Download Tema 6: Análisis de circuitos por el Método de Corrientes de Mallas

MÉTODO DE LAS CORRIENTES DE MALLA
El método de las corrientes de malla para el análisis de circuitos nos permite describir un circuito en
términos de be - (ne - I) ecuaciones. Recuerde que una malla es un lazo que no contiene ningún otro lazo
en su interior. En la Figura 6.1 se muestra un circuito con flechas señalando la corriente dentro de cada
lazo. Recuérdese también que el método de las corrientes de malla sólo es aplicable a los circuitos
planares. El circuito la Figura 6.1 contiene siete ramas esenciales en las que desconocemos la corriente y
cuatro nodos esenciales. Por tanto, para resolverlo mediante el método de las corrientes de malla,
debemos escribir cuatro [7 - (4- 1)] ecuaciones de corriente de malla.
Figura 6.1 Circuito con las corrientes de malla definidas.
Una corriente de malla es la corriente que existe sólo en el perímetro de una malla. En un diagrama de
circuito, se representa como una línea continua cerrada o casi cerrada que sigue el perímetro de la malla
correspondiente. Una punta de flecha en la línea continua indica la dirección de referencia para la
corriente de malla. La Figura 6.1 muestra las cuatro corrientes de malla que describen el circuito.
Observe que, por definición, las corrientes de malla satisfacen automáticamente la ley de Kirchhoff de
las corrientes. Es decir, en cualquier nodo del circuito, cada determinada corriente de malla entra y sale
del nodo.
La Figura 6.1 también muestra que no siempre es posible identificar una corriente de malla en términos
de una corriente de rama. Por ejemplo, la corriente de malla i2 no es igual a ninguna corriente de rama,
mientras que las corrientes de malla i1, i3 e i4 sí que pueden identificarse con alguna corriente de rama.
Por tanto, no siempre es posible medir una corriente de malla; observe que no hay ningún lugar donde
pueda insertarse un amperímetro para medir la corriente de malla i2 . El hecho de que una corriente de
malla pueda ser una magnitud ficticia no implica, sin embargo, que sea un concepto inútil. Por el
contrario, el método de las corrientes de malla para el análisis de circuitos se deduce de una forma
bastante natural a partir de las ecuaciones de las corrientes de rama.
Podemos utilizar el circuito de la Figura 6.2 para mostrar la deducción de la técnica de las corrientes de
rama. Comenzamos utilizando las corrientes de rama (i1, i2 e i3) para formular el conjunto de ecuaciones
independientes. Para este circuito, be = 3 y ne = 2. Sólo podemos escribir una ecuación de corriente
independiente, por lo que necesitamos dos ecuaciones de tensión independientes. Aplicando la ley de
Kirchhoff de las corrientes al nodo superior y la ley de Kirchhoff de las tensiones a las dos mallas, se
genera el siguiente conjunto de ecuaciones:
Podemos reducir este conjunto de tres ecuaciones a sólo dos despejando i3 en la Ecuación (6.1) y luego
sustituyendo esta expresión en las ecuaciones (6.2) y (6.3):
Figura 6.2 Circuito utilizado para ilustrar el desarrollo del método de
las corrientes de malla para el análisis de circuitos.
Podemos obtener i1 e i2 a partir de las Ecuaciones (6.4) y (6.5), con lo que habremos reducido el sistema
de tres ecuaciones a un sistema de sólo dos ecuaciones. Hemos determinado las Ecuaciones (6.4) y (6.5)
sustituyendo las ne - 1 ecuaciones de corriente en las be - (ne - 1) ecuaciones de tensión. El valor del
método de las corrientes de malla es que, al definir las corrientes de malla, eliminamos
automáticamente las ne - 1 ecuaciones de corriente. Por tanto, el método de las corrientes de malla es
equivalente a una sustitución sistemática de las ne - 1 ecuaciones de corriente en las be - (ne - 1)
ecuaciones de tensión. Las corrientes de malla de la Figura 6.2, que son equivalentes a la eliminación de
la corriente de rama i3 de las Ecuaciones (6.1) y (6.3), se muestran en la Figura 6.3. Ahora aplicamos la
ley de Kirchhoff de las tensiones alrededor de las dos mallas, expresando todas las tensiones que caen
en las resistencias en términos de las corrientes de malla, para obtener las ecuaciones
Figura 6.3 Corrientes de malla ia e ib.
