Download Algunas contribuciones históricas de la India a las matématicas

ALGUNAS CONTRIBUCIONES HISTÓRICAS DE LA INDIA A LAS MATEMÁTICAS
CONCEPTO DE INFINITO
El problema surgió en el siglo VII, cuando en la India se comenzó a popularizar el uso del cero y
los números negativos. El primero en aproximarse al planteamiento de este problema fue el
matemático indio Bhaskara I, quien escribió que
n
=∞.
0
Realmente no puso el símbolo ∞, que es el que usamos hoy en día para denominar el infinito y
que debemos al matemático inglés John Wallis (S.XVII).
La idea de que al dividir por cero obtenemos infinito es muy intuitiva. Simplemente si tenemos
un objeto con una dimensión determinada y lo intentas dividir en trozos cada vez más pequeños,
irás obteniendo cada vez una cantidad mayor de trozos. Si en el límite llegamos a dividir por 0,
obtendremos infinitos trozos.
ALGUNAS CONTRIBUCIONES HISTÓRICAS DE LA INDIA A LAS MATEMÁTICAS
ECUACIONES DIOFÁNTICAS
Se llama ecuación diofántica a cualquier ecuación algebraica, generalmente de varias variables, planteada
sobre el conjunto de los números enteros o los números naturales ; es decir, se trata de ecuaciones
cuyas soluciones son números enteros.
En el Lilavati, se estudian algunas ecuaciones diofánticas, interés, progresiones artiméticas y geométricas,
geometría plana y sólida, combinaciones, etc. También se dan dos algoritmos famosos de multiplicación de
números en base diez.
Una ecuación diofántica relevante es la ecuación de Pell, x2 = 1 + p y2, donde p no es un cuadrado perfecto.
Brahmagupta (S.VI d.c.) intentó resolver la ecuación x2 =1 + 61 y2.
Bhaskara dio un método, llamado proceso Chakravala, para resolverla. Estudia la ecuación de Pell para p=8,
11, 32, 61 y 67. Cuando p=61 encuentra la solución x=226153980, y=1776319049. Cuando p=67 encuentra
la solución x=5967, y=48842.
Bhaskaracharya estudia la ecuación diofántica 195x = 221y + 65, obteniendo las soluciones
(x,y) = (6,5),(23,20),(40, 35),...
En general, la ecuación de Pell tiene como soluciones:
x = 1 + pt ; y2 = pt2 + 2t
x = p – 1 + pt ; y2 = p – 2 + pt2 – 2(p – 1)t
Teniendo a t como parámetro. El problema consiste en encontrar los valores enteros de y, ya que y2 debe ser
un cuadrado perfecto.
ALGUNAS CONTRIBUCIONES HISTÓRICAS DE LA INDIA A LAS MATEMÁTICAS
AMPLIACIÓN DE LA FÓRMULA DE HERÓN
En geometría, la fórmula de Herón (S. I d.c.), descubierta por Herón de Alejandría
relaciona el área de un triángulo en términos de las longitudes de sus lados a, b y c:
Área =
donde s es el semiperímetro del triángulo.
La fórmula de Brahmagupta extiende la fórmula de Herón a un cuadrilátero. En su expresión más simple,
permite hallar el área de un cuadrilátero cuyos lados tienen longitudes a, b, c, d:
Área =
donde s es el semiperímetro.
El único problema, es que esta fórmula solo es aplicable a los cuadriláteros cíclicos, es decir, cuadriláteros
cuyos vértices se encuentran en una circunferencia.
En el caso de los cuadriláteros no cíclicos, la fórmula de Brahmagupta puede extenderse:
Área=
donde
es la semisuma de dos ángulos opuestos cualesquiera del cuadrilátero