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Paradojas de la f¶³sica. Parte 2¤
Jo s ¶ e Ma r ¶ ³a Fila r d o B a s s a lo
D e p a r t a m e n t o d e F¶ ³s ic a d e la U FP A 6 6 0 7 5 -9 0 0 B e l¶e m , P a r ¶a ,
h t t p :/ www.a m a z o n .c o m .b r / b a s s a lo e -m a il: b a s s a lo @a m a z o n .c o m .b r
Resumen
En este segundo art¶³culo, de una serie de tres trataremos algunas paradojas de la F¶³sica, en particular estudiaremos tres paradojas relacionadas con
fen¶
omenos gravitacionales: el cielo oscuro (paradoja de Olbers), la paradoja gravitacional (Newton) y
la de los gemelos (Langevin).
En la b¶
usqueda por superar esas di¯cultades se intentaron variantes de esos modelos.
En efecto, para el ¯l¶
osofo griego Plat¶
on de Atenas
(c.427{c.347), la Tierra inm¶
ovil se hallaba envuelta por cuatro capas esf¶ericas. La primera, de espesor igual a dos radios terrestres (Rt ), era compuesta del elemento ¶
agua. La segunda estaba compuesta del elemento aire, con espesor de 5Rt , y constitu¶³a la atm¶
osfera. A continuaci¶
on se hallaba la capa del elemento fuego de 10Rt , que ten¶³a en su parte superior la cuarta capa esf¶erica con las estrellas.
Los siete \planetas" entonces conocidos (Sol, Luna,
Mercurio, Venus, Marte, J¶
upiter y Saturno) se hallaban entre la atm¶
osfera y las estrellas.
Paradoja del cielo oscuro (Olbers)
En la antigÄ
uedad, b¶asicamente, el Universo era explicado por modelos de esferas conc¶entricas. Por ejemplo, para el ¯l¶osofo griego Pit¶agoras de Samos (c.582{c.497) y sus seguidores, principalmente el ¯l¶osofo griego Filolau de Tarento (o de Crotona)(c.480{?), exist¶³a un fuego central llamado fuego de Hestia1 que representaba al centro del Universo esf¶erico, envuelto por diez esferas conc¶entricas correspondiendo a los astros entonces conocidos: Sol, Tierra, Luna, Mercurio, Venus, Marte, J¶
upiter, Saturno, Antiterra (planeta siempre oculto para los terr¶³colas y situado del otro lado del Sol), Estrellas. Cada una de esas esferas giraba de oeste a este, completando una revoluci¶
on en el
per¶³odo correspondiente al del astro que la misma representaba.
A pesar de que ese modelo pitag¶orico explicaba los
fen¶
omenos celestes m¶as familiares (movimiento general de los astros en torno del fuego central y los eclipses), hab¶³a algunos fen¶omenos que no eran explicados por ese modelo como, por ejemplo, el movimento retr¶
ogrado de los planetas, ¯gura 1.2
F ig ura 1 .
Este modelo plat¶
onico no era mejor que el pitag¶orico,
ya que ambos explicaban casi las mismas cosas y
no explicaba, con todo, el intrigante movimiento
retr¶
ogrado de los planetas. Para superar esta di¯cultad, se formularon nuevos modelos para explicar el movimiento de los astros en el Universo. Por
ejemplo, el disc¶³pulo de Plat¶
on, el astr¶
onomo y matem¶
atico griego Eudoxo de Cnido (c. 408{c.355)
consider¶
o un conjunto de 27 esferas homoc¶entricas
a la Tierra para explicar los movimientos. A su
vez, su disc¶³pulo, el astr¶
onomo griego Calipo de
¤ T r ad u cci¶
on :
J os¶
e Lu is C ¶
or d ov a Fr u n z, Dep to. d e
Qu ¶³m ica, U A M{I.
1 H estia er a la d iosa d el fu ego sagr ad o, en las casas y en los
ed if¶³cios p u ¶b licos. (Roy , J . R. 1982. L'A str on om ie et son H istoir e. P r esses d e l'U n iv er sit¶
e d u Qu ¶
eb ec, Masson .) E s op or tu n o se~
n alar el p ar en tesco etim ol¶
ogico en tr e "h ogar ", "h ogu er a"y "foco"N . d el T .
