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Distribuciones
Discretas de
Probabilidad
Dr. Víctor Aguirre Torres, ITAM.
Guión 6.
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Contenido
Variables Aleatorias.
2. Distribuciones Discretas de
Probabilidad.
3. Valor Esperado y Varianza.
Propiedades.
4. Distribución de Probabilidad Binomial.
1.
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1. Variables Aleatorias (VA)
„ Asocia
un número al resultado de un
experimento. Puede ser un conteo, una
medición, un valor, una ganancia
monetaria, etc.
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1. Variables Aleatorias Discretas
„ VA
Discretas: solo toma los valores
0,1,2,...,etc.
„ Ejemplos:
Experimento
Inspección de una
muestra de 50 radios
Llenado de un formato
Variable
aleatoria
Número de
radios
defectuosos
Número de
errores en el
llenado
Intento de venta de un Resultado del
bien raíz
intento
Funcionamiemto de
una agencia de autos Número de autos
un día
vendidos
Valores posibles de la
variable aleatoria
0, 1, 2,..., 49, 50
0, 1, 2,...
0, 1
0, 1, 2,...
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1. Variables Aleatorias
Contínuas.
„
„
Conceptualmente podrían tomar TODOS los valores
sobre un intervalo o conjunto de intervalos. (exactitud
del aparato de medición)
Ejemplos:
Experimento
Variable
aleatoria
Valores posibles de la
variable aleatoria
Fabricación de
barras de jabón
Humedad de la
pasta de jabón.
0<x<100%
Manufactura de un Concentración de
detergente
ingrediente activo
Llenar un botella
de cerveza. (max
Volumen de
365 ml)
líquido
0<x<30%
0<x<365 ml
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2. Distribuciones Discretas de
Probabilidad.
„ Distribución
de probabilidad de una
variable aleatoria discreta: describe
las probabilidades de cada uno de los
valores posibles de la variable aleatoria.
„ Función de probabilidad: define
numéricamente la probabilidad de cada
valor de la variable aleatoria. Se denota
por f(x).
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2. Distribuciones Discretas de
Probabilidad.
„ Ejemplo:
DiCarlo Motors, NY.
„ x=número de autos vendidos al día.
„ Método frecuentista para asignar
probabilidaes, ventas de 300 días.
x
0
1
2
3
4
5
f(x)
0.18
0.39
0.24
0.14
0.04
0.01
Para x=0:
En 54 días de los 300
no se vendió un solo auto.
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2. Distribuciones Discretas de
Probabilidad.
„ Algunos
ejemplos de uso de f(x).
„ La cantidad más probable de autos que
se venda en un día es de uno.
„ Si A={Se venden 3 o más autos},
entonces
P(A)=f(3)+f(4)+f(5)=0.19
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2. Distribuciones Discretas de
Probabilidad.
„ Condiciones
requeridas para cualquier
función de probabilidad discreta.
f(x)≥0
y
∑ f(x)=1
Distribución Discreta de Probabilidad
„ Representación
0.4
0.35
gráfica.
0.3
f(x)
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
1
2
3
Autos vendidos por día
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5
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3. Valor Esperado.
„
„
„
Valor esperado de una variable
aleatoria: medida de tendencia central de
la variable.
También coincide con el valor promedio
de la VA si se observara una gran
cantidad de veces. Valor promedio a la
larga.
Fórmula de cálculo: E( x ) = µ = ∑ xf ( x )
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3. Valor Esperado.
„ Ejemplo:
Di Carlo Motors
x
f(x)
x*f(x)
0
1
2
3
4
5
0.18
0.39
0.24
0.14
0.04
0.01
0
0.39
0.48
0.42
0.16
0.05
E(x)=
1.5
E( x ) = µ = ∑ xf ( x )
„ Se
espera que en 30 días de
operaciones se vendan alrededor de
30(1.5)=45 autos.
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2. Distribuciones Discretas de
Probabilidad
„ Representación
gráfica valor esperado.
Distribución Discreta de Probabilidad
0.4
0.35
E(x)=1.5
0.3
f(x)
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
1
2
3
Autos vendidos por día
4
5
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3. Varianza.
