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OPOSICIONES AL PROFESORADO
Educación Primaria
TEMA 22
LOS NÚMEROS Y EL CÁLCULO NUMÉRICO. NÚMEROS NATURALES, ENTEROS,
FRACCIONARIOS Y DECIMALES. SISTEMAS DE NUMERACIÓN. RELACIÓN ENTRE
LOS NÚMEROS. OPERACIONES DE CÁLCULO Y PROCEDIMIENTOS DEL MISMO
(CÁLCULO ESCRITO, MENTAL, ESTIMACIÓN Y CALCULADORA). INTERVENCIÓN
EDUCATIVA.
INTRODUCCIÓN.
1. LOS NÚMEROS Y EL CÁLCULO NUMÉRICO.
2. NECESIDAD Y USO DE LOS NÚMEROS.
3. LOS NÚMEROS NATURALES. OPERACIONES DE CÁLCULO.
3.1. Definición del conjunto de los números naturales.
3.2. Operaciones de cálculo con los números naturales. Propiedades de cálculo.
3.3. Ordenación en el conjunto de los números naturales.
4. LOS NÚMEROS ENTEROS.
4.1. Definición del conjunto de los números enteros.
4.2. Operaciones en los números enteros. Propiedades de cálculo.
4.3. Concepto de múltiplo y divisor. Procedimientos de cálculo: M.c.d. y m.c.m. de varios
números.
4.4. Ordenación de los números enteros.
5. LOS NÚMEROS RACIONALES O FRACCIONARIOS.
5.1. Definición del conjunto de los números racionales.
5.2. Operaciones en los números racionales. Propiedades de cálculo.
5.3. Ordenación de los números racionales.
5.4. Representación de los números racionales en la recta.
6. LOS NÚMEROS DECIMALES.
6.1. Definición de expresiones decimales. Posiciones decimales. Tipos de decimales.
6.2. Operaciones en los números decimales. Propiedades de cálculo.
6.3. Algoritmo para el cálculo de raíces exactas.
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7. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN ARÁBIGO. SISTEMAS DE NUMERACIÓN.
8. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS.
9. PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULO. CÁLCULO ESCRITO, MENTAL, ESTIMACIÓN Y
CALCULADORA.
9.1. Cálculo escrito.
9.2. Cálculo mental.
9.3. Estimaciones en expresiones decimales: Cifras significativas, notación científica y redondeo.
a) Aproximación por cifras significativas.
b) Aproximación mediante notación científica.
c) Proceso de redondeo
d) Estimación de raíces.
9.4. Calculadora.
10. INTERVENCIÓN EDUCATIVA.
10.1. Tratamiento en el currículo
10.2. Recursos didácticos.
BIBLIOGRAFÍA.
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INTRODUCCIÓN.
Los contenidos referentes a matemáticas en Primaria se han organizado en cuatro bloques: El primero
de todos corresponde al concepto de número y sus operaciones. En dicho tema se pretende dar una
panorámica actual de lo que representa el concepto de número, los diferentes tipos de números que
existen, su necesidad y principales utilizaciones y sus métodos fundamentales de cálculo. Se ha de dar
especial relevancia tanto al sistema de numeración que se utiliza, el decimal, como las relaciones y
propiedades que aparecen en sus cálculos para el desarrollo de un correcto cálculo mental. Con todo
ello se busca que el alumnado calcule con fluidez y haga estimaciones razonables, tratando de lograr
un equilibrio entre comprensión conceptual y competencia en el cálculo.
1. LOS NÚMEROS Y EL CÁLCULO NUMÉRICO.
Los números son el concepto que subyace en todo proceso de medición, ordenación, operación o
comparabilidad de magnitudes escalares. La escuela Pitagórica en su celebre frase “Todo es número”
quería expresar, entre otras cosas, que el origen de todo cuanto existe en el universo puede ser
descrito mediante estos conceptos. Las matemáticas de todos los tiempos no consideran a los números
con simples símbolos sino como verdaderas estructuras conceptuales susceptibles de explicar
cualquier fenómeno geométrico, físico, químico, tecnológico, etc.
El gran edificio de los números ha sido consustancial a la propia evolución humana, desde las
arcaicas civilizaciones donde ya aparecieron los números naturales, enteros o racionales como
instrumento para el progreso de las sociedades hasta la fundamentación de los números reales o la
aparición de los números complejos que obedece más bien a cuestiones profundas e igualmente útiles
para el desarrollo de la tecnología.
El cálculo numérico es el conjunto de operaciones y procedimientos para operar con los números. La
palabra cálculo procede del latín “calculus” que no eran sino las pequeñas piedras con las que los
romanos realizaban sus cuentas numéricas.
Durante todo este tiempo se han creado múltiples expresiones algebraicas, símbolos y procedimientos
de cálculo numérico para poder desarrollar estas ideas que a la postre han servido para que la
evolución actual de la sociedad.
2. NECESIDAD Y USO DE LOS NÚMEROS.
Distinguimos en este tema cuatro grandes conjuntos de números unos incluidos dentro de otros: los
números naturales, los enteros, los racionales (fraccionarios) y los reales (decimales).
El concepto de número natural está presente desde el inicio de la actividad en matemáticas en todas
las civilizaciones. La necesidad para la introducción de estos números es evidente: poder contar o
enumerar elementos por lo que la naturaleza de la noción de número natural está estrechamente ligada
al concepto de conjunto. Actualmente los números naturales se utilizan para las mismas funciones
que los utilizaría cualquier antigua civilización.
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Los números enteros fueron introducidos por las civilizaciones antiguas en el momento en que se
plantearon relaciones de debito y comercio. Por lo tanto, estos números son tan arcaicos como las
relaciones económicas de las primeras civilizaciones. Otros usos que durante la historia se han dado a
estos números son el de medición de determinadas magnitudes: tiempo, temperatura, etc. Así como
para la resolución de ecuaciones cuya solución escapa de los números naturales.
Ejemplo 1: Si en un vagón de metro hay 50 personas y en una parada de metro se suben 4
viajeros, en la siguiente se bajan 5 y se suben 2 y en la tercera se suben 2 y se bajan 7.
¿Cuántos viajeros habrá en el vagón tras la tercera parada?.
Solución: 50 + 4 – 5 + 2 + 2 – 7 = 46 viajeros
Ejemplo 2: La temperatura ha disminuido dos grados cada día durante los últimos quince
días. Si estábamos a 23º C, ¿Qué temperatura marca hoy el termómetro?.
Solución: 23º – 2º·15 = – 7º
Ejemplo 3: Resolver la siguiente ecuación: 2x + 5 = 1
Solución: 2x = 1 – 5 ⎡ 2x = – 4 ⎡ x = – 2
La motivación histórica para la introducción de los números racionales es la necesidad de caracterizar
la partición de un total en partes iguales o lo que es lo mismo, dar soluciones de ecuaciones de la
forma:
b·x = a,
siendo a,b ≠ 0 números enteros dados y x un "número" a determinar. Dado que en general b no es
divisor de a, la anterior ecuación no tiene soluciones en el conjunto Z de números enteros. Como
consecuencia, debemos buscar un conjunto de números más grande que Z, en el que plantear y
resolver tales ecuaciones. La construcción de este conjunto se realiza a partir de Z dando sentido a
objetos de la forma a / b, b ≠ 0, siendo a, b 5 Z. Lo esencial es definir una estructura algebraica para
tales objetos de forma que las ecuaciones b·x = a se resuelvan mediante x=a/b.
Las fracciones y números racionales se utilizan igualmente para cálculos de subidas y disminuciones
porcentuales, para resolución de problemas de particiones de una cierta cantidad y como operador en
ciertos procesos.
Ejemplo 1: Calcular el precio de un coche que sin IVA cuesta 12.000 €.
Solución: Si el IVA es del 16% entonces calculamos el aumento del siguiente modo:
16
12.000 ⋅
= 1920 €
100
Por lo que el coche costará 13.920 €.
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Ejemplo 2: Un autobús lleva 40 personas. En la primera parada bajan las 3/5 partes y en la
segunda un cuarto de las que quedaron. ¿Cuántas quedaron en el transporte?.
Solución. Calculamos primeramente las que se bajaron en la primera parada:
40 ⋅
3
= 24
5
Por lo tanto quedaron 16 personas. Calculando un cuarto de 16 obtenemos las que se bajaron
en la segunda parada:
1
16 ⋅ = 4
4
Luego en el autobús quedaron 12 personas.
Ejemplo 3: Calcular las dos quintas partes de un terreno de 24 ha.
24 ⋅
2
= 9´6 ha
5
Los números racionales son incluso anteriores en sus orígenes a los números enteros negativos puesto
que su naturaleza es la de repartir mientras que la de los otros es de debito. Civilizaciones como la
egipcia y la babilónica ya disponían de un complejo sistema fraccionario.
La implantación de los números decimales obedece fundamentalmente a criterios de medición y
cálculo de ciertas longitudes sobre magnitudes escalares así como para dar explicación a
determinados números como π que aparecen en objetos geométricos tan importantes como la
circunferencia y que no proceden de fracción alguna. Además, la estructura de los números decimales
o reales permite representarlos como una línea recta infinita sin huecos, continua y densa. Todo el
formalismo de los números reales y expresiones decimales se fundamentó entre finales del siglo XIX
y primera mitad del siglo XX gracias a Cauchy, Weierstrass, Dedekind o Cantor.
3. LOS NÚMEROS NATURALES. OPERACIONES DE CÁLCULO.
3.1. Definición del conjunto de los números naturales.
El conjunto de los números naturales está formado por los números 0, 1, 2, 3, . .
N = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }
A este conjunto se le denomina con la letra N y se verifica que es un conjunto infinito pero con un
primer elemento que es el 1.
Figura 1: Representación de los números naturales.
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Como ya dijimos anteriormente, los números naturales sirven ante todo para dos cosas: contar y
ordenar elementos.
En muchas ocasiones al número 0 no se le considera número natural sino entero por cuestiones
históricas acerca de la inclusión tardía del cero como compensación a la idea de nada que hasta
entonces no se anotaba en los cálculos. Por ello muchos no le suelen otorgar el rango de “natural”.
3.2. Operaciones de cálculo con los números naturales. Propiedades de cálculo.
Entendemos por operación interna en el conjunto de los números naturales N a toda operación que
parte del conjunto cartesiano N x N y cuyo resultado está en el propio conjunto N. Las principales
operaciones internas en el conjunto de los naturales son la suma y la multiplicación.
La suma se entiende modernamente como el proceso por el cual se cuentan los elementos de la unión
de dos o más conjuntos. Así, dados dos conjuntos A y B con elementos n y m respectivamente, se
define la suma de n + m como el número de elementos del conjunto AΩB.
Las propiedades que aparecen en N a partir de la operación suma son, entre otras, las siguientes:
○ Asociativa. ∀a, b, c ∈ N , a + (b + c ) = (a + b ) + c
○
Elemento neutro. ∀a ∈ N , a + 0 = 0 + a = a
○
Conmutativa. ∀a, b ∈ N , a + b = b + a
○
Cancelativa. ∀a, b, c ∈ N , a + c = b + c ⇒ a = b
El producto o multiplicación de números naturales se entiende de modo análogo del siguiente modo.
Dados dos conjuntos A y B con elementos n y m respectivamente, se define el producto de n por m y
se denota mediante n·m como el número de elementos del conjunto cartesiano AxB.
Las propiedades que aparecen en N a partir de la operación producto o multiplicación son, entre otras,
las siguientes:
o Asociativa. ∀a, b, c ∈ N , a ⋅ (b ⋅ c ) = (a ⋅ b ) ⋅ c
o Elemento neutro. ∀a ∈ N , a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a
o Conmutativa. ∀a, b ∈ N , a ⋅ b = b ⋅ a
o Cancelativa. ∀a, b, c ∈ N
o
∀a ∈ N
c ≠ 0, a ⋅ c = b ⋅ c ⇒ a = b
a⋅0 = 0
o Distributiva respecto de la suma. ∀a, b, c ∈ N
a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c
A partir de la multiplicación se puede definir la potencia de números naturales.
Una potencia es una multiplicación iterada de modo que dados a y n naturales, la potencia “a elevado
a n” es el producto
an = a ⋅ a ⋅. . . ⋅ a ⋅ a
14
4244
3
n veces
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Al valor a se denomina base de la potencia y al valor n exponente de la misma. Como consecuencia
de lo dicho anteriormente, la potenciación será también una operación interna en N y presenta las
siguientes propiedades:
a) ∀a ∈ N , a 0 = 1
b) ∀a ∈ N , a 1 = a
c) ∀a, n, m ∈ N , a n ⋅ a m = a n + m
d) ∀a, n, m ∈ N
con n ≥ m, a n : a m = a n − m
e) ∀a, n, m ∈ N ,
(a )
n m
= a n⋅m
La operación de radicación o raíz es la operación inversa de la operación de potencia de modo que
dados los naturales a y n “la raíz n – ésima de a”, denotada por n a , es el resultado b si y sólo si al
elevar el resultado b al exponente n obtenemos el valor a. Es decir,
n
a = b ⇔ bn = a
Al número “n” lo llamaremos índice de la raíz y al valor “a” lo denominaremos radicando. , raiz n –
ésima del siguiente modo: Diremos que la raíz n- ésima de un número a
4=2
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
3
27 = 3
porque 2 2 = 4
porque 33 = 27
Por último, la operación de división en los números naturales conlleva un proceso de reparto en el
que habrá un total “D” a repartir (dividendo), un conjunto “d” de elementos a quienes se reparte
(divisor), la cantidad “c” que adquiere cada uno de estos elementos (cociente) y un sobrante “r”
(resto). De este modo se debe cumplir el llamado teorema de divisibilidad euclides, vulgarmente
llamado “prueba de la división”,
D = d·c + r
donde el resto es siempre menor que el divisor.
