R / I ) * P (I )
P (R  I )
0,2 * 0,7
0,2 * 0,7 0,05 * 0,3
P (R / I ) * P (I )
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0,9
Material Preparado por Hugo Delfino
Variable aleatoria
Dado un experimento aleatorio y su correspondiente espacio
muestral se denomina variable aleatoria a la función que
asigna a cada elemento del espacio muestral un número real.
X :S
R / X (s )
x
Ejemplo: Si se define la variable aleatoria X=número de caras obtenidas al
arrojar dos monedas
Rx
¿Quá valores puede tomar x?
S
SS
CC
SC
CS
0
2
1
X(SS)=0
X(CS)=X(SC)=1
X(CC)=2
Se denomina recorrido Rx al conjunto
de valores que puede tomar la variable.
Material Preparado por Hugo Delfino
Variable aleatoria discreta
Una variable aleatoria es discreta cuando toma un número
contable de valores.Entonces entre dos valores
consecutivos de una variable aleatoria discreta no hay
ningún número que pertenezca al recorrido de la variable
Rx={X1;X2;…,Xn,…} donde cada Xi es un valor de la v.a.
En general , estos valores no serán igualmente probables,
sino que cada X tendrá asignada una probabilidad.
Luego, para caracterizar una variable aleatoria discreta es
necesario conocer su recorrido y la probabilidad de cada
elemento del recorrido
Material Preparado por Hugo Delfino
Propiedades
1) P(Xi) 0
Xi
2)
P ( Xi ) 1
Xi Ri
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Esperanza de una variable aleatoria
discreta
La esperanza es un parámetro de la distribución. Es
una medida de tendencia central.
La esperanza E(x) no es un resultado que
esperararíamos cuando X se observa sólo una vez.
Pero si observáramos un gran número de
observaciones independientes de X el promedio de
esos resultados estará cerca de E(x).
E( X )
xi p( xi )
xi Rx
Material Preparado por Hugo Delfino
Propiedades de la esperanza
Sean X e Y variables aleatorias y c una constante
perteneciente a los reales:
1) E (c ) = c
2) E (X+c ) = E(X) + c
3) E (cX) = c E(X)
4) E (X+Y) = E(X) + E(Y)
5) E (X-Y) = E(X) - E(Y)
6) Si X e Y son independientes E (XY) = E(X) * E(Y)
Material Preparado por Hugo Delfino
Material Preparado por Hugo Delfino
Esperanza de una variable aleatoria
discreta
Ejemplo:
En una operación comercial se puede obtener una utilidad de $1000 o sufrir
una pérdida de $500. Si la probabilidad de una utilidad es de 0,6, demuestre
que la utilidad esperada en dicha operación es de $400.
Primero definimos la variable aleatoria
X= utilidad en operación comercial
E( X )
xi p( xi )
xi Rx
E(X)=1000*0,6+(-500)*0,4
E(X)=400$
• Si luego de una reingenieria del proceso comercial se mejora la utilidad en
$100, ¿Cuál será el valor esperado de la operación comercial? Hágalo por la
propiedades de la esperanza.
Material Preparado por Hugo Delfino
Variancia de una variable aleatoria
La variancia es un parámetro de la distribución. Es
una medida de dispersión de los valores de x
alrededor de E(X)
2
Var ( X )
E( X
)
n
Var ( X )
2
( xi
i 1
Material Preparado por Hugo Delfino
2
) pi
2
Propiedades de la variancia
Sean X e Y variables aleatorias y c una constante
perteneciente a los reales:
1) V (c ) = 0
2) V (X+c ) = V(X)
3) V (cX) = c2 V(X)
4) Si X e Y son independientes V (X+Y) = V(X) + V(Y)
5) Si X e Y son independientes V (X-Y) = V(X) + V(Y)
Material Preparado por Hugo Delfino
Material Preparado por Hugo Delfino
Variancia de una variable aleatoria
discreta
Ejemplo:
En una operación comercial se puede obtener una utilidad de $1000 o sufrir
una pérdida de $500. Si la probabilidad de una utilidad es de 0,6. ¿Cuál es la
variancia y cual el Desvio estándar?
