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Los Números y sus Relaciones
Tercer semestre
Introducción
La naturaleza misma de las matemáticas tiene como punto de partida los
números y sus operaciones; de hecho, a las matemáticas se les solía definir como "la
ciencia del número y la magnitud". Esto justifica que, desde sus orígenes y en los
diferentes niveles educativos, el curriculum de matemáticas se haya organizado en
torno a las propiedades y el estudio de los números. La importancia de los números
en la vida del hombre es manifiesta pues, entre otras cosas, le permiten cuantificar
las múltiples actividades que realiza diariamente. Los números también pueden
ayudar al hombre en actividades no tan prácticas, como cuantificar distancias
astronómicas o cantidades de años que nos remiten al origen del hombre. En
general, podemos afirmar que, para el hombre de nuestros días, los números son
imprescindibles y su entendimiento y uso, esenciales.
Organización de los contenidos
Teniendo como antecedente lo anterior y partiendo de que los números y sus
operaciones tienen relevancia lo mismo en actividades prácticas que teóricas, se
sugiere que el estudio de los números y sus relaciones se haga tomando en cuenta
los siguientes aspectos fundamentales.
a) Significado de los números, diferentes formas de representarlos, relaciones entre
ellos y sistemas numéricos.
En el proceso de entender el significado de los números, los estudiantes
deben diferenciar y dar sentido a números muy pequeños o muy grandes, ya que
ambos se usan con frecuencia en la información que aparece en los medios de
comunicación referida a la población, la economía o la ciencia. Las diferentes
interpretaciones de los números racionales (fracciones, decimales, porcentajes) y su
representación en una recta numérica ayudarán a entenderlos.
Otro aspecto del proceso de entender los sistemas numéricos se relaciona con
las propiedades de los números enteros, tales como la divisibilidad, la
descomposición en factores primos y las propiedades de números primos. Un
elemento adicional de mucha importancia para entender los sistemas numéricos son
las relaciones entre los elementos del sistema. En el caso de los números reales, la
comprensión de la relación de orden es fundamental para abordar una variedad
amplia de problemas, que van de lo práctico a lo teórico, y es la base para discutir las
ideas fundamentales de lo que suele llamarse "matemáticas superiores".
b) Significado de las operaciones y sus relaciones.
La comprensión del significado de las operaciones en los sistemas numéricos
es el fundamento para estudiar otras áreas de las matemáticas como el álgebra, la
geometría y el cálculo, entre otras. Esto permitirá operar con otros sistemas
algebraicos de gran utilidad, como pueden ser los vectores, las matrices, etcétera. En
los aspectos prácticos, la comprensión de las propiedades de las operaciones tiene
gran utilidad. Por ejemplo, se puede usar la propiedad distributiva de la multiplicación
respecto de la suma para simplificar o transformar cálculos. También se puede usar
e interpretar el sentido inverso de la suma y la resta o de la multiplicación y la división
para resolver problemas.
c) Calcular con fluidez y hacer aproximaciones razonables.
Un aspecto de gran importancia al resolver problemas de matemáticas es
poder decidir con "buen criterio" si un determinado problema requiere de una
solución más o menos precisa y cómo obtenerla. También es importante poder
discernir entre el uso de cálculos mentales, con calculadora o computadora o usando
solamente papel y lápiz. En algunas situaciones es recomendable acudir a cálculos
mentales aproximados. Por ejemplo, se requiere calcular mentalmente, con fluidez y
cierto grado de precisión, cuando hay que tomar decisiones, para hacer alguna
compra u otro tipo de operación.
El programa del curso se ha organizado en cuatro bloques temáticos que
cuentan con actividades sugeridas que los profesores responsables de conducirlo
pueden enriquecer con base en su experiencia.
Orientaciones didácticas
La idea de problematizar el estudio de la disciplina
Un principio fundamental en el estudio de la matemática es que el salón de
clase se transforme en un medio donde el estudiante tenga oportunidad de
reflexionar sobre su aprendizaje de la disciplina, es decir, que las actividades de
estudio se conviertan en un vehículo para que el estudiante, constantemente, se
plantee y discuta preguntas, que cuestione por qué las cosas se presentan de cierta
forma. Esto significa que las actividades deben presentarse en forma de problemas o
preguntas en los que el estudiante tenga la oportunidad de reflexionar, abordar y
resolver una serie de interrogantes relacionadas directamente con el tema de
estudio. Con esta perspectiva, el estudiante tendrá más elementos para investigar y
analizar soluciones, resolver incompatibilidades y rediseñar o formular nuevos
problemas.
