Download Ejercicios sobre errores de redondeo y estabilidad

MÉTODOS NUMÉRICOS
EJERCICIOS SOBRE ERRORES DE REDONDEO Y ESTABILIDAD
1. Una máquina automática guarda los números de la siguiente manera:
a) Usa base diez.
b) Ocupa sendas posiciones (de memoria) para el signo del exponente, su valor, y el signo del
número, y cuatro posiciones para la mantisa normalizada.
i. Dar el número positivo más pequeño que guarda la máquina.
ii. Dar el número positivo más grande que guarda la máquina.
iii. Dar el número que le sigue a:
+
0
+
8
9
5
9
iv. Listar los cuatro primeros números positivos que distingue la máquina.
v. Listar los cuatro últimos números positivos que distingue la máquina.
vi. ¿ Cuántos números distintos de cero distingue la máquina?
vii. En la forma (0,a) (intervalo de underflow) y (b,+∞ ) (intervalo de overflow), dar a y b .
viii. Responder las siguientes preguntas:
¿ En el conjunto de los números reales R hay un primer número positivo?
¿ R tiene un número finito de elementos?
¿En R cada número tiene un consecutivo?
¿En R cada número tiene expansión decimal finita?
2. Se define senh x como senh x =
e x − e− x
. Se pide:
2
−x
x
a) Dibujar e y e .
b) Dar una fórmula apropiada para senh x , que sea más conveniente desde el punto de vista
numérico, cuando x es pequeño. Discuta. Justifique.
∞
3. Considere la serie numérica
1
∑n
n =1
y su sucesión de sumas parciales {S n }n , n = 1,2 ,... asociada:
S n := 1 +
∞
Sabemos que
1
∑n
1
1 n 1
+ ... + = ∑
2
n k =1 k
diverge a + ∞ . Si se calculan términos de S n en la máquina hipotética del
n =1
problema 1, se pide dar una cota para detener el proceso antes de que la máquina se detenga por
overflow.
4. Sea N un entero positivo y x∈R , x ≠ 1 . Llame:
G N (x ) := 1 + x + x 2 + ... + x N −1 + x N
y
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1
MÉTODOS NUMÉRICOS
1 − x N +1
Q N :=
1− x
Se sabe que G N (x ) = Q N (x ) , para todo x∈R , x ≠ 1 .
Para r − 1 pequeño, ¿Cuál expresión prefiere para cálculos numéricos de G N (r ) y Q N (r ) ?
Discuta. Justifique.
1
1 1
, 2 ,..., n−1 , ... puede generarse mediante la fórmula de recurrencia:
6 6
6
37
1
xn = x n−1 − x n− 2 , n = 2,3,... con x0 = 1 y x1 =
6
6
1
37
Tomando
≡ 0.166 y
≡ 6.16 , analizar la estabilidad numérica de la fórmula para calcular la
6
6
5. La sucesión 1 ,
sucesión. ¿Puede dar una explicación razonable del comportamiento de los cálculos ?
6. Considere la ecuación de segundo grado a x + b x + c = 0 en el caso a = 1 ; b = 111.11 y
2
c = 1.2121 . Resolverla usando la fórmula usual.
¿Tiene completa confianza en su respuesta numérica? Discuta. Justifique.
Calcule el error relativo en su respuesta, usando como valor exacto el que da DERIVE con 20 cifras
decimales en aritmética aproximada.
Dé una forma segura de calcular sus raíces, para el caso particular y el caso general. Recalcule.
−3
7. Representar los números 10
2 , 2 , 10 2 en una máquina que usa t = 5 dígitos de precisión
y redondea (round-off). Calcular los errores relativos y absolutos que comete en cada una de estas
representaciones. Analizar los resultados.
(
8. Calcular 1 + 10
−20
4
)
− 1 10 20 en calculadora, computador y manualmente, analizar sus resultados.
9. Escribir en programa de computador o calculadora que calcule
x − 0.1 ∗ x ∗ 10.0
25000 veces y acumule los resultados parciales de esta operación. Cambie el nivel de precisión de
la aritmética de la máquina y de las constantes que aparecen en la expresión. Analizar los
resultados (para varios valores de x).
10. Dado k entero positivo se tiene la fórmula de recurrencia.
cos (m + 1) x = 2 cos x cos ln x − cos (m − 1) x para m = 1, 2 ,..., k − 1 .
Calcular cos 10 con cien pasos y x = 0.1 rad. Calcular el error relativo en cada paso. Analizar los
resultados. Tomar otros valores de x (0 < x ≤ 0.2 ) .
2
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