Download GUSTAVO A. DUFFOUR ˆ ˆ A cuerda A = 2R sen 2 Los problemas

Los problemas más comunes de triángulos
son aquellos en que, a partir de algunos
datos, se quiere hallar las restantes medidas
de lados y ángulos. Estos problemas tienen el
inconveniente de que la relación entre esos
elementos no es algebraica.
Al introducir las funciones trigonométricas,
la relación entre lado y seno o coseno de un
ángulo se hace algebraica. Esta es en esencia la
idea de Hipparchus que, de tan simple, pocos
se dan cuenta de su genialidad. Hipparchus
introduce una sola función, la función cuerda,
que es muy parecida a la actual función seno.
( )
ˆ⎞
ˆ = 2R sen ⎛ A
cuerda A
⎜2⎟
⎝ ⎠
Hipparchus of Rhodes
(Grecia, 190 aC.–120 aC.)
Este artificio de cálculo tiene un precio, la
necesidad de construir tablas de funciones
trigonométricas.
La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas
en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados,
minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a
haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II aC., el astrónomo Hipparchus
construyó una tabla trigonométrica para resolver triángulos.
Las primeras tablas construidas por Hipparchus no han sobrevivido al paso del
tiempo, pero dieron una solución general para los problemas trigonométricos. Una
conclusión de esto es que, antes de Hipparchus, las tablas astronómicas basadas en
los métodos geométricos griegos no existían. Esto convierte a Hipparchus, no sólo en
el fundador de la trigonometría, sino en el que transformó la astronomía griega, de una
pura teoría, en una ciencia práctica y predecible.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la
navegación, la geodesia y la astronomía, en que el principal problema era determinar
una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia
que no podía ser medida de forma directa. Actualmente, otras aplicaciones de la
trigonometría se pueden encontrar en física, química y en casi todas las ramas de la
ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo
de corriente alterna.
El significado y notación actual para el seno de un ángulo aparece en el trabajo
de un hindú, Aryabhata. En el 500 dC. dio las primeras tablas para el seno. Estas tablas
fueron reproducidas por Brahmagupta en el 628, y detallados métodos para
construirlas fueron dados por Bhaskara en 1150.
El término trigonometría aparece por primera vez en el título de un libro
publicado en 1595 por B. Pitiscus, en Heidelber, Alemania. Edmund Gunter fue el
primero en usar la abreviación sen en 1624, en un dibujo. El primer uso en un libro fue
en 1634 por el matemático francés Hérgone.
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GUSTAVO A. DUFFOUR
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FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
1 – MEDIDA DE UN ÁNGULO
1.1. DEFINICIÓN
El ángulo α se mide por la longitud del arco
p
AP , con una unidad apropiada para medir
ángulos.
P
α
A
Según cual sea la unidad de longitud
usada, se tendrán diferentes sistemas para medir
ángulos.
1.2. SISTEMAS DE MEDIDAS
En trigonometría suelen emplearse dos
unidades distintas para medir ángulos, que
originan dos sistemas de medidas: el
sexagesimal y el circular.
Sistema sexagesimal
Unidad: grado
Se toma como unidad el grado
sexagesimal, o simplemente grado, que se
define como:
Una de las 360 partes en que se divide la
circunferencia.
Por lo tanto, se tiene que:
Una circunferencia equivale a 360º
Recordemos que, mientras que
el símbolo ° se utiliza para indicar
grados, no se utiliza ningún
símbolo para indicar la medida en
radianes.
La división de una circunferencia
en 360 grados es muy arbitraria,
debida a los antiguos babilonios, a
quienes les agradaban los múltiplos
de 60.
La medida de un ángulo en
grados es ampliamente usada en
ingeniería y en las ciencias físicas,
principalmente
en
astronomía,
navegación y topografía.
El método más corriente para
localizar una estrella en el cielo, o
un punto en la superficie de la
Tierra, es utilizar su distancia
angular en grados, minutos y
segundos a ciertos puntos o
líneas de referencia fijadas.
