Download Introducción a la Estadística y a la Probabilidad Tercer examen

Introducción a la Estadística y a la Probabilidad
Tercer examen. Capítulo 5 y 6.
Viernes 5 de febrero del 2010.
Dos puntos
1. Para cada una de las siguientes variables, indica si son variables aleatorias, y en caso que lo sean, determina si son
variables aleatorias discretas o variables aleatorias continuas. Por favor, explica claramente tu respuesta:
(a) Determinar si un avión llega a tiempo.
(b) Clasi…car aves según su especie.
(c) La edad de las mujeres que quieren entrar a una escuela de medicina.
(d) El número de terremotos registrados en la ciudad de México en un periodo de un año.
(e) El número de manos de poker que se deben repartir hasta obtener una tercia de reyes.
(f) La velocidad del viento en metros por segundo.
(g) El número de respuestas correctas en este examen.
(h) El peso de cada naranja en un camión que trae 10,000.
Solución:
(a) Determinar si un avión llega a tiempo.
Exactamente así, no es una varible aleatoria.
(b) Clasi…car aves según su especie.
No es una variable aleatoria
(c) La edad de las mujeres que quieren entrar a una escuela de medicina.
Es una variable aleatoria continua, que puede tomar sus valores en el intervalo (0; +1).
(d) El número de terremotos registrados en la ciudad de México en un periodo de un año.
Es una variable aleatoria discreta, que, en principio, puede tomar un número in…nito de valores enteros.
(e) El número de manos de poker que se deben repartir hasta obtener una tercia de reyes.
Es una variable aleatoria discreta, que puede tomar un número in…nito de valores enteros.
(f) La velocidad del viento en metros por segundo.
Es una variable aleatoria continua, que puede tomar valores en el intervalo (0; +1).
(g) El número de respuestas correctas en este examen.
Es una variable aleatoria discreta, que puede tomar valores de 0 a 8.
(h) El peso de cada naranja en un camión que trae 10,000.
Es una variable aleatoria continua, que puede tomar valores en el intervalo (0; +1)
1
Tres puntos
2. La tabla
Grado
Frecuencia
1
190
2
172
3
201
4
156
5
178
6
187
nos da el número de estudiantes, en miles, por año de la primaria en el estado de Puebla (los datos no son reales, son
inventados).
Sea la variable aleatoria X el grado que cursa un niño.
(a) ¿De qué tipo de variable aleatoria se trata?
(b) Da la distribución de probabilidad
(c) Calcula el valor medio
(d) Calcula la desviación típica
Solución:
(a) ¿De qué tipo de variable aleatoria se trata?
Se trata de una variable aleatoria discreta que puede tomar los valores f1; 2; 3; 4; 5; 6g
(b) Da la distribución de probabilidad
Para determinar la distribución de probabilidad, debemos determinar las frecuencias relativas.
El número total de niños en la primaria en el estado de Puebla es (en miles):
190 + 172 + 201 + 156 + 178 + 187 = 1084
Así que la tabla de frecuencias relativas es
Grado
Frecuencia
Frecuencia relativa
1
190
0.18
2
172
0.16
3
201
0.19
4
156
0.14
5
178
0.16
6
187
0.17
Así que la distribución de probabilidad es
Grado
Probabilidad
1
0.18
2
0.16
3
0.19
4
0.14
5
0.16
6
0.17
(c) Calcula el valor medio
Grado
Probabilidad
Grado Probabilidad
1
0.18
0.18
2
0.16
0.32
3
0.19
0.57
4
0.14
0.56
5
0.16
0.80
6
0.17
1.02
La suma es 0:18 + 0:32 + 0:57 + 0:56 + 0:80 + 1:02 = 3: 45
El valor medio es 3.45
(d) Calcula la desviación típica
Usamos la fórmula
Var[X] = E X 2
E 2 [X]
Para calcular E X 2 hacemos la tabla
2
Grado
Grado al cuadrado
Probabilidad
Grado2 Probabilidad
1
1
0.18
0.18
2
4
0.16
0.64
3
9
0.19
1.71
4
16
0.14
2.24
5
25
0.16
4.00
6
36
0.17
6.12
La suma es 0:18 + :64 + 1:71 + 2:24 + 4:00 + 6:12 = 14: 89
2
Por lo tanto, Var[X] = 14:89
(3:45) = 2: 987 5
y
DT[X] =
p
2:9875 = 1: 728 4
Tres puntos
3. Para recaudar fondos para una escuela se planea una rifa. Se proponen los siguientes premios: Uno de $5,000, cinco
de $1,000 y cincuenta de $500.