3.3. Ordenación en el conjunto de los números naturales.
Dados dos números naturales a, b 5 N, se dice por definición que a es menor o igual que b y se
escribe a ″ b si existe algún natural c 5 N tal que
a+c=b
Ejemplo: 3 ″ 5 porque 3 + 2 = 5.
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4. LOS NÚMEROS ENTEROS.
4.1. Definición del conjunto de los números enteros.
Consideramos el conjunto de los números naturales N (que llamaremos enteros positivos) al que
unimos el número 0 y los números naturales con signo menos (llamados negativos). El conjunto
unión de todos esos números es el conjunto de números enteros.
Z = { . . . , – 2 , – 1, 0, + 1, + 2, . . . }
Este nuevo conjunto se denota mediante la letra Z y se observa que es un conjunto infinito, como los
números naturales, pero a diferencia del anterior no tiene elemento primero o mínimo.
4.2. Operaciones en los números enteros. Propiedades de cálculo.
Las principales operaciones internas en el conjunto de los enteros son la suma, la resta y la
multiplicación.
Para poder definir de un modo más cómodo las principales operaciones en los números enteros,
damos previamente la definición de valor absoluto de un número entero.
Llamamos “valor absoluto de un número entero a”, y lo denotamos mediante |a|, al número natural
que resulta de suprimir el signo a dicho número entero.
Ejemplos: |– 2| = 2, |+4| = 4
Extendiendo ahora el concepto de suma de naturales a los números enteros, podemos dar reglas
prácticas para la suma/resta de números enteros del siguiente modo:
•
Para sumar dos números enteros del mismo signo, se suman los valores absolutos de los
números y se añade el signo del más grande en valor absoluto.
Ejemplo: + 2 + 5 = + (2 + 5) = + 7
Ejemplo: – 2 – 7 = – (2 + 7) = – 9
•
Para sumar dos números enteros de distinto signo, se restan los valores absolutos de los
números y se añade el signo de aquel de mayor valor absoluto.
Ejemplo: + 2 – 5 = – (5 – 2) = – 3
Ejemplo: – 2 + 7 = + (7 – 2) = + 5
Bajo estas premisas, podemos observar que la suma de enteros tiene, entre otras, las siguientes
propiedades:
o Asociativa. ∀a, b, c ∈ Z , a + (b + c ) = (a + b ) + c
o Elemento neutro. ∀a ∈ Z , a + 0 = 0 + a = a
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o Elemento simétrico. ∀a ∈ Z , ∃ − a ∈ Z , a − a = 0
o Conmutativa. ∀a, b ∈ N , a + b = b + a .
De igual modo, para el producto podemos dar reglas prácticas del siguiente modo:
•
Para multiplicar dos números enteros del mismo signo, se multiplican los valores
absolutos de los números y se añade el signo mas.
Ejemplo: (+ 2)·(+ 5) = + (2·5) = + 10
Ejemplo: (– 2)·(– 7) = + (2·7) = + 14
•
Para multiplicar dos números enteros de distinto signo, se multiplican los valores
absolutos de los números y se añade el signo menos.
Ejemplo: (+ 2)·(– 5) = – (2·5) = – 10
Ejemplo: (– 2)·(+ 7) = – (2·7) = – 14
Así, entre otras, el producto cumple con las siguientes propiedades:
o Asociativa. ∀a, b, c ∈ Z , a ⋅ (b ⋅ c ) = (a ⋅ b ) ⋅ c
o Elemento neutro. ∀a ∈ Z , a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a
o Conmutativa. ∀a, b ∈ N , a + b = b + a .
o Distributiva respecto de la suma. ∀a, b, c ∈ Z , a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c
Con estas operaciones Z adquiere estructura de anillo conmutativo con elemento unidad (que es el 1).
Observar que ahora todo número entero tiene su opuesto mientras que, algunos, siguen sin tener su
inverso.
Por último, la potenciación extiende su definición y propiedades definiendo la potencia de exponente
negativo, del siguiente modo:
n
a
−n
1
⎛1⎞
=⎜ ⎟ = n
a
⎝a⎠
Ejemplo: Calcular 2– 3
3
2
−3
1
⎛1⎞
= ⎜ ⎟ = ∉Z
8
⎝2⎠
4.3. Concepto de múltiplo y divisor. Procedimientos de cálculo: M.c.d. y m.c.m. de varios
números.
A partir de la multiplicación y división exacta (la que tiene resto cero) aparecen definiciones muy
utilizadas en las matemáticas:
o Dados dos enteros a y b, se dice que a es múltiplo de b si existe un entero c tal que
a = b·c
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Ejemplo: Múltiplos del número 6 son 6, 12, 24, 36, . . .
o Dados dos enteros a y b, se dice que b es divisor de a si existe un entero c tal que
a = b·c
Por lo tanto, la división de a entre b debe ser exacta (resto 0)
Ejemplo: Divisores del número 12 son 1, 2, 3, 4, 6, 12.
o Un número se dirá primo cuando sólo es divisible entre el mismo y 1. Si un número no es
primo es compuesto.
Ejemplo: Números primos son 13, 17, 23, 37, . . . mientras que números compuestos son 25,
36, 72, 121, . . .
En estas condiciones se puede definir el máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos o
más números:
o Dados dos enteros a y b, se dice llama Máximo común divisor de a y b, y se denota por,
M.c.d.(a,b) al mayor entero que divide a la vez ambos números.
Ejemplo: Calcular el M.c.d.(12, 18, 9).
Puesto que los divisores de cada número son:
12 : 1, 2, 3, 4, 6 y 12;
18: 1, 2, 3, 6, 9 y 18;
9 = 1, 3 y 9
El mayor número entero que divide a todos es 3.
Existe una regla muy útil que permite calcular el M.c.d. de varios números, previa
descomposición en números primos de todos ellos, en la que se tomará el producto de los
factores primos comunes con el mayor exponente con el que hayan aparecido en alguna de las
descomposiciones.
Ejemplo: Calcular el m.c.d.(12, 18, 9)
Por lo tanto, 12 = 22·3, 18 = 2·32, 9 = 32 por lo que m.c.d.(12, 18, 9) = 3.
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o Dados dos enteros a y b, se dice llama mínimo común múltiplo de a y b, y se denota por,
m.c.m.(a,b) al menor entero que es múltiplo a la vez ambos números.
Ejemplo: Calcular el m.c.m.(12, 18, 9).
Puesto que los primeros múltiplos de cada número son:
Múltiplos del 12 : 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, . . .
Múltiplos del 18: 18, 36, 54, 72, 90, . . .
Múltiplos del 9 = 1, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 . . .
El menor número entero que es múltiplo de todos ellos es 36.
Existe una regla muy útil que permite calcular el m.c.m. de varios números, previa
descomposición en números primos de todos ellos, en la que se tomará el producto de todos
los factores primos con el menor exponente con el que hayan aparecido en alguna de las
descomposiciones.
Ejemplo: Calcular el m.c.m.(12, 18, 9)
Utilizando las descomposiciones antes calculadas, m.c.m.(12, 18, 9) = 22·32 = 4·9 = 36.
4.4. Ordenación de los números enteros.
Dados dos números enteros a, b 5 Z, se dice por definición que a es menor o igual que b, y se escribe
a ″ b, si b – a 5 N
Ejemplo: 1 – 4 < – 2 porque – 2 – ( – 4) = 2 5 N.
5. LOS NÚMEROS RACIONALES O FRACCIONARIOS.
5.1. Definición del conjunto de los números racionales.
Consideramos el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los número reales menos el cero
Z*. Sea el producto cartesiano:
⎧a
ZxZ * = ⎨
⎩b
⎫
a, b ∈ Z , b ≠ 0⎬
⎭
A este conjunto se le denomina conjunto de fracciones y cada uno de sus elementos es una fracción.
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En dicho conjunto, diremos que dos fracciones
a
c
y
son equivalentes si el producto de medios es
b
d
igual que el producto de extremos, es decir:
a c
=
b d
⇔ a⋅d = b⋅c
a
a
al conjunto formado por la fracción y todas sus
b
b
equivalentes. El conjunto formado por los números racionales se es por definición el conjunto de los
números racionales y se denota mediante Q.
De este modo, llamaremos número racional
Ejemplo: La clase
2
2
es la formada por y todas sus equivales.
3
3
Observar igualmente que cada elemento del conjunto Q así definido tiene un representante canónico
a
exclusivo de la forma
con m.c.d.(a,b) = 1, Esta es la llamada fracción irreducible de cada número
b
racional.
Ejemplo: La fracción
4
2
tiene como irreducible .
6
3
Del mismo modo, podemos decir que simplificar (amplificar) una fracción
a
consiste en encontrar
b
c
dividiendo (multiplicando) numerador y denominador por el mismo
d
número entero. Todas estas fracciones son puntos de la misma recta y por lo tanto, del mismo
número racional.
una fracción equivalente
De entre las definiciones más comunes en las fracciones podemos destacar:
•
•
Fracción propia: Si el valor absoluto del numerador es menor que el valor absoluto del
2 15 − 5
,
denominador. Ejemplos: − ,
, ...
3 23
7
Fracción impropia: Si el valor absoluto del numerador es mayor o igual que el valor absoluto
3 5 − 32
del denominador. Ejemplos: − ,
,
, ...
5 2
23
En este caso siempre existirá una descomposición de la fracción impropia como un número
entero más una fracción propia:
a
b
impropia ⇔ ∃c, d , n ∈ Z , d , n ≠ 0
12
y c<d
con
a
c
= n+
b
d
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•
•
•
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a
, diremos que es positiva si a·b > 0. Si una fracción es
b
positiva, su número racional también es positivo ya que todas las fracciones que son
66 + 11 − 32
,
equivalentes han de tener el mismo signo. Ejemplos: + ,
, ...
13
+2
− 12
a
Fracción negativa: Dada la fracción , diremos que es negativa si a·b < 0. Si una fracción es
b
negativa, su número racional también es negativo ya que todas las fracciones que son
45 − 9 + 2
equivalentes han de tener el mismo signo. Ejemplos: − ,
,
, ...
74 + 8 − 7
a
Fracción nula o cero: Dada la fracción , diremos que es nula si a = 0. Si una fracción es
b
0
0
0
nula, su número racional también es nulo. Ejemplos:
,
,
, ...
−4 +8 −3
Fracción positiva: Dada la fracción
5.2. Operaciones en los números racionales. Propiedades de cálculo.
Para dotar al conjunto Q que acabamos de definir de un carácter numérico debemos dotarlo de una
serie de propiedades algebraicas. Esto será muy fácil ya que bastar seguir las reglas que sabemos de
la aritmética con fracciones.
a c
, ∈ Q podemos definir, a partir de las operaciones suma y
b d
producto en los enteros, la suma de los números racionales como:
Dados dos números racionales
a c a⋅d +b⋅c
+ =
b d
bd
Ejemplo:
2 1 10 + 3 13
=
+ =
3 5
15
15
De igual modo para el producto se tendrá que:
a c a⋅c
⋅ =
b d b⋅d
Ejemplo:
49 ⎛ − 2 ⎞
49 ⋅ 2
7
⋅⎜
=−
⎟=−
4 ⎝ 7 ⎠
4⋅7
2
Estas definiciones no dependen de los representantes utilizados para cada clase de equivalencia.
Con estas operaciones Q adquiere cuerpo conmutativo ya que cumple respecto de cada operación las
siguientes propiedades:
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•
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Suma.
a ⎛c e ⎞ ⎛a c ⎞ e
+⎜ + ⎟ =⎜ + ⎟+
b ⎜⎝ d f ⎟⎠ ⎝ b d ⎠ f
a
a
a a
o Elemento neutro. ∀ ∈ Q,
+0 =0+ =
0 = (0, n) / n ∈ Z *
b
b b
b
a
a
a ⎛ a⎞
o Elemento simétrico. ∀ ∈ Q, ∃ − ∈ Q,
+ ⎜− ⎟ = 0
b
b
b ⎝ b⎠
a c e
o Asociativa. ∀ , , ∈ Q,
b d f
{
a c
o Conmutativa. ∀ , ∈ Q,
b d
•
}
a c c a
+ = + .
b d d b
Producto.
a ⎛ c e ⎞ ⎛a c ⎞ e
⋅⎜ ⋅ ⎟ = ⎜ ⋅ ⎟⋅
b ⎜⎝ d f ⎟⎠ ⎝ b d ⎠ f
a
a
a a
o Elemento neutro. ∀ ∈ Q,
⋅1 = 1 ⋅ =
1 = (n, n) / n ∈ Z *
b
b b
b
b
a ⎛b⎞
a
o Elemento simétrico. ∀ ∈ Q, ∃ ∈ Q,
⋅⎜ ⎟ =1
b
a
b ⎝a⎠
a c e
o Asociativa. ∀ , , ∈ Q,
b d f
{
a c
o Conmutativa. ∀ , ∈ Q,
b d
}
a c c a
⋅ = ⋅ .
b d d b
a c e
o Distributiva respecto de la suma. ∀ , , ∈ Q,
b d f
a ⎛c e⎞ a c a e
⋅⎜ + ⎟ = ⋅ + ⋅
b ⎜⎝ d f ⎟⎠ b d b f
En cuanto a la potencia, se extiende la definición a de potencias de exponente fraccionario, dando la
equivalencia entre potencia y raiz del siguiente modo:
a p/q = a p
q
Por lo tanto, la radicación, no es más que una potencia de exponente fraccionario.
