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La matemática discreta como herramienta motivacional y de desarrollo del pensamiento crítico
en la escuela secundaria
Damian Lampert y Silvia Porro
Universidad Nacional de Quilmes. Grupo de
Investigación en Enseñanza de las Ciencias (GIECIEN), Roque Sáenz Peña 352.
C. P. 1876. Bernal, Provincia de Buenos Aires, Argentina
[email protected], [email protected]
Resumen
El propósito de este trabajo es comunicar acerca de la tarea de extensión que realizó el Grupo
de Investigación en Enseñanza de las Ciencias (GIECIEN). Se detalla un taller desarrollado de
matemática discreta en el último año de la escuela secundaria utilizando herramientas
multimedias y recursos informáticos.El objetivo del mismo, si bien llevó el nombre de taller de
informática, para no perturbar con la palabra “matemática”, fue buscar aplicaciones y usos
diferentes de dicha disciplina que no requieran hacer cálculos.
Los temas abarcados fueron lógica proposicional, investigación operativa, algoritmos y
programación, topologia, álgebra de Boole y técnicas de conteo. Se detallan las estrategias
utilizadas para la motivación y el desarrollo del pensamiento critico, a través de la aplicación de
conocimientos matemáticos a casos concretos de la vida cotidiana.
A partir del desarrollo del taller, no solo se incrementó el interés por la matemática sino también
por las carreras cientifico-tecnológicas que incluyen los procesos industriales utilizados, como
así, se desarrollaron habilidades para resolver problemas de cualquier índole de una forma
ordenada y detallada.
Introducción
Numerosos estudios han demostrado el decrecimiento en la matrícula de ingresantes a carreras
de ciencia o tecnología ( Rembado,Roncaglia y Porro,2007;Roncaglia,Rembado y Porro,2008;
Wainmaier, Viera,Roncaglia,Ramirez,Rembado y Porro,2006)y la mala percepción del público
en general sobre la matemática en dichas carreras. Consideramos que la solución al problema
se encuentra en las bases mismas de la educación. Es en la escuela primaria y secundaria
donde hay que aprovechar la iniciativa, la creatividad y espíritu curioso de los niños que los
enfrenta a un sin número de interrogantes que son la base de toda ciencia. Si la institución
escolar no se interesa por indagar en la curiosidad innata de los niños, esta capacidad se va
aletargando hasta quedar casi invisibilizada por las urgencias a las que los enfrenta la actividad
escolar.
La matemática suele describirse como una asignatura “difícil”, “aburrida”, “fría” e “inservible”. Si
la enseñanza de la matemática comienza con una experiencia discrepante, la indagación
vendrá a continuación como una consecuencia natural del interés y entusiasmo del alumno. Las
experiencias discrepantes son la que sorprenden al espectador porque su resultado no es el
esperado, esto les permite a los alumnos desestructurar el pensamiento y generar actitudes
interiores diferentes y enriquecedoras, además de estimular la investigación y el interés.
Cuando los alumnos están motivados las condiciones para aprender son más favorables, los
niños son por naturaleza curiosos y desde pequeños indagan el mundo a través del método de
ensayo- error, y por su parte, la escuela en muchas ocasiones no pareciera estar preparada
para capitalizar esa curiosidad en aras de mejorar los procesos de aprendizaje
Frente a esa situación y las dificultades de aprendizaje en matemática, el proyecto de
extensión: “La ciencia va a la escuela” diseñó una asignatura de Matemática computacional y
“teórica” que constituye los conceptos de Matemática discreta.
La matemática discreta es la parte de las matemáticas que estudia objetos discretos. Lo
discreto es lo contrario a lo continuo, es decir aquello que se puede contar. Siendo lo continuo
aquello que se puede medir (Jiménez y Barrasa, 2010). Allí radica la primera diferencia con la
matemática que están acostumbrados a estudiar en la escuela secundaria: lo discreto implica
otro accionar, otro uso de los números.