2 E se m ov im en to con sist¶
³a en lo sigu ien te: el p lan eta cam in ab a n or m alm en te en el cielo y , d e r ep en te, se v olteab a, for m an d o u n lazo p ar a, m ¶
as tar d e, con tin u ar su m ov im ien to. P a-
r a Roy (op . cit.), p ar ece q u e ese m ov im en to n o er a con ocid o en esa ¶
ep oca.
29
30
C¶³zico (c.370{c.300) adicion¶o ocho esferas m¶as al modelo de su maestro a ¯n de explicar los complejos movimientos de Mercurio y Venus.3 El modelo de Calipo{Eudoxo fue posteriormente perfeccionado por el ¯l¶osofo griego Arist¶oteles de Estagira
(384{322), llegando a tener un total de 55 esferas homoc¶entricas. Es oportuno se~
nalar que, en los intentos por explicar las anomal¶³as de los movimientos de
los astros en el Universo, se propusieron otros modelos. Por ejemplo, el astr¶onomo griego Her¶
aclites
de Pontos (c.388{c.310), disc¶³pulo de Plat¶on, formul¶
o un modelo geohelioc¶entrico seg¶
un el cual Mercurio y Venus giran alrededor del Sol y ¶este, junto a los dem¶
as planetas (incluyendo la Luna), giraban en torno a una Tierra que, a su vez, giraba
en torno a su eje. Por otro lado, el astr¶onomo griego Aristarco de Samos (c.320{c.250) present¶o un modelo puramente helioc¶entrico.
A pesar de los modelos alternativos para explicar
el movimiento de los astros en el cielo, el modelo geoc¶entrico del mundo antiguo, bastante perfeccionado por el astr¶onomo griego Claudio Ptolomeo
(85{165) en su famoso libro Gran Compilaci¶
on Matem¶
atica (traducido por los ¶arabes como Almagesto), prevaleci¶
o durante muchos siglos hasta ser seriamente cuestionado por el modelo helioc¶entrico del
astr¶
onomo polaco Nicol¶as Cop¶ernico (1473{1543), en
su famoso libro Acerca de las Revoluciones de los
Cuerpos Celestes publicado en 1543.
Con todo, cualquiera que fuese el tipo de modelo de
Universo, geo o helioc¶entrico, con las estrellas ¯jas
en una esfera distribu¶³das uniformemente en el espacio, hab¶³a una gran di¯cultad: la oscuridad de la noche, principalmente si se considera la hip¶otesis presentada por el astr¶onomo y ¯l¶osofo italiano Giordano Bruno (1548{1600), sobre la existencia de un
n¶
umero in¯nito de estrellas. Varios astr¶onomos intentaron una explicaci¶on para tal proposici¶on.
En efecto, parece que fue el astr¶onomo Johannes
Kepler (1571{1630) quien primero trat¶o esta cuesti¶
on en una carta escrita al astr¶onomo y f¶³sico italiano Galileo Galilei (1564-1642) en 1610. Sin embargo, una primera explicaci¶on para esta intrigante
cuesti¶
on fue la propuesta por el astr¶onomo ingl¶es Edmund Halley (1656{1742), en 1720, al a¯rmar que la
oscuridad ocurr¶³a en virtud de que el brillo de las estrellas disminuye en la medida en que se encuentran m¶
as alejadas de la Tierra. M¶as tarde, en 1744,
el astr¶
onomo suizo Jean{Philippe Loys de Ch¶eseaux
(1718{1751) a¯rm¶o que el negro de la noche era consecuencia de la absorci¶on de la luz de las estrellas por
un °uido distribuido en el espacio interestelar.
3 Mer cu r io y V en u s llegan a ten er u n alejam ien to an gu lar
d el S ol d e 24 y 48 gr ad os, r esp ectiv am en te.
ContactoS 34, 29{35 (1999)
La raz¶
on de la oscuridad nocturna s¶
olo volvi¶o a
considerarse cien a~
nos m¶
as tarde por el astr¶
onomo
alem¶
an Heinrich Wilhelm MatthÄ
aus Olbers (1758{
1840) en su monograf¶³a intitulada Acerca de la
Transparencia del Espacio, publicada en 1823, al formular la siguiente pregunta, (conocida a partir del libro del astr¶
onomo austr¶³aco{ingl¶es Hermann Bondi (n. 1919) intitulado Cosmolog¶³a y publicado en
1960, como paradoja de Olbers):
Si las estrellas est¶
an uniformemente distribu¶³das en el espacio y si ¶este es homog¶eneo
e in¯nito >por qu¶e el cielo es negro?