„
Varianza de una variable aleatoria: Es
una medida de dispersión o variabilidad
alrededor del valor esperado.
„ Resume la variabilidad de los valores
de la variable aleatoria.
„ Fórmula de cálculo:
Var( x ) = σ 2 = ∑ ( x − µ )2 f ( x ) = E( x − µ )2
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3. Varianza.
„ Ejemplo:
Di Carlo Motors.
x
x-µ
(x-µ)^2
f(x)
f(x)*(x-µ)^2
0
1
2
3
4
5
-1.5
-0.5
0.5
1.5
2.5
3.5
2.25
0.25
0.25
2.25
6.25
12.25
0.18
0.39
0.24
0.14
0.04
0.01
0.405
0.0975
0.06
0.315
0.25
0.1225
Var(x)=
1.25
µ=
1.5
„ Var(x)=1.25
autos2
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3. Desviación Estándar.
„ Es
una medida de variabilidad que tiene
las mismas unidades que la variable
aleatoria.
σ = σ2
„ Ejemplo
Di Carlo Motors: σ=1.118 autos
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3. Propiedades del Valor
Esperado y la Varianza.
„ Si
a es una constante entonces:
∑ axf ( x ) = aE( x )
E( a + x ) = ∑ ( a + x ) f ( x ) =
= ∑ af ( x ) + ∑ xf ( x ) = a + E( x )
„ E( ax ) =
„
2
Var
(
ax
)
=
a
Var( x )
„
„ Var( a + x ) = Var( x )
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3. Ejemplo, utilidad esperada.
„ Juego
con dados. Jugar cuesta 100
pesos. Si la suma sale 7 se le pagan
200 pesos. ¿Vale la pena jugar?
si no sale 7
0
x = lo que me pagan = 
200 si sale 7
5 / 6 si x = 0
f(x)= 
1/6 si x = 200
E( x ) = 0( 5 / 6 ) + 200( 1 / 6 ) = 33.33...
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3. Ejemplo, utilidad esperada.
„ Lo
que importa es la utilidad.
u = x − 100
„ Mi
utilidad esperada.
E( u ) = E( x − 100 ) = E( x ) − 100
= 33.33... - 100 = -66.66...
„ La
mayoría de los juegos de azar tienen
una utilidad esperada positiva para la
casa. En promedio ¡la casa gana!
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4. Distribución de Prob. Binomial
„
Experimento binomial.
1. n intentos o ensayos idénticos.
2. Solo dos resultados en cada ensayo:
éxito ó no éxito.
3. Probabilidad de éxito en cada ensayo = p
4. Los ensayos son eventos independientes
„
x= Número de éxitos en n ensayos
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4. Distribución de Prob. Binomial
„ x=
Número de éxitos en n ensayos.
„ x=Variable aleatoria binomial.
„ Valores posibles de x
0,1,2,...,n
„ Su distribución de probabilidad se llama
distribución de probabilidad
binomial.
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4. Distribución de Prob Binomial
Experimento: lanzar 5 veces una moneda
Éxito = cae águila
x=número de águilas
M=32 puntos muestrales
Lanzamiento
punto
muestral
1
2
3
1
águila
águila
águila
2
águila
águila
águila
3
águila
águila
águila
4
águila
águila
sol
...
...
30
31
32
sol
sol
sol
sol
sol
sol
sol
sol
sol
n=5
p=0.5
4
águila
águila
sol
águila
5
águila
sol
águila
águila
x
águila
sol
sol
sol
águila
sol
1
1
0
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5
4
4
4
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4. Distribución de Prob. Binomial
Experimento: 3 clientes entran a una tienda de ropa
Éxito = compra
M=8 puntos muestrales
punto
muestral
1
2
3
4
5
6
7
8
x
f(x)
f(x)
1
compra
compra
compra
compra
no compra
no compra
no compra
no compra
x = número clientes que compran
n=3
p = 0.3
Cliente
2
compra
compra
no compra
no compra
compra
compra
no compra
no compra
0
1
(1-p)(1-p)(1-p) 3p(1-p)(1-p)
0.343
0.441
3
compra
no compra
compra
no compra
compra
no compra
compra
no compra
x
3
2
2
1
2
1
1
0
Probabilidad
ppp
pp(1-p)
p(1-p)p
p(1-p)(1-p)
(1-p)pp
(1-p)p(1-p)
(1-p)(1-p)p
(1-p)(1-p)(1-p)
2
3pp(1-p)
0.189
3
ppp
0.027
(en general)
(en particular)
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4. Función de Probabilidad
Binomial
f ( x ) = C xn p x ( 1 − p )n − x
„ Para
x=0,1,2,...,n.