Una de las tareas fundamentales del maestro consiste en propiciar en el salón
de clase un espacio de diálogo constante donde se problematice el estudio de las
matemáticas. En esta comunidad, la actividad central es la discusión de los
procedimientos que puedan ayudar a resolver los problemas o preguntas que
emerjan de la interacción del estudiante con la situación. Analizar la pertinencia de
los procedimientos y evaluar el potencial particular o general de éstos son
actividades que ayudan a construir y mantener una actitud crítica en el salón de
clase. El papel del maestro es seleccionar y presentar las tareas que ayuden a
problematizar la disciplina por parte de los estudiantes. En tal sentido, es importante
que tenga en consideración los conocimientos y habilidades con que cuentan los
estudiantes.
Aprender a resolver problemas y pensar matemáticamente requiere una
reflexión y acción continua acerca del quehacer o actividad matemática. Algunas
preguntas que llegan a ser rutina -en un curso que valore la resolución de problemasy que juegan un papel central en el desarrollo de tal reflexión matemática en los
estudiantes son: ¿he usado o identificado la información importante en el problema?
¿Estoy convencido de la forma de solución del problema? ¿Puedo convencer a otros
compañeros? ¿He resuelto totalmente el problema? ¿Puedo utilizar otra(s)
estrategia(s) de solución? ¿Se puede generalizar este resultado? Entre otras, éstas
son preguntas que los estudiantes pueden contestar al interactuar con los problemas.
Por otro lado, los estudiantes deben compartir los resultados de sus exploraciones y
presentar justificaciones y explicaciones de los procedimientos que empleen. En este
sentido, aprender incluye valorar el trabajo de los demás, tomar ventaja de sus ideas
y de los resultados de sus investigaciones; esto requiere que los estudiantes
aprendan a escuchar a sus compañeros y respondan adecuadamente a sus puntos
de vista e inquietudes.
La forma de plantear los problemas y de organizar la actividad de los alumnos
influye directamente en las actitudes y creencias que los estudiantes desarrollen
hacia las matemáticas y su aprendizaje. Al problematizar el estudio de las
matemáticas, los estudiantes obtienen oportunidades de reconocer el potencial de su
propia práctica y de ver a las matemáticas como una actividad intelectual en la que
pueden participar y avanzar. Existe evidencia de que los estudiantes que participan
en una búsqueda reflexiva desarrollan una disposición consistente con el quehacer
matemático.
Los temas que se proponen tienen la finalidad de servir de ejes en la discusión
de las ideas fundamentales del quehacer matemático. Por esta razón, se recomienda
que no se presenten de manera separada, por el contrario, se debe establecer una
conexión entre ellos, de tal forma que los estudiantes vayan concibiendo los sistemas
numéricos y, en general, las matemáticas como un todo estructurado en torno a las
diferentes necesidades que surjan de problemas originados en el desarrollo social o
dentro de la misma disciplina.
Propósitos generales
Al término del estudio de los contenidos de este programa se espera que los
estudiantes normalistas:
1. Adquieran bases sólidas en relación con el estudio de los números y sus
relaciones, tanto para abordar los siguientes cursos de la especialidad como
para realizar un trabajo docente de calidad.
2. Adquieran elementos para analizar situaciones de estudio relacionadas con el
significado de los números, sus relaciones y operaciones, que resulten
adecuadas para los estudiantes de secundaria.
3. Desarrollen habilidades para resolver problemas en diferentes contextos, con
base en el conocimiento de los números y sus relaciones.
Bloque I. Aspectos históricos de los sistemas numéricos
Temas
1. Origen del concepto de número.
2. Números, lenguaje y el origen del conteo y las cifras.
3. Sistemas de numeración (romano, decimal, egipcio): su evolución.
Bibliografía básica
Ifrah, G. (1988), Las cifras. Historia de una gran invención, Madrid, Alianza Editorial.