Ejemplo: Calcular (4/9)1/2
⎛4⎞
⎜ ⎟
⎝9⎠
1/ 2
1
2
⎛4⎞
= ⎜ ⎟ =
3
⎝9⎠
Observaciones.
1. La resta de fracciones se define de igual modo que la suma mediante la propiedad del elemento
opuesto para la suma:
a c a ⎛ − c ⎞ a ⋅ d + b ⋅ (− c ) a ⋅ d − b ⋅ c
− = +⎜
=
⎟=
b d b ⎝ d ⎠
bd
bd
Ejemplo:
5 ⎛ 7⎞
5 7 − 15 + 28
13
− ⎜− ⎟ = − + =
=+
−8 ⎝ 6⎠
8 6
24
24
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2. La división se define a partir de la definición de multiplicación y la propiedad del elemento
inverso.
a c a ⎛c⎞
: = ⋅⎜ ⎟
b d b ⎝d ⎠
Ejemplo:
−1
=
a d a⋅d
⋅ =
b c b⋅c
9 ⎛ − 27 ⎞
9 ⋅ 24
12
12
:⎜
=+
=+
⎟=+
− 50 ⎝ 24 ⎠
50 ⋅ 27
25 ⋅ 3
75
5.3. Ordenación de los números racionales.
Dados dos números racionales
escribe
a
c
a c
, ∈ Q , se dice por definición que
es menor o igual que
y se
b
d
b d
a c
≤ si
b d
c a
− ≥0
d b
Ejemplo:
1 1
1 1 3 2 1
≤ porque − = − = > 0
3 2
2 3 6 6 6
5.4. Representación de los números racionales en la recta.
Para representar el punto en el que el número racional a/b debe considerarse en la recta de los enteros.
Debemos dividir cada unidad en las partes que indique el denominador b y contar, desde el punto 0 de
los enteros, tantas partes iguales como indique el numerador a. Si este es positivo, contaremos a la
derecha y si es negativo, contaremos hacia la izquierda.
Ejemplo: Representación gráfica de la fracción 6/5.
Para ello se observa que cada unidad se ha dividido en cinco partes iguales y se ha procedido a contar
a partir del 0 hacia la derecha seis partes iguales.
6. LOS NÚMEROS DECIMALES.
6.1. Definición de expresiones decimales. Posiciones decimales. Tipos de decimales.
El conjunto de expresiones decimales de la forma
± n,a1 a2 a3 . . .
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con n ≥ 0 es un natural cualquiera y ai números naturales tales que 0 ≤ ai ≤ 9 para todo i natural
donde eliminamos los casos en que ai = 9 para todo n a partir de uno dado, proporciona el conjunto de
número decimales. Este conjunto es equivalente al conjunto de números reales R. Estas expresiones
se interpretan como
±(n + a1·10-1+ a2·10-2 + a3·10-3+ . . . )
donde llamaremos a n la parte entera y a la expresión restante parte decimal.
Ejemplo: El número 23´4674 tiene parte entera 23 y parte decimal 0´4674.
Todo número racional tiene un desarrollo decimal asociado único que se puede calcular dividiendo su
numerador entre su denominador. Esto constituye una inmersión del conjunto de los racionales en los
decimales que conserva las operaciones de suma y producto a la vez que la ordenación de los
números.
Ejemplo: Pasar a número decimal los siguientes números racionales:
2 4 2
, ,
5 3 9
Solución: Dividiendo, en cada caso, numerador entre denominador encontramos que
2
4
2
´= 0´4,
= 1´3 , = 0´12 .
5
3
9
Los números decimales se clasifican, por su desarrollo decimal, en tres grupos según su formación.
Los dos primeros son desarrollos que aparecen a partir de los números racionales mientras que el
último grupo constituye un nuevo tipo de número no tratado hasta ahora: los números irracionales.
•
Decimales exactos: Si ±(n + a1·10-1+ a2·10-2 + a3·10-3+ . . . ) tiene únicamente un número
finito de cifras ai no nulas. Se puede probar que estas expresiones son equivalentes a un
número racional.
Por ejemplo, la expresión n = 43´27 se puede multiplicar por 100 obteniendo:
100n = 4327
4327
De donde se obtiene que: n =
100
•
Decimales periódicos: De igual modo si la sucesión de cifras a1a2a3 . . . tiene una estructura
periódica a partir de alguna de ellas, entonces el número se denomina periódico y al conjunto
finito de cifras que se repiten indefinidamente se denomina periodo. Existen dos tipos de
periódicos, los puros (el periodo aparece a partir de la coma) y los mixtos (el periodo no
aparece a partir de la coma). En este segundo subgrupo llamamos anteperiodo al conjunto de
cifras entre la coma y el periodo. Se puede demostrar que también todo número decimal
periódico es racional.
16
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o Como ejemplo la expresión decimal periódica pura n = 2,315315315. . . se puede
multiplicar por 1000 obteniendo:
1000n = 2315´315315 . . .
Restando las expresiones anteriores:
De lo que se deduce que 2´315315. . . . =
2313 257
=
999 111
Otro ejemplo puede ser la expresión decimal periódica mixta n = 0,127272727. . . se
puede multiplicar por 10 obteniendo:
10n = 1´27272727 . . .
Nuevamente multiplicando por 100:
1000n = 127´272727 . . .
Restando las expresiones anteriores:
De lo que se deduce que 0´127272727. . . . =
•
126 7
=
990 55
Decimales no exactos ni periódicos (números irracionales): La negación de los anteriores
casos nos lleva por último, a que la sucesión de cifras a1a2a3 . . sea de carácter infinito pero sin
contener ninguna estructura periódica. Se puede demostrar que esta clase de expresiones
decimales no corresponden a ningún número racional por lo que son expresiones irracionales
que dan lugar a los llamados número irracionales.
Un ejemplo de este caso, podría ser el número 1,101001000100001 . . . cuya expresión no es
finita y no tiene periodo. Números muy populares que tienen desarrollo decimal irracional son
π = 3´1415 . . . , e = 2´7071 . . . ó
2 = 1´4142 . . .
6.2. Operaciones en los números decimales. Propiedades de cálculo.
Es evidente que, salvo en situaciones muy particulares, sólo podremos efectuar operaciones sobre
números decimales de carácter exacto o periódico. La caracterización de este tipo de desarrollos
decimales como números racionales permite poder efectuar cualquier cálculo mediante los números
racionales correspondientes.
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De cualquier modo, podemos realizar operaciones con números decimales exactos mediante los
propios desarrollos decimales del siguiente modo. Dados los desarrollos
(n + a1·10-1+ a2·10-2 + a3·10-3+ . . . + ap·10-p)
(m + b1·10-1+ b2·10-2 + b3·10-3+ . . . + aq·10-q )
con n, m, p, q ≥0 naturales (sin perdida de generalidad) y ai bi números naturales tales que 0 ≤ ai ≤ 9,
tendremos que la suma de estos dos números vendrá dada por:
(n+m) + (a1 + b1)·10-1+ (a2 + b2)·10-2 + (a3 + b3)·10-3 + . . .
Por lo tanto, para sumar (restar) números decimales hay que sumar (restar) las cifras de la misma
posición y realizar las equivalencias respectivas (proceso de llevarse). La resta se puede definir a
partir del elemento opuesto para la suma.
Ejemplo 1: Calcular 12´234 + 24´43.
Ejemplo 2: Calcula 12´234 – 4´96.
Del mismo modo, el producto vendrá dado por:
(n·m) + (a1·m + b1·n)·10-1+ . . .
La división se puede definir a partir del elemento inverso para el producto.
Ejemplo 3: Calcula 12´234 x 2´03
Ejemplo 4: Calcula 471´25 : 2´3
Con estas operaciones R adquiere estructura de cuerpo conmutativo. La diferencia entre Q y R se
deriva en que R es un conjunto denso y por lo tanto es representable como una recta mientras que Q
no es denso y su representación como una recta es incompleta y aunque le faltan los números
irracionales.
6.3. Algoritmo para el cálculo de raíces exactas.
El algoritmo de cálculo de raíces está basado en métodos de aproximación de raíces de ciertas
funciones. Explicamos el algoritmo mediante el desarrollo del mismo en el cálculo de la raíz
cuadrada de 141´61:
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Se toman grupos de dos en dos a partir de la
coma tanto a derecha como a izquierda de la
misma. Se construye el casillero a la derecha
donde irá indicada la solución al finalizar el
algoritmo.
Se busca el número que al cuadrado quede
más próximo por defecto al último grupo de
dos cifras situado totalmente a la izquierda
(1). Se coloca en el casillero solución y se
calcula la resta entre el valor aproximado y el
real (1 – 1).
Se baja el siguiente grupo de dos cifras (41).
Se multiplica por dos al resultado que aparece
en la casilla superior derecha y se busca
aquella cifra natural entre 0 y 9 tal que la
multiplicación del casillero (2 __ x ___) quedé
más próxima por defecto al número creado en
la parte de la izquierda (41).
Se coloca dicha cifra encontrada en la casilla
del resultado (1), se efectúa la multiplicación
y se calcula la resta entre el valor aproximado
y el real (41 – 21 = 20).
Se baja el siguiente grupo de dos cifras (61).
Al pasar la coma, se coloca la coma en el
casillero solución. Se multiplica por dos al
resultado que aparece en la casilla de solución
(11) y se busca aquella cifra natural entre 0 y
9 tal que la multiplicación del casillero (22__
x ___) quedé más próxima por defecto al
número creado en la parte de la izquierda
(2061).
Se coloca dicha cifra encontrada en la casilla
del resultado (9), se efectúa la multiplicación
y se calcula la resta entre el valor aproximado
y el real (2061 – 2061 = 0). El resultado es el
indicado en el casillero solución 11´9.
En el caso de no dar resto cero se bajan el
siguiente grupo de cifras que en este caso
serían 00.
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7. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN ARÁBIGO. SISTEMAS DE NUMERACIÓN.
El sistema de numeración arábigo que utilizamos actualmente para representar nuestros números es
posicional y basado en 10 símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. En cuanto a que el sistema de
numeración es decimal o de base 10 es consecuencia de la utilización de diez símbolos para escribir
cualquier número. No hay ninguna razón intrínseca por la que deban usarse potencias de 10 en lugar
de potencias de otros números. La razón más extendida es la simple estructura de nuestras manos en
diez dedos. Sin embargo hubo otras culturas que utilizaron sistemas de numeración diferentes como
por ejemplo los babilonios que usaron la numeración sexagesimal de la que todavía respetamos en la
medida del tiempo o los ángulos.
Posicional, significa que cada símbolo que utilizamos significa diferente en función de la posición en
la que este. Por ejemplo, en nuestro sistema de numeración, los números 247 y 724 son diferentes aún
cuando se escriben con las mismas cifras. Esto es debido a que cada número es un polinomio de la
potencia 10 con coeficientes dados por números desde el 0 hasta el 9. Así
247 = 2·102 + 4·101 + 7·100
724 = 7·102 + 2·101 + 4·100
De este modo, cada posición de una cifra que describe un número entero recibe un nombre. De entre
las más destacadas tenemos:
Al coeficiente de la potencia de diez con grado 0 se le denomina unidades.
Al coeficiente de la potencia de diez con grado 0 se le denomina decenas.
Al coeficiente de la potencia de diez con grado 0 se le denomina centenas.
Al coeficiente de la potencia de diez con grado 0 se le denomina unidades de millar.
Observar como en el sistema de numeración decimal, y según su expresión como polinomios de
potencias de base 10 se tendrá que:
1 unidad de millar = 10 céntenas
1 céntena = 10 decenas
1 decena = 10 unidades.
Para ilustrar el sistema de numeración decimal es bueno construir la siguiente tabla en la que se
muestran las unidades, decenas, centenas, . . . de algunos números naturales:
Centenas
de millar
4
Unidades
de millar
5
9
2
0
Centenas
decenas
unidades
Natural
2
3
5
0
0
7
9
0
1
0
5
0
45.201
370
2.595
90.000
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Como dijimos anteriormente, toda expresión decimal consta de una parte entera y una parte decimal.
Teniendo en cuenta que la parte decimal de un desarrollo en base 10 se puede también reescribir
como un polinomio en potencias de base 10 y exponente negativo, podemos definir nuevas posiciones
como son las siguientes:
Al coeficiente de la potencia de diez con grado – 1 se le denomina décimas.
Al coeficiente de la potencia de diez con grado – 2 se le denomina centésimas.
Al coeficiente de la potencia de diez con grado – 3 se le denomina milésimas.
Al coeficiente de la potencia de diez con grado – 4 se le denomina diez milésimas.
Y por tanto,
1 unidad = 10 décimas
1 décima = 10 centésimas
1 centésima = 10 milésimas
1 milésima = 10 diezmilésimas
Para ilustrar el sistema de numeración decimal es bueno construir la siguiente tabla en la que se
muestran las posiciones numéricas de los símbolos que integran algunos números decimales
Centenas Decenas Unidades Décimas Centésimas Milésimas Natural
4
6
2
4
1
7
462´417
3
7
0
3´70 = 3´7
2
0
0
1
20´01
9
0
0
0
0
5
900´005
Existen otros sistemas de numeración diferentes al que usualmente utilizamos. En la tecnología de
ordenadores informáticos se utilizan también sistemas de numeración con base 2 (binario) que suele
utilizar los símbolos 0 y 1 mientras que otra de las bases más interesantes tecnológicamente hablando
es la 16 (hexadecimal) que utiliza los símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , A, B, C, D, E.