„ f(x)=probabilidad de x éxitos en n
intentos.
„ p=probabilidad de éxito en cada intento
n
C
„ x = Combinaciones de n en x
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4. Función de Probabilidad
Binomial
„ Cálculo
con Excel:
„ =DISTR.BINOM(0,3,0.3,0)
x
n
p
Acumulado (0=no, 1=si)
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4. Función de Probabilidad
Binomial
„ Cálculo
con TABLA 5
n
x
0.1
...
0.3
...
0.5
3
0
1
2
3
0.729
0.243
0.027
0.001
...
...
...
...
0.343
0.441
0.189
0.027
...
...
...
...
0.125
0.375
0.375
0.125
4
0
1
2
3
4
0.6561
0.2916
0.0486
0.0036
0.0001
...
...
...
...
...
0.2401
0.4116
0.2646
0.0756
0.0081
...
...
...
...
...
0.0625
0.25
0.375
0.25
0.0625
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4. Gráficos Función de
Probabilidad Binomial
Función de Probabilidad Binomial
Función de Probabilidad Binomial
0.45
0.35
0.4
0.3
0.25
0.25
0.2
f(x)
0.3
0.2
0.15
0.15
14
6
8
12
x
10
14
12
10
8
6
x
4
0
0
0
4
0.05
2
0.05
2
0.1
0.1
0
f(x)
0.35
n=5
p = 0.5
n=3
p = 0.3
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4. Distribución de Prob Binomial
„ Valor
Esperado, Varianza y
Desviación Estándar.
„ Fórmulas particulares:
E( x ) = np
Var( x ) = np( 1 − p )
σ = np( 1 − p )
(se obtienen también de la fórmula con
sumatoria)
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4. Distribución de Prob Binomial.
„ Ejemplo,
Valor Esperado, Varianza y
Desviación Estándar.
n
p
3
0.3
x
f(x)
x*f(x)
x-µ
(x-µ)^2
f(x)*(x-µ)^2
0
1
2
3
0.343
0.441
0.189
0.027
0
0.441
0.378
0.081
-0.9
0.1
1.1
2.1
0.81
0.01
1.21
4.41
0.27783
0.00441
0.22869
0.11907
µ=
0.9
Var(x)=
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0.63
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4. Distribución de Prob Binomial.
Ejemplo.
„
a)
b)
c)
d)
40% de las personas que viajan por negocios llevan
laptop o celular (USA Today, 12 sep 2000). En una
muestra aleatoria de 15 personas:
¿Cuál es la probabilidad de que tres tengan laptop
o celular?
¿Cuál es la probabilidad de que doce no tengan
laptop ni celular?
¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos tres
tengan laptop o celular?
¿Cuál es el número esperado y desviación estándar
de personas que tengan laptop o celular?
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4. Distribución de Prob Binomial.
Ejemplo.
a)
b)
c)
d)
p = 0.4, n =15; f(3)=0.0634 de TABLA 5
p’ = 0.6, n =15; f(12)=0.0634 con Excel
A={por lo menos 3 tienen laptop o celular},
p = 0.4, n =15; P(A)=1-P(AC)=
1-[f(0)+f(1)+f(2)]=
1-[0.0005+0.0047+0.0219] de TABLA 5
E(x)=15(0.4)=6; Var(x)=15(0.4)(0.6)=3.6;
σ=1.8973
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Problemas recomendados
Capítulo 5.
Variables Aleatorias: 3, 6.
2. Distribuciones Discretas de
Probabilidad: 8, 10.
3. Valor Esperado y Varianza: 17, 21.
4. Distribución de Probabilidad Binomial:
28, 30.
1.
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