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Tensiones
Tensiones yy direcciones
direcciones principales
principales
RESISTENCIA
[T ]
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
r r r
n1, n2 , n3
[T ]xyz
⎛ σ x τ xy τ xz ⎞
⎜
⎟
= ⎜τ xy σ y τ yz ⎟
⎜τ
⎟
τ
σ
yz
z ⎠
⎝ xz
ÁLGEBRA
MATRIZ
DIAGONALIZABLE
AUTOVALORES
AUTOVECTORES
[T ]123
⎛σ 1 0 0 ⎞
⎜
⎟
= ⎜ 0 σ2 0 ⎟
⎜0 0 σ ⎟
3⎠
⎝
z
σz
τ yz
τ xz
τ xy
σy
y
3
σ3
σx
x
P
σ1
1
σ2
2
OBTENCIÓN DE TENSIONES PRINCIPALES
• Definición de tensión principal
• Vector tensión en función de [T]
r
r
σ ⋅ n = [T ] ⋅ n
Determinante
de coeficientes
nulo
r r
[T − σ ⋅ I ]⋅ n = 0
r
σ = σ ⋅n
r
r
σ = [T ] ⋅ n
r
Sistema de
ecuaciones
en α, β, γ
T −σ ⋅I = 0
σ 3 − A σ 2 + Bσ − C = 0
Ecuación
característica
INVARIANTES DE [T]
• A: Invariante lineal
σx +σy +σz
• B: Invariante cuadrático
σ xσ y + σ xσ z + σ y σ z − τ
• C: Invariante cúbico
Det [T]
2
xy
−τ
2
xz
−τ
2
yz
EJEMPLO
⎛ 1 −4 6 ⎞
⎜
⎟
[T ] = ⎜ − 4 − 3 − 2 ⎟ (MPa )
⎜ 6 −2 2 ⎟
⎝
⎠
C
álculo de tensiones principales
Cálculo
Ecuación característica
1− σ
−4
−4
3 −σ
6
−2
σ1 = 9 MPa
T − σ ·I = 0
6
−2 =0
σ − 63 σ − 162 = 0
3
2 −σ
σ2 = -3 MPa
σ3 = -6 MPa
C
álculo de la direcci
ón principal 1
Cálculo
dirección
r r
• Sustituir σ11 en [T − σ 1 ⋅ I ] ⋅ n = 0
6 ⎞ ⎛α ⎞ ⎛ 0⎞
⎛1 − 9 − 4
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ − 4 3 − 9 − 2 ⎟ ⋅ ⎜ β ⎟ = ⎜0⎟
⎜ 6
⎟ ⎜ γ ⎟ ⎜0⎟
−
2
2
−
9
⎝
⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎧− 8α − 4 β + 6γ = 0 (1)
⎪
⎨− 4α − 12 β − 2γ = 0 (2)
⎪6α − 2 β − 7γ = 0
(3)
⎩
• Poner α y β en funci
ón de γ
función
(1) – 2 · (2) → 20 β + 10 γ = 0 → β = - ½ γ
(1) – 2 · (3) → - 20 α + 20 γ = 0 → α = γ
rt
• Dar un valor a γ (distinto de cero) u 1 = (2 − 1
• Normalizar el vector
r
u1 = 3
r t
1
n 1 = (2
3
−1
2)
2)
C
álculo de las direcciones principales 2 y 3
Cálculo
r r
[T − σ 2 ⋅ I ]⋅ n = 0
• Sustituir σ22 en
• Repetir el proceso y obtener la d. p. 2
rt 1
n2 = (− 1 2 2)
3
• Forzar a que la d. p. 3 forme un triedro
a derechas con 1 y 2
r
r r
n3 = n1 × n2
rt 1
n3 = (− 2 − 2 1)
3