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EXPRESIONES DECIMALES.
La forma más intuitiva, desde un punto de vista teórica es muy desafortunada, ya que no
podemos expresar los números irracionales con un número finito de términos. de introducir el
conjunto ℝ es mediante las expresiones decimales de la forma .
± n , a 1 a 2 a 3 ...; n ∈ ℕ ∪ {0} a 1 , a 2 ,a 3 , ... ∈ {0,1,2, ...,9}.
Para evitar que dos expresiones decimales correspondan a un mismo número real,
se excluyen aquellas para las que a i = 9 para todo i a partir de uno fijo.
Es decir:
¡ = { (n + a1.10-1+ a2.10-2+ a3.10-3+ ... : n∈¢ ; a1 , a2,... ∈ {0,1,..,9}}. .
Con las operaciones1 + y . tal que :
( n , a 1 a 2 a 3 ... ) + ( m , b 1 b 2 b 3 ... ) = p, c 1 c 2 c 3 … ;
( n , a 1 a 2 a 3 ... ) . ( m , b 1 b 2 b 3 ... ) = ± q, d 1 d 2 d 3 ... ;
Tal que, cumplan:
p + c 1 .10 - 1 + c 2 .10 - 2 +... = ( n + a 1 .10 - 1 + a 2 .10 - 2 +... ) + ( m + b 1 .10 - 1 + b 2 .10 - 2 +... )
q + d 1 .10 - 1 + d 2 .10 - 2 +... = ( n + a 1 .10 - 1 + a 2 .10 - 2 +... ) . ( m + b 1 .10 - 1 + b 2 .10 - 2 +... )
Y con la ordenación ≤ tal que
n + a 1 .10 - 1 + a 2 .10 - 2 +... ≤ m + b 1 .10 - 1 + b 2 .10 - 2 +...
Si se cumple:
( m + b1 .10-1 + b2 .10-2 +... ) - ( n + a 1 .10-1 + a 2 .10-2 +...) ≥ 0.
Dicho conjunto, con estas operaciones cumplen los axiomas de los números reales
Es evidente que si la expresión ± n , a
1
a
2
a
3
. . . ; tiene un número finito de cifras
decimales no nulas o si tiene un estructura periódica definen un número racional (por ser suma de
una progresión o una serie geométrica).
Ejemplo: la expresión 0,127272727 . . ., corresponde la serie
1
.10 - 1 +
27.10 - 3 +
27
.10 - 5 +
27
1
+ es la Suma de números reales en forma decimal.
•
. es la Producto de números reales en forma decimal.
.10 - 7 +
... =
1 27.103 7

=
10 1−10 2 15
Debido a que una serie geométrica infinita de la forma:
9.10 - i + 9 .10 - i+1 + 9.10 - i+3 +. . . = (9.10 - i ) / (9.10 - 1 ) = 10 - i +1.
Las expresiones que contienen infinitas cifras no nulas y sin estructura periódica son
números irracionales, debido a que la suma de su serie no es geométrica y por tanto no se puede
expresar como una fracción y por tanto no es un número racional.
EJEMPLO: 1,101001000100001 . . . es irracional.