Para ejemplificar, supongamos que los dos símbolos para un sistema binario sean 0 y 1. En ese caso
los primeros números del sistema de numeración binario con esos símbolos serán:
02, 12, 102, 112, 1002, 1012, 1102, 1112, . . .
que corresponderán sucesivamente a los números 110, 210, 310, 410, 510, 610, 710, . . . del sistema
numérico decimal.
Así, si queremos conocer qué número decimal corresponde al binario 10012, no tendremos más que
utilizar el polinomio en potencias de base 2 del que procede:
1·23 + 0·22 +0·21 +1·20 = 8 + 1 = 9
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Otros ejemplos son:
210 = 1·21 ⎨ 210 = 102.
310 = 1·21 + 1 ⎨ 310 = 112.
810 = 1·23 ⎨ 810 = 10002.
1010 = 1·23 + 1·21 ⎨ 1010 = 10102.
Por otra parte, si queremos sabes que número binario corresponde al número 43110 deberemos dividir
reiteradamente entre 2 al número y sus sucesivos cocientes y tomar nota del último cociente y
sucesivos restos en el orden marcado inverso a como los hemos obtenido. Dicha lectura nos
proporcionará el número binario equivalente, según se muestra en el ejemplo:
Los astrónomos babilonios usaban un sistema con base 60 (sexagesimal). Un resto de esta práctica es
la unidad grado que utilizamos para medir ángulos, dividiendo el círculo en 360 partes. Otra
reminiscencia de dicha base es la división de la hora en 60 minutos y el minuto en 60 segundos.
8. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS.
Los cuatro tipos de números descritos anteriormente se relacionan mediante inclusiones de unos en
otros según muestra el siguiente esquema:
Números
decimales
o reales ( R )
0´73 , 1´7 , 2 ´13 , 0´12345 ...
⎧
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
Números
⎪
⎪
⎪
enteros
(Z )
⎪
⎪
⎪ Números
⎪ ..., − 2 , − 1, 0 , + 1, + 2 ,...
⎪
⎪
⎪ racionales ( Q ) ⎨
⎪
⎪ 8 / 2 , 4 / 3 ,...
⎪
⎪
Números
⎪
⎪
⎪
fraccionar ios
⎪
⎪
⎪
⎪ no reducibles a n / 1
⎪
⎪
⎪
3 / 4, 6 / 5,
⎩
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
Números
⎪
⎪ Irracional es ( I )
⎪ 2 , π , e , 0´101001 ...
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩
22
⎧ Números
⎪ naturales ( N )
⎪
⎪ 0 , 1, 2 , 3 , 4 ,...
⎪
⎨
⎪
Números
⎪
enteros
negativos
⎪
⎪ ..., − 4 , − 3 , − 2 , − 1
⎩
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9. PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULO. CÁLCULO ESCRITO, MENTAL, ESTIMACIÓN Y
CALCULADORA.
9.1. Cálculo escrito.
Todas las propiedades citadas anteriormente sobre cada uno de los conjuntos crean la llamada
jerarquía de operaciones en R que sirve para conocer el lugar por el que hay que empezar cualquier
cálculo numérico y el orden ha seguir. Si el cálculo es escrito, una ayuda importante suele ser la
inclusión de paréntesis y corchetes con el fin de dar las siguientes reglas:
1. En cualquier cálculo se efectuarán siempre los paréntesis y corchetes lo primero y dentro de
estos nuevamente se buscarán estos elementos.
2. En ausencia de paréntesis, corchetes se efectuarán los productos, potencias y divisiones.
3. En ausencia de paréntesis, corchetes, productos, potencias y divisiones, se efectúan las sumas
y las restas.
Ejemplo 1:
+ 4 − 3 2 + 5 ⋅ [4 − 30 : (16 − 2 ⋅ 7 )] = 4 − 9 + 5 ⋅ [4 − 30 : (16 − 14)] =
= −5 + 5 ⋅ [4 − 30 : (+ 2)] = −5 + 5 : [4 − 15] = −5 + 5 ⋅ [− 11] = −5 − 55 = −60
Ejemplo 2:
3
2 3 ⎡⎛ 2 ⎞ 1 ⎛
⎛ 3 ⎞ ⎞⎤ 2 3 ⎡ 8 1 ⎛
− ⎢⎜ ⎟ − : ⎜⎜ 2 − ⎜ − ⎟ ⎟⎟⎥ = − ⎢ − : ⎜ 2 +
3 2 ⎣⎢⎝ 3 ⎠ 3 ⎝
⎝ 2 ⎠ ⎠⎦⎥ 3 2 ⎣ 27 3 ⎝
=
3 ⎞⎤ 2 3 ⎡ 8 1 ⎛ 4 3 ⎞⎤
− :⎜ + ⎟ =
⎟ = −
2 ⎠⎥⎦ 3 2 ⎢⎣ 27 3 ⎝ 2 2 ⎠⎥⎦
2 3 ⎡ 8 1 ⎛ 7 ⎞⎤ 2 3 ⎡ 8
2 ⎤ 2 3 ⎡ 56 18 ⎤ 2 3 ⎡ 38 ⎤ 2 19 42 19 23
= −
=
−
=
= −
= −
−
−
−
− :⎜ ⎟ = −
3 2 ⎢⎣ 27 3 ⎝ 2 ⎠⎥⎦ 3 2 ⎢⎣ 27 21⎥⎦ 3 2 ⎢⎣189 189 ⎥⎦ 3 2 ⎢⎣189 ⎥⎦ 3 63 63 63 63
9.2. Cálculo mental.
Al mismo tiempo, se pueden ejercitar los cálculos mentales más simples que vayan conformando
procesos lógicos mentales conformes a las reglas de cálculo, mediante ejercicios encaminados a ello
como puedan ser:
Operar mentalmente en sumas, restas y multiplicaciones por compensación en todo tipo de
números.
Ejemplo: Operar mentalmente: 74 – 28 (= 76 – 30); 11 x 12 (=10 x 12 + 12).
Buscar mentalmente un número a partir de un cierto número dado ellos y mediante las
operaciones básicas.
Ejemplo: Calcula mentalmente los cinco primeros números naturales a partir de cuatro y con
las operaciones básicas.
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Cálculos concatenados con números naturales o enteros.
Ejemplo: Calcula mentalmente 2 – 4 + 5 – 4 + 6 =
Búsqueda de dobles, triples, quíntuplos, mitades, cuartas partes, etc. de cantidades dadas.
Ejemplo: Busca mentalmente el doble, el triple, la mitad y la tercera parte del número 6.
Buscar múltiplos y divisores de un número dado.
Ejemplo: Calcula mentalmente cinco múltiplos y cinco divisores del número 36.
Búsqueda de números primos hasta 100.
Ejemplo: Buscar mentalmente los números primos que hay entre los 20 primeros números
naturales.
Descomposición de números compuestos en productos varios y en producto de primos.
Ejemplo: Descomponer mentalmente en producto los números 10, 15, 18. Después buscar
una factorización en primos.
Cálculo de m.c.d. y m.c.m. de pares de números múltiplos o primos unos con otros.
Ejemplo: Calcular mentalmente el m.c.d. (6,2), m.c.m.(10, 20)
Operaciones sencillas de suma y resta con fracciones con el mismo denominador.
1 ⎛5 4⎞
Ejemplo: Calcular mentalmente: + ⎜ − ⎟ =
6 ⎝6 6⎠
Cálculo de la fracción de un número dado.
Ejemplo: Calcular mentalmente los 2/3 de 30 kg.
Redondear números decimales y operar estimando mediante estas aproximaciones.
Ejemplo: Calcular mentalmente aproximando a las décimas: 2´76 + 3´45 =
Multiplicar o dividir por la unidad seguida de ceros.
Ejemplo: Calcular mentalmente 12´3454 : 10000, 6´52 x 10000.
9.3. Estimaciones en expresiones decimales: Cifras significativas, notación científica y redondeo.
Frecuentemente un número decimal es lo suficientemente extenso como para que cree serios
problemas en los cálculos a realizar, bien porque provenga de un número irracional, tenga desarrollo
decimal periódico o simplemente porque tenga una longitud inadecuada para poder efectuar los
cálculos con comodidad. En ocasiones ocurre que la exactitud que deseamos para la cuenta no
coincide con el número total de dígitos que se nos plantean inicialmente.
a) Aproximación por cifras significativas.
En determinadas situaciones se opta por estimar o aproximar un número decimal dado mediante un
número k de cifras significativas determinado. Este proceso consiste en mantener las primeras k cifras
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del número a partir de la primera distinta de cero (empezando por la izquierda) y sustituir las
siguientes por cero.
Ejemplo 1: La estimación a 3 cifras significativas del número 0´09054 es a = 0´00905.
Ejemplo 2: La estimación por cifras significativas a las décimas del número 6´54 es a = 6´5.
Los dígitos no transformados se denominan dígitos significativos, y en particular al primero de los
números sin transformar se denomina dígito más significativo.
Por ejemplo, supongamos el número 0´0020803. Dos números aproximados podrían ser 0,002080 y
0,00208 con 2 el número más significativo. En el primero tenemos cuatro dígitos significativos
(2080), mientras que en el segundo tenemos sólo tres (208). Obsérvese sin embargo que ambos son el
mismo número. Pero el primero de ellos ofrece una predicción más extensa que el segundo, pues
proporciona una sexta cifra que no es dada por el otro.
b) Aproximación mediante notación científica.
Este proceso se utiliza usualmente cuando el número a utilizar para los cálculos es demasiado grande
o demasiado pequeño (entendemos por pequeño cercano a 0). Por lo tanto, otra forma de expresar los
dígitos significativos de un número aproximado es escribirlo en notación científica, es decir, del
modo siguiente:
(a0 + a-1·10-1 + . . . + a-p·10-p) ·10m,
La serie de cifras delante de la potencia de 10 se denomina mantisa del número y la potencia de 10 se
denomina exponente del número. La mantisa siempre llevará como parte entera un número entre 1 y
9. En operaciones de multiplicación y división con números extensos, este método se vuelve muy útil.
Ejemplo 1: Cuando nos dicen que la distancia de la Tierra al Sol es a=1´495·109 km., nos están
dando un número aproximado:
(1 + 4·10-1 + 9·10-2 + 5·10-3) ·109,
Obviamente, tal número posee cuatro dígitos significativos.
c) Proceso de redondeo
Un redondeo de un número decimal hasta cierta posición (decenas, unidades, décimas, . . . ) es una
aproximación a la expresión decimal finita más cercana que sólo contenga cifras hasta dicha posición.
Para ello, se conservarán todas las cifras del número hasta dicha posición pero, en esta última
haremos lo siguiente:
•
•
Añadiremos 1 a la cifra de última posición si su siguiente es mayor o igual que 5.
Dejaremos la misma cifra en la última posición si la siguiente es menor que 5.
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Ejemplo 1: Consideremos π = 3,141592…. y calculemos redondeos a las diezmilésimas,
milésimas y centésimas.
a=3,1416 (diezmilésimas)
a=3,142 (milésimas)
a=3,14 (centésimas)
Ejemplo 2: Consideremos redondeos a las décimas de los números siguientes:
6,527 → 6,5,
0,456 → 0,5,
2,195 → 2,2,
1,450 → 1,5,
0,950→1,0,
4,851→4,9,
0,850→0,9,
0,05→0,1.
d) Estimación de raíces.
Por lo tanto, si se trata de estimar el valor de la raíz n – ésima de a, es decir n a , hasta cierta posición
(unidades, décimas, centésimas, . . . ), calcularemos aquellos dos valores decimales p y q
consecutivos en tal posición tales que
pn ≤ a ≤ qn
El valor p nos proporcionará un valor por defecto de la raíz n – ésima mientras que el valor q será un
valor por exceso.
Ejemplo 1: Para estimar a las unidades
53 , observamos que
49 = 7 2 ≤ 53 ≤ 8 2 = 64
Por lo que una estimación por defecto a las unidades de la raíz pedida es 7 y por exceso es 8.
Ejemplo 2: Para estimar o aproximar a las centésimas el valor de 41 , primeramente estimamos la
parte entera de la raíz. Observamos que el intervalo [6, 7] cumple que
36 = 6 2 ≤ 41 ≤ 7 2 = 49
Por lo tanto, 6 será una cota por defecto para la parte entera y 7 lo será por exceso.
Para aproximar a las décimas, calculamos las potencias siguientes a las décimas entre los número 6 y
7, es decir, el cuadrado de 6´1, 6´2, 6´3, . . . , 6´9. En este caso tendremos que:
6´4 2 = 40´96
6´5´2 = 42´25
Por lo tanto, el intervalo en décimas al que pertenece nuestra raíz es [6´4, 6´5] por lo que los extremos
serán cotas por defecto y exceso respectivamente.
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Para aproximar a las centésimas, calculamos las potencias siguientes:
6´42 = 40´96
6´412 = 41´0881
Por lo tanto, el intervalo en décimas al que pertenece nuestra raíz es [6´4, 6´41] por lo que los
extremos serán cotas por defecto y exceso respectivamente.
9.4. Calculadora.
La calculadora es una herramienta de trabajo extraordinariamente útil para llegar con mayor rapidez a
determinados resultados. Sin embargo, esta herramienta no debe sustituir al cálculo escrito y mental
que el alumno debe ejercitar.
La utilidad principal de la calculadora es el conocimiento de sus principales teclas (adecuados a los
conocimientos que se están abordando) a partir de ejercicios sencillos a la vez que puede utilizarse en
procesos de búsqueda, ensayo-error, comprobación de un cálculo mental antes efectuado, etc. Pero
nunca para operar con magnitudes y tamaños que se puedan hacer mentalmente con facilidad.
