Download Ideas sobre probabilidad

1
Ideas claras sobre la probabilidad
¿Qué es la probabilidad de un suceso?
La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1
Y, ¿para qué sirve ese número?
Ese número sirve para medir la posibilidad de que un suceso ocurra al realizar una
prueba de un experimento aleatorio.
¿Qué es una prueba?
Se llama prueba a cada uno de los ensayos o realizaciones del experimento aleatorio.
¿Y qué es un experimento aleatorio?
Una operación cuyo resultado depende del azar. Por ejemplo: tirar un dado, contar el
número de personas que hacen cola en la caja del supermercado. Observar el número de
horas que una lámpara permanece encendida hasta que se funde el filamento.
¿Qué es el azar?
El azar es lo que no está determinado previamente. Lo que no se puede prever.
La palabra azar procede del árabe y significa lo mismo que la palabra aleatorio, que
procede del latín o que la palabra estocástico, que procede del griego. También se
utilizan con el mismo significado palabras como casualidad o suerte.
Entonces “lo determinado”, ¿es lo contrario de “lo aleatorio”?
Exactamente. Determinismo y azar son términos contrapuestos. Hay experimentos
deterministas como por ejemplo: dejar caer una piedra y medir el tiempo que tarda en
llegar al suelo; y experimentos aleatorios: medir el tiempo que tarda un autobús en
llegar a una de sus paradas.
¿Qué es un suceso?
En el lenguaje corriente un suceso es un acontecimiento que se puede describir con
palabras.
Ej.: Sacar un número mayor que 2 al tirar un dado. Tropezar con el borde de un peldaño
al subir una escalera...
¿Qué se entiende por suceso en la teoría matemática de la probabilidad?
Los sucesos son subconjuntos del espacio muestral.
¿Qué es el espacio muestral?
Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Por ejemplo, al tirar
un dado, el espacio muestral es E= {1,2,3,4,5,6}
¿Por qué ese nombre de “Espacio Muestral”?
Bueno, supongo que se debe a razones históricas. Se empezó a llamar así y así quedó
aunque se le hubieran podido dar otros nombres. Pero éste no parece mal escogido: cada
realización de un experimento aleatorio nos da una “muestra” de lo que puede ocurrir.
El “Espacio Muestral” está formado por todas las muestras posibles.
2
¿Cuáles serían los sucesos de este espacio muestral?
Ejemplos de sucesos en el experimento aleatorio de tirar un dado:
A=“Sacar un cinco”= {5}
B=“Sacar un número mayor que 2”= {3,4,5,6}
C=“No sacar un 6”= {1, 2, 3, 4,5}
D=”Sacar un número par”= {2, 4,6}
Decimos que un suceso ocurre cuando el resultado del experimento pertenece al suceso.
Por ejemplo, si sale un 5 han ocurrido simultáneamente los sucesos A, B y C. Si sale un
3 han ocurrido los sucesos B y C. Si sale un 1 ocurre el suceso C.
Hay también en todo experimento aleatorio un par de sucesos “triviales” que conviene
tener presente: el suceso seguro, que ocurre siempre: E = {1, 2, 3, 4,5, 6} y el suceso
imposible que no ocurre nunca ∅, el conjunto vacío.
Los sucesos formados por un solo elemento, se llaman sucesos elementales. Ej.: {1},
{2}, {5}, etc.…
En un vistazo al capítulo de probabilidad de mi libro de texto, he visto que se
hacen operaciones con los sucesos...
Efectivamente, fundamentalmente son tres operaciones: el contrario, la unión y la
intersección.
¿Cuál sería el contrario de un suceso?
Por ejemplo: el contrario del suceso A del ejemplo anterior sería el suceso A’ = “No
sacar un 5”. Análogamente B’= {1,2}. El contrario del suceso seguro es el suceso
imposible y viceversa.
¿Cuál sería el suceso unión de los sucesos B y D del ejemplo anterior?
