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Campo gravitatorio 1
Campo gravitatorio
1. A partir de los siguientes datos del Sistema Solar:
Planeta
Venus
Tierra
Marte
Saturno
Neptuno
Distancia al Sol
(U.A.)
Periodo orbital
(años)
RPlaneta/RT
MPlaneta/MT
0,723
1,00
1,52
9,54
30,1
0,6152
1,000
1,881
29,45
164,8
0,949
1,000
0,532
9,45
3,88
0,815
1,000
0,107
95
17
Calcular el valor de la constante de la tercera ley de Kepler para Marte, Saturno
y Neptuno. Resp.: a) KM = 1,01 años2/U.A.3; KS = 0,999 años2/U.A.3; KN = 0,996
años2/U.A.3.
2. Sabiendo que el planeta Venus tarda 224,7 días en dar una vuelta completa
alrededor del Sol y que la distancia de Neptuno al Sol es 4,504·109 km así como que la
Tierra invierte 365,256 días en dar una vuelta completa alrededor del Sol y que su
distancia a éste es 1,495·108 km. Calcular: a) Distancia de Venus al Sol. b) Duración de
una revolución completa de Neptuno alrededor del Sol. c) Velocidad orbital de Neptuno
alrededor del Sol. Resp.: a) 1,08·108 m. b) 165 años. c) 5430 m/s.
3. Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra, a una
altura de sobre la superficie terrestre de 3185 km. Calcula: a) La velocidad del satélite
en la órbita. b) Periodo de revolución. Datos: RT = 6,37·106 m. MT = 5,98·1024 kg. G =
6,67·10-11N m2kg-2. Resp.: a) 6641 m/s. b) 9287 s.
4. Con datos del ejercicio 1 y sabiendo que 1 UA = 1,496·1011 m, calcula la
masa del Sol. Resp.: 1,99·1030 kg
5. Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una
distancia de 300 km de la superficie. Calcula: a) La velocidad orbital del satélite. b)
Tiempo (en minutos) que tarda el satélite en completar una vuelta alrededor de la
Tierra. Datos: RT = 6,37·106 m. g0 = 9,8 m/s2. Resp.: a) 7721 m/s. b) 90,4 min.
6. Con datos del ejercicio 1 y sabiendo que G = 6,67·10-11 N·m2·kg-2 y que la
gravedad en la superficie de la Tierra es 9,8 m/s2, calcula la aceleración de la gravedad
en la superficie de Venus. Resp.: 8,9 m/s2.
7. Los NOAA (National Oceanic and Atmospheric Administration) son una
familia de satélites que orbitan alrededor de la Tierra pasando por los polos con un
periodo de 5 horas. Calcula: a) Altura a la que se encuentran sobre la Tierra. b)
Velocidad orbital. Datos: RT = 6,37·106 m. MT = 5,98·1024 kg. G = 6,67·10-11N m2kg-2.
Resp.: a) 8,47·106 m. b) 5180 m/s.
8. Se desea poner en órbita un satélite geoestacionario de 25 kg. Calcula: a) El
radio de la órbita. b) Las energías cinética, potencial y total del satélite en la órbita.
Datos: RT = 6400 km. MT = 5,98·1024 kg. G = 6,67·10-11N m2kg-2. Resp.: a) 4,23·107 m.
b) Ec = 1,2·108 J; Ep = - 2,4·108 J; Em = - 1,2·108 J.
Campo gravitatorio 2
9. Un satélite artificial de 1000 kg orbita alrededor de la Tierra con un periodo
de 90 min. Calcula: a) Altura a la que se encuentra sobre la Tierra. b) Energía total del
satélite. Datos: RT = 6400 km. MT = 5,98·1024 kg. G = 6,67·10-11N m2kg-2. Resp.: a) 249
km. b) Em = - 3·1010 J.
