Download GUSTAVO A. DUFFOUR ˆ ˆ A cuerda A = 2R sen 2 Los problemas
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Los problemas más comunes de triángulos son aquellos en que, a partir de algunos datos, se quiere hallar las restantes medidas de lados y ángulos. Estos problemas tienen el inconveniente de que la relación entre esos elementos no es algebraica. Al introducir las funciones trigonométricas, la relación entre lado y seno o coseno de un ángulo se hace algebraica. Esta es en esencia la idea de Hipparchus que, de tan simple, pocos se dan cuenta de su genialidad. Hipparchus introduce una sola función, la función cuerda, que es muy parecida a la actual función seno. ( ) ˆ⎞ ˆ = 2R sen ⎛ A cuerda A ⎜2⎟ ⎝ ⎠ Hipparchus of Rhodes (Grecia, 190 aC.–120 aC.) Este artificio de cálculo tiene un precio, la necesidad de construir tablas de funciones trigonométricas. La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II aC., el astrónomo Hipparchus construyó una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Las primeras tablas construidas por Hipparchus no han sobrevivido al paso del tiempo, pero dieron una solución general para los problemas trigonométricos. Una conclusión de esto es que, antes de Hipparchus, las tablas astronómicas basadas en los métodos geométricos griegos no existían. Esto convierte a Hipparchus, no sólo en el fundador de la trigonometría, sino en el que transformó la astronomía griega, de una pura teoría, en una ciencia práctica y predecible. Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Actualmente, otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna. El significado y notación actual para el seno de un ángulo aparece en el trabajo de un hindú, Aryabhata. En el 500 dC. dio las primeras tablas para el seno. Estas tablas fueron reproducidas por Brahmagupta en el 628, y detallados métodos para construirlas fueron dados por Bhaskara en 1150. El término trigonometría aparece por primera vez en el título de un libro publicado en 1595 por B. Pitiscus, en Heidelber, Alemania. Edmund Gunter fue el primero en usar la abreviación sen en 1624, en un dibujo. El primer uso en un libro fue en 1634 por el matemático francés Hérgone. 314 GUSTAVO A. DUFFOUR 14 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1 – MEDIDA DE UN ÁNGULO 1.1. DEFINICIÓN El ángulo α se mide por la longitud del arco p AP , con una unidad apropiada para medir ángulos. P α A Según cual sea la unidad de longitud usada, se tendrán diferentes sistemas para medir ángulos. 1.2. SISTEMAS DE MEDIDAS En trigonometría suelen emplearse dos unidades distintas para medir ángulos, que originan dos sistemas de medidas: el sexagesimal y el circular. Sistema sexagesimal Unidad: grado Se toma como unidad el grado sexagesimal, o simplemente grado, que se define como: Una de las 360 partes en que se divide la circunferencia. Por lo tanto, se tiene que: Una circunferencia equivale a 360º Recordemos que, mientras que el símbolo ° se utiliza para indicar grados, no se utiliza ningún símbolo para indicar la medida en radianes. La división de una circunferencia en 360 grados es muy arbitraria, debida a los antiguos babilonios, a quienes les agradaban los múltiplos de 60. La medida de un ángulo en grados es ampliamente usada en ingeniería y en las ciencias físicas, principalmente en astronomía, navegación y topografía. El método más corriente para localizar una estrella en el cielo, o un punto en la superficie de la Tierra, es utilizar su distancia angular en grados, minutos y segundos a ciertos puntos o líneas de referencia fijadas. La posición de un objeto en la superficie de la Tierra se mide en grados de latitud norte o sur del ecuador y grados de longitud este u oeste del meridiano principal, que normalmente es el meridiano que pasa por Greenwich, en Inglaterra. La división en 2π partes es fundamental. Los radianes se usan casi exclusivamente en estudios teóricos, como en el cálculo, debido a la mayor simplicidad de ciertos resultados, de las funciones trigonométricas, en especial para las derivadas y la expresión de series infinitas. El grado se divide a su vez en 60 minutos y el minuto en 60 segundos. MATEMÁTICA DE QUINTO 315 Sistema circular R Unidad: radián En este sistema se toma como unidad de medida el radián, que se define como: El ángulo cuyo arco es igual al radio de la circunferencia a la cual pertenece. R Relación entre el sistema sexagesimal y el circular Dado que en una circunferencia de perímetro 2πR hay 360º, se tendrá: Si R Toda la circunferencia ? 2πR → 1 radián → x radianes x = 1 * 2πR = 2π radianes R Fórmulas de conversión: Medida en grados 360º 180º 90º 60º 45º 30º π π π π Medida en radianes 2π π 2 3 4 6 180 × radianes π π × grados radianes = 180 grados = USANDO LA CALCULADORA Al hacer cálculos con la calculadora, se debe controlar en qué modo se encuentra. Modo Modo D o DEG para trabajar en grados. R o RAD para trabajar en radianes. El modo G o GRA no significa grados, significa GRADIANES. Se supone que el lector tiene algún conocimiento de las tres relaciones trigonométricas básicas: seno, coseno y tangente. Estas relaciones se estudian en los cursos de trigonometría de años anteriores, al resolver problemas diversos que relacionan los lados y los ángulos de un triángulo (véase el capítulo 9 en Matemática de Cuarto, del mismo autor). Las relaciones trigonométricas son muy importantes, no solo por su relación con los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo, sino por las propiedades que poseen como funciones trigonométricas definidas en los números reales (véase la página 318). 316 GUSTAVO A. DUFFOUR 2 – DEFINICIONES PREVIAS Para el triángulo rectángulo se han dado en cursos anteriores las siguientes definiciones. d(M,P) Es la distancia del punto M al punto P. La longitud del segmento [MP]. P SENO de α es el cociente entre la longitud del cateto opuesto d(M,P) y la longitud de la hipotenusa d(O,P). COSENO de α es el cociente entre la longitud del cateto adyacente d(O,M) y la longitud de la hipotenusa d(O,P). α TANGENTE de α es el cociente entre la longitud del cateto opuesto d(M,P) y la longitud del cateto adyacente d(O,M). M O sen α = d(M,P) d(O,P) cos α = d(O,M) d(O,P) tg α = d(M,P) sen α = d(O,M) cos α 3 – CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA Una circunferencia de radio unidad (R = 1), cuyo centro coincide con el origen de coordenadas, se llama circunferencia trigonométrica; y el círculo que determina, círculo trigonométrico. y B II A’ P I α o III A x IV B’ Al punto A se lo toma como origen de medida de los ángulos y el punto P, de posición variable sobre la circunferencia trigonométrica, se p. llama extremo del arco AP La circunferencia se considera orientada positivamente en el sentido contrario al movimiento de las agujas de un reloj, o sea, ABA'B'. Los diámetros principales (horizontal y vertical) dividen al círculo trigonométrico en cuatro cuadrantes, numerados en la figura. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x. MATEMÁTICA DE QUINTO 317