Relacionado al concepto de discreto figura el concepto de los números naturales
La matemática discreta engloba diferentes disciplinas como el álgebra de Boole, la teoría de
grafos, la combinatoria, la lógica proposicional, los algoritmos, etc. Esto implica su interés en la
informática y las telecomunicaciones: la información se manipula y almacena en los
ordenadores en forma discreta (palabras formadas por ceros y unos), se necesita contar objetos
(unidades de memorias, unidades de tiempo), se precisa estudiar relaciones entre conjuntos
finitos (búsquedas en bases de datos y es necesario analizar procesos que incluyan un número
finito de pasos (algoritmos).
Comprender conceptos de matemática discreta permite desarrollar un razonamiento critico de
los fenómenos que nos rodean (Artigue,1995) , por ejemplo ¿Qué tanta matemática hay al
prender y apagar una luz?, ¿Mandar un WhatsApp implica una secuencia
ordenada? ¿El
recorrido de los subtes es matemática?
“Pensamiento crítico es pensamiento reflexivo y razonable que se orienta a decidir qué creer o
hacer” (Norris y Ennis, 1989). Muchas personas constituyen razonamientos e investigaciones
complejas y jamás se toparon con matemática discreta (más específicamente, lógica). Sin
embargo, las personas que tienen conocimientos discretos, tienen más posibilidades de razonar
correctamente que aquellas que nunca se interesaron en estas cuestiones (Schujman, 2006).
En la mayoría de conjuntos de habilidades propuestos figuran las habilidades de pensamiento
crítico entre las que se incluye la destreza para solucionar problemas; por esta razón, es
necesario la búsqueda de métodos efectivos para ayudar a que los estudiantes las desarrollen.
Para atender esta necesidad, la matemática discreta computadores constituye una buena
alternativa, siempre y cuando se la enfoque al logro de esta destreza y no al uso de un único
mecanismo para la resolución de problemas. Esto en cuanto a la solución de problemas, pero
hay otra habilidad de pensamiento que también se puede
ayudar a desarrollar la creatividad, y como base de ésta, la motivación.
Objetivo
Fomentar el interés y la motivación por la matemática aplicada y el desarrollo del pensamiento
crítico mediante la creación de un curso extracurricular de matemática discreta con el empleo
de software y recursos multimedia
Metodología
El taller se implementó en 3 escuelas secundarias de forma optativa para los estudiantes del
último año. Con la finalidad de impulsar el desarrollo y la asistencia al curso y considerando la
idea de que la gran mayoría de los estudiantes prefiere “menos matemática” (Huidobro Rojo,
2010) se denominó a la asignatura extracurricular como “Taller de informática aplicada”.
A continuación se detalla el propósito de la asignatura, los objetivos y los contenidos mínimos;
Propósito del taller
La convergencia tecnológica, conforma una nueva base de integración en la expansión
tecnológica, comunicativa y social de los ciudadanos, al permitir el acceso personal a un mundo
global, complementado por nuevas interfaces comunicativas, digitales y colaborativas en lo
denominado “Revolución Tecnológica impulsa procesos globalizadores en la economía,
mundialización de las comunicaciones y digitalización de la cultura” (Palamidessi, 2006).
Esta modalidad de taller tiene como finalidad desarrollar un espacio multidimensional que
proponga formas colaborativas de acceso al conocimiento, donde se construyan ideas,
conceptos e interpretaciones y se utilice el razonamiento critico en la aplicación a la vida
cotidiana.
A nivel profesional, los tópicos abordados serán de suma utilidad en las diferentes carreras
elegidas en el futuro por los alumnos. Dando principal importancia a la resolución e
implementación de software para la resolución de problemáticas de índole económico, social y
sobre todo, científico-tecnológico
Mariano Palamidessi sugiere que “este nuevo escenario histórico (…) plantea la necesidad de
que las escuelas preparen a las futuras generaciones en un conjunto más amplio, diverso y
complejo de capacidades, entre las que se destacan las de utilizar tecnologías y entornos
digitales, construir conocimiento en un mundo de superabundancia de fuentes de información y
comunicarse y trabajar en red”.
Los tópicos a detallar a continuación incluyen una síntesis y una selección de los contenidos
que se desarrollarán en el taller: lógica proposicional, algoritmos y estructura de datos, álgebra
de Boole, relaciones, investigación operativa, topología, etc.