Alarcón, J. et al. (2004), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México,
SEP.
SEP (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México.
Actividades sugeridas
1. Los estudiantes pueden formar equipos para leer los capítulos del libro de
Ifrah. En el salón de clase, los equipos reportarán sus trabajos y señalarán las
cuestiones relevantes vinculadas con los temas propuestos. Pueden abordar
preguntas como las siguientes: ¿cuáles son las ventajas de calcular en base
10 en relación con otros sistemas? ¿Cuál es la representación de 12345.75 en
el sistema binario?
2. Organizados en equipos, resuelvan el tema 1 de primer grado del Fichero de
actividades didácticas.
Bloque II. Los números enteros
Temas
1. Los números enteros y las propiedades de las operaciones de suma y
producto.
2. Divisibilidad, máximo común divisor, mínimo común múltiplo, números primos
y el Teorema Fundamental de la Aritmética.
3. Algunos criterios de divisibilidad (divisibilidad por 2, 3, 5, 11).
4. Los enteros en la recta numérica.
5. Orden en los números enteros.
6. Algunos principios de conteo.
Bibliografía básica
Alarcón, J. et al. (2004), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México,
SEP.
SEP (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México.
Actividades sugeridas
1 Una propiedad importante de los números enteros es el concepto de números
consecutivos, que son aquellos cuya diferencia es 1 o -1. Por ejemplo, 10 y 11
son consecutivos; -110, -111. Con esta idea se pregunta: ¿es 4 suma de dos
números consecutivos? Para contestar se puede empezar ensayando algunos
casos, por ejemplo: 1 y 2 no suman 4; 2 y 3 tampoco. ¿Podemos concluir que
4 no es la suma de dos números consecutivos? ¿Por qué? ¿Será un número
par la suma de dos números consecutivos? Dos números consecutivos tienen
la propiedad de que uno es par y el otro es impar, por lo que al sumarlos se
obtiene un número impar. De esta discusión se tiene que los números pares
no son la suma de dos números consecutivos. Se formula la misma pregunta
para números impares. Un número impar es de la forma 2n+1 y ésta
representación es claramente la suma de dos consecutivos. Con esta misma
idea se pregunta: ¿es un número impar la suma de tres consecutivos? La
suma de tres números consecutivos es de la forma n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3
= 3 (n+1). De esta ecuación se tiene que para que un número sea la suma de
tres consecutivos se requiere que 3 lo divida. ¿Qué condición se requiere para
que un número entero sea la suma de 4, 5, 6, etcétera, números
consecutivos? ¿Puede un número dado ser la suma de 2, 3, 4, 5 números
consecutivos?
Los estudiantes pueden formar equipos para hacer una discusión de las
preguntas planteadas. El profesor puede guiar la discusión para profundizar en
el estudio de propiedades de divisibilidad y factorización de enteros en primos
haciendo preguntas como las siguientes: ¿cuántos factores primos puede
tener un número menor que 100? ¿Cuáles son los números menores que 100
cuyos factores primos son todos diferentes? ¿Habrá un número primo que sea
mayor que todos los otros números primos? Si el número 2 n +1 es primo,
¿tendrá n factores impares diferentes de uno?
2 Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema. Encontrar dos
factores de 100 tales que ninguno sea divisible por 10. Una forma de abordar
el problema es encontrando diferentes factores de 100, por ejemplo 2 y 50,
pero uno de ellos no cumple las condiciones pedidas. Otros posibles factores
son 4 y 25, los cuales sí satisfacen las condiciones deseadas. Se debe notar
que al factorizar 100 como producto de números primos se tiene: 100 = 2 5 52.
Con esta representación, la solución al problema planteado se puede dar casi
directamente. El problema se puede extender al caso 1 000 000.
3 El profesor puede pedir a los estudiantes que formulen problemas que
extiendan al anterior. Por ejemplo, el número 1 296 es divisible por 6 (¿por
qué?). La respuesta debe ser dada sin hacer la división. ¿Puede encontrar dos
factores que dividan a 1 296 y que no sean divisibles por 6? ¿Cómo se formula
un problema en donde intervengan los primos 2 y 7? Para abordar estos
problemas, los estudiantes se pueden auxiliar de alguna calculadora que
factorice enteros.