La idea es vender 5,000 boletos, y se le pide que calcule el precio de venta del boleto si se decide venderlo a tres veces
el precio justo. ¿Cuál es el precio que recomendaría? Explicar extensa y claramente.
Solución:
Primero debemos determinar las probabildades de cada premio:
P ($5; 000) =
5
50
1
= 0:0002; P ($1; 000) =
= 0:001; P ($500) =
= 0:01
5; 000
5; 000
5; 000
El valor esperado de valor del boleto es:
E (V ) = (5000 0:0002) + (1000 0:001) + (500 0:01) = 7:0
Por lo tanto, el precio justo es $7. Como se quiere vender el boleto al triple, el precio sería $21.
Sin embargo, ese es un precio inadecuado a todas luces, así que, lo correcto sería poner el precio del boleto en 20 pesos.
Tres puntos
4. Paco y Juan van a Las Vegas para que Juan pueda jugar a la Ruleta. Suponga que Juan hace 100 apuestas
consecutivas de un dólar, siempre a un sólo número. Determina cuál es la probabilidad que Juan haya ganado dinero en
las 100 apuestas.
Solución:
Sea G el número de apuestas en las que Juan gana. La variable aleatoria G tiene una distribución binomial con
parámetros n = 100 y p = 1=38. En cada una de las G veces que Juan gana, recibe 35 dólares; en cada una de las 100 G
veces que no gana pierde un dolar. Así que su ganancia neta será W = 35G (100 G) = 36G 100
En consecuencia, para que haya ganado dinero se tiene que cumpir que G
Ahora
P (G = g) =
100
g
1
38
g
37
38
100 g
100
0
1
38
0
37
38
100
En particular,
P (G = 0) =
=
37
38
100
0:695
3
3.
100
1
1
38
1
P (G = 1) =
100
2
1
38
2
P (G = 2) =
37
38
99
37
38
98
0:188
0:251
Por lo tanto, la probabilidad que Juan haya ganado dinero como resultado de las 100 apuestas está dada por
P (G
3) = 1
P (G = 0)
P (G = 1)
P (G = 2) = 1
0:695
0:188
0:251 = 0:492
La probabilidad que Juan haya ganado dinero en las 100 apuestas, es 0.492.
Dos puntos
5. El treinta por ciento de los árboles de un bosque están infectados con un parásito. Cincuenta árboles se seleccionan
al azar y X se de…ne como el número de árboles, en la muestra de 50, que están infectados del parásito. La infección está
uniformemente repartida por todo el bosque.
(a) ¿De qué tipo de variable aleatoria se trata?
(b) ¿Cuál es su distribución de probabilidad? Especi…car claramente, cuáles son los parámetros que determinan dicha
distribución.
Solución:
(a) ¿De qué tipo de variable aleatoria se trata?
Es una variable aleatoria discreta, que puede tomar los valores enteros de 0 a 50, incluyendo el 0 y 50.
(b) ¿Cuál es su distribución de probabilidad? Especi…car claramente, cuáles son los parámetros que determinan dicha
distribución.
Se trata de una distribución binomial, con p = 0:30, 1
p = 0:70 y n = 50:
Se cumplen las tres condiciones de una distribución binomial:
i. Tenemos dos salidas posibles en cada prueba, infectado con probabilidad 0.30 y no infectado con probabilidad 0.7.
ii. Las pruebas son independientes una de otra
iii. La probabilidad de elegir un árbol infectado no cambia de prueba a prueba.