Sería el suceso B ∪ D = {2, 3, 4, 5,6}. Es el suceso que ocurre cuando ocurre al menos
uno de los dos B o D.
¿Entonces el suceso intersección consistirá en que ocurran los 2 a la vez?
Exactamente. La única forma de que ocurran simultáneamente los sucesos B y D es que
en el dado salga un 4 o un 6 por eso B ∩ D= {4,6}
¿Cómo calculamos la probabilidad de un suceso?
La teoría de la probabilidad nos proporciona métodos para ello. En muchos casos se
puede aplicar un método sencillo que se llama Regla de Laplace.
¿Qué dice la Regla de Laplace?
Dice que la probabilidad de un suceso se obtiene dividiendo el número de casos
casos favorables
favorables entre el número de casos posibles.
probabilidad =
casos posibles
Por ejemplo, según esta regla, la probabilidad de sacar una figura (sota, caballo o rey)
en una baraja de 40 cartas es 12/40=0,3
¿Cuándo se puede aplicar la Regla de Laplace?
Cuando todos los casos posibles son igualmente probables.
Ej.: Si un dado está construido con material homogéneo y con forma de cubo perfecto y
sin trampa, todos los resultados son igualmente probables. La probabilidad de sacar un
número mayor 2 es 4/6= 0,6666... porque en el dado hay 6 casos posibles y sólo 4 de
ellos son números mayores que 2: {3, 4, 5, 6}
3
La probabilidad de obtener cara al tirar una moneda es 1/2=0,5
La probabilidad de sacar un as en una baraja de 40 cartas es 4 /40 = 0,1
Si una urna tiene 3 bolas blancas y 7 negras y se extrae una bola al azar, la probabilidad
de que salga negra es 7/10 = 0,7
¿Cuáles serían las probabilidades de los sucesos A, B y C de un ejemplo anterior?
A era =“Sacar un cinco”={5} , B=“Sacar un número mayor que 2”={3,4,5,6} y C=“No
sacar un 6”={1,2,3,4,5}
P(A)=1/6 ; P(B) = 4/6=2/3 y P(C) = 5/6 . En general se puede decir que :
P ( A) =
número de elementos de A n ( A)
=
número de elementos de E n( E )
siempre que los sucesos elementales sean
igualmente probables.
¿Qué pasa con estas probabilidades en un dado mal construido?
Si fabricamos un dado sin demasiada precisión, por ejemplo cortando una goma de
borrar con una navaja de manera que el dado resulta con unas caras más grandes que
otras, y con ángulos entre caras contiguas que no son exactamente de 90º, los distintos
resultados no tendrán la misma probabilidad y no podemos aplicar la regla de Laplace.
Las probabilidades son desconocidas. Hay otros métodos de la teoría de la probabilidad
avanzada que permiten averiguar algo de ellas.
¿Cuál es la probabilidad del suceso imposible?
Su probabilidad es cero. P(∅)=0
Ej.: Sacar un número mayor que 6 al tirar un dado.
Entonces la probabilidad del suceso seguro, es 1…
Efectivamente. Por ejemplo: Sacar un número menor o igual que 6 al tirar un dado. P(E)
=1
A veces, los periódicos hablan de probabilidad utilizando tantos por ciento, ¿es
correcto?
Sí. Se multiplica la probabilidad por 100 y tienes el tanto por ciento.
Por ejemplo, la probabilidad de sacar un 5 al tirar un dado es 1/6 = 0,1666 = 16,66 %.
La probabilidad de sacar cara al tirar una moneda es ½ = 0,5 = 50 %. Es otra forma de
decir lo mismo.
Otro ejemplo: dígame en tanto por ciento la probabilidad de sacar 0, 1 ó 2 caras al tirar
dos monedas.
Bueno, al tirar dos monedas los casos posibles son sacar 0, 1 ó 2 caras. Supongo
que son igualmente probables así que la probabilidad de cada caso es de 1/3 que es
el 33,33%...