4 Resuelvan los siguientes problemas del Libro para el maestro de matemáticas:
problemas 2 y 9 (p. 92) y problemas 6 y 7 (p. 95).
5 En relación con los problemas que involucran a los números enteros, se tienen
aquellos en donde se aplican propiedades que derivan de dividir enteros y
dejan resto. Estos problemas dan origen a lo que se llama "aritmética
modular". Un par de buenos ejemplos que ilustran esto son los problemas 8 y
10 (p. 95) del Libro para el maestro.
6 Con frecuencia se encuentran situaciones en que se debe determinar el
número de posibles formas de agrupar objetos o personas de una manera
determinada. Por ejemplo, se tiene un grupo de cinco personas de las cuales
se han de elegir un presidente y un secretario que los representen
semanalmente. ¿De cuántas formas se pueden nombrar los representantes?
¿Cuántas semanas habrán transcurrido antes de que se repitan los mismos
representantes?
Posibles formas de solución. Los estudiantes pueden simular la situación y
elegir algunas formas de representar la información. Por ejemplo, se pueden formar
parejas con las iniciales de los nombres, por facilidad pueden suponer que las
iniciales son: A, B, C, D y E. Ahora, ilustrar en una tabla las diferentes parejas
posibles que se forman y, a la vez, una forma eficiente de contarlas.
(A, B)
s
s
(A, C)
(B, C)
s
s
(A, D)
(B, D)
(C, D)
s
(A, E)
(B, E)
(C, E)
(D, E)
Si ahora se tiene un grupo de n personas y a los miembros del grupo se les
asigna un número del 1 hasta n y se pregunta: ¿de cuántas formas se pueden
nombrar a los representantes?
Notemos que el número 1 puede formar pareja con 2, 3,..., n, de lo cual
contamos n-1 parejas, el 2 forma pareja con 3, 4, 5,... n (el 1 ya fue incluido antes).
Con el auxilio de una tabla se puede "ver" que el número de parejas es (n-1) + (n-2)
+... + 1. ¿A qué es igual esta suma? ¿Encuentra una forma isomorfa de este
problema? Esta actividad se puede extender al caso en que se tenga que elegir k
representantes de un total de n.
7 (Cálculo de cuadrados.) Con cierta frecuencia se requiere calcular el cuadrado
de números enteros que terminan en cinco. Por ejemplo 15 2, 252, etcétera.
Calculando estos cuadrados se observa que el resultado termina en 25, es
decir 152 = 225, 252 = 625. ¿Hay una regla que ayude a determinar los
cuadrados de números enteros que terminan en 5?
El profesor puede pedir a los estudiantes que experimenten con más enteros
del tipo pedido para observar el comportamiento. Una vez hecho esto, puede
preguntar si es posible formular y probar el resultado que han observado.
(Sugerencia: un entero que termina en 5 es de la forma 10n+5).
8 Realicen las actividades del tema 3 y del tema 4 de primer grado del Fichero
de actividades didácticas.
Bloque III. Números racionales
Temas
1. Lectura y escritura de números decimales y su representación en la recta
numérica.
2. Operaciones con decimales (cálculo mental, algoritmos y aproximaciones).
3. Decimales periódicos.
4. Diferentes representaciones de los números racionales: decimales, cociente
de enteros y por ciento.
5. Propiedades de las operaciones en los números racionales.
6. Orden en los números racionales.
7. Uso de números racionales para representar cantidades en la recta numérica.
8. Uso de las propiedades asociativa y distributiva de las operaciones para
simplificar cálculos.
Bibliografía básica
Alarcón, J. et al. (2004), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México,
SEP.
SEP (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México.
Llinares, S. y V. Sánchez (1988), "Las fracciones: diferentes interpretaciones", en
Fracciones, Madrid, Síntesis, pp. 51-78.
