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Matemática
Matemática
enenverso
verso
del
delsiglo
sigloxiiXII
Bhaskara
BhaskaraAchãrya
Achãrya
b i b l i o t e c a
ESTÍMULOS MATEMÁTICOS
Versión
adaptada
y ampliada
Versión
adaptada
y ampliada
porpor
Ángel
Requena
y Jesús
Malia
Ángel
Requena
y Jesús
Malia
Título original: Lilavati of Bhaskaracarya, A Treatise of Mathematics of Vedic Tradition, de Patwardhan, K. S.; Naimpally, S. A., y Singh, S. L. Motilal Barnasidass Publishers. Delhi, 2008.
Dirección del proyecto: Adolfo Sillóniz
Diseño: Dirección de Arte Corporativa de SM
Edición: Fernando Barbero
Corrección: Ricardo Ramírez
Ilustraciones: Juan Antonio Rocafort
© Autor: Bhaskara Achārya
Traducción y adaptación del inglés: Ángel Requena Fraile
Revisión literaria y adaptación de poemas: Jesús Malia
© Real Sociedad Matemática Española y Ediciones SM
Revisión científica: Fernando Barbero y María Moreno Warleta
Responsable de la Real Sociedad Matemática Española de la colección: María Moreno Warleta
Comisión de la Real Sociedad Matemática Española:
Bartolomé Barceló TabernerGuillermo Curbera Costello
Universidad Autónoma de Madrid
Universidad de Sevilla
Emilio Fernández Moral
Joaquín Hernández Gómez
IES Sagasta, LogroñoIES San Juan Bautista, Madrid
María Moreno WarletaJuan Núñez Valdés
IES Alameda de Osuna, MadridUniversidad de Sevilla
Victoria Otero Espinar Encarnación Reyes Iglesias
Universidad de SantiagoUniversidad de Valladolid
ISBN: 978-84-675-6189-0
Depósito legal: M-14222-2015
Impreso en España / Printed in Spain
Cualquier forma de reproducción, distribución,
comunicación pública o transformación de esta obra
solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares,
salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO
(Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org)
si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra.
Índice
Índice de estrofas destacables.....................................................7
Prólogo........................................................................................9
Introducción................................................................................11
Bhaskaracharya: su vida y obra....................................................15
Capítulo 1. Plegaria......................................................................20
Capítulo 2. Unidades de medida...................................................22
Capítulo 3. Sistema decimal de numeración..................................30
Capítulo 4. Suma y resta..............................................................32
Capítulo 5. Multiplicación............................................................36
Capítulo 6. División......................................................................40
Capítulo 7. Elevar al cuadrado......................................................42
Capítulo 8. La raíz cuadrada.........................................................46
Capítulo 9. Elevar al cubo.............................................................52
Capítulo 10. La raíz cúbica...........................................................56
Capítulo 11. Las fracciones...........................................................60
Capítulo 12. Suma y resta de fracciones........................................66
Capítulo 13. Multiplicación de fracciones......................................68
Capítulo 14. División de fracciones...............................................70
Capítulo 15. Cuadrados, cubos y raíces de fracciones....................72
Capítulo 16. Ocho reglas para el cero............................................74
Capítulo 17. El proceso inverso (empieza por el final)....................78
Capítulo 18. La determinación de lo desconocido por suposición...82
Capítulo 19. Procedimiento de transición......................................92
Capítulo 20. Regla cuadrática de transición..................................94
Capítulo 21. La ecuación de segundo grado...................................102
5
Capítulo 22. La regla de tres.........................................................108
Capítulo 23. La regla de tres inversa.............................................112
Capítulo 24. La regla de tres compuesta directa............................116
Capítulo 25. La regla del trueque (inversa)...................................122
Capítulo 26. Interés simple, repartos y mezclas............................124
Capítulo 27. Combinatoria............................................................148
Capítulo 28. Progresiones ...........................................................152
Capítulo 29. Medida (geometría plana).........................................168
Capítulo 30. Volumen...................................................................244
Capítulo 31. Corte de madera.......................................................252
Capítulo 32. Volúmenes de montones de grano.............................254
Capítulo 33. Sombras...................................................................258
Capítulo 34. Pulverización (ecuación diofántica)..........................268
Capítulo 35. Encadenamientos (permutaciones)............................284