Disparate. No son igualmente probables. El espacio muestral del experimento de tirar
dos monedas es:
E = { (c,c) , (c,+) , (+,c) , (+,+) }
formado por 4 casos que sí son igualmente probables. Por tanto:
P(nº de caras = 0) = P{(+,+)} = 1/4 = 25%
P(nº de caras = 1) = P{(c,+), (+,c)} = 2/4 = 50%
P(nº de caras = 2) = P{(c,c)} = 1/4 = 25%
4
O sea que por término medio, al tirar dos monedas una cara aparecerá el doble
número de veces que 2 caras... Tengo que comprobarlo...
Hágalo, no tardará mucho en convencerse de que es así.
Además de la regla de Laplace, ¿hay otras formas de calcular probabilidades?
Efectivamente. La regla de Laplace te permite calcular la probabilidad “a priori” es
decir antes de hacer el experimento aleatorio. También se puede calcular “a posteriori”
¿Qué quiere decir “a posteriori”?
Quiere decir “después de”. Nos estamos refiriendo a medir la probabilidad después de
realizar el experimento aleatorio.
Y ¿cómo hacemos para eso?
Supongamos que realizamos N pruebas del experimento aleatorio y vemos que el
suceso A ha ocurrido n veces. Al número < n > se le llama frecuencia absoluta del
suceso A. Al número < n / N > se le llama frecuencia relativa. Pues bien, cuando el
número de pruebas es grande, la frecuencia relativa del suceso A es la medida de la
probabilidad de A .
¿O sea que la probabilidad de un suceso es el número de veces que ocurre dividido
entre el número de veces que hemos repetido el experimento?
Sí, siempre que el número de repeticiones del experimento sea grande.
Pero entonces la probabilidad del mismo suceso puede dar resultados distintos.
Por ejemplo, tiro un dado 100 veces y el 5 sale 21 veces. La frecuencia relativa
sería 0,21. Tiro el dado otras 100 veces y el 5 sale 15 veces. La frecuencia relativa
es ahora 0,15. ¿Cuál es la probabilidad?
Cuando se dice que el número de repeticiones del experimento ha de ser grande, se
quiere decir que ha de ser suficientemente grande como para que no ocurran esas
contradicciones. Evidentemente, para el experimento de tirar un dado, 100 no es un
número suficientemente grande.
¿Cómo podemos saber que el número de repeticiones es suficientemente grande?
Hay una ley que podemos comprobar experimentalmente y que llamamos ley del azar o
también ley de los grandes números, que se formula así: Las frecuencias relativas de
un suceso A: n/N, tienden a estabilizarse y se hacen aproximadamente iguales, a medida
que crece el número N de pruebas realizadas.
Es decir, que a partir de un cierto número de repeticiones del experimento, la
frecuencia relativa se estabiliza y difiere poco de una serie de repeticiones a otra.
Así es.
Pero si tiro el dado diez mil veces, ¿hay algo que impida que las diez mil veces
salga, por ejemplo, el 5?
No, no lo hay, pero aunque usted se pase años tirando el dado, puedo asegurarle que no
sacará diez mil cincos seguidos. Si se tira el dado 10000 veces, la frecuencia relativa
del 6 será aproximadamente 0,167 ≈ 1/6. Si se hace otra serie de 10000 veces la
frecuencia relativa no será exactamente igual a la anterior, pero su diferencia con la
obtenida en la serie anterior será pequeña.
5
¿Qué más reglas hay para calcular probabilidades?
La Teoría de la Probabilidad es una materia muy extensa y hay muchos métodos y
reglas para calcular probabilidades. En un curso elemental de introducción, se puede
hablar de otras tres reglas sencillas: la regla de la suma, la regla del contrario y la regla
del producto. Pero atención, cada una de estas reglas tiene sus condiciones.
¿Qué quiere decir con eso de sus condiciones?
Por ejemplo, la regla de Laplace sólo se puede aplicar cuando los sucesos elementales
son igualmente probables. Ésa es una condición para poder aplicar la regla de Laplace.
