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SOBRE LA CONJETURA DE LOS
NÚMEROS PRIMOS n2 + 1
Niceto Valcárcel Yeste. Licenciado en cc.físicas por la U.N.E.D.
December 3, 2011
1
Introducción.
Esta conjetura, que pertenece a los conocidos como cuatro problemas de Landau , plantea si existen o no innitos números primos de la forma
n2 + 1
.
El propósito de este estudio, es el de obtener el conjunto de los números
s
naturales
, cuyo cuadrado es tal que el número
4s2 + 1
, es un número no
primo.
Tal conjunto se designa por
{s} = s ∈ IN/ 4s2 + 1 ∈
/ IP
IP es
{s} respecto
, donde
el conjunto de los números primos. El conjunto complementario de
del conjunto de los números naturales es aquél apartir del cual se obtienen todos
los números primos de la forma
{s}
Para obtener
forma
4s2 + 1
4s2 + 1.
se utiliza la conocida propiedad sobre los números de la
siguiente:
todos los números primos que forman parte de la factorización del número
4s2 + 1
, son números primos de la forma
(4x + 1),
para todo
s ∈ IN .
( El artículo publicado en la web CASANCHI, de este mismo autor, titulado:
Descomposición factorial de los números de la forma
n2 + 1
, contiene una
demostración de esta propiedad, aunque como se dijo anteriormente, es una
propiedad ya conocida y demostrada con anterioridad).
2
El conjunto
Si el número
4s2 + 1
{s}.
es no primo, y es
(4x + 1)
cualquiera de los números
primos que forman parte de su descomposición factorial, se cumple:
4s2 + 1 = (4x + 1) (4k + 1)
siendo (4k + 1) el resto de factores, k ∈ IN − {0}.
Ha de ser:
s = y (4x + 1) ± z
z el menor número natural para el que se cumple:
4z 2 + 1 = (4x + 1) (4k 0 + 1) = 4 (4xk 0 + x + k 0 ) + 1.
{s} = {{y (4x + 1) + z} ∪ {y (4x + 1) − z}}
siendo
1
z bajo las condiciones
impuestas pues:
2
2
4s + 1 = (4x + 1) (4k + 1) = 4 y (4x + 1) + z 2 + 2yz (4x + 1) + 1
Siempre existe
2
y en consecuencia:
4z 2 + 1 = (4x + 1) (4k 0 + 1)
y por tanto,
z 2 = k 0 (4x + 1) + x
Obtenido z , cuando y recorre el conjunto de los números naturales, se obtienen los s ∈ {s}.
El valor de z para cada número primo (4x + 1) es el encontrando para el
0
2
0
menor valor k para el que se cumple z = k (4x + 1) + x.
Para los primeros números primos de la forma (4x + 1) , los valores de z y
k 0 se obtienen:
x = 1 =⇒4x + 1 = 5 =⇒ z 2 = 5k 0 + 1 = {1, 6, 11, 16, ...} , k 0 = 0; z 2 = 12
x = 3 =⇒ 4x + 1 = 13 =⇒ z 2 = 13k 0 + 3 = {3, 16, 29, 42, ...} ; k 0 = 1; z 2 = 42
x = 4 =⇒ 4x + 1 = 17 =⇒ z 2 = 17k 0 + 4 = {4, 21, 38, 55, ...} k 0 = 0; z 2 = 22
x = 7 =⇒ 4x + 1 = 29 =⇒ z 2 = 29k 0 + 7 = {7, 36, 65, 94, ...} ; k 0 = 1; z 2 = 62
x = 9 =⇒ 4x + 1 = 37 =⇒ z 2 = 37k 0 + 9 = {9.46, 83, 120...} ; k 0 = 0; z 2 = 32
x = 10 =⇒ 4x + 1 = 41 =⇒ z 2 = 41k 0 + 10 = {10, .., 256, ..} ; k 0 = 6; z 2 = 162
x = 13 =⇒ 4x + 1 = 53 =⇒ z 2 = 53k 0 + 13 = {13, .., 225, ..} ; k 0 = 4; z 2 = 152
x = 15 =⇒ 4x + 1 = 61 =⇒ z 2 = 61k 0 + 15 = {15, ., 625, .} ; k 0 = 10; z 2 = 252
x = 18 =⇒ 4x + 1 = 73 =⇒ z 2 = 73k 0 + 18 = {18, .., 529, .} ; k 0 = 7; z 2 = 232
x = 22 =⇒ 4x + 1 = 89 =⇒ z 2 = 89k 0 + 22 = {22, .., 289, ..} ; k 0 = 3; z 2 = 172
x = 24 =⇒ 4x + 1 = 97 =⇒ z 2 = 97k 0 + 24 = {24, 121, .....} ; k 0 = 1; z 2 = 112
x = 25 =⇒ 4x + 1 = 101 =⇒ z 2 = 101k 0 + 25 = {25, 126, .} ; k 0 = 0; z 2 = 52
.