10. (Junio 2006). La distancia Tierra-Luna es de 60 radios terrestres. Calcula:
a) Velocidad lineal de la Luna en su órbita alrededor de la Tierra. b) Periodo de
rotación. Datos: RT = 6,37·106 m. MT = 5,98·1024 kg. G = 6,67·10-11N m2kg-2. Resp.: a)
1019 m/s. b) 27,4 días
11. (Junio 2006). Un satélite artificial de 100 kg describe órbitas circulares a una
altura de 6000 km sobre la superficie terrestre. Calcula: a) El tiempo que tarda en dar
una vuelta completa. b) El peso del satélite en la órbita. Datos: RT = 6,37·106 m. g0 =
9,8 m/s2. Resp.: a) 13700 s. b) 261 N.
12. (Junio 2005). Un satélite artificial de 64,5 kg gira alrededor de la Tierra en
una órbita circular de radio R = 2,32 RT. Calcula: a) El periodo de rotación del satélite.
b) El peso del satélite en la órbita. Datos: RT = 6,37·106 m. g0 = 9,8 m/s2. Resp.: a)
17900 s. b) 117,4 N.
13. (Junio 2003). Un satélite artificial de 300 kg orbita alrededor de la Tierra en
una órbita circular de 36378 km de radio. Calcula: a) La velocidad orbital del satélite.
b) Energía total del satélite. Datos: RT = 6,37·106 m. g0 = 9,8 m/s2. Resp.: a) 3310 m/s.
b) Em = - 1,6·109 J.
14. (Septiembre 2002). Un astronauta de 75 kg gira alrededor de la Tierra
(dentro de un satélite artificial) en una órbita situada a 10000 km sobre la superficie
terrestre. Calcula: a) La velocidad orbital y el periodo de rotación. b) Peso del
astronauta en la órbita. Datos: RT = 6,37·106 m. g0 = 9,8 m/s2. Resp.: a) 4947 m/s;
20828 s b) 1250 N.
15. El satélite PLANCK forma parte de la primera misión europea dedicada al
estudio del origen del Universo. El satélite, con una masa de 1800 kg, fue lanzado en
Abril de 2009 para situarse en una órbita a 1,5 millones de kilómetros del centro de la
Tierra. Suponiendo que la órbita que describe es circular, calcula: a) La velocidad
orbital del satélite y el tiempo, en días, que tardará en dar una vuelta alrededor de la
Tierra. b) La energía cinética, potencial y mecánica del satélite en la órbita. c) La
velocidad con la que llegaría a la Tierra, si por alguna circunstancia el satélite pierde
su velocidad orbital. Suponer nula la fricción al entrar en contacto con la atmósfera.
Datos: RT = 6,37·106 m. MT = 5,98·1024 kg. G = 6,67·10-11N m2kg-2. Resp.: a) 516 m/s;
211 días. b) Ec = 2,4·108 J; Ep = - 4,8·108 J; Em = - 2,4·108 J. c) 1,12·104 m/s.
16. Un satélite de masa 200 kg se sitúa en una órbita circular sobre el ecuador
terrestre, de tal forma que se ajusta el radio da órbita para que dé una vuelta a la Tierra
cada 24 horas. Así se consigue que siempre se encuentre sobre el mismo punto respecto
a la Tierra (satélite geoestacionario). a) ¿Cuál debe ser el radio de su órbita? b) ¿Cuánta
energía se precisa para situarlo en la órbita? c) ¿Cuál es la velocidad que se le debería
comunicar desde la Tierra para que escape de la atracción gravitatoria? Datos: RT =
6,37·106 m. MT = 5,98·1024 kg. G = 6,67·10-11N m2kg-2. Resp.: a) 4,2·107 m. b)
1,16·1010 J. c) Ver apuntes.
Campo gravitatorio 3
17. (Septiembre 2008). Los satélites Meteosat son satélites de 800 kg
geoestacionarios (situados sobre el ecuador terrestre y con periodo orbital de un día).
Calcula: a) La altura a la que se encuentran sobre la superficie terrestre. b) La fuerza
ejercida sobre el satélite. c) La energía mecánica. Datos: RT = 6,37·106 m. MT =
5,98·1024 kg. G = 6,67·10-11N m2kg-2. Resp.: a) 3,6·107 m. b) 179 N. c) Em = - 3,8·109J.