Sobre los autores.........................................................................295
Bibliografía..................................................................................297
6
Índice de estrofas destacables
El avaro.......................................................................................... 62
Hierba fina...................................................................................... 70
El cero, Visnú y el infinito................................................................ 74
La manada de elefantes................................................................... 84
Un ramo de lotos............................................................................. 86
El juego de los enamorados............................................................. 86
Las abejas...................................................................................... 88
El peregrino generoso..................................................................... 88
El enamorado que regala esmeraldas.............................................. 90
Otro de abejas................................................................................ 90
Los cisnes del lago plácido.............................................................. 102
Los cisnes del lago de lotos............................................................. 104
La muerte de Karna......................................................................... 104
Un enjambre................................................................................... 106
Compra de azafrán.......................................................................... 108
Triste ejemplo: la esclava................................................................ 112
La modista hábil............................................................................. 118
Trueque de mangos por granadas.................................................... 122
Venta de aromáticos........................................................................ 132
Joyería............................................................................................ 136
Un bello palacio.............................................................................. 150
El caballero generoso...................................................................... 156
El rey que captura elefantes............................................................. 158
Otro generoso caballero.................................................................. 160
El bambú quebrado......................................................................... 182
7
El pavo real cazador........................................................................ 184
El loto del estanque......................................................................... 186
El loto del lago................................................................................ 186
Los monos sedientos....................................................................... 190
Las armas de Shiva......................................................................... 286
Inmenso océano.............................................................................. 290
8
Prólogo
Adaptar una obra de la calidad y dificultad de Lilavati es una tarea que, reconozco, me ha
supuesto un gran gozo y me despierta aún grandes temores. ¡Ay, qué será de este verso que
aquí dejo plasmado! ¿Qué pensará usted? Y más importante, con perdón, ¿habré hecho un
meritorio servicio a Bhaskaracharya o le supondré un impedimento a su justa valoración?
No entro a juzgar la importancia para la cultura matemática de la obra original, que en esta
materia soy, y me reconozco, poco competente. Pero sí, en primer lugar, ensalzo entusiastamente el aprecio y uso que Bhaskara II y todos los matemáticos hindúes entre los siglos
v y xii hicieron del verso para transmitir sus conocimientos y su creatividad. De hecho, este
extenso y muy valioso período se conoce como la época de la poesía.
Con esta puesta en verso de las matemáticas (y no solo las matemáticas) en India se incorpora, por primera vez, nuestra ciencia a la poesía didáctica, que ya ejercitaron en otras materias
en Grecia (no incluyo en este género los problemas aritméticos de la Antología palatina, pues
son matemáticas que no se explican, tan solo se plantean ejercicios en verso, sin ofrecer o
contener los teoremas necesarios para abordarlos, o las soluciones, en este mismo formato).
En segundo lugar, destacar la muy bella factura, la plasticidad, el gusto, el encanto, la sensibilidad, la sensualidad, el amor con los que Bhaskara II formula los ejercicios. Es en estos
donde podemos decir que reside la hermosura (¡como si no fuera bastante la de las proposiciones!) del libro.
Es aquí donde Bhaskaracharya hace actuar a los dioses en el verso (actuar, no solo los invoca) y a personajes de su tradición, donde nos colma de flores, nos seduce con escenas de
amantes, nos cubre de alhajas y piedras preciosas, pinta para nosotros espléndidas escenas
de naturaleza en que intervienen animales… Y siempre, siempre, la ternura hacia su hija
Lilavati. Aquí es donde obra el poeta, es decir, el matemático que concreta lo abstracto
trascendiendo a su entorno.