Por lo tanto, la distribución de probabilidad es
P fX = ig =
50
i
i
50 i
(0:30) (0:70)
La grá…ca es
4
El valor esperado es
E [X] = 50
0:30 = 15
La varianza es
Var[X] = 50
0:30
0:70 = 10: 5
La desviación típica es
p
DT[X] = 10:5 = 3: 240 4
Un punto
6. Se realizó un estudio sicológico a las tropas de paz de la ONU en Bosnia. Si el 12% de los 21,496 soldados son
mujeres, ¿cuál es la probabilidad que en un muestra de 50 soldados seleccionados totalmente al azar, a lo más 5 sean
mujeres?
Solución:
La variable aleatoria discreta es el número de mujeres en la muestra de 50 soldados. Puede tomar valores de 0 a 50.
Se trata de una variable aleatoria binomial con n = 50 y p = 0:12.
La distribución de probabilidad es
P fX = ig =
50
i
i
50 i
(0:12) (0:88)
La grá…ca es
5
Lo que queremos es la probabilidad que salgan 0 mujeres, ó 1, ó 2, ó 3, ó 4, ó 5. Es decir,
P fX = 0g + P fX = 1g + P fX = 2g + P fX = 3g + P fX = 4g + P fX = 5g =
0
50
= 50
0 (0:12) (0:88) +
0:435 34
50
1
1
49
(0:12) (0:88) +
50
2
2
48
(0:12) (0:88) +
50
3
3
47
(0:12) (0:88) +
50
4
4
46
(0:12) (0:88) +
50
5
La probabilidad que en un muestra de 50 soldados seleccionados totalmente al azar, a lo más 5 sean mujeres, es de
0.44.
Tres puntos
7. El tiempo que pasan los niños, entre 2 y 11 años de edad, viendo la tele por semana es una variable aleatoria normal
con media 22.5 horas y desviación típica 5.5 horas.
(a) ¿Qué porcentaje de niños ve la tele menos de 10 horas por semana?
(b) ¿Qué porcentaje de niños ve la tele entre 15 y 25 horas por semana?
(c) ¿Qué porcentaje de niños ve la tele más de 40 horas por semana?
Solución:
Se trata de una variable aleatoria normal con media 22.5 horas y desviación típica 5.5 horas, así que
(a)
P fT < 10g = P
Z<
10
22:5
5:5
15
22:5
25 22:5
<Z<
5:5
5:5
= P fZ <
2:2727g = P fZ > 2:2727g = 1
0:011 5
(b)
P f15 < T < 25g = P
25
22:5
= 0:454 55
5:5
15
22:5
=
5:5
1: 363 6
6
P fZ < 2:2727g = 1
5
45
(0:12) (0:88)
0:9885 =
P f 1:36 < Z < 0:455g = P fZ < 0:455g P fZ <
P fZ < 1:36g = 0:6736 1 + 0:9131 = 0:586 7
1:36g = P fZ < 0:455g
P fZ > 1:36g = P fZ < 0:455g
1+
(c)
P fT > 40g = P
Z>
40
22:5
5:5
= P fZ > 3:18g = 1
P fZ < 3:18g = 1
0:9993 = 0:000 7
Tres puntos
8. Una compañia fabrica baterias para coche. Después de muchos años de producción, la compañia sabe que el tiempo
de vida de sus baterias es una variable aleatoria cuya densidad de probabilidad es normal, con una media de 45 meses y
una desviación típica de 8 meses.
(a) La compañia da una garantía de reemplazo en caso que la batería falle antes de 36 meses, ¿qué porcentaje de las
baterias tendrá que ser reemplazadas?
(b) Si la compañia no quiere reemplazar más del 10% de las baterias, ¿de cuántos meses deberá ser la garantía (en
meses)?
Solución:
(a)
P fT > 36g = P
=1
P fZ <
Z=
T
45
8
1:125g = 1
>
36
45
8
=P
P fZ > 1:125g = 1
Z=
T
45
8
(b)
P fT > zg = 0:9
P fT < zg = 0:1
Z=
z
45
8
T
=
45
8
<
z
45
8
1:125
= P fZ >
1:125g =
1 + P fZ < 1:125g = P fZ < 1:125g = 0:13
En promedio fallará el 13%
P
>
= 0:1
1:28
Por tanto,
t = 34: 76
La garantía debera ser de 34.76 meses, es decir, 34 meses
7