Olbers lleg¶
o a esta pregunta a partir del siguiente raciocinio: Supongamos que el espacio es una cebolla
con capas de espesor constante y que tiene a la Tierra como centro. Siendo el espacio homog¶eneo e in¯nito, el n¶
umero de estrellas aumenta con el cuadrado del radio de cada capa; sin embargo, como la intensidad de la luz disminuye en la misma proporci¶
on, los dos efectos se compensan. En consecuencia, argument¶
o Olbers, estar¶³amos igualmente iluminados por todos los puntos de la super¯cie de cada capa y, como el espacio es in¯nito, deber¶³amos
recibir una cantidad in¯nita de luz. El propio Olbers present¶
o una soluci¶
on para esa paradoja al decir que el polvo interestelar detiene la mayor parte de luz proveniente de las estrellas.
M¶
as tarde, en 1848, el astr¶
onomo ingl¶es Sir John Frederich William Herschel (1792{1871) mostr¶
o que las
explicaciones de Ch¶eseaux y de Olbers eran enteramente falsas, toda vez que el gas interestelar, absorbiendo las radiaciones luminosas, podr¶³a, eventualmente, reemitir m¶
as radiaci¶
on que la recibida y, con
el tiempo, el Universo volver¶³a a brillar y la paradoja, por tanto, permanec¶³a.
En 1848, el poeta y escritor norteamericano Edgar
Allan Poe (1809{1849) en su ensayo Eureka, propuso otra soluci¶
on a esa paradoja: \Si la sucesi¶
on de estrellas fuese in¯nita, entonces el fondo del cielo presentar¶³a una luminosidad uniforme, como la manifestada por una galaxia, ya que no habr¶³a ning¶
un
punto, en todo aquel fondo, en el que no existiese una estrella. La u
¶nica manera, en tales condiciones, por la que podemos comprender los vac¶³os
que nuestros telescopios encuentran en las m¶
as diversas direcciones ser¶³a suponer una distancia en este fondo tan inmensa que ning¶
un rayo luminoso llega hasta nosotros". La paradoja de la oscuridad
nocturna permaneci¶
o sin explicaci¶
on razonable hasta la d¶ecada de 1920 con los descubrimientos hechos por el astr¶
onomo norteamericano Edwin Powell Hubble (1889{1953).4 En efecto, en diciem4 Roy
, op . cit.
Paradojas de la f¶³sica. Parte 2. Jos¶e Mar¶³a Filardo Bassalo.
bre de 1924, al examinar una fotograf¶³a de la nebulosa de Andr¶omeda descubri¶o la naturaleza extragal¶
actica de las nebulosas espirales. En 1926, sus observaciones acerca de las nebulosas de este tipo lo llevaron a a¯rmar: \Las galaxias est¶an distribu¶³das en
el espacio de forma homog¶enea e isotr¶opica". En
1929, al observar unas 18 galaxias pr¶oximas a la
nuestra, la V¶³a L¶actea, Hubble hizo el gran descubrimiento de la expansi¶on del Universo: \Las galaxias
se alejan unas de otras con una velocidad que es proporcional a la distancia que las separa".
El descubrimiento de Hubble permiti¶o una explicaci¶
on aceptable a la paradoja de Ch¶eseaux{Olbers, ya
que el alejamiendo de las estrellas provoca un corrimiento al rojo de la luz de los objetos distantes por el
efecto Doppler{Fizeau. As¶³, cada quantum de luz sufre una disminuci¶on de su energ¶³a E debido al aumento de su longitud de onda ¸, seg¶
un la expresi¶
on:
h£c
¸
donde h es la constante de Planck, c es la velocidad
de la luz en el vac¶³o. En consecuencia, como ¸ aumenta con el desplazamiento de la estrella, el brillo
de los fotones emitidos disminuye con la distancia resultando, de aqu¶³, la oscuridad de la noche. Antes
de concluir esta secci¶on convienen las siguientes anotaciones acerca del efecto Doppler{Fizeau: en 1842,
el f¶³sico austr¶³aco Christian Johann Doppler (1803{
1853) descubri¶o que el sonido emitido por una fuente sonora que se mueve en la direcci¶on del observador parece m¶as grave, e.d. de menor frecuencia. En
1848, el f¶³sico franc¶es Armand Hyppolyte Louis Fizeau (1819{1896) explic¶o la variaci¶on de la longitud de onda de la luz estelar y mostr¶o que ese resultado pod¶³a emplearse para medir las velocidades relativas de las estrellas. Este efecto pas¶o a ser conocido como efecto Doppler{Fizeau.