Agrupando los coeficientes de ia e ib en las ecuaciones (6.4) y (6.5) se obtiene
Observe que las Ecuaciones (6.8) y (6.9) son idénticas en forma a las Ecuaciones (6.4) y (6.5), sin más que
sustituir las corrientes de rama i1 e i2 por las corrientes de malla ia e ib. Observe también que las
corrientes de rama mostradas en la Figura 6.2 pueden expresarse en términos de las corrientes de malla
de la Figura 6.3 de la forma siguiente:
La capacidad de escribir las Ecuaciones (6.10) a (6.12) por inspección resulta crucial para el método de
análisis de circuitos mediante las corrientes de malla. Una vez conocidas las corrientes de malla,
sabemos también cuáles son las corrientes de rama. Y cuando se conocen las corrientes de rama,
pueden calcularse las tensiones o los valores de potencia que se desee.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo: Utilización del método de las corrientes de malla
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo: Utilización del método de las corrientes de malla
Solución:
a) Se redibuja el circuito identificando tres corrientes de malla.
las ecuaciones de corriente de malla serían:
Ahora, reacomodando las ecuaciones en forma estándar tenemos:
Resolviendo este sistema de ecuaciones, se obtiene:
Por lo tanto, la fuente de 80 V está suministrando 400 W al circuito.
b)
Esto es, la resistencia de 8 Ω disipa 50 W.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------El Método de las corrientes de malla con fuentes dependientes
Si el circuito contiene fuentes dependientes, las ecuaciones de las corrientes de malla deben
complementarse mediante las apropiadas ecuaciones de restricción. El siguiente ejemplo ilustra este
caso.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo: Utilización del método de las corrientes de malla con fuentes dependientes
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Método de las Corrientes de Malla: Algunos Casos Especiales
Cuando una rama incluye una fuente de corriente, el método de las corrientes de malla requiere algunas
manipulaciones adicionales. El circuito mostrado en la Figura 6.8 ilustra la naturaleza del problema.
Figura 6.8 Un circuito que ilustra el análisis de mallas cuando una rama
contiene una fuente de corriente independiente.
Hemos definido las corrientes de malla ia, ib e ic , así como la tensión en las terminales de la fuente de
corriente de 5 A, con el fin de facilitar la explicación. Observe que el circuito contiene cinco ramas
esenciales en las que la corriente es desconocida y cuatro nodos esenciales. Por tanto, necesitamos
escribir dos [5 - (4 - 1)] ecuaciones de corriente de malla para resolver el circuito. La presencia de la
fuente de corriente reduce las tres corrientes de malla desconocidas a sólo dos, ya que restringe la
diferencia entre ia e ic , imponiendo que sea igual a 5 A. Por tanto, si conocemos ia sabemos cuál es el
valor de io y viceversa.
Sin embargo, cuando intentamos sumar las tensiones alrededor de la malla a o la malla c, debemos introducir
en las ecuaciones la tensión desconocida en las terminales de la fuente de corriente de 5 A. Así, para la malla
a:
100 = 3(ia - ib) + v + 6ia ,
(6.17)
- 50 = 4ic - v + 2(ic - ib) .
(6.18)
y para la malla c:
Ahora sumamos las ecuaciones (6.17) y (6.18) para eliminar v y obtenemos
50 = 9ia - 5ib + 6ic .
(6.19)
Sumando las tensiones alrededor de la malla b se obtiene
0 = 3(ib - ia) + 10ib + 2(ib - ic) .
(6.20)
Reduciendo las Ecuaciones (6.19) y (6.20) a dos ecuaciones con dos incógnitas utilizando la restricción de
que
ic - ia = 5.
(6.21)
Dejamos la verificación de que, cuando se combina la Ecuación (6.21) con las Ecuaciones (6.19) y (6.20),
las soluciones correspondientes a las tres corrientes de malla son
ia = 1.75 A, ib = 1.25 A e ic = 6.75 A.
Concepto de Supermalla
Podemos deducir la Ecuación 6.19 sin introducir la tensión desconocida v, utilizando el concepto de
supermalla. Para crear una supermalla, eliminamos mentalmente la fuente de corriente del circuito,
evitando simplemente esta rama a la hora de escribir las ecuaciones de las corrientes de malla. Entonces
expresamos las tensiones alrededor de la supermalla en términos de las corrientes de malla originales.
La Figura 6.9 ilustra el concepto de supermalla. Cuando se suman las tensiones alrededor de la
supermalla (como se denota mediante la línea punteada), obtenemos la ecuación
-100 + 3(ia - ib) + 2(ic - ib) + 50 + 4ic + 6ia = 0 ,
(6.22)
que se reduce a
50 = 9ia - 5ib + 6ic .