Los elementos a utilizar en una calculadora en estos niveles son: Las teclas de operación suma, resta,
multiplicación, división, exponente, raíz y memoria. Es importante hacer hincapié en que la jerarquía
de operaciones la debemos introducir nosotros en la calculadora
Ejercicios adecuados podrían ser:
Ejemplo: ¿Cuál es el mayor número que puedes conseguir en pantalla pulsando dos veces cada
una de estas teclas? A) 2 + =, b) 2 x =, c) 2 / x =.
Ejemplo: Calcula mentalmente y después comprueba tus cálculos con la calculadora: – 4 ·2 – 5 ·6
+ 8·5 =
Ejemplo: Busca con la calculadora el dígito que hay que poner en cada espacio para que se
verifique la igualdad 4 __ 5 + 85__ = 1__13
Ejemplo: Si en tu calculadora no funcionase la tecla cero, como conseguirías que apareciesen los
siguientes números: 180, 108, 1080, 104050.
Ejemplo: En la pantalla de la calculadora aparece el número 56329, ¿cómo conseguirías variar el
3 en un 0?, ¿y el 6 en un 8?.
10. INTERVENCIÓN EDUCATIVA.
10.1. Tratamiento en el currículo
Los diferentes contenidos que se han desarrollado en esta unidad son objeto de aprendizaje en los tres
27
Especialidad de Primaria
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Tema 22
ciclos de la Educación Primaria. Este hecho se recoge en el análisis de los distintos elementos del
currículo del REAL DECRETO 1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se establecen las
enseñanzas mínimas de la Educación Primaria.
Objetivos
La enseñanza de las Matemáticas en esta etapa tendrá como objetivo el desarrollo de las siguientes
capacidades:
1. Utilizar el conocimiento matemático para comprender, valorar y producir informaciones y
mensajes sobre hechos y situaciones de la vida cotidiana y reconocer su carácter instrumental para
otros campos de conocimiento.
2. Reconocer situaciones de su medio habitual para cuya comprensión o tratamiento se requieran
operaciones elementales de cálculo, formularlas mediante formas sencillas de expresión
matemática o resolverlas utilizando los algoritmos correspondientes, valorar el sentido de los
resultados y explicar oralmente y por escrito los procesos seguidos.
3. Apreciar el papel de las matemáticas en la vida cotidiana, disfrutar con su uso y reconocer el valor
de actitudes como la exploración de distintas alternativas, la conveniencia de la precisión o la
perseverancia en la búsqueda de soluciones.
4. Conocer, valorar y adquirir seguridad en las propias habilidades matemáticas para afrontar
situaciones diversas, que permitan disfrutar de los aspectos creativos, estéticos o utilitarios y
confiar en sus posibilidades de uso.
5. Elaborar y utilizar instrumentos y estrategias personales de cálculo mental y medida, así como
procedimientos de orientación espacial, en contextos de resolución de problemas, decidiendo, en
cada caso, las ventajas de su uso y valorando la coherencia de los resultados.
6. Utilizar de forma adecuada los medios tecnológicos tanto en el cálculo como en la búsqueda,
tratamiento y representación de informaciones diversas.
7. Identificar formas geométricas del entorno natural y cultural, utilizando el conocimiento de sus
elementos y propiedades para describir la realidad y desarrollar nuevas posibilidades de acción.
8. Utilizar técnicas elementales de recogida de datos para obtener información sobre fenómenos y
situaciones de su entorno; representarla de forma gráfica y numérica y formarse un juicio sobre la
misma.
Contenidos
Los contenidos que se desarrollan en esta unidad se relacionan fundamentalmente con el bloque de
contenido 1. Números y operaciones.
La selección de contenidos de los tres ciclos es:
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Primer ciclo
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Segundo ciclo
Tercer ciclo
Bloque 1. Números y operaciones
Números naturales
medida,
- Recuento,
ordenación y expresión de
cantidades en situaciones
de la vida cotidiana.
- Lectura y escritura de
números. Grafía, nombre
y valor de posición de
números hasta tres cifras.
- Utilización de los números
ordinales.
- Orden y relaciones entre
números. Comparación de
números en contextos
familiares.
Operaciones
- Utilización en situaciones
familiares de la suma para
juntar o añadir; de la resta
para separar o quitar; y de
la multiplicación para
calcular número de veces.
- Expresión oral de las
operaciones y el cálculo.
- Disposición para utilizar
los
números,
sus
relaciones y operaciones
para obtener y expresar
información,
para
la
interpretación de mensajes
y para resolver problemas
en situaciones reales.
Estrategias de cálculo
- Cálculo de sumas y restas
utilizando
algoritmos
estándar.
- Construcción de las tablas
de multiplicar del 2, 5 y
10 apoyándose en número
de veces, suma repetida,
Números naturales y fracciones
- Sistema de numeración
decimal. Valor de posición
de las cifras. Su uso en
situaciones reales.
- Orden y relación entre los
números. Notación.
- Números fraccionarios para
expresar
particiones
y
relaciones en contextos
reales,
utilización
del
vocabulario apropiado.
entre
- Comparación
fracciones
sencillas:
mediante ordenación y
representación gráfica.
Operaciones
- Utilización en situaciones
familiares
de
la
multiplicación como suma
abreviada, en disposiciones
rectangulares y problemas
combinatorios.
- Utilización en contextos
reales de la división para
repartir y para agrupar.
- Interés para la utilización de
los números y el cálculo
numérico para resolver
problemas en situaciones
reales, explicando
oralmente y por escrito los
procesos de resolución y los
resultados obtenidos.
Estrategias de cálculo
- Descomposición aditiva y
multiplicativa
de
los
números. Construcción y
memorización de las tablas
de multiplicar.
29
Números enteros, decimales y
fracciones
- Uso en situaciones reales del
nombre y grafía de los
números de más de seis cifras.
- Múltiplos y divisores.
- Números positivos y
negativos. Utilización en
contextos reales.
fraccionarios.
- Números
Obtención
de
fracciones
equivalentes.
- Números decimales. Valor de
posición y equivalencias. Uso
de los números decimales en la
vida cotidiana.
de
números
- Ordenación
enteros, de decimales y de
fracciones por comparación y
representación gráfica.
- Expresión de partes utilizando
porcentajes. Correspondencia
entre fracciones sencillas,
decimales y porcentajes.
- Sistemas de numeración en
culturas
anteriores
e
influencias en la actualidad.
Operaciones
- Potencia como producto de
factores iguales. Cuadrados y
cubos.
- Jerarquía de las operaciones y
usos del paréntesis.
Estrategias de cálculo
- Utilización de operaciones de
suma, resta, multiplicación y
división con distintos tipos de
números,
en
situaciones
cotidianas y en contextos de
resolución de problemas.
Especialidad de Primaria
-
-
-
-
-
-
disposición
en
cuadrículas...
Desarrollo de estrategias
personales de cálculo
mental para la búsqueda
del complemento de un
número a la decena
inmediatamente superior,
para el cálculo de dobles y
mitades de cantidades y
para resolver problemas
de sumas y restas.
Cálculo
aproximado.
Estimación y redondeo del
resultado de un cálculo
hasta la decena más
cercana escogiendo entre
varias
soluciones
y
valorando las respuestas
razonables.
Familiarización con el uso
de la calculadora para la
generación de series y
composición
y
descomposición
de
números.
Resolución de problemas
que
impliquen
la
realización de cálculos,
explicando oralmente el
significado de los datos, la
situación planteada, el
proceso seguido y las
soluciones obtenidas.
Confianza en las propias
posibilidades,
y
curiosidad,
interés
y
constancia en la búsqueda
de soluciones.
Gusto por la presentación
ordenada y limpia de los
cálculos y sus resultados.
Tema 22
© MAGÍSTER
-
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-
-
-
-
Utilización
de
los
algoritmos estándar, en
contextos de resolución de
problemas, de suma, resta,
multiplicación y división
por una cifra.
Utilización de estrategias
personales
de
cálculo
mental.
Estimación del resultado de
una operación entre dos
números, valorando si la
respuesta es razonable.
Utilización
de
la
calculadora en la resolución
de problemas de la vida
cotidiana, decidiendo sobre
la conveniencia de usarla en
función de la complejidad
de los cálculos.
Confianza en las propias
posibilidades y constancia
para utilizar los números,
sus
relaciones
y
operaciones para obtener y
expresar
informaciones,
manifestando
iniciativa
personal en los procesos de
resolución de problemas de
la vida cotidiana.
Interés por la presentación
limpia, ordenada y clara de
los cálculos y de sus
resultados.
Disposición para desarrollar
aprendizajes autónomos en
relación con los números,
sus
relaciones
y
operaciones.
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-
-
-
-
-
-
Utilización de la tabla de
multiplicar para identificar
múltiplos y divisores.
Calculo de tantos por ciento
básicos en situaciones reales.
Estimación del resultado de un
cálculo y valoración de
respuestas
numéricas
razonables.
Resolución de problemas de la
vida
cotidiana
utilizando
estrategias
personales
de
cálculo mental y relaciones
entre los números, explicando
oralmente y por escrito el
significado de los datos, la
situación planteada, el proceso
seguido y las soluciones
obtenidas.
Utilización de la calculadora
en la resolución de problemas,
decidiendo
sobre
la
conveniencia de usarla en
función de la complejidad de
los cálculos.
Capacidad
para
formular
razonamientos
y
para
argumentar sobre la validez de
una solución identificando, en
su caso, los errores.
Colaboración
activa
y
responsable en el trabajo en
equipo, manifestando iniciativa
para resolver problemas que
implican la aplicación de los
contenidos estudiados.
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Criterios de evaluación
Son un referente fundamental para el desarrollo de la evaluación del proceso de enseñanzaaprendizaje que permite valorar la consecución de los objetivos y competencias básicas definidas en
el currículo de las diferentes enseñanzas. En los diferentes ciclos son:
Primer ciclo
1. Formular problemas sencillos en los que se precise contar, leer y escribir números hasta el 999.
Este criterio pretende comprobar la capacidad de aplicar a situaciones inventadas los conocimientos
adquiridos sobre el uso de los números. Se evaluará la capacidad para interpretar y emitir
informaciones en situaciones familiares empleando números hasta el entorno del millar. Igualmente
se pretende valorar el dominio sobre el valor de posición que tienen los números, en el orden de
magnitud indicado, en el sistema decimal de numeración y la capacidad de asociar escritura cifrada y
denominaciones orales.
3. Realizar, en situaciones cotidianas, cálculos numéricos básicos con las operaciones de suma, resta
y multiplicación, utilizando procedimientos diversos y estrategias personales.
Este criterio trata de comprobar la capacidad de utilizar en los cálculos de sumas, restas y
multiplicaciones, la estructura del sistema decimal de numeración, mostrando flexibilidad a la hora de
elegir el procedimiento más conveniente. Debe prestarse especial atención a la capacidad para
desarrollar estrategias propias de cálculo mental en contextos habituales. Se valorará también la
aplicación intuitiva de las propiedades de las operaciones y la capacidad de explicar oralmente los
razonamientos.
8. Resolver problemas sencillos relacionados con objetos, hechos y situaciones de la vida cotidiana,
seleccionando las operaciones de suma y resta y utilizando los algoritmos básicos correspondientes u
otros procedimientos de resolución. Explicar oralmente el proceso seguido para resolver un
problema.
Con este criterio se pretende evaluar la capacidad de seleccionar y aplicar la operación adecuada a la
situación problemática a resolver. Es asimismo importante observar la capacidad de emplear más de
un procedimiento y la madurez que se manifiesta en la expresión oral y escrita del proceso de
resolución.
Segundo ciclo
1. Utilizar en contextos cotidianos, la lectura y la escritura de números naturales de hasta seis cifras,
interpretando el valor posicional de cada una de ellas y comparando y ordenando números por el
valor posicional y en la recta numérica.
Este criterio pretende comprobar el manejo, en situaciones reales, de la representación de cantidades
de hasta seis cifras, partiendo del concepto de valor de posición. Igualmente se trata de verificar, en
contextos de la vida cotidiana, la capacidad de interpretar y expresar situaciones con cantidades de la
mencionada magnitud, de dominar la organización de la serie escrita de las cifras de un número y de
situarlo en la recta.
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Tema 22
2. Realizar cálculos numéricos con números naturales, utilizando el conocimiento del sistema de
numeración decimal y las propiedades de las operaciones, en situaciones de resolución de
problemas.
Este criterio trata de comprobar la capacidad de utilizar en los cálculos la estructura del sistema
decimal de numeración y las propiedades de las operaciones, mostrando flexibilidad a la hora de
elegir el procedimiento más adecuado, si bien debe prestarse especial atención al dominio de los
algoritmos escritos.
3. Utilizar estrategias personales de cálculo mental en cálculos relativos a la suma, resta,
multiplicación y división simples.
Se trata de valorar la capacidad para utilizar con cierta agilidad estrategias personales de cálculo
mental en situaciones de cálculo sencillas. Se atenderá especialmente a la explicación que hacen
sobre las estrategias aplicadas. No se trata tanto de valorar la rapidez en el cálculo como de apreciar si
llegan a resultados válidos, que serán exactos o estimados en función de los números que intervienen
y de la situación en que el cálculo se produce.
8. Resolver problemas relacionados con el entorno que exijan cierta planificación, aplicando dos
operaciones con números naturales como máximo, así como los contenidos básicos de geometría o
tratamiento de la información y utilizando estrategias personales de resolución.