Para abordar esas temáticas no se propone realizar ejercicios de forma manual sino
implementar diferentes Software para la resolución de problemas aplicados. Logrando de esta
manera, que los alumnos puedan incorporar las herramientas informáticas, no solo a su
actividad diaria, sino también a sus futuros empleos.
Objetivos
En términos generales, se pretende que los alumnos logren:
Comprender el funcionamiento de un Sistema informático en términos generales.
Diferenciar entre datos e información.
Interpretar los procesos de la comunicación.
Gestionar correctamente la recepción, almacenamiento, modificación, transferencia y
búsqueda de información dentro del software de aplicación utilizado.
Relacionar y aplicar los conceptos de lógica proposicional y de clase en el desarrollo de
Software.
Crear Software de interés laboral y personal
Desarrollar dispositivos electrónicos y autómatas a partir del álgebra de Boole
Comprender el concepto de topología y su valor en los procesos ingenieriles
Conocer y comprender los fundamentos de la lógica matemática, los conceptos y los
símbolos que representan; y que constituyen el “vocabulario lógico”
Plantear razonamientos deductivos como un procedimiento mediante el cual, partiendo
de hipótesis o premisas cuya verdad se conoce, se demuestra la verdad de una
proposición (la conclusión)
Conocer herramientas de automatización industrial y simulación de procesos industriales
y económicos
Utilizar modelos para la toma de decisiones
Transcribir problemáticas teóricas al uso de software numérico para su resolución
Contenidos Mínimos
Lógica proposicional
Algebra de Boole
Lenguaje Unificado de Modelado
Algoritmos
Teoría de grafos
Principios de topología
Modelo de redes
investigación operativa
Desarrollo
Para cada unidad del taller se utilizaron estrategias (Davini, 2008) y recursos diferentes.
Lógica proposicional fue el tema introductorio y constituye los cimientos necesarios para el
desarrollo y la interpretación de algoritmos y la programación de circuitos electrónicos (álgebra
de Boole) ya que, mediante reglas y técnicas, brinda diferentes formas de razonamiento.
Los contenidos que se desarrollaron fueron: Proposiciones (definición), proposiciones
condicionales y equivalencia lógica, cuantificadores (existencial y universal) e inducción
matemática.
A continuación de dicha unidad, se prosiguió con álgebra de Boole.
El control digital, y en particular el binario, está presente en todos los campos de la vida, desde
los sistemas de iluminación (prender y apagar la luz) hasta los complejos sistemas de
automatización de una vivienda. Aunque los circuitos electrónicos de estos sistemas pueden
tener niveles de complejidad muy diferentes, todos se basan en combinaciones de elementos
más pequeños llamados puertas lógicas, las cuales se construyen a partir de transistores y
elementos pasivos. Las puertas lógicas funcionan con “0” y “1”. El “1” se asociará al estado de
conmutador CERRADO, ENCENDIDO, VERDADERO, y el “0” se asocia al estado de
conmutador ABIERTO, APAGADO o FALSO.
Esta unidad de simulación se utilizó mediante el software Crocclip, un software de descarga
gratuita que permite simular procesos de electrónica. Los elementos del circuito se arrastran
desde la barra de componentes hasta el área de trabajo y las conexiones se consiguen
haciendo clic con el botón izquierdo del ratón sobre el terminal de cualquier elemento. Se
observa que aparece un rollo de hilo.
Figura 2: Interfaz de trabajo de Crocclip
La realización de circuitos lógicos, que simulan procesos, desde encender una lata hasta
automatización de una línea de producción, es una forma de programación. Para que los
circuitos diseñados funcionen correctamente, es necesario que se cumplan ciertas instrucciones
y pasos. No es lo mismo enviar un “0” o un “1” en una orden. Frente a esta aclaración surge el
concepto de algoritmo.
Un algoritmo es una secuencia de instrucciones que representan una solución frente a una
situación problemática. Consiste en aplicar adecuadamente una serie de pasos detallados que
aseguran una solución correcta (López García, 2009).La solución de problemas mediante la
programación posibilita la activación de una amplia variedad de estilos de aprendizaje. Los
estudiantes pueden encontrar diversas maneras de abordar problemas y plantear soluciones, al
tiempo que desarrollan habilidades para: visualizar caminos de razonamiento divergentes,
anticipar errores, y evaluar rápidamente diferentes escenarios mentales (Stager, 2003).