Actividades sugeridas
1 La comprensión de las diferentes representaciones de los números es
fundamental para que los estudiantes puedan comunicar e interpretar con el
lenguaje matemático y resuelvan una variedad de problemas. Cada
representación puede ofrecer ventajas o desventajas para analizar o entender
situaciones. Así, los estudiantes deben utilizar di versos tipos de
representación de fracciones, decimales y porcentajes. Por ejemplo, el
profesor puede plantear preguntas como las siguientes: ¿cómo es más
conveniente escribir 22/100 o 11/50 en un cheque? ¿Puede explicar por qué
las siguientes representaciones 15/100, 3/20, 0.15 y 15% corresponden al
mismo número? ¿Puede identificar problemas o situaciones en las que el uso
de cada una de estas representaciones sea la más adecuada? ¿Cómo se
expresa la probabilidad de sacar una bola blanca de una bolsa que contiene
20 bolas con igual probabilidad? ¿Cómo representa el descuento que tiene un
determinado producto?
2
Los modelos que involucran áreas pueden ser de utilidad para que los
estudiantes visualicen el sentido de los números. En las siguientes
representaciones se observa que las fracciones l8/12 y 2/3 son equivalentes y
pueden representar áreas. ¿Cómo se explica esto geométricamente? En la
multiplicación (1.2) x (1.4), ¿cuál es el significado geométrico? ¿Cómo se
puede representar gráficamente el 80% de 20?
3 De la siguiente lista, seleccionen aquellos números que sean racionales.
Expliquen por qué:
1.3434 ;
- 5.6;
1.121121112...;
2/3;
0; 25%
4. En una gran variedad de problemas reales se requiere obtener respuestas
aproximadas. Para comentar este aspecto, el profesor puede plantear los
siguientes problemas:
•
Las dimensiones de un terreno rectangular son 40.15 y 60.25 metros. ¿Cuál
es el área aproximada del terreno?
•
¿Cuál es el resultado aproximado de sumar 7/8 y 16/15?
•
¿Cuál es el valor aproximado de la diagonal de un cuadrado de lado 4? ¿Es
mayor que 6?
Al contestar a las preguntas planteadas, el maestro puede orientar una
revisión de las propiedades y operaciones con fracciones, áreas de cuadrados y el
Teorema de Pitágoras.
5. Otra situación en donde los métodos de aproximación juegan un papel
importante es la siguiente:
¿Qué proceso se puede utilizar para estimar 64.6 x 0.16?
Una forma de realizar esta estimación es observar que los números 64 y 16 se
pueden expresar como potencias de 2 y aprovechar esta propiedad para operar con
26 x 24 = 210 y, después, al resultado (1 024) colocarle el punto decimal en el lugar
correspondiente 10.24. ¿Cómo se aproxima 482 x 50.2? Aquí, por ejemplo, se puede
aproximar usando la operación: 482 x 1/2 x 100 de lo que resulta 24 100.
El redondeo, la distributividad y el uso de potencias de dos son las estrategias
que ayudaron a realizar las operaciones anteriores.
La estimación es una habilidad fundamental que los estudiantes deben
desarrollar y forma parte de las propiedades de los números.
El contexto de la pregunta o problema desempeña un papel importante en la
forma de estimar. Por ejemplo, si han de comprarse 35 artículos a un precio de $45
pesos cada uno y se desea saber si se tiene suficiente dinero para comprarlos,
entonces el número 40 x 40 = 1 600 da una idea de la cantidad de dinero que se
necesita. Otra situación análoga a la anterior es la siguiente: si se va a pintar una
superficie de 35 x 45 metros, entonces 1 600 sería una buena estimación. En
general, para estimar el resultado de alguna operación se realiza un cálculo mental
teniendo en cuenta números aproximados a los originales. Aquí es importante
discutir lo razonable de la respuesta. Otra variante de la estimación se relaciona con
el proceso de estimar mediciones, es decir, llegar a una medición sin utilizar
herramientas para medir, por ejemplo, la estimación del área de una habitación.
El tema de aproximaciones está lleno de ejemplos de la vida diaria. Por
ejemplo, ¿cuánta basura se recolecta en tu casa cada semana? ¿Cuánta agua se
consume diariamente en tu casa?, etcétera. Nótese que, en estas situaciones, el
estudiante tiene que aportar cierta información y asumir una serie de condiciones que
le permitan plantear y llevar a cabo un plan de solución. Estos problemas se pueden
abordar de distintas maneras y una forma de evaluar la respuesta es comparando
(con sus compañeros) las soluciones que se obtengan en esos diversos caminos.