Lilavati. Matemática en verso del siglo xii
9
Dichas estas verdades, vienen mis justificaciones. Siendo como es una obra culta, no tenía
otra alternativa que optar por un verso de arte mayor. Y siendo como es una obra didáctica,
no tenía otra opción que hablar en romance. Así que elegí el octonario, el doble octosílabo.
Verso del cantar de gesta que más tarde retomaron románticos y modernistas. ¿Encaja
Bhaskara entre ellos? No sé, pero sea. Y más, ante la excepcionalidad de esta obra no se
puede optar por un verso corriente. Así que bienvenido seas, hexadecasílabo.
También comprobará que existen oportunidades en que a mi antojo he recurrido a la rima.
Lo pedía el verso y se lo pude dar. Y ojalá que en más casos y con más mérito.
Asimismo, en ocasiones me he tenido que ceñir al octosílabo, pues nunca he querido decir
más, ni con grandes perífrasis, que lo que Ángel Requena Fraile tradujo. Lo que no quita
para que en algún que otro punto me haya recreado gustosamente en el lenguaje (en los
problemas, claro, tan estéticos), o haya añadido versos con afán explicativo, tomando como
mandato primordial la intencionalidad didáctica del propio Bhaskara y no el libro del que
Ángel Requena Fraile traduce el texto.
Permítame, por último, que le diga cuál es la razón de que en mí haya recaído esta bendita
tarea. En 2012 publiqué con la editorial Amargord, dentro de la colección Pi de Poesía, que
entonces nació y que dirijo, Πoetas (primera antología de poesía con matemáticas), libro de
poesía con matemáticas (no confundir con poesía didáctica o matemática, o con matemáticas en verso).
En Πoetas, además de mostrar a diez sobresalientes poetas vivos que en su verso emplean,
gustan, necesitan, convocan las matemáticas, hago un somero recorrido histórico de las
diferentes relaciones que entre matemáticas y poesía se han dado en Grecia, Roma, India,
Persia, al-Ándalus, América precolombina… hasta hoy.
Al hacer este prólogo, encontré trabajos de Ángel Requena Fraile que me movieron a contactarle, y él tuvo la generosidad de ayudarme y ya ven cómo acaba ahora de involucrarme
en este trabajo suyo, que no dejaré de sentirme un invitado infinitamente agradecido. E
igual agradecimiento debo a María Moreno Warleta, responsable de esta colección de la
RSME para SM, que no ha escatimado nunca atención, esfuerzo ni ayuda.
Valga lo dicho, que el tiempo que me dedique es tiempo que resto a nuestro autor y a su
hija, nuestros protagonistas.
Jesús Malia
10
Lilavati. Matemática en verso del siglo xii
Introducción
Un libro de leyenda
Lilavati es un libro protagonizado por la belleza. Lilavati lleva la hermosura en su propio
nombre: mujer bella. Asimilando la belleza femenina a la propia de la matemática, Lilavati
genera una graciosa y calculada ambigüedad.
Lilavati se puede clasificar entre los manuales de divulgación que utilizan como forma el
diálogo: un padre se dirige con cariño y benevolencia a su hija para desentrañarle los secretos de la matemática. Fórmula similar a las epístolas que otros grandes, como Leibniz o
Euler, utilizaron cuando tuvieron a su cargo la formación científica de las jóvenes ilustradas.
Un libro así genera su propia leyenda tardía. En el siglo xvi, Fyci, un poeta de la corte, recibe el encargo del emperador mongol Akbar de verter Lilavati al persa. La licencia poética
está servida y su resultado será una historia deliciosa:
El horóscopo de la hija recién nacida del maestro Bhaskara predijo que la bella niña no llegaría
a disfrutar de las delicias de una boda. Cuando Lilavati creció en modestia, inteligencia y belleza se determinó su compromiso matrimonial.