Vayamos con la regla de la suma:
Dice así: “Si dos sucesos son mutuamente excluyentes, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) “
“Mutuamente excluyentes” es la condición…
Efectivamente.
Y qué quiere decir “mutuamente excluyentes”
Quiere decir incompatibles, que no pueden ocurrir a la vez. Es decir su intersección es
el suceso imposible.
A ∩ B = ∅ . Si ocurre uno de ellos , el otro no puede ocurrir.
Por ejemplo…
Al tirar un dada los sucesos H=”Sacar un número mayor que 2” y K=”Sacar un 1” son
mutuamente excluyentes. Comprobemos la regla de la suma en este caso:
H={3,4,5,6} ; K={1} ; H ∩ K = ∅ ; H ∪ K= {1,3,4,5,6} ; P(H) = 4/6 ; P(K) = 1/6
P( H ∪ K ) = P(H) + P(K) = 5/6
Parece una cosa bastante simple… y qué pasa cuando los sucesos no son
mutuamente excluyentes
En este caso, un razonamiento bastante sencillo que no reproducimos aquí porque viene
en casi todos los libros de texto nos dice que P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) . Esta
fórmula es la regla de la suma ampliada para cualquier par de sucesos.
¿Podemos ver un ejemplo?
Al tirar un dado consideramos los sucesos:
B=“Sacar un número mayor que 2”={3,4,5,6} ; P(B)= 4/6
D=”Sacar un número par”= {2,4,6} ; P(D) = 3/6
B ∪ D = {2,3 4, 5,6} ; B ∩ D = {4,6}
P(B ∪ D) = 5/6 = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)= 4/6 + 3/6 – 2/6
Bien, pasemos a la regla del contrario….
Es una consecuencia de la regla de la suma. Sea A’ el suceso contrario de A.
Evidentemente A y A’ son sucesos mutuamente excluyentes, (incompatibles). Además
A ∪ A’ = E . Y aplicando la regla de la suma: P(A ∪ A’) = P( E )= P(A) + P(A’ ) =
P(E ) = 1
Pero ¿a dónde quiere ir a parar?
6
A que P(A) + P(A’ ) = 1 y por tanto P(A’ ) = 1 – P(A) o P(A) = 1 – P(A’) que es la
regla del contrario: “La probabilidad de un suceso es igual a 1 menos la probabilidad del
suceso contrario”
Esta regla sólo tendrá interés si es más difícil calcular la probabilidad del suceso A
que la de A’. ¿Sucede eso frecuentemente?
Sucede algunas veces y por eso la regla del contrario es útil. Por ejemplo: Se tiran 5
monedas. Hallar la probabilidad de obtener al menos una cara. El suceso A =“Obtener
al menos una cara al lanzar 5 monedas” es el contrario de A’ = “Obtener 5 cruces al
lanzar 5 monedas” . Es más fácil calcular directamente la probabilidad de A’ y así
obtenemos que P(A) = 1 – P(A’).
Pero cuál es la probabilidad A’ = “Obtener 5 cruces al lanzar 5 monedas”
Para ese cálculo necesitamos la regla del producto.
Vamos allá pues…
La regla del producto dice que si los sucesos A y B son independientes, la probabilidad
de que ocurran ambos es el producto de sus probabilidades. Poniendo esto en una
fórmula: P( A ∩ B) = P(A) . P(B)
Pero aquí tenemos otra condición: la independencia de los sucesos A y B. ¿Qué
quiere decir que dos sucesos A y B son independientes.
Dos sucesos son independientes cuando el hecho de que ocurra uno de ellos no modifica
la probabilidad de que ocurra el otro.
Por ejemplo...