6. El maestro debe utilizar actividades de estudio en las que los estudiantes
exploren propiedades de los números. A continuación se presentan algunos
aspectos que son importantes durante el proceso de resolver problemas:
Usar diferentes representaciones de los números y reconocer cuando una
representación es más útil que otra. Por ejemplo, observar que 12 x 15 puede
fácilmente operarse como 6 x 30, o que 12 x 25 puede calcularse como un
cuarto de 12 y multiplicar el resultado por 100 (ya que 25 es 100/4).
Reconocer la magnitud relativa de los números. Por ejemplo, saber que 1/3 es
mayor que 1/4 y que la diferencia entre 3 y 5 es la misma que la diferencia
entre 123 y 125; relativamente, cuando los números son más grandes, el
significado de la diferencia puede variar.
Usar números de referencia para comparar cantidades. Por ejemplo, puede
usar el 1 como referencia para reconocer que la suma de 7/8 y 9/10 debe ser
un poco menos que 2, ya que cada fracción es un poco menos que 1.
Conectar entre los números, operaciones y relaciones entre símbolos. Por
ejemplo, reconocer que 365 ÷ 0.69 será un número mayor que 365, o que la
diferencia entre $6 y $2.85 se puede encontrar restando 2 (que da 4) y
quitando otros .85¢ o sumando .85¢ a $2.85, y sumarlos a $3.00
Reconocer los efectos de las operaciones. Por ejemplo, explicar qué le ocurre
a un número cuando se multiplica por .5 o cuando se divide por un número
entre 0 y 1. O con la información representada en la recta, ¿qué número (de
los allí representados) está más cerca de:
ab, 1/f,
h y
e?
Reconocer cuando una estimación es apropiada. Por ejemplo, explicar si la
suma de dos números de dos dígitos es más o menos que 100. ¿Cuántas
cifras o dígitos contienen dos números consecutivos cuyo producto sea 4 160?
Utilizar diferentes estrategias para aproximar resultados. Por ejemplo,
¿aproximadamente cuántas personas caben en el zócalo del D.F.? Es una
pregunta que puede ser contestada a partir de estimar las dimensiones de la
plaza y dividirla en cuartos, y estimar esa porción para después multiplicar ese
número por cuatro. Otra estrategia podría ser la estimación de cuantas
personas entran en alguna fila en un lado de la plaza y después estimar el
número de filas. La idea de utilizar diversas estrategias ayuda a contrastar las
respuestas que se obtengan.
7. Resolver las actividades del tema 6 y del tema 8 de primer grado del Fichero
de actividades didácticas.
8. (Orden y comparación.) Una de las propiedades más importantes en los
números (enteros, racionales y reales) es la relación de orden. Con las
propiedades de ésta se puede abordar una gama muy amplia de problemas
prácticos y teóricos (usualmente hay que comparar para tomar decisiones).
Para abordar este aspecto, el maestro puede plantear los siguientes
problemas:
Si a es un número positivo, ¿qué tan pequeño es S = a + 1/a?
Posible forma de solución:
Para darnos una idea de la posible respuesta tomemos algunos casos particulares.
Por ejemplo, si
a = 1,
S = 2.
Si a = 1/3,
S = 1/3 + 3
2.
Si a = 5/4,
S = 5/4 + 4/5 = 1 + 1/4 + 4/5
Con estos datos se puede conjeturar que S
puede justificar la conjetura? Notemos que
S = a + 1/a =
1 + 1/5 + 4/5 = 2.
2 para todo a positivo. ¿Cómo se
y la conjetura equivale a:
2
Como a es un número positivo, la última desigualdad es equivalente a: a2 + 1
esto a la vez equivale a: a2 + 1 - 2a = (a-1)2 0, lo cual es cierto.
2a, y
Un problema más es el siguiente: ¿cuál de los siguientes números 1011 u 1110 es
mayor? Otra situación por considerar es comparar números muy pequeños. Por
ejemplo, ¿cuál de los siguientes números es más pequeño?: 1/215 , 1/33.
9. Dos pasteles idénticos han sido divididos en 5 y 9 partes iguales. Se te
propone decidir entre recibir tres pedazos del que ha sido dividido en 5 partes
o 4 pedazos del que se dividió en 9 partes. ¿Qué parte seleccionarías?
(Argumenta tu respuesta.)