E=
Paradoja Gravitacional (Newton)
En el excelente texto de Andr¶e Koch Torres Assis:
Mec¶
anica Relacional (Centro de L¶ogica, Epistemolog¶³a e Historia de la Ciencia, UNICAMP, 1998.) se
encuentra un estudio completo sobre esta paradoja (hay una edici¶on en ingl¶es: Relational Mechanics,
Apeiron, Montreal, 1999). En 1687, el f¶³sico y matem¶
atico ingl¶es Sir Isaac Newton (1642{1727) public¶
o su c¶elebre Principios Matem¶
aticos de Filoso¯a Natural, 5 compuesto de tres libros. El Libro I
trata del movimento (rectil¶³neo y curvil¶³neo) de los
cuerpos en el vac¶³o; el Libro II trata de ese movimiento en medios resistentes. Finalmente, en el Libro III, Newton presenta su famosa Ley de Gravitaci¶
on Universal:
5 N E W T ON , I. 1993. Gr eat B ook s of th e W
32. E n cy clop aed ia B r ittan ica, In c.
ester n W
or ld ,
31
La materia atrae a la materia en raz¶
on directa del producto de sus masas y en raz¶
on
inversa del cuadrado de la distancia entre
sus centros.
En lenguaje actual:
~21 = G mg1 mg2 r^21
F
2
r21
(1)
En esta ecuaci¶
on F~21 representa la fuerza ejercida por la part¶³cula material (2) de masa mg2 sobre la part¶³cula material (1) de masa mg1 , G es una
constante universal, r21 es la distancia entre ellas,
~r21 = ~r2 ¡ ~r1 y
r^21
r^21 =
r21
Obs¶ervese que ~r2 y ~r1 son vectores que parten del
origen de un determinado sistema de coordenadas a,
respectivamente, las part¶³culas (2) y (1).
En el Escolio General de los Principios, Newton a¯rma que Dios, al crear el universo eterno, compuesto por el Sol, planetas, cometas y estrellas ¯jas, coloc¶
o ¶estas a distancias inmensas entre ellas. Con todo, esa a¯rmaci¶
on cre¶
o un problema embarazoso para ¶el mismo pues, colocando a las estrellas ¯jas muy
alejadas entre s¶³, y por el hecho de existir el universo desde un tiempo in¯nito, provocar¶³a un colapso puesto que una cantidad ¯nita de materia ocupando un volumen ¯nito ir¶³a a dar ¯nalmente hacia su
centro debido a la atracci¶
on gravitacional de la materia interior.
Advertido Newton de este colapso por el te¶ologo
ingl¶es Richard Bentley (1662{1742), con quien mantuvo correspondencia en 1692{1693, reformul¶o su visi¶
on cosmol¶
ogica al a¯rmar que el Universo contiene una cantidad in¯nita de materia distribu¶³da m¶
as o menos homog¶eneamente por todo el espacio in¯nito. Con esto, pens¶
o Newton, no habr¶³a
un centro del Universo hacia el cual se colapsara toda la materia. Este modelo perdur¶o m¶as
de doscientos a~
nos hasta que el astr¶
onomo polaco Hugo von Seeliger (1849{1924) y el matem¶
atico alem¶
an Carl Gottfried Neumann (1832{
1925), entre 1895 y 1896, mostraron que en este
modelo tambi¶en hay una paradoja.
32
ContactoS 34, 29{35 (1999)
Esta paradoja gravitacional newtoniana puede entenderse bajo dos puntos de vista: uno basado en
la fuerza y otro en el potencial. En el primer caso, la paradoja es la siguiente: Suponga un universo in¯nito sin fronteras (newtoniano) con una distribuci¶
on homog¶enea de materia de densidad constante y ¯nita ½. Al considerar una distribuci¶on continua de materia en todas direcciones in¯nitamente se puede mostrar6 que la fuerza gravitacional ejercida por ese universo in¯nito sobre una part¶³cula de
masa m depende del origen del sistema de coordenadas seleccionado, v¶ease la ecuaci¶on 1.