Este criterio trata de comprobar la capacidad para utilizar estrategias personales para la resolución de
problemas y para aplicar los conocimientos adquiridos. Es asimismo importante observar la facultad
de emplear más de un procedimiento y la perseverancia en la búsqueda de soluciones, y la expresión,
oral y escrita, de forma ordenada el proceso seguido.
Tercer ciclo
1. Leer, escribir y ordenar, utilizando razonamientos apropiados, distintos tipos de números
(naturales, enteros, fracciones y decimales hasta las centésimas).
Con este criterio se pretende comprobar el manejo, en situaciones tomadas de la vida real, de
diferentes tipos de números, interpretando su valor y siendo capaces de comparar e intercalar
números escritos de diferentes maneras.
2. Realización de operaciones y cálculos numéricos sencillos mediante diferentes procedimientos,
incluido el cálculo mental, que hagan referencia implícita a las propiedades de las operaciones, en
situaciones de resolución de problemas.
Se trata de comprobar la capacidad de operar con los números y el conocimiento sobre la jerarquía de
las operaciones. Igualmente, se trata de apreciar la utilización de las propiedades de las operaciones,
las estrategias personales y los diferentes procedimientos que se utilizan según la naturaleza del
cálculo que se ha de realizar (algoritmos escritos, cálculo mental, tanteo, estimación, calculadora),
decidiendo sobre el uso más adecuado.
3. Utilizar los números decimales, fraccionarios y los porcentajes sencillos para interpretar e
intercambiar información en contextos de la vida cotidiana.
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Con este criterio se pretende comprobar la utilización de los diferentes tipos de números en contextos
reales, estableciendo equivalencias entre ellos, y la capacidad de identificarlos y utilizarlos como
operadores en la interpretación y la resolución de problemas.
8. En un contexto de resolución de problemas sencillos, anticipar una solución razonable y buscar
los procedimientos matemáticos más adecuados para abordar el proceso de resolución. Valorar las
diferentes estrategias y perseverar en la búsqueda de datos y soluciones precisas, tanto en la
formulación como en la resolución de un problema. Expresar de forma ordenada y clara, oralmente
y por escrito, el proceso seguido en la resolución de problemas.
Este criterio está dirigido especialmente a comprobar la capacidad en la resolución de problemas,
atendiendo al proceso seguido. Se trata de verificar que ante un problema los alumnos y las alumnas
tratan de resolverlo de forma lógica y reflexiva y comprobar que comprenden la importancia que el
orden y la claridad tienen en la presentación de los datos y en la búsqueda de la solución correcta,
para detectar los posibles errores, para explicar el razonamiento seguido y para argumentar sobre la
validez de una solución.
10.2. Recursos didácticos.
Recursos personales.
Los recursos personales se entienden como todas aquellas interacciones que apoyan y participan en el
trabajo de contenidos y objetivos objeto de aprendizaje. Entre ellos resalta el papel del maestro y de
los iguales.
Se parte de la labor del maestro, como uno de los principales recursos personales.
Desde la normativa, entre las funciones que la LOE dispone para el mismo, se destaca: la enseñanza
de las áreas; la evaluación del proceso de enseñanza-aprendizaje; la tutoría y orientación del
aprendizaje en colaboración con las familias; la atención al desarrollo afectivo, social y moral de los
alumnos; la organización y participación en las actividades complementarias; la colaboración con los
servicios de orientación o la participación en un clima de respeto y colaboración. Todas estas
funciones se llevarán a cabo desde el principio de colaboración y trabajo en equipo, en concordancia
con la importancia que la nueva ley adjudica a la participación de todos los agentes implicados en el
proceso educativo.
Desde la base psicopedagógica constructivista, el papel del profesor se entiende, fundamentalmente
como mediador esencial entre el alumno y los contenidos al determinar su selección, organización y
presentación.
Se destaca también el papel de los compañeros ya que intervienen en la labor de mediación y será una de
las funciones del profesor canalizar tal mediación para que sea oportuna y eficaz.
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Por último, en concordancia con la LOE se destaca el valor de la familia como recurso personal y la
necesidad de que desde los centros de escolares se coopere estrechamente con la misma, con el fin de
respetar su responsabilidad fundamental.
Recursos ambientales.
Los recursos ambientales comprenden desde la conformación flexible y funcional del espacio del aula,
hasta la utilización de los distintos espacios del centro y los ambientes que fuera de él puedan cooperar
en el tratamiento de los contenidos.
Destacan los siguientes:
El aula:
- Organización de las actividades.
El colegio:
- Espacios de uso común relacionados con los contenidos que se trabajan en este tema: jardín,
patio, huerto (si lo hubiera) y el patio.
El entorno social:
- Instituciones, organizaciones y servicios del entorno:
o Centros culturales y de ocio: Ludotecas, bibliotecas, de exposiciones, museos de
ciencias, parques, jardines, huertos…
o Ferias de ciencia.
Las salidas fuera del centro desempeñan un importante papel en la enseñanza al facilitar la observación
y el encuentro con el medio natural, social, cultural y laboral y los procesos y fenómenos que en ellos
tienen lugar. Ilustran y hacen más comprensibles a los alumnos determinados conocimientos.
Recursos materiales.
En el tratamiento didáctico de las ciencias resultan de especial interés los siguientes materiales: de
representación, impresos, audiovisuales e informáticos.
Específicos/ de representación.
Regletas: Este material nos permite, entre otras cosas, asignando un valor numérico a cada regleta,
componer y descomponer números, sumar… Recomendado para 1er ciclo de Educación Primaria
Cubos encajables: Este material consiste en 100 cubos de 2 cm. de arista y diez colores distintos que
se encajan fácilmente. Permiten componer patrones, representar números, o incluso representar el
cuadrado de, al menos los cinco primeros números naturales. Recomendado para 1.er, 2.º y 3.er ciclo
de Educación Primaria.
Regletas retroproyectables: Son muy útiles para organizar la clase y desarrollar actividades
colectivas. Recomendado para 1er ciclo de Educación Primaria
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Ábaco abierto: Mejora la comprensión del Sistema de Numeración Decimal y sus operaciones.
Recomendado para 1º y 2º ciclo de Educación Primaria
Cartas numéricas: Permite comparar, clasificar, contar. Recomendado para 1º , 2º y 3º Ciclo de
Educación Primaria
Dominó de Equivalencias: Tiene la misma estructura que el dominó tradicional pero sustituye los
números por suma y restas no superiores a 12. Recomendado para 1º Ciclo de Educación Primaria
Dominós de Sumas: Tiene la misma estructura que el dominó tradicional pero sustituye los números
por suma no superiores a 12. Recomendado para 1ºy 2º Ciclo de Educación Primaria
Dominós de Operaciones: Tiene la misma estructura que el dominó tradicional pero sustituye los
números por operaciones de suma, resta, división y multiplicación. Recomendado para 3º Ciclo de
Educación Primaria.
Dominó de Equivalencias de Fracciones: Sustituye los números por fracciones y su representación
gráfica. Recomendado para 3ª Ciclo de Educación Primaria
Tabla de Fracciones: Juego de 10 regletas troqueladas para dividirlas en 10 partes iguales. Permite
ordenar, representar fracciones, buscar equivalencias…Recomendado para 3º Ciclo de Educación
Primaria
Círculo de Fracciones: Son dos círculos de colores distintos, uno de ellos serigrafiado con
fracciones. Cada uno de los círculos tiene una ranura y gira uno alrededor del otro. Recomendado
para 3ª Ciclo de Educación Primaria.
Suma 15: Tablero con 9 casillas numeradas del 1 al 9. Seis fichas para colocar. Tres para cada
jugador. Cada jugador procura sumar 15 entre dos casillas o evitar que lo consiga el contrincante.
Recomendado para 1º Ciclo de Educación Primaria
El Juego del 11: Consta de tablero dividido en varias zonas, dados y fichas. Siguiendo las
instrucciones se debe alcanzar la casilla central del 11. Recomendado para 2º y 3º Ciclo de Educación
Primaria.
(Estos materiales están descritos por Montserrat Torra, en las carpetas para construir las Matemáticas
del proyecto sur).
Impresos.
-
Normativa de la educación Primaria (LOE; RD/D de desarrollo curricular; órdenes de
evaluación; ROC,...).
Guías didácticas de los proyectos editoriales (guías de Metodología, programaciones,
cuentos, fichas, recursos lingüísticos y actividades, murales, CDs de música, bits de
inteligencia).
Audiovisuales.
-
Aparatos: Visuales (Retroyector, proyector de opacos, proyector de diapositivas, cámara
fotográfica); Auditivos (Minicadena, grabadora, radio, walkman, discman) y audiovisules
Televisión, DVD, cámara de vídeo).
-
Producciones: Visuales (diapositivas, transparencias, reportaje gráfico, fotografías); auditivos
(cintas de audio de canciones, cuentos y sonidos del entorno) y audovisuales (películas de vídeo y
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DVD, diaporamas, programas de televisión de cuentacuentos, series de dibujos animados,
anuncios publicitarios)
Informáticos.
-
El ordenador y sus componentes:
1
El teclado
1
El ratón
1
La pantalla
- Programas informáticas:
1
Trampolín. Educación Primaria Primer Ciclo. Anaya interactiva.
1
Colección de Pipo: Matemáticas con Pipo.
- Páginas web
http://www.educa.jcyl.es/educacyl/cm/zonaalumnos/tkContent?idContent=3525&locale=es_
Página Web con muchas actividades para los alumnos como por ejemplo, sumar sin parar, restar sin
parar, multiplicar sin parar...
http://www.aplicaciones.info/ortogra2/calculo.htm
Página Web sobre cálculo interactivo.
http://www.educa.madrid.org/portal/c/contents/several_contents/view_resource?contentId=1882750751&layoutId=10162.17&portletId=101&p_p_id=101&p_l_id=10162.17
Página web sobre juegos educativos y fichas matemáticas.
http://www.vedoque.com/juegos/granja-matematicas.html
Juegos para practicar operaciones.
BIBLIOGRAFÍA
-
ALMODÓVAR, J.A.; GARCÍA, F.; HERNÁNDEZ, J.; MORENO, Mª R.; RODRÍGUEZ, M. Y
VALERA, J.Mª: Matemáticas 6º Primaria (Serie Un paso mas), Santillana, 2006.
-
ÁLVAREZ, Mª D.; MIRANDA, A. Y.; PARRA, S.; REDONDO, R.; SANTOS, T.: Matemáticas
3º ESO (Serie Practica), Santillana, 2006.
-
COLERA, J.; GARCÍA, J.E.; GAZTELU, I. Y OLIVEIRA, M.J.: Matemáticas 3º ESO (Serie
Nuestro Mundo), Anaya, 1998.
36
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ESQUEMA RESUMEN
1. LOS NÚMEROS Y EL CÁLCULO NUMÉRICO.
Los números son el concepto que subyace en todo proceso de medición, ordenación, operación o
comparabilidad de magnitudes escalares. La escuela Pitagórica en su celebre frase “Todo es número”
quería expresar, entre otras cosas, que el origen de todo cuanto existe en el universo puede ser
descrito mediante estos conceptos. Las matemáticas de todos los tiempos no consideran a los números
con simples símbolos sino como verdaderas estructuras conceptuales susceptibles de explicar
cualquier fenómeno geométrico, físico, químico, tecnológico, etc.
El cálculo numérico es el conjunto de operaciones y procedimientos para operar con los números.
2. NECESIDAD Y USO DE LOS NÚMEROS.
•
•
•
•
El concepto de número natural es tan arcaico como la propia especie humana. Sirven para
contar y enumerar.
Los números enteros tienen explicación en el campo del comercio y economía. También sirven
para medir determinadas magnitudes como el tiempo, temperatura, etc. Así como para la
resolución de ecuaciones cuya solución escapa de los números naturales.
Los números racionales sirvieron para realizar particiones de un total en partes iguales. Las
fracciones y números racionales se utilizan igualmente para cálculos de subidas y disminuciones
porcentuales, para resolución de problemas de particiones de una cierta cantidad y como operador
en ciertos procesos. Los números racionales son incluso anteriores en sus orígenes a los números
enteros negativos puesto que su naturaleza es la de repartir mientras que la de los otros es de
debito. Civilizaciones como la egipcia y la babilónica ya disponían de un complejo sistema
fraccionario.
La implantación de los números decimales obedece fundamentalmente a criterios de medición y
cálculo de ciertas longitudes sobre magnitudes escalares así como para dar explicación a
determinados números como π que aparecen en objetos geométricos tan importantes como la
circunferencia y que no proceden de fracción alguna. Además, la estructura de los números
decimales o reales permite representarlos como una línea recta infinita sin huecos, continua y
densa. Todo el formalismo de los números reales y expresiones decimales se fundamentó entre
finales del siglo XIX y primera mitad del siglo XX gracias a Cauchy, Weierstrass, Dedekind o
Cantor.
3. LOS NÚMEROS NATURALES. OPERACIONES DE CÁLCULO.
3.1.Definición del conjunto de los números naturales.
El conjunto de los números naturales está formado por los números 0, 1, 2, 3, . . . Como ya dijimos
anteriormente, los números naturales sirven ante todo para dos cosas: contar y ordenar elementos.
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3.2.Operaciones de cálculo con los números naturales. Propiedades de cálculo.
Dados dos conjuntos A y B con elementos n y m respectivamente, se define la suma de n + m como
el número de elementos del conjunto AΩB. Las propiedades que aparecen en N a partir de la
operación suma son, entre otras, las siguientes: Asociativa, Elemento neutro, Conmutativa,
Cancelativa.