Se tiran un dado y una moneda. A=”sacar un seis”. B=”sacar cara”. El que salga un seis
(o cualquier otro resultado) en el dado, no influye para nada en la probabilidad de que
salga cara (o cruz) en la moneda. Por eso A y B son independientes y por eso, la
probabilidad de que salga un seis y cara es:
P( A ∩ B) = P(A) . P(B)=1/6 . 1/2 = 1/12
Sospecho que ya podemos calcular la probabilidad de “obtener 5 cruces al lanzar 5
monedas”
Sí, así es. Sea el suceso A1 = “obtener cruz con la moneda 1” y así definimos A2, A3,
A4 y A5. Estos 5 sucesos son independientes, porque el resultado que obtenga con una
moneda no influye para nada en el que pueda obtener con la otra. y por ello
P(A1∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5)=P(A1).P(A2).P(A3).P(A4).P(A5)= (1/2)5=1/32
Tal vez parezca un tiquismiquis, pero la regla del producto involucraba sólo a dos
sucesos y aquí tenemos 5 sucesos. ¿Es igualmente válida para cualquier número de
sucesos?
La pregunta está muy bien planteada y el detalle que menciona no es en absoluto un
cuestión nimia o sin importancia. Por sencillez nos hemos saltado la demostración de
cómo se extiende la regla del producto de dos a cualquier número de sucesos.
Simplemente diremos que se basa en la asociatividad de la intersección de sucesos:
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ B ∩ C
y en la del producto de números:
(a.b).c = a.(b.c) = a.b.c.
7
Con estas propiedades, la intersección de cualquier número de sucesos siempre se puede
reducir a la de dos sucesos y aplicar a ellos la regla del producto. Pero la condición para
que se pueda utilizar se complica un poco. No basta que los sucesos en cuestión sean
independientes dos a dos, sino que cualquiera de ellos ha de ser independiente de la
intersección de cualquiera de los restantes. Desde luego esta condición se cumple en el
experimento de lanzar cualquier número de monedas.
Bueno, no sé si estoy suficientemente motivado para profundizar hasta estos
niveles, pero sí me interesa una cosa: ¿qué pasa cuando los dos sucesos no son
independientes?. ¿No hay forma de aplicar la regla del producto?
La regla del producto se puede expresar de una forma válida para cualquier par de
sucesos, pero hay que utilizar un nuevo concepto. Dice así: la probabilidad de A ∩ B
es igual a la probabilidad de A multiplicada por la probabilidad de B condicionada por
A. P( A ∩ B) = P(A) . P(B/A)
P(B/A) se lee probabilidad de B condicionada por A
¿Probabilidad condicionada …?
Efectivamente, es un nuevo concepto que hay que aclarar. Llamamos probabilidad de B
condicionada por A , a la probabilidad de que ocurra B cuando sabemos que ha ocurrido
A. Mide la frecuencia de veces que ocurre B, entre aquellas en las que ocurre A. Por
ejemplo, al tirar un dado: sea A = “Obtener un número impar” y sea B =“Obtener un
número mayor que 4”.
Se tira un dado y nos dicen: “Ha salido un número impar. ¿Cuál es la probabilidad de
que sea mayor que 4”. Es decir: “Ha ocurrido A. Hallar P(B/A), probabilidad de B
condicionada por A”
Si ha salido número impar, los casos posibles son ahora solamente tres: 1, 3 y 5 . Y los
favorables uno, porque entre esos números sólo hay uno mayor que 4. Por tanto
P(B/A) = 1 / 3 .
En un caso general, en el numerador siempre aparecerá el número de elementos del
suceso A ∩ B y en el denominador, el número de elementos de A por eso podemos
poner:
n( A ∩ B) n( A ∩ B) n( A) P( A ∩ B)
P( B / A) =
=
:
=
n( A)
n( E )
n( E )
P( A)
P( A ∩ B )
entonces P( A ∩ B) = P( A).P( B / A)
P( A)
que es la regla del producto.
Y si P( B / A) =
Pero si A fuera el suceso imposible entonces P(A) = 0 y tendríamos una división
por cero que todos sabemos que no se puede hacer.