Bajo el punto de vista del potencial, la paradoja puede analizarse r¶
apidamente empleando la ecuaci¶
on de
Poisson. Pero antes ve¶amos qu¶e signi¯ca esta ecuaci¶
on. En su estudio sobre la gravitaci¶on universal
newtoniana de cuerpos elipsoidales, el matem¶
atico
y astr¶
onomo franc¶es Pierre Sim¶on, marqu¶es de Laplace (1749{1827) present¶o, en 1782, la funci¶on potencial V que obedece a la hoy famosa ecuaci¶
on de
Laplace:
¢V = 0
al resolverla demostr¶o que la fuerza de gravitaci¶
on
newtoniana est¶
a dada por (en notaci¶on actual):
~ = ¡rV
F
Con todo, como esas expresiones no se aplican a
puntos interiores del mismo cuerpo (de densidad ½
generador del potencial V ), el matem¶atico franc¶es
Sim¶eon Denis Poisson (1781{1840), en 1813, propuso una nueva ecuaci¶on para superar esa di¯cultad:
¢V = ¡4¼½
Obs¶ervese que, en el caso de una masa m puntual a
una distancia r de un campo gravitacional esf¶erico
tendremos:
m
V = ¡G
(2)
r
Por tanto, si tuvi¶eramos un universo homog¶eneo con
una densidad de masa constante esperar¶³amos obtener un potencial V constante. Pero, suponiendo que as¶³ ocurra, la ecuaci¶on anterior muestra que
½ = 0, resultado contradictorio con la suposici¶on inicial de densidad constante, ¯nita y diferente de cero. De aqu¶³ la paradoja gravitacional.
6A
ssis, op. cit .
Veamos a continuaci¶
on los tres intentos por resolver
esta paradoja: 7
1) El universo tiene una cantida de ¯nita de
materia;
2) La expresi¶
on (1) debe ser modi¯cada;
3) Hay dos tipos de masa en el universo, positiva y
negativa.
En el intento 1, se mantiene la ley de Gravitaci¶
on de
Newton (ec. 1), sin embargo, se exige una cantidad ¯nita de materia distribuida uniformemente en el universo. De este modo se demuestra que el c¶
alculo
de fuerza gravitacional ejercida sobre una masa m
no depende del sistema de coordenadas seleccionado. Con todo, como ya vimos, Newton abandon¶o
ese modelo porque lleva a una situaci¶
on de colapso. Para evitarlo es necesario considerar que el universo, con una cantidad ¯nita de materia, gira en relaci¶
on al espacio absoluto (as¶³ como un sistema planetario no se colapsa hacia el Sol debido a su rotaci¶
on de forma que la fuerza centr¶³peta ejercida por
el Sol est¶
a equilibrada por una \fuerza centr¶³fuga"
en el sistema de referencia que gira con los planetas). De este modo, para evitar el colapso del Universo es necesario postular alg¶
un tipo de fuerza repulsiva. Esta, sin embargo, no hab¶³a sido observada.
El segundo intento fue propuesto, de forma independiente, por Seeliger y Neumann, en 1895{1896, seg¶
un
ya indicamos.8 Ellos propusieron que el potencial
gravitacional V , ecuaci¶
on deb¶³a ser modi¯cado a:
V = ¡Gm
e¡®r
r
(3)
Empleando este potencial se demuestra que el
c¶
alculo de la fuerza gravitacional obtenida por la expresi¶
on
~ = ¡rV
F
sobre una masa m no depende del sistema de coordenadas seleccionado. Si bien se supera la paradoja no existe evidencia experimental de la ecuaci¶on
3. Es oportuno destacar que este tipo de potencial fue sugerido, sin ¶exito, en 1935, por el f¶³sico japon¶es Hideki Yukawa (1907{1981, premio Nobel de
F¶³sica en 1949) para describir las fuerzas nucleares.
7 Om itim os los d etalles q u e el lector p od r
op. cit .
8 S eeliger , H . v on 1895. A st r on omische
(p .129); 138 (p . 51; 255); N eu m an n , C .
n e U n t er suchun gen uber das N ew t on sche P
w ir kun gen , Leip zig.
a h allar en A ssis,
¶
N achr icht en 137
1896. A llgemeir in z ip der Fer n -
Paradojas de la f¶³sica. Parte 2. Jos¶e Mar¶³a Filardo Bassalo.