Dados dos conjuntos A y B con elementos n y m respectivamente, se define el producto de n por m
y se denota mediante n·m como el número de elementos del conjunto cartesiano AxB. Las
propiedades que aparecen en N a partir de la operación producto o multiplicación son, entre otras, las
siguientes: Asociativa, Elemento neutro, conmutativa, cancelativa, Distributiva respecto de la suma.
Una potencia es una multiplicación iterada de modo que dados a y n naturales, la potencia “a elevado
a n” es el producto
an = a ⋅ a ⋅. . . ⋅ a ⋅ a
14
4244
3
n veces
Al valor a se denomina base de la potencia y al valor n exponente de la misma. Sus propiedades son:
a) ∀a ∈ N , a 0 = 1
b) ∀a ∈ N , a 1 = a
c) ∀a, n, m ∈ N , a n ⋅ a m = a n + m
d) ∀a, n, m ∈ N
con n ≥ m, a n : a m = a n − m
e) ∀a, n, m ∈ N ,
(a )
n m
= a n⋅m
La operación de radicación o raíz es la operación inversa de la operación de potencia de modo que
dados los naturales a y n “la raíz n – ésima de a”, denotada por
n
elevar el resultado b al exponente n obtenemos el valor a. Es decir,
a , es el resultado b si y sólo si al
n
a = b ⇔ b n = a . Al número
“n” lo llamaremos índice de la raíz y al valor “a” lo denominaremos radicando.
La operación de división en los números naturales conlleva un proceso de reparto en el que habrá un
total “D” a repartir (dividendo), un conjunto “d” de elementos a quienes se reparte (divisor), la
cantidad “c” que adquiere cada uno de estos elementos (cociente) y un sobrante “r” (resto). De este
modo se debe cumplir el llamado teorema de divisibilidad euclides, vulgarmente llamado “prueba de
la división”, D = d·c + r, donde el resto es siempre menor que el divisor.
3.3.Ordenación en el conjunto de los números naturales.
Dados dos números naturales a, b 5 N, se dice por definición que a es menor o igual que b y se
escribe a ″ b si existe algún natural c 5 N tal que a + c = b
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4. LOS NÚMEROS ENTEROS.
4.1.Definición del conjunto de los números enteros.
El conjunto Z = { . . . , – 2 , – 1, 0, + 1, + 2, . . . } es el conjunto de los números enteros. Se observa
que es un conjunto infinito, como los números naturales, pero no tiene elemento primero o mínimo.
4.2.Operaciones en los números enteros. Propiedades de cálculo.
Extendiendo ahora el concepto de suma de naturales a los números enteros, podemos dar reglas
prácticas para la suma/resta de números enteros del siguiente modo:
•
•
Para sumar dos números enteros del mismo signo, se suman los valores absolutos de los
números y se añade el signo del más grande en valor absoluto.
Para sumar dos números enteros de distinto signo, se restan los valores absolutos de los
números y se añade el signo de aquel de mayor valor absoluto.
La suma de enteros tiene, entre otras, las siguientes propiedades: Asociativa, Elemento neutro,
Elemento simétrico, conmutativa.
De igual modo, para el producto podemos dar reglas prácticas del siguiente modo:
•
•
Para multiplicar dos números enteros del mismo signo, se multiplican los valores
absolutos de los números y se añade el signo mas.
Para multiplicar dos números enteros de distinto signo, se multiplican los valores
absolutos de los números y se añade el signo menos.
El producto cumple con las siguientes propiedades: Asociativa, Elemento neutro, Conmutativa,
Distributiva respecto de la suma.
Con estas operaciones Z adquiere estructura de anillo conmutativo con elemento unidad (que es el 1).
Por último, la potenciación extiende su definición y propiedades definiendo la potencia de exponente
n
1
⎛1⎞
negativo, del siguiente modo: a = ⎜ ⎟ = n
a
⎝a⎠
4.3.Concepto de múltiplo y divisor. Procedimientos de cálculo: M.c.d. y m.c.m. de varios
números.
−n
A partir de la multiplicación y división exacta (la que tiene resto cero) aparecen definiciones muy
utilizadas en las matemáticas:
o Dados dos enteros a y b, se dice que a es múltiplo de b y que b es un divisor de a si existe un
entero c tal que a = b·c
o Un número se dirá primo cuando sólo es divisible entre el mismo y 1. Si un número no es
primo es compuesto.
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En estas condiciones se puede definir el máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos o
más números:
o Dados dos enteros a y b, se dice llama Máximo común divisor de a y b, y se denota por,
M.c.d.(a,b) al mayor entero que divide a la vez ambos números.
o Dados dos enteros a y b, se dice llama mínimo común múltiplo de a y b, y se denota por,
m.c.m.(a,b) al menor entero que es múltiplo a la vez ambos números.
4.4.Ordenación de los números enteros.
Dados dos números enteros a, b 5 Z, se dice por definición que a es menor o igual que b, y se escribe
a ″ b, si b – a 5 N
5. LOS NÚMEROS RACIONALES O FRACCIONARIOS.
5.1.Definición del conjunto de los números racionales.
⎧a
Al conjunto ZxZ * = ⎨
⎩b
⎫
a, b ∈ Z , b ≠ 0⎬ se denomina conjunto de fracciones y cada uno de sus
⎭
a
c
elementos es una fracción. Diremos que dos fracciones
y
son equivalentes si el producto de
b
d
a c
medios es igual que el producto de extremos, es decir: =
⇔ a⋅d = b⋅c
b d
a
a
• Llamaremos número racional
al conjunto formado por la fracción
y todas sus
b
b
equivalentes. El conjunto formado por los números racionales se es por definición el conjunto
de los números racionales y se denota mediante Q.
a
• La fracción irreducible es aquella de la forma con m.c.d.(a,b) = 1.
b
a
• Simplificar (amplificar) una fracción
consiste en encontrar una fracción equivalente
b
c
dividiendo (multiplicando) numerador y denominador por el mismo número entero. Todas
d
estas fracciones son puntos de la misma recta y por lo tanto, del mismo número racional.
De entre las definiciones más comunes en las fracciones podemos destacar:
•
•
Fracción propia: Si el valor absoluto del numerador es menor que el valor absoluto del
denominador.
Fracción impropia: Si el valor absoluto del numerador es mayor o igual que el valor absoluto
del denominador. En este caso siempre existirá una descomposición de la fracción impropia
como un número entero más una fracción propia.
40
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•
•
•
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a
, diremos que es positiva si a·b > 0. Si una fracción es
b
positiva, su número racional también es positivo ya que todas las fracciones que son
equivalentes han de tener el mismo signo.
a
Fracción negativa: Dada la fracción , diremos que es negativa si a·b < 0. Si una fracción es
b
negativa, su número racional también es negativo ya que todas las fracciones que son
equivalentes han de tener el mismo signo.
a
Fracción nula o cero: Dada la fracción , diremos que es nula si a = 0. Si una fracción es
b
nula, su número racional también es nulo.
Fracción positiva: Dada la fracción
5.2.Operaciones en los números racionales. Propiedades de cálculo.
a c
, ∈ Q podemos definir, a partir de las operaciones suma y
b d
a c a⋅d ± b⋅c
producto en los enteros, la suma (resta) de los números racionales como: ± =
b d
bd
Dados dos números racionales
a c a⋅c
De igual modo para el producto y división se tendrá que: ⋅ =
y
b d b⋅d
respectivamente.
a c a⋅d
: =
b d b⋅c
Con estas operaciones Q adquiere cuerpo conmutativo ya que cumple respecto de cada operación las
siguientes propiedades:
• Suma. Asociativa; Elemento neutro; Elemento simétrico; Conmutativa.
• Producto: Asociativa; Elemento neutro; Elemento simétrico; Conmutativa; Distributiva
respecto de la suma.
En cuanto a la potencia, se extiende la definición a de potencias de exponente fraccionario, dando la
equivalencia entre potencia y raíz del siguiente modo: a p / q = a p . Por lo tanto, la radicación, no es
más que una potencia de exponente fraccionario.
q
5.3.Ordenación de los números racionales.
a
c
a c
Dados dos números racionales , ∈ Q , se dice por definición que
es menor o igual que
y se
b
d
b d
a c
c a
escribe ≤ si − ≥ 0
b d
d b
5.4.Representación de los números racionales en la recta.
Para representar el punto en el que el número racional a/b debe considerarse en la recta de los enteros.
Debemos dividir cada unidad en las partes que indique el denominador b y contar, desde el punto 0 de
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los enteros, tantas partes iguales como indique el numerador a. Si este es positivo, contaremos a la
derecha y si es negativo, contaremos hacia la izquierda.
6. LOS NÚMEROS DECIMALES.
6.1.Definición de expresiones decimales. Posiciones decimales. Tipos de decimales.
El conjunto de expresiones decimales de la forma ± n,a1 a2 a3 . . . con n ≥ 0 es un natural cualquiera y
ai números naturales tales que 0 ≤ ai ≤ 9 para todo i natural, donde eliminamos los casos en que ai = 9
para todo n a partir de uno dado, proporciona el conjunto de número decimales. Este conjunto es
equivalente al conjunto de números reales R.
Todo número racional tiene un desarrollo decimal asociado único que se puede calcular dividiendo su
numerador entre su denominador. Los números decimales se clasifican, por su desarrollo decimal, en:
•
•
•
Decimales exactos: Si ±(n + a1·10-1+ a2·10-2 + a3·10-3+ . . . ) tiene únicamente un número
finito de cifras ai no nulas. Se puede probar que estas expresiones son equivalentes a un
número racional.
Decimales periódicos: De igual modo si la sucesión de cifras a1a2a3 . . . tiene una estructura
periódica a partir de alguna de ellas, entonces el número se denomina periódico y al conjunto
finito de cifras que se repiten indefinidamente se denomina periodo. Existen dos tipos de
periódicos, los puros (el periodo aparece a partir de la coma) y los mixtos (el periodo no
aparece a partir de la coma).
Decimales no exactos ni periódicos (números irracionales): La negación de los anteriores
casos nos lleva por último, a que la sucesión de cifras a1a2a3 . . sea de carácter infinito pero sin
contener ninguna estructura periódica. Se puede demostrar que esta clase de expresiones
decimales no corresponden a ningún número racional. Dar ejemplo.
6.2.Operaciones en los números decimales. Propiedades de cálculo.
Dados los desarrollos:
(n + a1·10-1+ a2·10-2 + a3·10-3+ . . . + ap·10-p)
(m + b1·10-1+ b2·10-2 + b3·10-3+ . . . + aq·10-q )
con n, m, p, q ≥0 naturales (sin perdida de generalidad) y ai bi números naturales tales que 0 ≤ ai ≤ 9,
tendremos que la suma de estos dos números vendrá dada por:
(n+m) + (a1 + b1)·10-1+ (a2 + b2)·10-2 + (a3 + b3)·10-3 + . . .
Por lo tanto, para sumar (restar) números decimales hay que sumar (restar) las cifras de la misma
posición y realizar las equivalencias respectivas (proceso de llevarse). La resta se puede definir a
partir del elemento opuesto para la suma.(Dar ejemplos)
Del mismo modo, el producto vendrá dado por: (n·m) + (a1·m + b1·n)·10-1+ . . . La división se puede
definir a partir del elemento inverso para el producto. Dar ejemplos).
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El conjunto R adquiere estructura de cuerpo conmutativo. La diferencia entre Q y R se deriva en que
R es un conjunto denso y representable como una recta mientras que Q no.
6.3.Algoritmo para el cálculo de raíces exactas.
El algoritmo de cálculo de raíces está basado en métodos de aproximación de raíces de ciertas
funciones. Dar un ejemplo.
7. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN ARÁBIGO. SISTEMAS DE NUMERACIÓN.
El sistema de numeración arábigo es posicional y decimal. Decimal porque está basado en 10
símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 ,9}. Posicional, significa que cada símbolo que utilizamos significa
diferente en función de la posición en la que este. De este modo, cada posición de una cifra que
describe un número entero recibe un nombre. De entre las más destacadas tenemos unidades, decenas,
centenas, unidades de millar, décimas, centésimas, milésimas, . . .
Existen otros sistemas de numeración diferentes al que usualmente utilizamos. En la tecnología de
ordenadores informáticos se utilizan también sistemas de numeración con base 2 (binario) que suele
utilizar los símbolos 0 y 1 mientras que otra de las bases más interesantes tecnológicamente hablando
es la 16 (hexadecimal) que utiliza los símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , A, B, C, D, E.
Los astrónomos babilonios usaban un sistema con base 60 (sexagesimal). Un resto de esta práctica es
la unidad grado que utilizamos para medir ángulos, dividiendo el círculo en 360 partes. Otra
reminiscencia de dicha base es la división de la hora en 60 minutos y el minuto en 60 segundos.
8. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS.
⎧
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
Números
⎪
⎪
⎪
(Z )
enteros
⎪
⎪
⎪ Números
⎪ ..., −2,−1,0,+1,+2,...
⎪
⎪
⎪racionales (Q ) ⎨
⎪
⎪ 8 / 2, 4 / 3,...
⎪
⎪
Números
⎪
⎪
⎪ fraccionar ios
⎪
⎪
⎪
⎪no reducibles a n / 1
⎪
⎪
⎪
3 / 4, 6 / 5,
⎩
Números
⎪
⎪
decimales o reales ( R ) ⎨
⎪
0´73, 1´7, 2´13, 0´12345 ... ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
Números
⎪
⎪ Irracional es ( I )
⎪ 2 , π , e,0´101001 ...
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩⎪
43
⎧ Números
⎪ naturales ( N )
⎪
⎪ 0, 1, 2, 3, 4,...