Tiene usted razón. Por eso vamos a excluir la posibilidad de que A sea el suceso
imposible. Sólo se puede calcular la probabilidad de B condicionada por A cuando el
suceso A ocurre efectivamente, es decir cuando A no es un suceso imposible.
¿Y si los sucesos A y B son independientes?
Si A y B son independientes, la aparición del suceso A, no modifica la posibilidad de
aparición del suceso B. P( B / A) = P( B) . Y entonces:
8
P( A ∩ B) = P( A).P( B / A) = P( A).P( B) que es la regla del producto para sucesos
independientes.
Los sucesos A y B del ejemplo anterior, A = “Obtener un número impar” y B =“Obtener
un número mayor que 4” = {5,6}, son independientes porque:
P(B/A) = 1/3 ; P(B) = P({5,6}) = 2/6=1/3
Resumiendo...
Si P(B/A) es distinto de P(B) entonces A y B son sucesos dependientes. El que ocurra
A modifica las posibilidad de que ocurra B
Si P(B/A) > P(B) diremos que el suceso A favorece la aparición del suceso B. A es
favorable para B.
Si P(B/A) < P(B)
diremos que el suceso A dificulta la aparición de B. A es
desfavorable para B.
Si P(B/A) = P(B) diremos que el suceso A no modifica la posibilidad de que ocurra B.
A no es ni favorable ni desfavorable para B. A y B son independientes.
¿Podemos ver en un ejemplo cómo funciona la regla del producto para cualquier
par de sucesos?
Se tiene una urna con 2 bolas blancas y 5 negras. Se extraen al azar 2 bolas. ¿Cuál es la
probabilidad de que sean las 2 blancas?
Al sacar dos bolas a la vez el problema se complica. Habría que considerar un
espacio muestral formado por todas las parejas de bolas posibles. ¿No es así?
Sí, eso es correcto. Pero la probabilidad condicionada y la regla del producto nos
permiten razonar de forma más sencilla de la siguiente manera. Sea B1 el suceso: “la
primera bola es blanca” y B2 el suceso: “la segunda bola es blanca”.
Un momento. Habla usted de primera bola y segunda bola, pero estamos sacando
las dos bolas a la vez en una sola extracción.
Es indiferente sacar una bola primero y otra después o sacar las dos bolas a la vez. Lo
hagamos como lo hagamos siempre podemos considerar que una bola es la primera y
otra la segunda. Aunque las saquemos con la misma mano las dos bolas ocupan en ella
posiciones diferentes.
Bueno, no sé si me ha convencido del todo, pero sigamos.
El suceso “las dos bolas son blancas” sería B1 ∩ B2 . Y su probabilidad:
P(B1 ∩ B2)= P(B1).P(B2/B1)
La probabilidad de que la primera bola sea blanca es inmediata: casos favorables 2 ,
casos posibles siete. P(B1)=2/7
P(B2/B1) es la probabilidad de que la segunda bola sea blanca, habiendo salido blanca la
primera. Pero si la primera salió blanca el contenido de la urna es ahora de 1 bola blanca
y 5 negras; por tanto:
P(B2/B1)= 1/6 . Y así, la probabilidad de sacar dos bolas blancas será:
P(B1 ∩ B2)=2/7.1/6 = 2/42 = 1/21
¿Qué más tengo que saber de probabilidad?
Queda la fórmula de la probabilidad total y la fórmula de Bayes. Pero no voy a hablar
mucho sobre ellas. Vienen bastante bien explicadas en los libros de texto.
¿Fórmula de la probabilidad total?
9
Solamente la enunciamos.
Si el espacio muestral E se puede expresar como la unión de un conjunto de sucesos H1,
H2,.... , Hn , que sean incompatibles dos a dos, (y que no sean imposibles), la
probabilidad de cualquier suceso A viene dada por :
P(A) = P(A/H1).P(H1) + P(A/H2).P(H2) + ............ + P(A/Hn).P(Hn)
Hay otra forma de expresarlo que nos dice algo sobre cómo se utiliza esta fórmula:
Si un suceso A puede ocurrir como consecuencia de diversas causas H1, H2,.... , Hn mutuamente excluyentes, la probabilidad de A es igual a la suma de los productos de las
probabilidades de las causas P(Hi) por la probabilidad de A cuando es consecuencia de
la causa correspondiente P(A/ Hi).