La tentativa 3 fue, probablemente, presentada por el
f¶³sico e ingeniero alem¶an August FÄoppl (1854{1924),
en 1897,9 y propone la existencia de masas gravitacionales negativas en la misma cantidad que las positivas. Con eso la \carga gravitacional"del Universo ser¶³a nula y, consecuentemente, en promedio, no
existir¶³a fuerza gravitacional sobre cualquier masa
colocada en el interior del Universo y, de este modo,
no ocurrir¶³a el colapso gravitacional. Si bien se resuelve la paradoja, no existe evidencia de masa gravitacional negativa.10
Lo que acabamos de presentar nos muestra que, bajo el punto de vista te¶orico, la paradoja gravitacional de Newton, de formulaci¶on te¶orica tambi¶en, est¶
a
completamente resuelta, sin embargo, las consecuencias experimentales a¶
un no son comprobadas.11
Paradoja de los gemelos (Langevin)
En 1905,12 el f¶³sico germano{norteamericano Albert
Einstein (1879{1955, premio Nobel de F¶³sica, 1921)
public¶
o un famoso art¶³culo donde examina la asimetr¶³a presentada por las ecuaciones de Maxwell13
cuando se escriben en sistemas de referencia inerciales con velocidad relativa v y relacionados por el
principio de relatividad de Galileo. Como es sabido el astr¶onomo y f¶³sico italiano Galileo Galilei
(1546{1642) present¶o en 1638, en el libro intitulado Dos Nuevas Ciencias14 el hoy conocido principio
de relatividad de Galileo o transformaciones de Galileo, representado en ecuaciones por:
x0
y0
z0
t0
=
=
=
=
x + vt
y
z
t
9 FÄ
op p l, A . 1897. S it z un gsber icht e der MÄ
un chen A kademie
(p .6).
10 E l h istor iad or y n ov elista in gl¶
es H er b er t Geor ge W ells
(1866{1946) en u n a d e su s h istor ia fan t¶
asticas d escr ib e a u n
in v en tor b r it¶
an ico, S r . C av or , q u e h ab ¶³a d escu b ier to u n m ater ial d en om in ad o cavor it a im p en etr ab le a las fu er zas gr av itacion ales, o sea, er a for m ad o d e m asa gr av itacion al \n u la". (Gam ow , G. 1965. G r avidade, E d itor a d a U n iv er sid ad e d e B r as¶³lia.)
11 A ssis, 1999. C om u n icaci¶
on p er son al.
12 E in stein , A . 1905. A n n alen der P hy sik 17 (p .891)
13 E l f¶
³sico y m atem ¶
atico escoc¶
es J am es C ler k Max w ell
(1831{1879) r esu m i¶
o, en 1873, en el lib r o in titu lad o A T r eat ise
on E lect r icit y & Magn et ism (Dov er , 1954), las ley es em p ¶³r icas
d e los fen ¶
om en os eletr om agn ¶
eticos, en for m a d e cu atr o ecu acion es en d er iv ad as p ar ciales, con ocid as com o ecuacion es de
Maxw ell.
14 C h ed E d itor ial, Istitu to Italian o d i C u ltu r a e N ov a S tella
E d itor ial, s/f
33
Estas expresiones relacionan las coordenadas de un
punto relativas a dos sistemas inerciales de origen
O y O0 con el referencial O desplaz¶
andose con una
velocidad constante v, paralelamente al eje x0 .
Einstein, despu¶es de examinar esa asimetr¶³a, a¯rm¶o
que \los fen¶
omenos electromagn¶eticos, a diferencia
de los fen¶
omenos mec¶
anicos, no poseen propiedades
correspondientes a la idea de reposo absoluto". As¶³,
partiendo de la hip¶
otesis de que las leyes que rigen los
fen¶
omenos f¶³sicos deb¶³an ser las mismas para todos
los sistemas de referencia inerciales en movimiento
relativo (llamado por ¶el principio de relatividad y
del principio de constancia de la velocidad de la luz,
Einstein comenz¶
o su c¶elebre art¶³culo examinando la
de¯nici¶
on de simultaneidad newtoniana (t0 = t), y
en el p¶
arrafo siguiente demuestra que no se puede
atribuir car¶
acter absoluto a la simultaneidad o, en
sus propias palabras:
As¶³ vemos que no podemos atribuir signi¯cado absoluto al concepto de simultaneidad
puesto que, si dos eventos son simult¶
aneos
cuando son vistos desde un sistema de coordenadas, no lo son desde otro sistema que
se mueva respecto al primero.