⎪
⎨
⎪
Números
⎪
⎪enteros negativos
⎪ ..., −4,−3,−2,−1
⎩
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9. PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULO. CÁLCULO ESCRITO, MENTAL, ESTIMACIÓN
Y CALCULADORA.
9.1. Cálculo escrito.
Si el cálculo es escrito, una ayuda importante suele ser la inclusión de paréntesis y corchetes con el
fin de dar las siguientes reglas:
En cualquier cálculo se efectuarán siempre los paréntesis y corchetes lo primero y dentro de estos
nuevamente se buscarán estos elementos.
En ausencia de paréntesis, corchetes se efectuarán los productos, potencias y divisiones.
En ausencia de paréntesis, corchetes, productos, potencias y divisiones, se efectúan las sumas y las
restas.
9.2.Cálculo mental.
Al mismo tiempo, se pueden ejercitar los cálculos mentales más simples que vayan conformando
procesos lógicos mentales conformes a las reglas de cálculo, mediante ejercicios encaminados a ello.
Dar ejemplos.
9.3.Estimaciones en expresiones decimales: Cifras significativas, notación científica y redondeo.
Frecuentemente un número decimal es lo suficientemente extenso como para que cree serios
problemas en los cálculos a realizar, bien porque provenga de un número irracional, tenga desarrollo
decimal periódico o simplemente porque tenga una longitud inadecuada para poder efectuar los
cálculos con comodidad. En ocasiones ocurre que la exactitud que deseamos para la cuenta no
coincide con el número total de dígitos que se nos plantean inicialmente.
a) Aproximación por cifras significativas.
En determinadas situaciones se opta por estimar o aproximar un número decimal dado mediante un
número k de cifras significativas determinado. Este proceso consiste en mantener las primeras k cifras
del número a partir de la primera distinta de cero (empezando por la izquierda) y sustituir las
siguientes por cero.
Los dígitos no transformados se denominan dígitos significativos, y en particular al primero de los
números sin transformar se denomina dígito más significativo.
b) Aproximación mediante notación científica.
Este proceso se utiliza usualmente cuando el número a utilizar para los cálculos es demasiado grande
o demasiado pequeño (entendemos por pequeño cercano a 0). Por lo tanto, otra forma de expresar los
dígitos significativos de un número aproximado es escribirlo en notación científica, es decir, del
modo siguiente: (a0 + a-1·10-1 + . . . + a-p·10-p) ·10m,
La serie de cifras delante de la potencia de 10 se denomina mantisa del número y la potencia de 10 se
denomina exponente del número. La mantisa siempre llevará como parte entera un número entre 1 y
9. En operaciones de multiplicación y división con números extensos, este método se vuelve muy útil.
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c) Proceso de redondeo
Un redondeo de un número decimal hasta cierta posición (decenas, unidades, décimas, . . . ) es una
aproximación a la expresión decimal finita más cercana que sólo contenga cifras hasta dicha posición.
Para ello, se conservarán todas las cifras del número hasta dicha posición pero, en esta última
haremos lo siguiente:
• Añadiremos 1 a la cifra de última posición si su siguiente es mayor o igual que 5.
• Dejaremos la misma cifra en la última posición si la siguiente es menor que 5.
d) Estimación de raíces.
Para estimar el valor de la raíz n – ésima de a, es decir n a , hasta cierta posición (unidades, décimas,
centésimas, . . . ), calcularemos aquellos dos valores decimales p y q consecutivos en tal posición
tales que p n ≤ a ≤ q n . El valor p es un valor por defecto de la raíz n – ésima mientras que el valor q
será un valor por exceso.
9.4.Calculadora.
La calculadora es una herramienta de trabajo extraordinariamente útil para llegar con mayor rapidez a
determinados resultados. Sin embargo, esta herramienta no debe sustituir al cálculo escrito y mental
que el alumno debe ejercitar.
La utilidad principal de la calculadora es el conocimiento de sus principales teclas (adecuados a los
conocimientos que se están abordando) a partir de ejercicios sencillos a la vez que puede utilizarse en
procesos de búsqueda, ensayo-error, comprobación de un cálculo mental antes efectuado, etc. Pero
nunca para operar con magnitudes y tamaños que se puedan hacer mentalmente con facilidad.
Los elementos a utilizar en una calculadora en estos niveles son: Las teclas de operación suma, resta,
multiplicación, división, exponente, raíz y memoria. Es importante hacer hincapié en que la jerarquía
de operaciones la debemos introducir nosotros en la calculadora
10. INTERVENCIÓN EDUCATIVA.
Los diferentes contenidos que se han desarrollado en este tema se trabajan en los tres ciclos de la
Educación Primaria. Este hecho se recoge en el análisis de los diferentes elementos curriculares:
objetivos, contenidos y criterios de evaluación.
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Tema 22
CUESTIONES PARA EL REPASO
TEMA 22
1. DAR USOS Y APLICACIONES DE LOS DIFERENTES TIPOS DE NÚMEROS.
2. DEFINIR EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS. MÚLTIPLO, DIVISOR, M.C.M. Y
M.C.D.
3. DETERMINAR LA RELACIÓN ENTRE LOS DIFERENTES TIPOS DE NÚMEROS.
4. DEFINIR EL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL. DAR EJEMPLOS DE OTROS
SISTEMAS Y DÓNDE SE UTILIZARON.
5. DAR EJEMPLOS DE ESTIMACIÓN DE NÚMEROS Y DAR EJEMPLOS DE TRABAJO
SOBRE EL CÁLCULO MENTAL.
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Tema 22
SOLUCIONES A LAS CUESTIONES DE REPASO DEL TEMA 22.
1. DAR USOS Y APLICACIONES DE LOS DIFERENTES TIPOS DE NÚMEROS.
•
•
•
•
El concepto de número natural es tan arcaico como la propia especie humana. Sirven para
contar y enumerar.
Los números enteros tienen explicación en el campo del comercio y economía. También sirven
para medir determinadas magnitudes como el tiempo, temperatura, etc. Así como para la
resolución de ecuaciones cuya solución escapa de los números naturales.
Los números racionales sirvieron para realizar particiones de un total en partes iguales. Las
fracciones y números racionales se utilizan igualmente para cálculos de subidas y disminuciones
porcentuales, para resolución de problemas de particiones de una cierta cantidad y como operador
en ciertos procesos. Los números racionales son incluso anteriores en sus orígenes a los números
enteros negativos puesto que su naturaleza es la de repartir mientras que la de los otros es de
debito. Civilizaciones como la egipcia y la babilónica ya disponían de un complejo sistema
fraccionario.
La implantación de los números decimales obedece fundamentalmente a criterios de medición y
cálculo de ciertas longitudes sobre magnitudes escalares así como para dar explicación a
determinados números como π que aparecen en objetos geométricos tan importantes como la
circunferencia y que no proceden de fracción alguna. Además, la estructura de los números
decimales o reales permite representarlos como una línea recta infinita sin huecos, continua y
densa. Todo el formalismo de los números reales y expresiones decimales se fundamentó entre
finales del siglo XIX y primera mitad del siglo XX gracias a Cauchy, Weierstrass, Dedekind o
Cantor.
2. DEFINIR EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS. MÚLTIPLO, DIVISOR,
M.C.M. Y M.C.D.
El conjunto Z = { . . . , – 2 , – 1, 0, + 1, + 2, . . . } es el conjunto de los números enteros. Se observa
que es un conjunto infinito, como los números naturales, pero no tiene elemento primero o mínimo.
o Dados dos enteros a y b, se dice que a es múltiplo de b y que b es un divisor de a si existe un
entero c tal que a = b·c
o Un número se dirá primo cuando sólo es divisible entre el mismo y 1. Si un número no es
primo es compuesto.
o En estas condiciones se puede definir el máximo común divisor y mínimo común múltiplo de
dos o más números:
o Dados dos enteros a y b, se dice llama Máximo común divisor de a y b, y se denota por,
M.c.d.(a,b) al mayor entero que divide a la vez ambos números.
o Dados dos enteros a y b, se dice llama mínimo común múltiplo de a y b, y se denota por,
m.c.m.(a,b) al menor entero que es múltiplo a la vez ambos números.
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3. DETERMINAR LA RELACIÓN ENTRE LOS DIFERENTES TIPOS DE NÚMEROS.
⎧
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
Números
⎪
⎪
⎪
enteros ( Z )
⎪
⎪
⎪ Números
⎪ ..., −2,−1,0,+1,+2,...
⎪
⎪
(
)
racionales
Q
⎨
⎪
⎪
⎪ 8 / 2, 4 / 3,...
⎪
⎪
Números
⎪
⎪
⎪ fraccionar ios
⎪
⎪
⎪
⎪no reducibles a n / 1
⎪
⎪
⎪
3 / 4, 6 / 5,
⎩
Números
⎪
⎪
decimales o reales ( R ) ⎨
⎪
0´73, 1´7, 2´13, 0´12345 ... ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
Números
⎪
Irracional
es ( I )
⎪
⎪ 2 , π , e,0´101001 ...
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩
⎧ Números
⎪ naturales ( N )
⎪
⎪ 0, 1, 2, 3, 4,...
⎪
⎨
⎪
Números
⎪
⎪enteros negativos
⎪ ..., −4,−3,−2,−1
⎩
4. DEFINIR EL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL. DAR EJEMPLOS DE OTROS
SISTEMAS Y DÓNDE SE UTILIZARON.
El sistema de numeración arábigo es posicional y decimal. Decimal porque está basado en 10
símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 ,9}. Posicional, significa que cada símbolo que utilizamos significa
diferente en función de la posición en la que este. De este modo, cada posición de una cifra que
describe un número entero recibe un nombre. De entre las más destacadas tenemos unidades, decenas,
centenas, unidades de millar, décimas, centésimas, milésimas, . . .
Existen otros sistemas de numeración diferentes al que usualmente utilizamos. En la tecnología de
ordenadores informáticos se utilizan también sistemas de numeración con base 2 (binario) que suele
utilizar los símbolos 0 y 1 mientras que otra de las bases más interesantes tecnológicamente hablando
es la 16 (hexadecimal) que utiliza los símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , A, B, C, D, E.
Los astrónomos babilonios usaban un sistema con base 60 (sexagesimal). Un resto de esta práctica es
la unidad grado que utilizamos para medir ángulos, dividiendo el círculo en 360 partes. Otra
reminiscencia de dicha base es la división de la hora en 60 minutos y el minuto en 60 segundos.
5. DAR EJEMPLOS DE ESTIMACIÓN DE NÚMEROS Y DE TRABAJO SOBRE EL
CÁLCULO MENTAL.
•
•
•
•
Operar mentalmente en sumas, restas y multiplicaciones por compensación en todo tipo de
números.
Buscar mentalmente un número a partir de un cierto número dado ellos y mediante las
operaciones básicas.
Cálculos concatenados con números naturales o enteros.
Búsqueda de dobles, triples, quíntuplos, mitades, cuartas partes, etc de cantidades dadas.
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•
•
•
•
•
•
•
•
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Tema 22
Buscar múltiplos y divisores de un número dado.
Búsqueda de números primos hasta 100.
Descomposición de números compuestos en productos varios y en producto de primos.
Cálculo de m.c.d. y m.c.m. de pares de números múltiplos o primos unos con otros.
Operaciones sencillas de suma y resta con fracciones con el mismo denominador.
Cálculo de la fracción de un número dado.
Redondear números decimales y operar estimando mediante estas aproximaciones.
Multiplicar o dividir por la unidad seguida de ceros.
Estimaciones en expresiones decimales:
a) Aproximación por cifras significativas: En determinadas situaciones se opta por estimar o
aproximar un número decimal dado mediante un número k de cifras significativas determinado.
Este proceso consiste en mantener las primeras k cifras del número a partir de la primera distinta
de cero (empezando por la izquierda) y sustituir las siguientes por cero.
Los dígitos no transformados se denominan dígitos significativos, y en particular al primero de los
números sin transformar se denomina dígito más significativo.
b) Aproximación mediante notación científica: Este proceso se utiliza usualmente cuando el
número a utilizar para los cálculos es demasiado grande o demasiado pequeño (entendemos por
pequeño cercano a 0). Por lo tanto, otra forma de expresar los dígitos significativos de un número
aproximado es escribirlo en notación científica, es decir, del modo siguiente:
(a0 + a-1·10-1 + . . . + a-p·10-p) ·10m,
La serie de cifras delante de la potencia de 10 se denomina mantisa del número y la potencia de
10 se denomina exponente del número. La mantisa siempre llevará como parte entera un número
entre 1 y 9. En operaciones de multiplicación y división con números extensos, este método se
vuelve muy útil.
c) Proceso de redondeo: Un redondeo de un número decimal hasta cierta posición (decenas,
unidades, décimas, . . . ) es una aproximación a la expresión decimal finita más cercana que sólo
contenga cifras hasta dicha posición. Para ello, se conservarán todas las cifras del número hasta
dicha posición pero, en esta última haremos lo siguiente:
• Añadiremos 1 a la cifra de última posición si su siguiente es mayor o igual que 5.
• Dejaremos la misma cifra en la última posición si la siguiente es menor que 5.
d) Estimación de raíces: Por lo tanto, si se trata de estimar el valor de la raíz n – ésima de a, es
decir
n
a , hasta cierta posición (unidades, décimas, centésimas, . . . ), calcularemos aquellos dos
valores decimales p y q consecutivos en tal posición tales que p n ≤ a ≤ q n . El valor p nos
proporcionará un valor por defecto de la raíz n – ésima mientras que el valor q será un valor por
exceso.
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