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MATEMÁTICAS BÁSICAS
y
sen(t) y cos(t) para un t positivo. En dicha . que mide t radianes es el ángulo AOP, y las
lente, cos(t) y sen(t).
(x,y)
x
(-x, -y)
FIGURA 38
•
\
cos(t+n/2 )=-sent, sen(t+n/2 ) = cost, tER. (Verla figura 39 siguiente)
y
i:
( -y,x)
x
FIGURA 39
•
cos t = cos(- t), sen(- t) = -sen t , para todo tER. (Ver la figura 40 siguiente)
y
te)
x
FIGURA 40
\
\
\
Las otras funciones trigonométricas se definen a partir de seno y coseno , como sigue:
sen t
tant = - - ,
cost
cost
cott = - - ,
sen t
97 1
sect = - - ,
cos t
1
csct = - ­
sen t
MATEMÁTICAS BÁSICAS
Prueba: Véase la figura 42 siguiente.
El dominio de estas funciones queda restringido al conjunto de números reales t para los
cuales el denominador no se anula.
rr
1nterpretaeión geométrica de tant, see t, eot t y ese t para 0< t < -.
. 2
y
y
.(
x
x
FIGURl\ 41
Aplicando teorema de Pitágoras , se deduce de las figuras anteriores que:
I + tan 2 t == see 2 t
I
y
I
2.
I + eot 2 t = ese 2 t
propiedades estas que son válidas para todo número real t, para el cual estén definidas las
funciones involucradas en ellas .
3.
2
1+
eos a = _ .---1
Observe que cuando t se acerca a rr/ 2, con valores menores que rr/ 2, tant toma valores
positivos cada vez más grandes a medida que t se acerca más y más a rr/2; análogamente si
t se acerca a 0, con valores positivos, eot t toma valores positivos cada vez mayores.
Prueba:
miembro
Algunas identidades trigonométricas básicas
Propiedades como:
sen 2 t + eos 2 t = l
eos( t + rr) = - eos t
4.
eos( - t) = eos t
sen(-t)=-sent
Prueba:
2
I +tan 2 t = see t
J.
sen(a+~) = senaeos~+sen~eosa
I y I eos(a+~)=eosaeos~ - senasen~
98 ob
eos(- ~ ) = eos ~ .
1+eot 2 t = ese 2 t
a las cuales ya nos hemos referido, son llamadas identidades trigonométricas.
continuación recordamos otras de tales identidades:
Se
A
5.
sen a eos ~ =
~ [ sen
2
MA TEMÁTlCAS BÁSICAS
Prueba: Véase la figura 42 siguiente.
sido al conjunto de números reales t para los
n
"t t y ese t para O < t < - .
2
y
FIGURA 4 2
2.
sen(2a)=2senaeosa
1
y I
2
2
eos(2a) = eos a-sen a
Prueba: sen(2a) = sen(a + a) == sen aeos a + sen aeos a == 2 sen aeos a y eos(2a) = eos(a + a) = eosaeosa - sen asen a = eos 2
a - sen 2 a
3.
'---_eo_s_2__
a =_-1_+~-e_o=2s:(2==)
a - -.J1 y L______I sen2 a == 1_-==eo2s=:(=2a~)--.J
Prueba:
eos 2 a + sen 2 a==1
miembro
estas
dos
y
igualdades,
eos 2 a- sen 2a == eos(2a).
se
obtiene
Sumando miembro a
2 eos 2 a = I + eos(2a),
de
donde
1+eos(2a)
.
2
La otra identidad se obtiene restando las mismas dos igualdades. 2
eos a =
4.
sen(a-~) = senaeos~-sen~eosa
Prueba:
Se
obtienen
de
1.,
1
y
teniendo
eos(a - ~) = eosaeos~+senasen~
1
en
cuenta
que
sen(-~)== -sen~
eos(- ~) == eos ~ .
5.
senaeos~==~[sen(a+~)+sen(a-~)], eosaeos~==~[cos(a+~)+eos(a-~)],
2
2
~--------------------------~
sen a sen ~ = ~ [ cos( a 2
99
~) -
eos( a + ~) ]
y
MATEMÁTICAS BÁSICAS
Prueba: Como
.
se tiene
que b sen a = h = a sen ~ , luego ­ se
sen(a + ~) = sen acos ~ + sen ~cosa, y,
sen(a - ~) = sen acos~ - sen acos~
Por otra parte, de la figura 45 siguiente
Entonces sumando miembro a miembro las dos igualdades anteriores, se obtiene
sen(a + ~)+ sen(a - ~) = 2sen acos~.
De donde sen acos ~
= ~ [sen(a + ~)+ sen(a - ~) ].
2
J
I
p.
Análogamente se prueban las otras
I
I
I
,\180<
dos identidades . Ejemplo: sen( 4x )cos(3x) = ~ [sen(7x) + sen x ], cos(4x )cos(3x) = ~ [ cos(7x) + cos x ],
2
2
1
2
sen(4x )sen(3x) = - [ cos x - cos(7x)].
I
Leyes de seno y coseno
Ley de seno: En todo triángulo ABC (Vea la figura 43 siguiente)
B
se tiene que
es decir,
csen
De donde
A
FIGURA 43 se tiene que
Ley de coseno: En todo t
sena
sen ~
a
b
=
sen y
c
Prueba: De la figura 44 siguiente:
B
se tiene que
A
FIGURA 44
100
!
~
MATEMÁT1CAS SÁS1CAS
rr:=ührEJ,.cMAb.
"EFE" Gu
.
se tiene que bsena
= h = asen~ ,
y, sen(a -~) = sen acos~ - sen acos ~
sena sen ~
luego - - = - - o
a
b
Por otra parte, de la figura 45 siguiente
las dos igualdades anteriores, se obtiene
I
/
l(a - ~) ]. Análogamente se prueban las otras
/
p---- H
---------­
--- B
,,\180 0 _ 'f
a
l
A
FIGl:JRA45
\
\
se tiene que
c sen a
= H = a sen(180
0
y)
-
es decir,
csena
=
a[~cosy - senY~l = aseny
o
-1
De donde
sena
a
sen y
==
c
Ley de coseno: En todo triángulo ABe (Vea la figura 46 siguiente)
B
A
FIGURA 4 6
\
se tiene que
a 2 == b 2 + c 2
-
2bc cos a
b 2 == a 2 + c 2
-
2ac cos ~
c 2 == a 2 + b 2
-
2abcosy
\
1
101