Cuando uno se encuentra frente a una situación problemática, debe leer el problema,
entenderlo completamente. Posterior a eso se diseña un algoritmo que lo resuelva por medio de
pasos sucesivos y organizados en secuencia lógica. El concepto intuitivo de algoritmo se puede
encontrar en procesos cotidianos de los cuales muchas veces no se es consciente. Por
ejemplo, el crecimiento es un concepto intuitivo de algoritmo con el que se convive a diario sin
que haga falta una definición “matemática” del mismo.
Los Algoritmos se puede expresar mediante Pseudocódigo y Diagrama de Flujo.
En el primero, el algoritmo se expresa como procedimientos mientras que en el segundo se
suele utilizar gráficos.
El diagrama de flujo se realiza bajo formas geométricas detalladas en la norma ISO 5807, con
la finalidad de utilizar un lenguaje universal.
Con la elaboración del algoritmo, se tiene el
“esqueleto” del problema a resolver, es
decir, se encuentran los pasos establecido
para poder llevarlo a cabo.
La puesta a punto se realizó mediante el
software Visual Basic. Este es un lenguaje
de programación, desarrollado por Alan
Cooper para Microsoft.
En dos de los colegios en los cuales se
realizó el taller, los estudiantes ya tenían
conocimiento del programa por Nticx, sin
embargo en el tercer colegio, se abordó
interdisciplinariamente con los docentes de
informática para no demorar demasiado en
lo que es la estructura de manejo del
software.
Partiendo del desarrollo de algoritmos se
utilizaron en la unidad de investigación
operativa, bajo un enfoque económico y
social, para abordar diferentes perspectivas
y usos de la matemática.
El último bloque corresponde al de topología, el mismo se utilizó para el desarrollo de redes.
En palabras de Marta Macho Stadler “la topología se ocupa de aquellas propiedades de las
figuras que permanecen invariantes, cuando dichas figuras son plegadas, dilatadas, contraídas
o deformadas, de modo que no aparezcan nuevos puntos, o se hagan coincidir puntos
diferentes. La transformación permitida presupone, en otras palabras, que hay una
correspondencia biunívoca entre los puntos de la figura original y los de la transformada, y que
la deformación hace corresponder puntos próximos a puntos próximos. Esta última propiedad
se llama continuidad, y lo que se requiere es que la transformación y su inversa sean ambas
continuas: así, trabajarnos con homeomorfismos”
Los tres pilares desarrollados fueron la teoría de grafos, la teoría de nudos y la teoría de
superficies.
El primer pilar se desarrolló a
partir del problema de los siete
puentes
de
Konisberg,
concluyendo, con la resolución
del problema, en el segundo pilar:
¿Es posible planificar un paseo
tal que se crucen todos los
puentes sin pasar por ninguno
más de una vez?
En 1736 Euler probó que la respuesta era negativa, usando un grafo: dibujó sobre una hoja de
papel cuatro vértices que simbolizan las cuatro partes separadas de la ciudad, después se
trazan entre estos vértices las aristas, simbolizando los puentes.
“Un grafo se llama conexo si existe un camino ligando cada par
de vértices. Un camino sobre un grafo se llama euleriano, si
pasa por cada arista exactamente una vez. Un circuito es un
camino cerrado. El grado de un vértice es el número de aristas
que llegan al él. Teniendo en cuenta estas definiciones, Euler
Figura5: Teorema de
Euler
demuestra: Teorema de Euler. Existe un circuito euleriano en un
grafo si y sólo si el grafo es conexo y cada vértice tiene grado
par”
Para el tercer pilar, se utilizó la película Argentina “Moebius”,
dirigida por Gustavo Mosquera R. La película trata acerca de
un subterráneo que desaparece junto a sus pasajeros en
alguno de los túneles. Sin embargo, se sienten las
vibraciones y el sonido del pasaje del tren. Frente a esta
situación, el topógrafo Daniel Pratt, es enviado para la
búsqueda de una solución del problema. En su búsqueda,
descubre que la red entera ha adquirido una complejidad
inusitada que imita la estructura de una banda Moebius, en
donde se encuentra atrapado el tren y sus pasajeros.