En el siguiente p¶
arrafo (el n¶
umero 2) Einstein obtiene las mismas transformaciones de Lorentz de las
cuales trataremos brevemente. En 1904, en los Koniklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam
6 (p. 809), el f¶³sico holand¶es Hendrik Antoon Lorentz (1853{1928; Premio Nobel de F¶³sica, 1902) encontr¶
o un conjunto de transformaciones lineares que
dejaban invariantes las ecuaciones de Maxwell en el
vac¶³o. Esas transformaciones de Lorentz [nombre dado por el f¶³sico y matem¶
atico franc¶es Henri Poincar¶e
(1854{1912), en 1905] est¶
an dadas por las siguientes expresiones para el mismo caso de las transformaciones de Galileo arriba indicada:
x0
y0
z0
t0
= °(x + vt);
= y;
= z;
³
x´
= ° t+v 2
c
donde el factor ° est¶
a dado por:
·
³ v ´2 ¸¡ 12
° = 1¡
c
M¶
as adelante, en el p¶
arrafo 4, al examinar el signi¯cado f¶³sico de esas transformaciones, Einstein demuestra la dilataci¶
on del tiempo, esto es, que el tiempo registrado (¢t0 ) por un reloj que se desplaza
34
ContactoS 34, 29{35 (1999)
a velocidad v respecto a un observador estacionario, camina m¶
as despacio que el reloj de ese observador el cual registrar¶a un tiempo ¢t. Estos tiempos est¶
an relacionados por:
¢t = °¢t0 ;
³ v ´2 1
° = [1 ¡
]¡ 2
c
(4)
La interpretaci¶
on de este resultado gener¶o una gran
pol¶emica en el mundo cient¶³¯co, principalmente despu¶es de que el f¶³sico franc¶es Paul Langevin (1872{
1946), gran divulgador de la teor¶³a de Einstein en
Francia, en 1911,15 explic¶o el resultado con un hipot¶etico viaje interplanetario de un gemelo, hoy conocido como paradoja del viajero de Langevin o paradoja de los gemelos o, tambi¶en, como paradoja de
los relojes.16
En l¶³neas generales la paradoja consiste en lo siguiente: Supongamos dos gemelos (A y A0 ), uno de los
cuales (A) hace un viaje espacial a determinada estrella. Durante el viaje, el gemelo (A0 ) que se qued¶
o
en la Tierra ve que el reloj de su hermano se atrasa de acuerdo a la expresi¶on 4. Como los procesos
biol¶
ogicos son temporales, el gemelo terrestre (A0 )
encontrar¶
a que su hermano astronauta (A) cuando
regrese a la Tierra es m¶as joven que ¶el. Por otro lado, el gemelo astronauta (A) har¶a un razonamiento id¶entico: para ¶el la Tierra se desplaza en relaci¶
on
a su nave y, por consiguiente, su hermano (A0 ) envejece m¶
as despacio. En consecuencia, al regresar
de su viaje espacial encontrar¶a a su gemelo terr¶³cola
m¶
as joven que ¶el mismo. >Qui¶en es m¶as viejo realmente? >A ¶
o A0 ? De acuerdo a la Teor¶³a de la Relatividad de Einstein (restringida y general) ser¶a el gemelo A0 quien envejecer¶a. c¶omo fue resuelta esta paradoja.
Despu¶es de formular la que ser¶³a conocida como
Teor¶³a de la relatividad restringida (TRR), en 1905,
a la cual nos referimos anteriormente, Einstein procedi¶
o a ajustarla con la Teor¶³a de la Gravitaci¶
on de
Newton. En 1907 present¶o la hip¶otesis de que \un
campo de aceleraciones es equivalente a un campo
de fuerzas" al intuir que una persona en ca¶³da libre
no siente su propio peso. M¶as tarde, en 1912, present¶
o esa hip¶
otesis en forma de un principio de equivalencia: la masa inercial mI es equivalente a la masa gravitacional mG . La distinci¶on entre estos dos tipos de masa queda claro en el caso del p¶endulo: una
masa m suspendida por un cordel de masa despreciable que oscila en el vac¶³o. Sobre la masa m act¶
uan
15 Lan
gev
ar a u
Oliv eir a, W
N otas d e A
16 P
in , P . 1911. S cien t ia 10 (p . 31).
n a d iscu si¶
on geom ¶
etr ica d e esta p ar ad oja, v ¶
ease:
. 1997. A spect os G eom¶
et r icos da R elat ividade.
u la. DFU FJ F.
su peso P~ = mG~g y la tensi¶
on T~ del hilo. La re~
sultante R de estas dos fuerzas, responsable de la
~ = mI ~a.
