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Introducción a la Topología
Curso 2016
Centro de Matemática
Facultad de Ciencias
Universidad de la República
NOTAS TEÓRICO-PRÁCTICAS 7: AXIOMAS DE SEPARACIÓN
Denición. Un espacio topológico X se dice T0 , o de Kolmogorov, si dados dos puntos x e y
existe un entorno U de x tal que y ∈/ U o un entorno de V de y tal que x ∈/ V .
Desde el punto de vista topológico un espacio es T0 si los puntos son topológicamente
distinguibles. Los espacios topológicas con la topología discreta, y los espacios metrizables son
T0 . Sin embargo un espacio X con card(X) > 1 con la topología indiscreta no es T0 . Otro
ejemplo de espacio no T0 es R2 donde los abiertos son de la forma U × R, donde U ⊂ R es
abierto.
Ejercicio 1. Probar que un espacio topológico X es T0 si y sólo si para todo x, y ∈ X , Nx = Ny
implica x = y .
Denición. Un espacio X es T1 si dados dos puntos x e y existen U entorno de x y V entorno
de y tal que x ∈/ V y y ∈/ U .
T
Ejercicio 2. Probar que X es T1 si y sólo si U ∈Nx U = {x}. Probar que X es T1 si y sólo si
todos los puntos son cerrados.
Ejemplo. Consideremos R con la topología dada por los conjuntos que contienen al cero. Este
espacio es T0 pero no es T1 ya que si x 6= 0 no existe ningún entorno abierto de x que no
contenga a 0.
Denición. Recordar que un espacio topológico X es T2 o de Hausdor si para todo par de
puntos x, y ∈ X existen entornos U y V de x e y respectivamente tal que U ∩ V = ∅.
Ejemplo. Consideremos X un conjunto innito con la topología de los complementos nitos.
Es fácil ver que X es T1 pero no de Hausdor.
Ejercicio 3. Probar que todo subespacio de un espacio de Hausdor es de Hausdor.
Denición. El espacio X se dice regular o T3 si los puntos son cerrados y dados un punto x y
un cerrado C que no contiene a x existen un entorno U de x y un entorno abierto V de C tal
que U ∩ V = ∅.
Observar que la condición de que los puntos son cerrados es necesaria para que todo espacio
regular sea de Hausdor: si X es un conjunto de dos puntos con la topología indiscreta no es
de Hausdor pero sin embargo cumple con la segunda parte de la denición de espacio regular.
Ejercicio 4. Sea X un espacio T1 . Probar que X es regular si y sólo si para todo punto x y
entorno U de x existe un entorno V de x de forma tal que V ⊂ U .
Ejercicio 5. Probar que todo subespacio de un espacio regular es también regular.
Denición. El espacio X es normal o T4 si los puntos son cerrados y dados dos cerrados
disjuntos C1 y C2 existen respectivos entornos U y V disjuntos.
Ejercicio 6. Sea X un espacio T1 . Probar que X es normal si y sólo si para todo cerrado C y
abierto U que contiene a C existe un abierto V tal que C ⊂ V ⊂ U .
Ejercicio 7. Probar que todo espacio metrizable es normal.
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