En el día que estaba fijada la celebración, Lilavati, impaciente, jugaba con su vestido en el borde de
la clepsidra que iba a marcar tan esperado momento. A punto de vaciarse el estanque, una perla se
desprendió. El orificio quedo obstruido y la hora propicia nunca llegó. Lilavati nunca se casó.
El padre de la desafortunada niña, para su consuelo y felicidad, un libro escribió que Lilavati se llamó.
Dejad que el propio autor hable
Los manuales de historia de la ciencia no pueden evitar del todo mirar el pasado con los
ojos de hoy. La matemática, como actividad y como ciencia, por ser pionera y muy evolu-
Lilavati. Matemática en verso del siglo xii
11
cionada, está más expuesta que ninguna otra disciplina a traducir su pasado al lenguaje
formalizado actual.
Ninguna actividad nace perfecta y armada como la diosa Atenea. Entender el proceso de
creación del pensamiento matemático, sus dificultades y titubeos requiere ir a las fuentes,
a los autores, y escuchar sus propias palabras sin mediación.
El lenguaje de la matemática se ha ido construyendo hasta hacer de él una potente herramienta de pensamiento. Los primitivos solo balbuceaban esa lengua. La matemática india
encontró en la escritura poética de los Vedas una forma de expresión de gran fuerza. Aryabhata dio la forma adecuada a los números para que encajaran sin dificultad en el verso.
Otros antes le habían marcado la senda.
Contenido de Lilavati
En muchos lugares se presenta el Lilavati como un libro de aritmética porque sobre ella
tratan sus ejercicios más conocidos. Sin embargo, Lilavati es realmente un manual completo de matemática básica y media que abarca aritmética, álgebra, combinatoria, geometría
y trigonometría.
El libro carece tanto de demostraciones como de explicaciones, se limita a exponer cómo
se resuelven los ejercicios y a dar ejemplos de aplicación de los métodos expuestos; se
trata, por tanto, de un manual práctico de enseñanza. No tiene nada que ver con el modelo
euclídeo de postulados, definiciones, tesis y demostración. La matemática india no renuncia
a la prueba, al mismo Bhaskara debemos una bonita demostración del teorema de Pitágoras,
pero en el Lilavati no hay ninguna.
En algunos momentos el nivel es elevado, muestra de una capacidad de abstracción y virtuosismo muy notables. Véanse a modo de ejemplo los teoremas geométricos de Brahmagupta o el procedimiento de pulverización para resolver ecuaciones diofánticas.
Como ya mostramos en nuestra edición de Al-Qalasadí, hay un esquema de manual de matemáticas que ha servido para la enseñanza hasta finales del XIX, e incluso en el pasado
siglo, que incluye desde el algoritmo para la extracción de raíces cúbicas hasta el virtuosismo con la regla de tres. El modelo lo encontramos por primera vez en la India, siendo Lilavati un buen ejemplo.
La traducción
La distancia entre un poema matemático en sánscrito y la lengua española es tal que plantearse dar al verso trasladado el ritmo y la calidad del original podría haber sido empresa
vana, al menos lo era para nuestras fuerzas.
12
Lilavati. Matemática en verso del siglo xii
La traducción inglesa de la que hemos partido renuncia al verso para dejar el esqueleto
matemático. Creo que perder el recurso poético es un grave empobrecimiento del libro. Es
por ello que María Moreno Warleta tuvo el acierto de contar con un joven poeta y matemático, Jesús Malia, que transformó el verso chusco, pobre, sin gracia y caricaturesco por el
que habíamos optado en una verdadera recreación poética del texto. Juzgue el lector el
resultado y deléitese con el placer de tener en sus manos un Lilavati en verso.
Entre las doscientas setenta y nueve estrofas, algunas ediciones renuncian a las primeras,
donde se exponen las unidades de medida, por su aridez y escaso valor actual. Nosotros
hemos optado por conservarlas.
