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PROBLEMAS
DE
PROBABILIDAD
1.­
Se
realiza
el
siguiente
experimento
aleatorio:
Se
introducen
en
una
urna
4
bolas
numeradas
del
3
al
6,
y
se
saca
una
bola
al
azar.
A
continuación,
se
tira
un
dado,
y
se
suman
los
resultados.
Se
pide:
a)
Calcular
todos
los
casos
posibles
y
definir
el
Espacio
muestral
E.
b)
Definir
el
suceso
B:”
el
resultado
es
primo”
y
calcular
su
probabilidad
c)
Definir
el
suceso
A:
“Sale
múltiplo
de
5”
y
calcular
su
probabilidad
d)
Definir
el
suceso
C:
A ∪ B (primo
ó
múltiplo
de
5)
y
calcular
su
probabilidad
e)
Definir
el
suceso
contrario
de
C:
Cc
y
calcular
su
probabilidad.
€
SOLUCIÓN
En
primer
lugar,
dado
que
se
trata
de
un
experimento
aleatorio
compuesto,
vamos
a
definir
en
una
tabla
los
resultados
de
cada
uno
de
los
experimentos
(urna
y
dado)
y
los
cruzaremos,
en
este
caso,
sumando
los
resultados:
1
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
Ahora,
con
esta
tabla
iremos
contestando
todos
los
apartados:
a
)
Los
casos
posibles
son
24,
aunque
como
se
repiten
algunos,
se
queda
reducido
a
9.
El
espacio
muestral
es
E: {4,5,6,7,8,9,10,11,12}
b)
Definimos
B,
eligiendo
del
espacio
muestral,
los
primos:
B = {5,7,11} Para
calcular
su
probabilidad,
utilizamos
la
regla
de
Laplace,
pero
para
ello
hay
que
€
contar
en
la
tabla,
donde
están
los
24
casos
posibles
(cada
celda
tiene
la
misma
probabilidad
que
las
demás)
así:
Casos Favorables N º de 5,7y11 en €
la tabla 8 1
P ( B) =
=
=
= Casos Posibles
N º de celdas en la tabla 24 3
que
multiplicado
por
100
para
expresarlo
en
porcentaje
es
33,3%
c)
Ahora
hacemos
lo
mismo
que
antes
pero
elegimos
los
múltiplos
de
5.
€
5
A= {5,10} P ( A) = multiplicamos
por
100
y
obtenemos
la
probabilidad
en
24
porcentaje:
20,83%
d)
La
unión
de
dos
sucesos
es
otro
suceso
que
tiene
los
elementos
de
ambos:
€
€
C = A ∪ B = {5,7,10,11} y
su
probabilidad
se
calcula
igual,
contando
los
5,7,10
y
11
que
hay
en
la
tabla
y
dividiéndolo
entre
las
24
celdas
que
hay:
11
P (C ) = en
porcentaje:
P(C)
=
45,83%
24
€
€
e)
El
suceso
contrario
a
uno
dado
es
un
suceso
formado
por
todos
los
casos
que
no
están
en
él,
en
este
caso
todos
los
resultados
distintos
de
5,7,
10
y
11,
así:
C c = {4,6,8,9,12} y
su
probabilidad
se
puede
calcular
de
dos
formas
diferentes,
aplicando
la
regla
de
Laplace
y
contando
en
la
tabla
los
4,
6,
8,
9
y
12
que
hay
,
que
son
13
y
dividirlo
por
24.
Como
ante,
o
podemos
observar
que
por
ser
el
suceso
contrario
a
C,
su
probabilidad
será
100‐
P(C),
ya
que
ambas
tienen
que
sumar
100%.
€ Así:
P(C)=
100‐45,83=54,16%
2.­
Realizamos
un
determinado
experimento
aleatorio,
y
definimos
dos
sucesos
A
y
B
tal
que
A=Bc,
es
decir,
son
contrarios.
Si
sabemos
que
la
probabilidad
de
A
es
34
%
¿Cuál
es
la
probabilidad
de
B?
SOLUCIÓN:
P(B)
=100‐P(A)
=
100‐34
=66%
3.­
Esta
mañana
el
hombre
del
tiempo
ha
dicho
que
la
probabilidad
de
lluvia
hoy
es
del
35
%.
En
base
a
esa
afirmación,
¿Cuál
es
la
probabilidad
de
que
no
llueva
hoy?
4.­
Tiramos
dos
monedas,
¿cuál
es
la
probabilidad
de
que
salga
lo
mismo
en
las
dos
monedas?
¿Y
la
probabilidad
de
que
salgan
dos
caras?
SOLUCIÓN:
C
X
C
C,C
C,X
X
X,C
X,X
2 1
“Lo
Mismo
en
las
dos”:
{(C,C ), ( X, X )} P(Lo
mismo)= = que
es
un
50%
4 2
1
“dos
caras”: {(C,C )} P(dos
caras)= que
es
un
25%
4
€
€
5.­
Tenemos
una
urna
llena
de
bolas
de
tres
colores
diferentes,
azul,
rojo
y
verde,
pero
no
sabemos
cuantas
hay.
Consideramos
el
experimento
aleatorio
€
€
consistente
en
sacar
una
bola
y
observar
el
color
que
sale.
Como
no
sé
cuántas
bolas
hay
de
cada
color,
estimaré
la
probabilidad
realizando
el
experimento
aleatorio
100
veces,
obteniendo
los
resultados
siguientes:
Sale
verde
45
veces,
sale
rojo
31
veces
y
sale
azul
24
veces.
a)
Estima
las
probabilidades
de
los
tres
casos
posibles
utilizando
esta
experiencia
b)
Volvemos
a
realizar
el
experimento
100
veces
más,
obteniendo
en
total
(las
200
veces)
78
veces
verde,
68
veces
rojo
y
54
veces
azul.