(6.23)
Figura 6.9 Circuito mostrado en la Figura 6.8,
ilustrando el concepto de supermalla.
Obsérvese que las Ecuaciones 6.23 y 6.19 son idénticas. Así, la supermalla ha eliminado la necesidad de
introducir la tensión desconocida en las terminales de la fuente de corriente. Una vez más se recalca que
el tomarse el tiempo necesario para examinar el circuito con cuidado e identificar este tipo de atajos
suele permitir simplificar considerablemente el análisis.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema 6.1
Solución:
Se redibuja el circuito identificando las corrientes de malla:
Ya que hay una fuente de corriente en el perímetro de la malla i3, se sabe que i3 = -16 A. Las otras dos
ecuaciones de malla restantes son:
En forma estándar, estas dos ecuaciones son:
Resolviendo, se tiene que
La corriente en la resistencia de 2 Ω es
Entonces, la resistencia de 2 Ω disipa 72 W.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema 6.2
Se redibuja el circuito mostrando las corrientes de malla:
Existen fuentes de corriente en los perímetros de ambas mallas, la malla ib y la malla ic , entonces
sabemos que
La ecuación de malla restante es
La fuente dependiente requiere la siguiente ecuación de restricción:
Ahora se formatea la ecuación de corriente de malla y la de la fuente dependiente en forma estándar:
Resolviendo estas ecuaciones se obtiene:
Entonces,
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
TRANSFORMACIÓN DE FUENTES
Una transformación de fuente, mostrada en la Figura 6.10, permite sustituir una fuente de tensión en
serie con una resistencia por una fuente de corriente en paralelo con la misma resistencia, o viceversa.
La flecha de doble sentido indica que la transformación de fuentes es bidireccional, es decir, que
podemos comenzar con cualquiera de las dos configuraciones y determinar la otra.
Figura 6.10 Transformaciones de fuentes.
Necesitamos averiguar la relación entre vs e is que garantice que las dos configuraciones de la Figura
6.10 sean equivalentes con respecto a los nodos a y b. La equivalencia se consigue si cualquier
resistencia de carga RL se ve atravesada por la misma corriente, y cae en ella por tanto la misma tensión,
bien se la conecte entre los nodos a y b de la Figura 6.10a o de la Figura 4.10b.
Suponga que conectamos RL entre los nodos a y b de la Figura 6.10a. Utilizando la ley de Ohm, la
corriente que atravesará RL será
Ahora suponga que conectamos la misma resistencia RL entre los nodos a y b de la Figura 6.10b.
Utilizando las reglas de división de corriente, la corriente que atravesará RL será
Si los dos circuitos de la Figura 6.10 son equivalentes, estas corrientes que atraviesan las resistencias
deben ser iguales. Igualando los lados derechos de las Ecuaciones (6.24) y (6.25) y simplificando, se
obtiene
Cuando se satisface la Ecuación (6.26) para los circuitos de la Figura 6.10, la corriente que pasa por RL
será la misma para ambos circuitos y para todos los valores de RL. Si la corriente que atraviesa RL es la
misma en ambos circuitos, entonces la caída de tensión en RL será también la misma y los circuitos serán
equivalentes en los nodos a y b.
Si invertimos la polaridad de vs, la orientación de is también deberá ser invertida para mantener la
equivalencia.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo: Utilización de transformaciones de fuentes para resolver un circuito
Una pregunta que surge al utilizar las transformaciones de fuentes mostradas en las Figura 6.12 es la
siguiente: «¿Qué sucede si hay una resistencia Rp en paralelo con la fuente de tensión o una resistencia
Rs en serie con la fuente de corriente?". En ambos casos, la resistencia no tiene ningún efecto sobre el
circuito equivalente que predice el comportamiento con respecto a los terminales a y b. La Figura 6.13
resume esta situación.
Los dos circuitos mostrados en la Figura 6.13a son equivalentes con respecto a los terminales a y b,
porque producen la misma tensión y la misma corriente en cualquier resistencia RL que se inserte entre
los nodos a y b. Lo mismo puede decirse de los circuitos de la Figura 6.13b.
Figura 6.13 Circuitos equivalentes que contienen una resistencia en paralelo
con una fuente de tensión o en serie con una fuente de corriente.
EJEMPLOS
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo: Comparación entre los métodos de las tensiones de nodo y de las corrientes de malla.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo: Comparación entre los métodos de las tensiones de nodo y de las corrientes de malla.