10. (Números racionales.) Cuando se toma una unidad de medida se divide ésta
en b partes iguales y se toma algún número a de esas b partes de la unidad,
entonces se puede hablar de una de esas partes de la unidad dada. La
expresión a/b es una forma de escribir el número racional formado por algún
número de subunidades. Nótese que
/2 no es un número racional (pues no
es cociente de enteros) pero puede ser escrito como una fracción.
Para abordar este aspecto se plantea los siguientes problemas. Tome como
unidad, u = 1/3 represente en la recta numérica 5/2 de u. ¿Cuál es la diferencia
geométrica entre tomar u = 1/3 y u=1 al representar 5/2 de u?
Usando la siguiente figura u otra similar, el maestro pedirá a los alumnos que
expliquen por qué cada una de las partes sombreadas representa 1/4. Deben notar
que sin importar el tamaño de las piezas, sus colores, formas, arreglos o cualquier
otra característica física, 1/4 representa la parte sombreada. La actividad puede ser
extendida usando otro tipo de representaciones tanto gráficas como numéricas.
11. Organizados en equipos, leer el artículo que se sugiere en la bibliografía y
tratar de establecer las características de cada una de las cuatro
interpretaciones de la fracción que en él se sugieren.
Por equipos, inventar cuatro problemas en los que se pueda distinguir el uso
de las fracciones como expresión de una cantidad, como operador, como cociente y
como razón. En trabajo colectivo, analicen los problemas inventados.
Bloque IV. Proporcionalidad
Temas
1. Razones y medición.
2. Proporcionalidad y variación.
Bibliografía básica
Alarcón, J. et al. (2004), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México,
SEP.
SEP (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México.
Actividad 1. (Razonamiento proporcional.) Seis albañiles construyen una barda
en tres días. Si todos trabajan con la misma rapidez, ¿cuántos albañiles más se
necesitan para construir la misma barda en un día?
¿Cuál es la razón de hombres a mujeres en un pueblo donde 2/3 de los
hombres están casados con 3/4 de las mujeres. Se asume que los matrimonios se
permiten solamente entre un hombre y una mujer.
Para el primer problema se observa que al aumentar el número de albañiles,
el número de días para la construcción de la barda disminuye. Si todos trabajan con
la misma rapidez, entonces un albañil realiza cada día 1/8 del trabajo. Por lo tanto se
necesitan 18 albañiles para terminar la barda en un día.
El segundo problema se puede representar de la siguiente manera:
Los alumnos pueden usar diferentes representaciones para ilustrar el manejo de la
información. Por ejemplo, una figura como la siguiente les permite analizar la
segunda pregunta planteada arriba.
Se observa que la razón de mujeres a hombres es de 8/9 o de hombres a
mujeres es de 9/8.
Actividad 2. (Razonamiento proporcional.) Una fábrica de componentes de
computadoras produce 100 000 piezas con 10 máquinas trabajando 8 horas diarias
durante 7 días. Si se incorporan 6 máquinas a la producción, ¿en cuánto tiempo se
producirán las 100 000 piezas?
El total de horas que trabaja cada máquina es 8 x 7 = 56 horas, y cada
máquina produce 100 000 / 10 = 10 000 piezas.
Con esta información se tiene que cada máquina produce 10 000 / 56 piezas
por hora. Las 16 máquinas producen 10 000 / 56 piezas por hora. Si t denota el
tiempo que tardan las máquinas en producir 100 000 piezas se debe tener: 160 000 /
56 t = 100 000. De esto último se tiene que el valor de t = 35 horas.
El profesor puede utilizar el problema anterior para hacer una discusión con
los estudiantes en donde se planteen situaciones como la siguiente. Una compañía,
para transportar una cierta cantidad de materia prima utiliza 3 camiones y le toma 7
días (sólo puede hacer un viaje por día cada camión). En condiciones de emergencia
solamente dispone de 3 días. ¿Cuántos camiones del mismo tipo son necesarios
para transportar la materia prima? Estas situaciones ocurren con cierta frecuencia.
Es recomendable que el profesor pida a los estudiantes que ellos propongan
problemas análogos.
Actividad 3. Resolver los problemas del tema 13 para primer grado del Fichero
de actividades didácticas.