¿cuál
sería
ahora
la
estimación
de
las
probabilidades?
c)
de
las
dos
estimaciones,
¿con
cuál
nos
quedaríamos
y
por
qué?
€
€
€
SOLUCIÓN:
a)
En
esta
caso,
la
probabilidad
no
se
puede
calcular,
pero
la
estimaremos
con
las
frecuencias
relativas:
Fi
FRi
%
Verde
78
39/100
39%
Rojo
68
17/50
34%
Azul
54
27/100
27%
Totales
200
1
100
Así,
Diremos
P(Verde)=
45%;
P
(Rojo)=
31%
y
P(Azul)=24%
b)
Ahora
la
tabla
de
frecuencias
es
la
siguiente:
Fi
FRi
%
Verde
45
9/20
45%
Rojo
31
31/100
31%
Azul
24
6/25
24%
Totales
100
1
100
Así,
la
estimación
ahora
es:
P(verde)=39%;
P(Rojo)=34%
y
P(Azul)
=27%
c)
Nos
quedamos
con
la
segunda
porque
hemos
realizado
el
experimento
más
veces,
y
la
Ley
de
los
Grandes
números
nos
indica
que
cuantas
más
veces
mejor
es
la
estimación.
6.­
Realizamos
el
experimento
aleatorio
siguiente:
“Tiramos
dos
dados
y
multiplicamos
los
resultados
de
ambos
dados”
Se
pide:
a)
Calcular
todos
los
casos
posibles
y
definir
el
Espacio
muestral
E.
b)
Definir
el
suceso
B:”
el
resultado
es
mayor
de
20”
y
calcular
su
probabilidad
c)
Definir
el
suceso
A:
“Sale
múltiplo
de
6”
y
calcular
su
probabilidad
d)
Definir
el
suceso
C:
A ∩ B (mayor
de
20
y
múltiplo
de
6)
y
calcular
su
probabilidad
e)
Definir
el
suceso
contrario
de
C:
Cc
y
calcular
su
probabilidad.
€
RESPUESTAS:
a)
36
casos
posibles
que
se
quedan
en
18
porque
se
repiten
resultados,
el
espacio
muestral
es
E= {1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20,24,25,30,36} b)
B: {24,25,30,36} P(B)=
16,6%
c)
A: {6,12,18,24,30,36} P(A)=
41,6%
d)
C: {24,30,36€} P(C)=
13,8%
e)P(Cc)
=86,1%
7.­
En
una
urna
metemos
20
bolas
numeradas
con
los
10
primeros
números
impares.
De
manera
que
repetimos
cada
uno
dos
veces
(dos
bolas
con
el
1,
dos
bolas
con
el
3,
dos
bolas
con
el
5,
etc,…hasta
dos
bolas
con
el
19)
A
continuación
introducimos10
bolas
más
con
los
10
primeros
pares
(esta
vez
sólo
una
bola
por
cada
número)
De
manera
que
al
final
nos
quedan
30
bolas
en
la
urna
y
20
números
(ya
que
los
impares
están
repetidos).
Si
realizamos
el
experimento
aleatorio
“Sacar
una
bola
y
observar
el
número
que
sale”,
se
pide:
a)
Calcular
todos
los
casos
posibles
y
definir
el
Espacio
muestral
E.
b)
Definir
el
suceso
B:”
el
número
es
par”
y
calcular
su
probabilidad
c)
Definir
el
suceso
A:
“el
número
es
impar”
y
calcular
su
probabilidad
d)
Definir
el
suceso
C:
“El
número
es
múltiplo
de
3”
y
calcular
su
probabilidad
e)
Definir
el
suceso
D=AUC
y
calcular
su
probabilidad
SOLUCIÓN:
a)
los
casos
posibles
son
30,
que
se
quedan
en
20
ya
que
hay
10
repetidos
(los
impares).
El
espacio
muestral
es
E: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20} b)B: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20} y
su
probabilidad
se
calcula
considerando
las
30
bolas,
de
10 1
ellas
sólo
10
son
números
pares,
así
que
la
probabilidad
es
:
P(B) =
= → 33,3% 30 3
€
c)
A: {1,3,5,7,9,11,13,15,17,19} y
su
probabilidad
se
calcula
considerando
las
30
bolas,
de
€
ellas,
20
son
impares
ya
que
cada
número
impar
está
repetido
así,
la
probabilidad
es
20 2
€
P(A) =
= → 66,6% 30 3
€
d)
C: {3,6,9,12,15,18} y
para
su
probabilidad
hay
que
tener
en
cuanta
que
los
impares
están
dos
veces,
así
que
los
casos
favorables
serán
3
(6,
12
y
18)
+
6
(
2
treses,
2
nueves
y
2
quinces)
=
9
por
lo
que
en
la
regla
de
Laplace,
pondremos
9
en
el
numerador.
€
9
3
= → 30% € P(C)=
30 10
e)
El
suceso
D = A ∪ C es
el
suceso
formado
por
los
elementos
de
A
y
de
C,
es
decir
los
que
o
son
impares
o
son
múltiplos
de
3:
D= {1,3,5,6,7,9,11,12,13,15,17,18,19} para
calcular
su
probabilidad,
hay
que
contar
dos
€
veces
cada
impar,
en
D
vemos
que
hay
3
pares
(6,12
y
18)
que
sólo
están
una
vez
cada
€
uno
en
la
urna
(
3
casos
favorables)
,
y
10
impares,
que
en
la
urna
están
dos
veces
cada
uno,
(20
casos
favorables).
Por
lo
tanto
hay
en
total
23
casos
favorables.
Por
lo
tanto:
€
23
P(D)=
→ 76,6% 30
€