Los comentarios explicativos
Un libro de las características de Lilavati requiere de una explicación para cada estrofa, al
menos su traducción al lenguaje actual del álgebra. Las notas a pie de página resultan poco
apropiadas e insuficientes, y colocar gran fárrago debajo del texto quita protagonismo al
verdadero autor, Bhaskara, por ello optamos por colocar el texto del original en el lugar
preferente sin interrupciones, y en las páginas posteriores, los comentarios de ayuda.
El libro puede ser leído de forma seguida, tal como el autor lo redactó, dejando los comentarios como algo opcional.
La minuciosa y apasionada revisión de la profesora Moreno Warleta merece un lugar más
destacado en la redacción de los comentarios de lo que aparece.
Los ejercicios más poéticos
Parte de la fama de Lilavati se debe a las decenas de ejercicios donde el lirismo alcanza
cotas notables de encanto. Entendemos que muchos lectores buscarán con preferencia dichos
poemas, por lo que se han incluido encuadrados en el texto y se ha realizado un índice específico de los más destacados.
Ángel Requena Fraile, profesor de matemáticas
del Instituto Enrique Nieto de Melilla
Lilavati. Matemática en verso del siglo xii
13
Bhaskaracharya:
su vida y obra
Es difícil cruzarse con alguien en la India actual que no haya oído hablar alguna vez de
Bhaskaracharya o de Bhaskara II1 –el gran poeta y matemático. Su libro Siddanthasiromani,
especialmente la primera parte, el Lilavati (matemáticas para la pizarra o aritmética), es
conocido en todo el mundo. Debido al poético carácter del Lilavati y a los excelentes problemas que contiene, Bhaskaracharya se ha ganado el respeto de los eruditos a lo largo de
los últimos ocho siglos.
Weierstrass, el gran matemático alemán del siglo xix, dijo:
“Un matemático que no tenga algo de poeta no puede ser un matemático completo”.
Bhaskaracharya es un ejemplo sobresaliente de esta extraordinaria combinación de poeta
y matemático. Su libro demuestra sobradamente las cualidades de su mente y de su corazón.
Bhaskaracharya nació en el año 1114. Esto aparece claramente expresado en la cuarta parte del Siddanthasiromani, titulada Goladhyaya (astronomía). En la estrofa número 58, en el
capítulo sobre problemas, dice: “Nací en el Saka2 1036 (año 1114 de nuestra era) y escribí
Siddanthasiromani en el Saka 1072 (1150 d. C.), a la edad de 36 años”. Bhaskaracharya da
algo de información sobre el origen de su familia en el Goladhyaya. A partir de ella podemos
deducir que formaba parte del linaje de Sandilya y que residió en Vijjalavida.
Huelga decir que Bhaskaracharya tuvo que haber sido un estudiante excepcionalmente inteligente. Menciona a sus antepasados en su Álgebra y también en la cuestión 61 del Goladhyaya.
En ambos sitios nos hace saber que recibió su formación de su padre, Mahesvara, un gran astrólogo que nació en el año 1078 y que fue autor de dos libros: Karana-Grantha y Jataka-Tika-Grantha.
1
Bhaskara I fue un gran astrónomo del siglo vii.
2
Año del calendario hindú.
Lilavati. Matemática en verso del siglo xii
15
No es de extrañar que, habiendo estudiado con un profesor tan competente, Bhaskaracharya se convirtiera en un destacado experto en muchas ramas del saber y fundara una importante escuela. Desgraciadamente no hay información fiable sobre la localización de esta,
sus patrones o las personas que donaron dinero para su funcionamiento. Podemos concluir
por ello que Bhaskaracharya no estaba vinculado a ningún gobernante o protector.
A partir de inscripciones en planchas de cobre3, se conocen los nombres de los descendientes de este gran maestro que dieron continuidad a su obra a lo largo de nueve generaciones:
Trivikrama, Bhaskarabhatta, Govinda, Prabhakara, Manoratha, Mahesvara, Bhaskara, Laksmidhara y Cangadeva.