Primero definimos la variable aleatoria
X= utilidad en operación comercial
n
2
( xi
i 1
2
) pi
2(X)=(1000-400) 2 *
0,6+(-500-400) 2 * 0,4
2(X)=540000$ 2
(X)=734,85$
• Si luego de una reingeniería del proceso comercial se mejora la utilidad en
$100, ¿Cuál será variancia y el desvío estándar de la operación comercial?
Hágalo por la propiedades de la Variancia
Material Preparado por Hugo Delfino
La Distribución Binomial
Llamaremos experimento dicotómico a un
experimento aleatorio cuyos resultados posibles
son sólo dos, o nos interesa considerarlos como
dos. Por ejemplo:
• Lanzar una moneda y observar si sale cara o cruz.
• Sacar una carta de una baraja y observar si es una figura
o no lo es.
• Lanzar dos dados y observar si el total de sus puntos es
un número par o impar.
• Una pieza es defectuosa o no lo es.
• Un cliente es bien atendido o no lo es.
• Una operación comercial es exitosa o no.
Material Preparado por Hugo Delfino
Binomial ( continuación)
• En este tipo de experiencias a uno de los dos resultados
posibles se le suele llamar "éxito" y a su contrario "fracaso".
• A la probabilidad del suceso llamado éxito se la suele
representar por p y a la de su contrario por q.
• Se verifica, claro está, que p+q=1 (¿Por qué?).
• En los ejemplos anteriores podríamos considerar:
· éxito ="cara", fracaso = "cruz" y, si la moneda no está
trucada, p = q = 1/2.
· éxito = "figura", fracaso = "no figura" y, en una baraja
española, p = 12/40 y q = 28/40.
· éxito = "suma par", fracaso = "suma impar" ¿Cuánto
valdrían p y q?.
Material Preparado por Hugo Delfino
Binomial ( continuación)
• Un experimento binomial consiste en repetir una
cierta cantidad de veces, y siempre en las
mismas condiciones, un experimento dicotómico.
• Llamaremos "tirada" a cada una de las veces que
repetimos el experimento dicotómico.
• Vamos a representar por B(n,p) a una binomial
con n tiradas y probabilidad de éxito igual a p.
Material Preparado por Hugo Delfino
Binomial ( continuación)
• Por ejemplo, son experimento binomiales:
· Lanzar una misma moneda repetidas veces y
observar el número de caras (éxitos)
obtenidas.
· Sacar, con reemplazamiento, varias cartas de
una misma baraja y observar el número de
figuras (éxitos) obtenidas.
· Lanzar un dado repetidas veces y observar la
cantidad de veces que obtenemos una en la
que el número total de puntos que aparece es
par.
Material Preparado por Hugo Delfino
Binomial ( continuación)
• Puede interesar conocer cual es la probabilidad que
de las n pruebas, salgan exactamente x0 casos
favorables a A; o bien calcular la probabilidad que los
casos A esten entre x1 y x2, ambos menores que n.
• Conceptualmente puede decirse que x es una
variable aleatoria discreta que toma valores entre 0
(puede no aparecer nunca el suceso) y n (puede
aparecer siempre). Es decir que el campo de
definición de la variable es: 0 x n.
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Binomial ( continuación)
• Bajo estas condiciones Bernoulli desarrolló la
distribución de probabilidad denominada Binomial,
cuya expresión matemática, P(x ), está dada por:
P(x)
C n,x . p x . q n
x
Donde: x es la variable aleatoria que varía entre 0 y n.
n y p son los datos o parámetros de la distribución
Binomial.
C n, x =
(Número combinatorio)
n!
x!*(n
x)!
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Binomial: Esperanza, Variancia y Desvio estándar
E( X )
xi p( xi ) n * p
xi Rx
n
2
( xi
) 2 pi
( xi
) 2 pi
n* p*q
i 1
n
n* p*q
i 1
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Ejemplo de Binomial
De los clientes de una compañía de celulares, un 20 % se encuentra con deudas pendientes. Si
se seleccionan al azar 4 clientes, calcular la probabilidad de que de los mismos tengan
deudas pendientes:
a) exactamente 2
b) Más de uno
Respuesta:
Análisis de las características del problema:
Se realizan 4 observaciones al azar (n = 4 es un dato)
Ante cada observación, los clientes pueden estar A = con deuda pendiente; = no tener deuda
pendiente. Es decir dos resultados posibles en cada prueba.