oscilaci¶
on del p¶endulo, est¶
a dada por R
17
Finalmente, en 1915, Einstein formul¶
o la famosa Teor¶³a de la Relatividad General y, al aplicarla al
problema de la atracci¶
on gravitacional de los cuerpos, lleg¶
o a la conclusi¶
on de que era debida a un
fuerza que act¶
ua a distancia, resultante de la curvatura espacio{tiempo, provocada por la presencia de
energ¶³a{materia que inducen en el espacio una geometr¶³a no{euclideana. De este modo, cuando un
cuerpo \caea la Tierra, no es atra¶³do por la fuerza de atracci¶
on gravitcional de nuestro planeta sino que se desplaza en la curva espaciotemporal producida por la masa de la Tierra, esto es, se mueve
en la geod¶esica de la Geometr¶³a inducida por esa masa. En los trabajos realizados en 1915, Einstein present¶
o su famosa ecuaci¶
on:
1
R¹º = ¡kT¹º + g¹º R
(¹; º = 0; 1; 2; 3) (5)
2
En esta expresi¶
on, R = g ¹º R¹º , k es la constante
gravitacional de Einstein, g¹º = g¹º es un tensor
m¶etrico, R¹º es el tensor contra¶³do de Ricci y T¹º es
el tensor energ¶³a{materia.
En 1916,18 el astr¶
onomo alem¶
an Karl Schwarzschild
(1873{1916) encontr¶
o una soluci¶
on rigurosa para la
ecuaci¶
on de Einstein, ec. 5, al considerar una masa puntual M , colocada en un campo gravitacional isotr¶
opico y est¶
atico. Esta soluci¶
on es conocida como la m¶etrica de Schwarzschild, y est¶
a dada
por:
¸
·
¸¡1
·
2MG
2MG 2 2
c dt ¡ 1 ¡ 2
dr2
ds2 = 1 ¡ 2
c r
c r
¡r2 dµ 2 ¡ r2 sen2 µdÁ2
(6)
En esta expresi¶
on se ve claramente que, cuando r
llega al valor 2M G=c2 , ocurre una singularidad en
ds2 (ds = c2 d¿ 2 ! 1); este valor de r se conoce
como raz¶
on de Schwarzschild.
Al considerar que el potencial gravitacional V est¶a
dado por la expresi¶
on , la expresi¶
on 6 nos muestra19
que si ¢¿ es el intervalo de tiempo para un reloj
colocado en el in¯nito (V = 0) y ¢¿0 el intervalo
correspondiente por un reloj en un sitio de potencial
gravitacional newtoniano V , entonces:
µ
¶1
V 2
(7)
¢¿0 = ¢¿ 1 + 2
c
17 E in stein , A . 1915. P r eussische A kademie der W issen schaft en , S it z un gsber icht e, P t. 2 (p . 778; 799; 831; 844).
18 S ch w ar csch ild , K. 1916.
S it z un gsber icht e P r eussische
A kademie der W issen schaft en 1 (p .189; 424).
19 Loed el, E . 1955. F¶
³sica R elat ivist a, E d itor ial Kap elu sz,
B u en os A ir es.
Paradojas de la f¶³sica. Parte 2. Jos¶e Mar¶³a Filardo Bassalo.
En esta ecuaci¶on se veri¯ca que un reloj, al desplazarse en regiones donde var¶³a el potencial V modi¯ca su ritmo. De este modo se resuelve la paradoja de los gemelos o sea, el astronauta gemelo regresa m¶
as joven toda vez que, en su viaje, atraviesa regiones de potenciales diferentes. Es oportuno destacar que, en octubre de 1971, dos f¶³sicos norteamericanos, Joseph C. Hafele y Richard E. Keating, probaron experimentalmente esta paradoja con relojes
at¶
omicos en aviones que, ya en tierra, fueron comparados con sus \gemelos". Para este experimento utilizaron las expresiones 4 y 7.20 Para detalles de este experimento v¶ease el excelente art¶³culo de la f¶³sica
francesa Monique Cherki, publicado en 1972.21
35
En el tercero y u
¶ltimo art¶³culo de esta serie trataremos algunas paradojas relacionadas con
fen¶
omenos cu¶
anticos: la del modelo planetario del ¶
atomo (Larmor{Rutherford), la de la ecuaci¶
on de Dirac (Klein), la paradoja de la funci¶
on de onda (SchrÄ
odinger) y la del momento magn¶etico del neutr¶
on (Gell{Mann).
cs
20 H afele, J . C . an d Keatin g, R. E . 1972. S cien ce 77 (p .
166;168).
21 C h er k i, M. 1972. L a R echer che 28 (p . 978).