La posición de un objeto en la
superficie de la Tierra se mide en
grados de latitud norte o sur del
ecuador y grados de longitud este
u oeste del meridiano principal,
que normalmente es el meridiano
que pasa por Greenwich, en
Inglaterra.
La división en 2π partes es
fundamental. Los radianes se
usan casi exclusivamente en
estudios teóricos, como en el
cálculo, debido a la mayor
simplicidad de ciertos resultados,
de las funciones trigonométricas,
en especial para las derivadas y la
expresión de series infinitas.
El grado se divide a su vez en 60 minutos
y el minuto en 60 segundos.
MATEMÁTICA DE QUINTO
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Sistema circular
R
Unidad: radián
En este sistema se toma como unidad de
medida el radián, que se define como:
El ángulo cuyo arco es igual al radio de la
circunferencia a la cual pertenece.
R
Relación entre el sistema sexagesimal y el circular
Dado que en una circunferencia de perímetro 2πR hay 360º, se tendrá:
Si R
Toda la circunferencia ? 2πR
→ 1 radián
→ x radianes
x =
1 * 2πR
= 2π radianes
R
Fórmulas de conversión:
Medida en grados
360º 180º 90º 60º 45º 30º
π
π
π
π
Medida en radianes 2π
π
2
3
4
6
180 × radianes
π
π × grados
radianes =
180
grados =
USANDO LA CALCULADORA
Al hacer cálculos con la calculadora, se debe controlar en qué modo
se encuentra.
Modo
Modo
D o DEG para trabajar en grados.
R o RAD para trabajar en radianes.
El modo G o GRA no significa grados, significa GRADIANES.
Se supone que el lector tiene algún conocimiento de las tres relaciones
trigonométricas básicas: seno, coseno y tangente. Estas relaciones se
estudian en los cursos de trigonometría de años anteriores, al resolver
problemas diversos que relacionan los lados y los ángulos de un triángulo
(véase el capítulo 9 en Matemática de Cuarto, del mismo autor).
Las relaciones trigonométricas son muy importantes, no solo por su
relación con los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo, sino por las
propiedades que poseen como funciones trigonométricas definidas en los
números reales (véase la página 318).
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GUSTAVO A. DUFFOUR
2 – DEFINICIONES PREVIAS
Para el triángulo rectángulo se han dado en cursos anteriores las siguientes
definiciones.
d(M,P)
Es la distancia del punto M al punto P.
La longitud del segmento [MP].
P
SENO de α
es el cociente entre la longitud del
cateto opuesto d(M,P) y la
longitud de la hipotenusa d(O,P).
COSENO de α es el cociente entre la longitud del
cateto adyacente d(O,M) y la
longitud de la hipotenusa d(O,P).
α
TANGENTE de α es el cociente entre la longitud
del cateto opuesto d(M,P) y la
longitud del cateto adyacente
d(O,M).
M
O
sen α =
d(M,P)
d(O,P)
cos α =
d(O,M)
d(O,P)
tg α =
d(M,P)
sen α
=
d(O,M)
cos α
3 – CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
Una circunferencia de radio unidad (R = 1),
cuyo centro coincide con el origen de coordenadas,
se llama circunferencia trigonométrica; y el círculo
que determina, círculo trigonométrico.
y
B
II
A’
P
I
α
o
III
A
x
IV
B’
Al punto A se lo toma como origen de
medida de los ángulos y el punto P, de posición
variable sobre la circunferencia trigonométrica, se
p.
llama extremo del arco AP
La circunferencia se considera orientada
positivamente en el sentido contrario al
movimiento de las agujas de un reloj, o sea,
ABA'B'. Los diámetros principales (horizontal y
vertical) dividen al círculo trigonométrico en
cuatro cuadrantes, numerados en la figura.
Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su
posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte
positiva del eje x.
MATEMÁTICA DE QUINTO
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