La película, permite un acercamiento a la aplicación de las
Figura 6: Pelicula Moebius
matemáticas, más allá de las cuentas y la calculadora, es por ello que su uso en el último
bloque del taller tenía una doble finalidad: por un lado fomentar el marco teórico sobre la
topología y partir, con el diseño de los subtes en Capital Federal, con la compresión del diseño
de las redes informáticas. Por otro lado, muestra un papel fundamental de la matemática en la
vida cotidiana, sirviendo como cierre del taller para concluir que lo que se hizo fue otra rama de
la matemática.
Conclusión
Con la puesta en marcha del curso, fueron varias los temas de matemática (Independientes de
los contenidos del taller) que se lograron afianzar y a la vez, que se comprendan desde otra
perspectiva:
Concepto de variable. Una variable es una ubicación de memoria en el computador o en
la calculadora que tiene un nombre (identificador) y en la que se pueden almacenar
diferentes valores.
Aplicación de la geometría a la vida cotidiana: principalmente fue el caso del uso de la
topología en el desarrollo de redes y cómo la matemática influye directamente en los
procesos ingenieriles e industriales.
Manejo de ecuaciones y graficación.
Modelado matemático. Algunas de las ideas clave de los modelos matemáticos están
presentes en la simulación de procesos tales como resolución de problemas económico,
gestión de la producción, demótica, robótica, etc.
Uso de algoritmos: Mas allá de que los algoritmos se presentaron como una secuencia
de pasos previos a la programación, uno de los ejercicios finales del curso fue que
seleccionen un problema de la carpeta de Matemática curricular, que para cada uno sea
“difícil” y lo resuelvan mediante el empleo de un algoritmo. Esta actividad fomentó que
los alumnos incorporaran una nueva estrategia de uso crítico para resolver problemas
de distintas índole, manteniendo un orden y llevando a cabo una lectura detallada y
rigurosa.
En torno a la motivación, se realizó una encuesta para recibir una devolución individual del
taller, sin entrar en detalle en los contenidos, y de un total de 117 encuestados resulto que el 67
% indicó que el taller era útil e influyó en su perspectiva hacia la matemática, el 12% indicó que
el taller era útil (sin aclarar un cambio en la visión de la matemática), el 19% que no les pareció
útil y el resto (2% del total) respondió en blanco. Más allá del análisis estadístico, el interés se
manifestó en que un 12% de los estudiantes decidieron estudiar carreras afines al curso:
Ingeniería en automatización y control industrial, Licenciatura en desarrollo de software
(Universidad Nacional de Quilmes), Licenciatura en Matemática (Universidad Nacional de la
Plata), Profesorado en Matemática (Instituto Superior de Formación Docente n° 24) e Ingeniera
en Electrónica (Universidad Tecnológica Nacional).
El razonamiento lo notaron ellos mismos cuando en el último encuentro, a carpetas cerrada, se
nombraron diferentes procesos y explicaron cómo lo programarían o, asimismo, entender cómo
funcionan sensores en alarmas, bombas, cintas transportadoras, etc. Una estudiante en uno de
los colegios, en forma de chiste agregó “aprendimos a razonar la matemática y entender un
poco el contexto en el que sale tanto formuleo”. Si bien dicha reflexión cumple el objetivo del
desarrollo del taller, implica que la matemática discreta permitió comprender la Naturaleza de la
Ciencia y la Tecnología, ya que todos los bloques desarrollados fueron explicados en torno al
contexto social y filosófico de la época. Este resultado no estaba en lo planificado
Por ejemplo, con el origen del término de investigación operativa, que se debe a la de investigar
las operaciones tácticas y estratégicas de la defensa aérea, durante la 2da Guerra Mundial,
ante la incorporación de un nuevo radar, en oportunidad de los ataques alemanes a Gran
Bretaña.
Bibliografía
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Wainmaier, C., Viera, L., Roncaglia, D., Ramírez, S., Rembado, F. y Porro, S., Competencias a
promover en graduados universitarios de carreras científico-tecnológicas: la visión de los
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Link de descargar del software Crocclip (última visita 23 de febrero de 2016)
http://crocclip.uptodown.com/