18. El conjunto de satélites GPS describen órbitas circulares alrededor de la
Tierra permitiendo que podamos determinar la posición donde nos encontramos con una
gran precisión. Todos los satélites GPS están a la misma altura y dan dos vueltas a la
Tierra cada 24 horas. La masa de cada satélite es de 150 kg. Calcular: a) La altura de
su órbita sobre la superficie terrestre y la velocidad angular de cada satélite. b) La
energía mecánica y la velocidad lineal que tiene cada satélite en su órbita. c) La nueva
velocidad y el tiempo que tardaría en dar una vuelta a la Tierra si lo hacemos orbitar al
doble de altura. Datos: RT = 6,37·106 m. MT = 5,98·1024 kg. G = 6,67·10-11N m2kg-2.
Resp.: a) 2,02·107 m; 1,45·10-4 rad/s. b) - 1,12·109 J; 3860 m/s. c) 2920 m/s; 28 h.
19. La NASA lanzó en 2010 un satélite geoestacionario (que gira con la misma
velocidad angular que a Tierra), el GOES-P (Geostationary Operational Environmental
Satellite), que suministrará diariamente información de tipo meteorológico e informará
sobre las actividades solares que pueden afectar al ambiente terrestre. GOES-P tiene una
masa de 3,1·103 kg y describe una órbita circular de 4,22· 107 m de radio. Con estos
datos: a) Calcula la velocidad areolar del satélite. b) Suponiendo que el satélite describe
su órbita en el plano ecuatorial de la Tierra, determinar el módulo del momento angular
respecto a los polos de la Tierra. c) Indica los valores de la energía cinética y potencial
del satélite en la órbita. Datos: RT = 6,37·106 m. MT = 5,98·1024 kg. G = 6,67·10-11N
m2kg-2. Periodo de rotación terrestre = 24 h. Resp.: a) 6,48·1010 m2/s. b) 4,06·1014
kg·m2· s-1. c) Ec = 1,46·1010 J; Ep = - 2,92·1010 J.
20. A 760 km de la superficie terrestre orbita, desde 2009, el satélite francoespañol SMOS (Soil Moisture and Ocean Salinity), que forma parte de una misión de la
Agencia Espacial Europea (ESA) para recoger información sobre el planeta. La masa
del satélite es de 683 kg. a) Calcular la energía cinética del satélite y su energía
mecánica total. b) Calcular el módulo del momento angular del satélite con respecto al
centro de la Tierra. c) Justificar por qué la velocidad areolar del satélite permanece
constante. Datos: RT = 6,37·106 m. MT = 5,98·1024 kg. G = 6,67·10-11N m2kg-2. Resp.: a)
Ec = 1,91·1010 J; Em = - 1,91·1010 J. b) 3,64·1013 kg·m2·s-1. c) Ver apuntes.
21. Sabiendo que el período de revolución lunar es de 27,32 días y que el radio
de la órbita de la Luna es 3,84·108 m, calcular: a) La constante de gravitación
universal, G. b) Las energías cinética y potencial de la Luna con respecto de la Tierra.
c) Si un satélite se sitúa entre la Tierra y la Luna a una distancia del centro de la Tierra
de 5·RL. ¿Cuál es la relación entre las fuerzas que ejercen la Tierra y la Luna sobre él?
Datos: RT = 6,37·106 m. MT = 5,98·1024 kg. RL = 1,74·106 m. ML = 7,35·1022 kg. Resp.:
a) G = 6,67·10-11N m2kg-2. b) Ec = 3,8·1028 J; Ep = - 7,6·1028 J. b) FT/FL = 1,5·105 N.