Esto parece curioso. ¿Podemos ver un ejemplo?
Supongamos una urna con...
Otra vez con las urnas. ¿Por qué estamos hablando siempre de urnas o de dados?
En la vida cotidiana hay otros acontecimientos que ocurren por azar, a parte de
sacar bolas de una urna. Debido al azar, la gente encuentra un objeto, o pierde un
autobús, o queda atrapado en un atasco de tráfico...
La urna que tiene bolas de distintos colores y de la que sacamos una o varias, es un
modelo sencillo de experimento aleatorio y le sorprenderá tal vez conocer a cuántas
situaciones de la vida cotidiana se puede aplicar ese modelo. La mayoría de los juegos
de azar, si no todos, son equivalentes a extracciones de bolas en urnas, aunque muchos
de ellos, como la ruleta, perderían gran parte de su atractivo. La llegada de un autobús a
una parada es la extracción de una bola. Si tengo suerte, el autobús que llega es el que
necesito y no tendré que esperar más. Pero no sé cuántas bolas de cada color hay en esa
urna de autobuses. Tengo que admitir que el azar de la vida cotidiana es en general, más
complicado que el de una urna. Pero habrá que empezar por un modelo sencillo...
Perdone la interrupción. Estábamos hablando de cómo hallar la probabilidad de
un suceso a partir de la de las distintas causas por las que puede ser originado.
En una urna que tiene 2 bolas negras y 2 blancas añadimos tantas bolas blancas como
indique el número de caras que salen al tirar 2 monedas. Después se extrae una bola.
¿Cuál es la probabilidad de que salga blanca?
Parece una situación muy compleja
Pues veamos cómo podemos simplificarla:
Sea B el suceso: la bola extraída es blanca. Sean H0, H1, H2 los sucesos obtener 0, 1 ó 2
caras respectivamente al tirar las dos monedas. Sus probabilidades son respectivamente:
P(H0) = 1/4 ; P(H1) = 1/2 ; P(H2) = 1/4 como explicamos hace un momento.
P(B/H0) = 2/4 .
P(B/H1) = 3/5
P(B/H2) = 4/6
Cuando han salido 0 caras no añadimos nada a la urna
porque ahora hay 5 bolas , 3 de ellas blancas.
porque hemos añadido 2 bolas blancas.
La fórmula de la probabilidad total nos dice, entonces que:
10
P(B) = P(B/H0).P(H0) + P(B/H1).P(H1) + P(B/H2).P(H2) =
2 1 3 2 4 1 71
· + · + · =
4 4 5 4 6 4 120
¿Y la fórmula de Bayes ...?
Dice que si A es un suceso no imposible y los sucesos H1, H2,.... , Hn cumplen las
condiciones que fijamos para la fórmula de la probabilidad total entonces
P( H i / A) =
P( A ∩ H i )
P( A / H i ).P( H i )
=
P( A)
P( A / H1 ).P( H1 ) + ........... + P( A / H n ).P( H n )
Y esta fórmula nos da la probabilidad de las distintas causas, H una vez que hemos
conocido la aparición de un suceso A...
Esta cuestión, con un modelo de urnas, se plantearía así:
En una urna que tiene 2 bolas negras y 2 blancas añadimos tantas bolas blancas como
indique el número de caras que salen al tirar 2 monedas. Después se extrae una bola y
resulta que es blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que en las monedas hayan salido dos
cruces?
Sea B el suceso: “sale bola blanca”. H0, H1, H2, son, como antes los sucesos “obtener 0,
1 ó 2 caras” respectivamente al tirar las dos monedas. “Obtener 0 caras” H0, equivale a
“salen dos cruces”.