La obra de Bhaskaracharya
Bhaskaracharya escribió su Siddanthasiromani cuando tenía 36 años. Este libro consta de
cuatro partes: 1. Lilavati, 2. Álgebra, 3. Movimientos planetarios y 4. Astronomía. El Lilavati
trata fundamentalmente de aritmética, pero también contiene elementos de geometría,
trigonometría y álgebra. En aquel tiempo (como sucede incluso hoy día), la gente de toda
condición social estaba interesada en el futuro y, naturalmente, todo astrónomo tenía que
estudiar astrología. Para este fin era necesario conocer en profundidad los movimientos
planetarios y la astronomía. El Lilavati proporcionaba los fundamentos para el estudio de
estas materias.
Bhaskaracharya escribió el Lilavati mediante la selección de partes apropiadas del Trisatika
de Sridharacharya y el Ganitasarasamgraha de Mahaviracharya, además de añadir material
propio. Todos los prerrequisitos para estudiar su Astronomía se encuentran en el Lilavati.
Por ejemplo, para resolver problemas sobre los períodos de los movimientos planetarios,
Bhaskaracharya añadió métodos de resolución de lo que ahora conocemos como ecuaciones
diofánticas. El Lilavati ha sido utilizado como libro de texto en la India durante los últimos
800 años; uso que ha llegado hasta la actualidad.
El Álgebra de Bhaskaracharya es también un libro excelente sobre el que existen comentarios
escritos en varios idiomas. Uno bien conocido es el Navankura, escrito en 1612 por Krsnadaivajna, que era un astrólogo de la corte de Shahjahan. Strachi lo tradujo al inglés en 1813
y Khanapur Shastri lo hizo al marathi en 1897.
El estudio de los movimientos planetarios y de la astronomía eran difíciles en comparación
con las dos primeras partes. Ni los eruditos occidentales ni los orientales les han prestado
demasiada atención; no obstante, su lectura fue probablemente de provecho para los profesores y los estudiantes de astronomía matemática. En su libro sobre astronomía, Bhaska3
Las inscripciones en planchas de cobre (Copper Plate Inscriptions) son registros antiguos que nos dan gran información sobre la historia de la India ancestral (N. del T.).
16
Lilavati. Matemática en verso del siglo xii
racharya sostenía que la Tierra es estacionaria4. En su trabajo sobre los movimientos planetarios se ocupó del movimiento de la Luna, eclipses y otros temas relacionados.
Bhaskaracharya escribió otros varios libros además de los que hemos comentado: Karanakutuhala, Sarvatobhadrayantra, Vasisthatulya y Vivahapatala. Por desgracia no disponemos de
los manuscritos originales.
Bhaskaracharya, el sabio y profesor
En el Lilavati, Bhaskaracharya muestra sus múltiples habilidades docentes. Las vívidas
descripciones de una bandada de cisnes, de una manada de elefantes, de una colonia de
abejas, del ataque de un pavo real domesticado a una serpiente, del hundimiento de los
lotos en el agua debido a un fuerte viento, y otras parecidas, tenían el propósito de enseñar
a los estudiantes a apreciar la naturaleza y hacer que las matemáticas fueran interesantes
para ellos. Bhaskaracharya raramente presentaba demostraciones o deducciones, siendo
en ello pionero de algunas prácticas contemporáneas; sin embargo, daba un gran número
de ejemplos.
Bhaskara II fue uno de los principales astrónomos de su tiempo y se ganó el merecido título de “Joya entre los matemáticos”. Manejaba la trigonometría con mucha más habilidad que
sus predecesores, y aunque consideró que la Tierra era estacionaria y estaba situada en el
centro del universo, esto no influyó de manera adversa en sus cálculos. De hecho, conocía
muchos hechos astronómicos que fueron descubiertos posteriormente por Copérnico y
Tycho Brahe, y también se adelantó en la formulación de algunos conceptos matemáticos.
Por ejemplo, sugirió ideas que anticiparon el concepto de límite que 500 años más tarde
fue introducido por Newton.