22. Fobos es un satélite de Marte que gira en una órbita circular de 9380 km de
radio, respecto al centro del planeta, con un periodo de revolución de 7,65 horas. Otro
satélite de Marte, Deimos, gira en una órbita de 23460 km de radio. Determine: a) La
masa de Marte y el período de revolución del satélite Deimos. b) La energía mecánica
del satélite Deimos. c) El módulo del momento angular de Deimos respecto al centro de
Marte. Datos: G = 6,67·10-11N m2kg-2. MDeimos = 2,4·1015 kg. Resp.: a) 6,44·1023 kg;
30, 3 h. b) - 2,20·1021 J. c) 7,5·1025 kg·m2·s-1
Campo gravitatorio 4
23. Un cometa de masa 1012 kg se acerca al Sol desde un punto muy alejado del
sistema solar, pudiéndose considerar que su velocidad es prácticamente nula. Calcular:
a) La velocidad en el perihelio (situado a una distancia de 108 km del Sol b) La energía
potencial cuando cruce la órbita de la Tierra (a una distancia de 1,5·108 km). c) El
valor del módulo del momento angular en el perihelio de la órbita.. Datos: MSol =
2·1030 kg. G = 6,67·10-11N m2kg-2. Resp.: a) 5,2·104 m/s. b) - 8,9·1020 J. c) 5,2·1027
kg·m2·s-1
24. Un cuerpo de masa 1000 kg gira a 200 km por encima de la superficie
terrestre. a) ¿Cuál es la aceleración de la gravedad a esa altura? b) ¿Cuál es el valor del
potencial gravitatorio a esa altura? c) ¿Cuál es el valor de la energía total? Datos: RT =
6,37·106 m. g0 = 9,8 m/s2. Resp.: a) 9,22 m/s2. b) – 6,06·107 J/kg. c) – 3,03·1010 J.
25. En un planeta esférico con la misma densidad media que la Tierra y con un
radio que es la mitad del terrestre: a) ¿Cuál é la aceleración de la gravedad en la
superficie? b) ¿Cuál sería el período de un satélite que se mueva en una órbita circular a
una altura de 400 km respecto de la superficie del planeta? c) ¿Cómo sería a variación
de su campo gravitatorio con la profundidad? Datos: RT = 6,37·106 m. g0 = 9,8 m/s2.
Resp.: a) 4,9 m/s2. b) 4,36 horas. c) ......
26. Si el radio de la Luna es una cuarta parte del de la Tierra, calcula: a) La
masa de la Luna. b) El radio de la órbita alrededor de la Tierra. c) La velocidad orbital
de la Luna. Datos: goL = 1,7 m/s2; goT = 9,8 m/s2, RT = 6,37·106 m. MT = 5,98·1024 kg.
Período de la Luna alrededor de la Tierra = 2,36·106 s. Resp.: a) 6,46·1022 kg. b)
3,83·108 m. c) 1020 m/s.
27. Una masa de 8 kg está situada en el origen de coordenadas. Calcular: a) La
intensidad y el potencial del campo gravitatorio en el punto (3,2) (S.I). b) La fuerza con
que atraería a una masa de 2 kg. c) El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria al
trasladar la masa de 2 kg desde el infinito hasta el punto (3,2). Dato: G = 6,67·10-11N
r
r
r
m2kg-2. Resp.: a) -3,41·10 -11 i -2,27·10-11 j N/kg. b) -1,48·10-10 J/Kg. b) -6,82·10 -11 i r
4,54·10-11 j N. c) 2,96·10-10 J.
28. Dos partículas de masas M1 y M2 = 9·M1 están separadas por 3 m. En un
punto P, situado entre ellas, el campo gravitatorio total creado por ellas es nulo. Calcula:
la distancia entre P y M1. b) El valor del potencial gravitatorio en el punto P en función
de M1. Dato: G = 6,67·10-11N m2kg-2. Resp.: a) 0,75. b) - 3,56·10-10·M1 J/Kg.
29. Un objeto de masa m1 está situado en el origen de coordenadas. Un segundo
objeto, de masa m2, está en el punto (5, 0) m. Considerando únicamente la interacción
gravitatoria y suponiendo que son masas puntuales, calcula: a) La relación entre las
masas m1/m2 si el campo gravitatorio en el punto (2, 0) m es nulo. b) Módulo, dirección
y sentido del momento angular de la masa m2 con respecto del origen de coordenadas si
m2 = 100 kg y su velocidad es (0, 100) m/s. c) El valor del potencial gravitatorio en el
r
punto (2, 2). Dato: G = 6,67·10-11N m2kg-2. Resp.: a) m1/m2 = 4/9. b) 5·104 k kg·m2/s.
c) - 2,90·109 J/Kg. . c) -2,9·10-9 J/kg.