P( H 0 / B) =
P( B / H 0 ).P( H 0 )
=
P( B / H 0 ).P( H 0 ) + P( B / H 1 ).P( H 1 ) + P( B / H 2 ).P( H 2 )
2
2 1
·
15
4 4
=
= 16 =
2 1 3 2 4 1
71 71
· + · + ·
4 4 5 4 6 4 120
Después de este repaso por la teoría de la probabilidad me queda una curiosidad.
¿Puede ayudarme esta teoría a ganar dinero en los juegos de azar?
El conocimiento de la teoría de la probabilidad puede ayudarle... a mantener alejado su
dinero de los juegos de azar. Ello le reportará un gran beneficio porque no lo perderá.
Veamos por ejemplo el caso de la ruleta en la apuesta más sencilla. Hay 37 números, del
0 al 36 y se puede apostar, la cantidad x, a cualquier número entre el 1 y el 36. Si sale
el número que por el que usted apuesta recibirá 36 veces la cantidad apostada,
obteniendo así una ganancia de 36 x- x = 35 x . Si sale el 0, o cualquier número por el
que usted no haya apostado gana la banca y usted pierde lo apostado.
O sea, que usted gana 35 x con probabilidad 1/37 y pierde x con probabilidad 36/37. La
ley de los grandes números nos dice que, jugando muchas veces, por término medio su
ganancia será:
1
36 − x
35 x + (− x)
=
es decir: perderá usted por término medio un treintaisieteavo
37
37 37
de la cantidad que apueste, que será el beneficio que la banca obtendrá de usted, por
término medio.
Pero si yo pierdo un treintaisieteavo de lo que apueste, ¿qué pasará con los otros
36 treintaisieteavos?
11
Creo que no me ha entendido. Si usted juega, a veces ganará y a veces perderá. El
balance final será de pérdida. Y esa pérdida, por término medio, será la totalidad de lo
que apostó dividida entre 37. Cuanto más juegue, a la larga, más perderá.
Entonces, el negocio de los casinos es seguro...
Sí, siempre que la gente sea suficientemente ingenua como para llevar allí su dinero
esperando volver con más.
Pero, ¿vamos a pensar entonces que son necios todos los que juegan?
Algunos lo son. La adicción al juego es, sin duda, un comportamiento necio. Desde
luego los que regentan los casinos no lo son, porque su negocio es prácticamente
seguro... gracias a que otros sí lo son. Pero no es ésta la pregunta. La pregunta es ¿por
qué arriesga la gente su dinero? Y la respuesta es sencilla: por la ilusión. La ilusión de
cambiar una vida monótona e insatisfactoria en muchos aspectos, por la de un
millonario. Y la gente paga por esa ilusión. Algunos demasiado. Impresiona el silencio
que se produce alrededor de la ruleta cuando hay mucho dinero en juego y la bola
empieza a rodar. Hasta que la bola no pare cualquiera de la mesa puede imaginarse
afortunado. Tanto más, cuanto más haya pagado por ello. Quien los lunes, juega a la
primitiva, puede sentirse casi ganador hasta que se celebre el sorteo. Esa ilusión le
cuesta un euro. El hecho de que la probabilidad del premio máximo sea
(aproximadamente), de una entre 14 millones tal vez le haga pensar un poco y decidirse
a buscar otras fuentes de ilusión entre las muchas que el mundo y la vida pueden
ofrecerle.
Supongo que con todos estos conceptos ya puedo resolver cualquier problema de
probabilidad del nivel de Bachillerato...
Tal vez sea mucho suponer. Para llegar a tener claras las ideas sobre probabilidad –y
posiblemente sobre cualquier otra cosa- hay que aplicarlas a casos concretos. Un repaso
atento de esta conversación, y trabajar con el texto y los ejercicios, del libro le ayudará.
Y yo también, siempre que tenga usted un rato para venir a charlar sobre probabilidad.
=====================