Aunque fue un gran matemático, no lo sabía todo: por ejemplo, no conocía las fracciones,
que fueron descubiertas en Italia en el siglo xvi. Sorprende también que Bhaskaracharya
no descubriera el teorema del binomio de Newton en su forma general. Si hubiera descubierto los logaritmos, habría podido determinar cuerdas de circunferencia de una manera
mucho más simple que la que usaba.
Sabía que la Tierra atraía otros cuerpos, pero no llegó a deducir que la fuerza era igual a la
masa por la aceleración. Para el cálculo del movimiento diario de los planetas introdujo el
concepto de velocidad instantánea, dividiendo el día en un número grande de pequeños
intervalos. La fórmula δ (sinθ) = cosθδθ aparece de manera implícita en Siromani y era
consciente de que la derivada se anulaba en los extremos de una función.
4
Aparentemente, Bhaskara II y los astrónomos hindúes antiguos consideraban la Tierra como estacionaria, aunque
probablemente solo en lo relativo a las observaciones y los cálculos asociados con ellas.
Lilavati. Matemática en verso del siglo xii
17
Parece que Bhaskara II fue el primer matemático que percibió los conceptos del cálculo
diferencial 500 años antes que Newton y Leibniz; sin embargo, sabía poco sobre la elipse,
la parábola o la hipérbola. Si hubiera demostrado teoremas sobre álgebra y geometría,
habría alcanzado un estatus superior; en cualquier caso, sus logros le sitúan a la cabeza del
elenco de matemáticos de todos los tiempos.
Condiciones sociales en la época de Bhaskaracharya
Es bastante difícil sacar una impresión de las condiciones sociales en la época de Bhaskaracharya a partir de un libro sobre aritmética, aunque sabemos algunas cosas al respecto:
en aquellos tiempos, la erudición era juzgada mediante el estudio de diez obras.
Todo el comercio estaba en manos de los lamanas. Los ricos llevaban vestimentas confeccionadas con seda traída de China. Las mujeres jóvenes eran vendidas como esclavas, los
eruditos recibían la protección y el patronazgo de los gobernantes, y viajar por la noche era
peligroso.
La niska, una moneda de plata, era la divisa principal; los pavos reales eran mascotas comunes, abundaban las flores de loto, las abejas, los elefantes y los pájaros. Shiva, Visnú y
Ganesa recibían adoración universal. Se estudiaban de forma regular el Ramayana y el
Mahabharata.
En general, eran tiempos prósperos; el oro era caro, pero había comida abundante. Los astrónomos estaban más ocupados en la astrología que en sus aplicaciones matemáticas.
Aunque por lo general los eruditos recibieron el apoyo de los gobernantes, parece que
Bhaskaracharya fue una excepción. Fue un hombre sano y animoso que murió en 1193 a la
edad de 79 años. Después del maestro Bhaskara no volvió a nacer en Maharashtra ningún
matemático tan conocido como él.
18
Lilavati. Matemática en verso del siglo xii
C a p í t u l o
1
• Plegaria •
Oración a Ganesa
{I}
Dirijo mi rezo al dios que tiene faz de elefante
y ante cuyos pies se postran multitudes de otros dioses,
en rendida gratitud por toda felicidad
que procura a sus devotos, a quienes da a conocer
cómo vencer todo obstáculo.
Las leyes con que operamos al manejar la tablilla
procuro poner en verso, en estrofa clara y breve,
para que los entendidos disfruten de su belleza.
1. Oración a Ganesa
Ganesa es la deidad de la ciencia y la inteligencia. El dios de la sabiduría se
representa como figura humana con cabeza de elefante.
Como en el mundo árabe y en muchos otros textos medievales, el libro
empieza con un himno a la divinidad.
Los calculadores usaban una tablilla para hacer sus cálculos, de ahí que la
aritmética sea la ciencia de la tablilla. Las representaciones habituales de
la Alegoría de la Aritmética en el Renacimiento incluían la tablilla.
Lilavati. Matemática en verso del siglo xii
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