y así sucesivamente para los valores de
x
para los que
(4x + 1)
es número
primo.
Se obtienen los subconjuntos
{sij } ⊂ {s}, tales que {s} = {{s11 } ∪ {s12 } ∪ {s31 } ∪ {s32 } ∪ ....∞}
:
{s11 } = {5y − 1} = {4, 9, 14, 19, ............}
{s12 } = {5y + 1} = {6, 11, 16, 21, .........}
{s31 } = {13y − 4} = {9, 22, 35, 48, ........}
{s32 } = {13y + 4} = {17, 30, 43, 56, .....}
{s41 } = {17y − 2} = {15, 32, 49, 66.......}
{s42 } = {17y + 2} = {19, 36, 53, 70, ......}
{s71 } = {29y − 6} = {23, 52, 81, 110, .....}
{s72 } = {29y + 6} = {35, 64, 93, ...........}
{s92 } = {37y − 3} = {34, 71, 108..........}
{s72 } = {37y + 3} = {40, 77, 114..........}
{s101 } = {41y − 16} = {25, 66, 107, .......}
{s102 } = {41y + 16} = {57, 98, 139, ......}
{s131 } = {53y − 15} = {38, 91, 144........}
{s132 } = {53y + 15} = {68, 121, 174, ....}
{s151 } = {61y − 25} = {36, 97, 158, .......}
{s152 } = {61y + 25} = {86, 147, 208, ....}
2
{s181 } = {73y − 23} = {50; 123, 196, .....}
{s182 } = {73y + 23} = {96, 169, 242, ....}
{s221 } = {89y − 17} = {72; 161, 250, .....}
{s222 } = {89y + 17} = {106, 195, 284, ..}
{s241 } = {97y − 11} = {86; 183, 280, .....}
{s242 } = {97y + 11} = {108; 205, ........}
{s251 } = {101y − 5} = {96, 197, 298, .....}
{s252 } = {101y + 5} = {106, 207, 308, ..}
{s271 } = {109y − 38} = {71, 180, 289, ...}
{s272 } = {109y + 38} = {147, 256, .......}
(4x + 1).
{s} = {{s11 } ∪ {s12 } ∪ .........} =
= {4, 6, 9, 11, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 29, 30, 31, 32, 34, 35, 36, 38, 39, 40, }
= {41, 43, 44, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 56, 57, 59, 61, 64, 66, 68, 69, 70, 71, 72, .....∞}
y así sucesivamente para todos los números primos de la forma
El conjunto complementario de éste respecto del conjunto de los números
{s}, es el conjunto de los números cuyos cuadrados son tales que
2
4 (s) + 1 es número primo. IN = {{s} ∪ {s}}:
{s} = {1, 2, 3, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 18, 20, 27, 28, 33, 37, 42, 45, 47, 55, 58, 60, 62, 63, 65, 67, ..∞}
naturales,
Agradezco al lector el tiempo empleado, así como sus comentarios, que podrá
enviarme a:
[email protected]
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