30. (Septiembre 2008). Dos masas de 50 kg están situadas en A (-30,0) y B
(30,0) (m). Calcula: a) El campo gravitatorio en P (0,40) y D (0,0). b) El potencial en
r
r
r
D. Dato: G = 6,67·10-11N m2kg-2. Resp.: a) g P = -2,13·10 -12 j N/kg; g D = 0 . b) –
2,22·10-10 J/kg.
Campo gravitatorio 5
31. Una masa m (1000 kg) se mueve en el seno de un campo gravitatorio creado
por dos masas iguales, m1 = m2 = 1,0·1024 kg, situadas en los puntos (-4, 0) e (4, 0)
r
(S.I.). Cando m se encuentra en el punto P (0, 5) m tiene una velocidad de – 200 j m/s.
Calcular: a) Vector campo gravitatorio en P. b) Fuerza que ejercen m1 y m2 sobre m en
P. c) Velocidad de m cuando pasa por el origen de coordenadas. Dato: G = 6,67·10-11N
r
m2kg-2. Resp.: a) – 2,54·10 -11 j N/kg. b) ...... c) 5·106 m/s.
32. En tres de los cuatro vértices de un cuadrado de 10 m de lado se colocan
masas de 10 kg en cada uno de ellos. Calcular: a) El campo gravitatorio en el cuarto
vértice do cuadrado. b) El potencial gravitatorio en el punto anterior c) El trabajo
realizado por el campo para llevar una masa de 10 kg desde dicho vértice hasta el
r
centro del cuadrado. Dato: G = 6,67·10-11N m2kg-2. Resp.: a) -9,03·10 -12 i -9,03·10-12
r
j N/kg (para el vértice (10,10)). b) -1,81·10-10 J/kg. c) 1,02·10-9J.
33. Se sitúan cuatro masas puntuales idénticas, de 5 kg en los vértices de un
cuadrado de lado 1 m. Calcular: a) El campo gravitatorio creado por las cuatro masas
en: i) El centro de cada lado del cuadrado. ii) El centro del cuadrado. b) El trabajo
necesario para llevar la unidad de masa desde el centro del cuadrado hasta un punto
donde no existiese atracción gravitatoria. Explica el significado físico de este resultado.
r
Dato: G = 6,67·10-11N m2kg-2. Resp.: a) i) - 4,77·10 -10 i N/kg (el vector unitario
depende del lado considerado). ii) 0. b) -1,88·10-9 J (el trabajo es realizado por fuerzas
externas al campo).
34. Dos masas puntuales, m1 = 4 kg y m2 = 4 kg, están situadas en los puntos (8,0) e (8,0). Calcula: a) El vector campo gravitatorio en el punto A (0 ,-6). b) La fuerza
que experimentaría una masa m3 = 5 kg situada en A debido a la presencia de las otras
dos masas (m1 e m2). c) Los potenciales gravitatorios en los puntos A (0, -6) e B (0,0).
d) Trabajo hecho por la fuerza gravitatoria para llevar una masa m3 = 5 kg desde A
hasta B. ¿Este trabajo es realizado por el campo de forma espontánea? Las
coordenadas vienen expresadas en metros. e) La velocidad de la masa m3 en B si parte
de A con velocidad nula.
35. En 2012, la Universidad de Vigo y el Instituto Nacional de Técnica
Aeroespacial, en colaboración con la ESA (Agencia Espacial Europea) pusieron en
órbita el primer satélite galego, o XATCOBEO, para fines educativos. Este satélite, con
una masa de aproximadamente 1 kg, orbita a una altura máxima (apogeo) de 1500 km de
la superficie terrestre, y a una mínima (perigeo) de 300 km. Determina: a) La velocidad
media orbital, suponiendo que el radio medio orbital es la semisuma del perigeo e
apogeo. b) La energía mecánica del satélite en el apogeo. c) Justificar cómo variará la
velocidad areolar en su recorrido orbital. Datos: RT = 6,37·106 m. MT = 5,98·1024 kg. G
= 6,67·10-11N m2kg-2. Resp.: a) 7407 m/s. b) Em = - 2,44·107 J. c) Ver apuntes.