No se tienen elementos para decir que la probabilidad de que cada cliente observado varíe de
uno a otro, es decir: p = 0,2 probabilidad de que cada uno de los clientes tenga deuda. Será
entonces: q = 0,8 probabilidad de que el cliente no tenga deuda.
Las preguntas planteadas se refieren a la cantidad de clientes que estén con deuda (x =
variable).
Se dan exactamente las condiciones exigidas para utilizar la Distribución Binomial, y para
calcular la probabilidades pedidas, es posible aplicar su función.
a) P(x=2) = C4,2 .0,2 2 . 0,8 4-2 = 6 . 0,04 . 0,64 = 0,1536
b) P(x>1) = ∑ C4,x . 0,2 x . 0,8 4-x =
También se podría haber calculado como: 1 – P(x<2).
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Distribución de Poisson
Siméon Denis Poisson, (1781-1840), astronauta francés, alumno
de Laplace y Lagrange, en Recherchés sur la probabilité des
jugements...., un trabajo importante en probabilidad publicado en
el año 1837, la distribución de Poisson recién aparecía.
La distribución de Poisson describe la probabilidad como un
acontecimiento fortuito ocurrido en un tiempo o intervalo de
espacio bajo las condiciones que la probabilidad de un
acontecimiento ocurre es muy pequeña, pero el número de
intentos es muy grande, entonces el evento actual ocurre algunas
veces.
Esta distribución se emplea para describir sucesos discretos que
ocurren con poca frecuencia en el tiempo o en el espacio; por ello
a veces recibe el nombre de distribución de sucesos raros.
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Poisson, usos
• “La probabilidad de obtener “X “ éxitos en un
intervalo continuo”
• Se emplea para describir varios procesos:
 Distribución de las llamadas telefónicas que llagan a
un conmutador
 La demanda de servicios en un hospital por parte de
los pacientes
 Los arribos de los camiones y automóviles a la caseta
de cobro
 El número de accidentes en un cruce
 El número de defectos en una tela por m2
 El número de bacterias por cm2
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Distribución de Poisson
•
Variable aleatoria X: esta representa la cantidad de
veces que ocurre un suceso de interés en un
intervalo dado.
•
Ya que X es una cuenta, puede tomar teóricamente
cualquier valor entero entre 0 e infinito.
•
Sea λ (lambda, letra griega) una constante que
indica el número promedio de veces que acontece
un suceso en un intervalo.
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Distribución de Poisson
Si la probabilidad de que X tome el valor de x es
P( X
x)
x
e
x!
se dice que X tiene una distribución de Poisson con
parámetro λ.
e representa una constante con valor aproximado de
2.71828, este es la base de los logaritmos naturales
Material Preparado por Hugo Delfino
Distribución de Poisson
Sucesos fundamentales:
•
La probabilidad de que acontezca un suceso en un
intervalo es proporcional a la amplitud del intervalo.
•
En principio, teóricamente es posible que suceda
un número infinito de eventos en un intervalo dado.
No hay límite al número de ensayos.
•
Los sucesos ocurren independientemente tanto en
el mismo intervalo como entre intervalos
consecutivos.
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Distribución de Poisson
Usos, describir la cantidad de:
• ambulancias que se requieren en una ciudad en una noche
particular.
• clientes que llegan a un cajero automático en un horario
determinado.
• autos que llegan a una casilla de peaje en un horario
determinado..
• llamados a un call center en un horario determinado..
• partículas emitidas por una cantidad específica de material
radiactivo.
• colonias de bacterias que crecen en una caja de Petri.
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Distribución de Poisson
E( X )
xi p( xi )
xi Rx
n
2
2
( xi
) pi
i 1
n
( xi
) 2 pi
i 1
•
La propiedad de que la esperanza sea igual a la
varianza es una característica que identifica a la
distribución de Poisson.
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Ejemplo: Distribución de Poisson
Se desea determinar la cantidad de ambulancias requeridas una noche
en particular en una ciudad de 12000 habitantes. Para ello se cuenta con
un registro de los llamados ocurridos durante el último año.
Número de Frecuencia
llamados observada
0
25
1
63
2
99
3
86
4
40
5
29
6
13
7
10
365
· ¿Cuál es la probabilidad de que nadie en esta población llame a la
ambulancia en una noche en particular?
· ¿Cuál es la probabilidad de que al halla 4 o menos llamados en
esta población a la ambulancia en una noche en particular?
· ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 5 llamen en esta
población a la ambulancia en una noche en particular?
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Distribución de Poisson
También se puede conocer la probabilidad de
Poisson con la siguiente tabla.
λ
Cantidad de sucesos
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Distribución de Poisson
Para valores específicos de x y λ, la entrada en
la tabla representa
P( X
x)
x
e
x!
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Distribución de Poisson
Grafica de la
distribución de
probabilidad X, la
cantidad de
individuos de la
población
involucrados en un
accidente vehicular
cada año
El eje Y suma 1
Material Preparado por Hugo Delfino
Distribución de Poisson
La distribución de
Poisson se
encuentra
pronunciadamente
sesgada por
valores pequeños
de λ
Conforme λ
aumenta, la
distribución se
torna mas
simétrica.
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Distribución de Poisson como
aproximación de una binomial
Si n muy grande y p muy pequeño, es
conveniente utilizar la distribución de
Poisson, ya que se consigue una buena
aproximación.
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Aproximación de la distribución
binomial por una de Poisson
• Algunas veces, si se desea evitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales, sobre todo si n (ensayos) es muy grande y p o q
(éxito y fracaso) es muy pequeña, se puede usar a cambio la de Poisson, pero
debe cumplir con ciertas condiciones como :
n ≥ 30 y np ó nq < 5
• En los casos en que se satisfacen tales condiciones, podemos sustituir la media
de la distribución binomial en lugar de la media de la distribución de Poisson de
modo: λ =np
• Ejemplo: Se sabe que 1% de los artículos de un gran embarque de transistores
procedente de un proveedor son defectuosos. Si se selecciona aleatoriamente
una muestra de 30 transistores, la probabilidad de que dos o más de ellos sean
defectuosos.
• P (X ≥ 2 I n=30, p= 0.01) = P (X=2) + P (X=3) + …= 0.0328+0.0031+0.0002 = 0.0361
• Si λ =np=30(0.01) = 0.3, la aproximación de Poisson del anterior valor de probabilidad es
• P (X ≥ 2 I λ = 0.3) = P (X=2) + P (X=3) + …= 0.0333 + 0.0033 + 0.0002 = 0.0368
• Así la diferencia entre la aproximación de Poisson y el valor de probabilidad binomial real
es de sólo 0.0007
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Variable aleatoria continua
Una variable es continua en un intervalo cuando puede tomar cualquier
valor perteneciente al intervalo.
En general definiremos variables aleatorias continuas cuando las
experiencias consistan en medir peso, altura, longitud, tiempo,
temperatura, etc.
En este caso se define (en lugar de la función de distribución) una
función de densidad de probabilidad que tiene las siguientes
propiedades
1) f(x) 0 X R
2)
f ( x )dx
1
b
3)a
b
P (a
x
b)
f ( x )dx
a
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Variable aleatoria continua
Ejemplo:
• Tiempo de navegación de una página web.
Minutos
1a3
3a5
5a7
7a9
9 a 11
11 a 13
13 a 15
15 a 17
17 a 19
Frecuencia
11
43
89
180
253
178
92
40
10
•Calcular la media y el desvío estándar.
•Asumiendo que sigue una distribución normal con los parámetros
media y desvío calculados.Calcular que probabilidad hay de que
un nuevo internauta:
· navegue entre 8 y 12 minutos.
· navegue más de 7,5 minutos.
·Navegue menos de 4,8 minutos.
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Esperanza de una variable aleatoria
continua
La esperanza es un parámetro de la distribución. Es
una medida de tendencia central.
La esperanza E(x) no es un resultado que
esperararíamos cuando X se observa sólo una vez.
Pero si observáramos un gran número de
observaciones independientes de X el promedio de
esos resultados estará cerca de E(x).
E( X )
x.f ( x )dx
Si X es continua
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La Distribución Normal
A lo largo de la historia, matemáticos como De Moivre,
Gauss o Galton se sorprendieron por la frecuencia con la
que aparece la llamada curva Normal o de Gauss en
estudios estadísticos tan aparentemente distintos como
la distribución de alturas de un grupo de personas, la
resistencia de un tipo determinado de piezas, el número
total de caras que obtenemos al lanzar reiteradamente
una moneda, y muchos otros.
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Ejemplo de Normal
En una granja modelo de la Provincia de Entre Ríos, en un momento
determinado de su desarrollo, los cerdos que producen tienen en cuanto a
su peso, una distribución Normal con un promedio de 75 kg. y un desvío
estándar de 6 kg.
Es decir:
x ~ N (75 , 6)
La variable Normal Estándar será: z = (x - ) /
Donde:
= (x - 75) / 6
z ~ N (0 , 1)
Con esa información calcular:
P( - k < x <
)/ < k)
+k
) = P(- k
<x-
< k
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) = P(- k < (x -
Ejemplo de Normal
Para k = 1
P(|z| < 1) = P(-1 < z < 1) = F(1) - F(-1) = 0.84134 - 0.15866 = 0,68268
El 68 % de los cerdos tendrán pesos comprendidos entre un desvío
estándar en más y en menos de la media (es decir entre 69 y 81 kg.) (
)
Para k = 2
P(|z| < 2) = P(-2 < z < 2) = F(2) - F(-2) = 0.97725 - 0.02275 = 0,9545
El 95 % de los cerdos tendrán pesos comprendidos entre dos desvíos
estándar en más y en menos de la media (es decir entre 63 y 87 kg.) (
2. ).
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Ejemplo de Normal
Para k = 3
P(|z| < 3) = P(-3 < z < 3) = F(3) - F(-3) = 0.99865 - 0.00135 = 0,9973
Casi el 100% (99.73%) de los cerdos tendrán pesos entre tres desvíos
estándar en más y en menos de la media (es decir 57 y 93 kg.) (
3. )
Calcular el % de cerdos que tendrán pesos superiores a 72 kg.
P(x > 72) = P (z > (x – 75)/6 = -0.50) = 1 - F(-0.50) = 1 - 0.30854 =
0,69146
El 69 % de los cerdos tendrán pesos superiores a 72 kg.
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Ejemplo de Normal
¿ Qué % de los cerdos tendrán pesos comprendidos entre 69 y
87 kg?
P (69 < x < 87) = P (-1 < z < 2) = F(2) – F(-1) =
= 0.97725 – 0.15866 = 0,81859
El 82 % de los cerdos tendrán pesos comprendidos entre 69 y
87 kg.
De 20 cerdos elegidos aleatoriamente, ¿ cuántos se esperan que
pesen más de 81 kg. ?
20 . P( x > 81 ) = 20 . P ( z > 1) = 20 . [1 - F(1)] =
= 20 . (1 – 0,84134) = 20 . 0,15866 = 3,1732 cerdos
Se espera que tres (o cuatro) cerdos tengan pesos superiores a
81 kg.
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Ejemplo de Normal
¿ Cuál es el peso que es superado por el 10 % de los cerdos ?: Con
las Tablas que se dispone para este Curso, se tienen algunos
valores:
P ( x > x0 ) =~ 0,10 Þ
P ( z > z0 ) =~ 0,10 Þ z0 = 1,28;
o bien
P ( z z0 ) =~ 1 - 0,10 ÞF (z0 ) =~ 0,90 no disponible en las
Tablas.
Si z = (x - )/
Þ
x = z . + ; y para x0 será:
x0 = 1,28 . 6 + 75 = 82,68 kg.
El peso de los cerdos que es superado por el 10 % de ellos es
82,68 kg.
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Ejemplo de Normal
Determinar el valor de peso que supera al 5 % de los
cerdos:
P ( x < x0 ) = P ( z < z0 ) = 0,05; de donde surge que z0 es
un valor negativo y simétrico a: P ( z > z0´) = 0,05; Þ z0´=
1,645 y será:
z0 = - 1,645 Þ x0 = - 1,645 . 6 + 75 = 65,03 kg.
El peso superado por el 5 % de los cerdos e 65 kg.
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