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Ano IV
Zaragoza Abril de 1894
N ú m . 40
El PlOOI
PERIÓDICO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS
D I R E C T O R : D . Z O E L G . DE G A L D E A N O
Principios fundamentales referentes á los grupos de Fuchs
roK
ü.
LAUJÍO CLARIANA
Catedrático de la Universidad de Barcelona
(CONTINUACIÓN)
Así, pues, si (A) os la ecuación de una circunferencia, la transformada (A') también lo será.
La demostración que procede es debida á Mr. Forsyth.
Do cuanto precede se deduce la importante consecuencia; Dos circunferencias que so cortón formando un cierto ángulo, se transforman
por medio de í =
r^— ^n otras dos que se cortan también bajo el
cz -\- d
mismo ángulo.
Adelantando conocimientos, conviene tener presente que la razón
• /»•„^T^^
CA
DA
CA DB
anarmónica (ABCD) = -^^: -JTTT- = - 7 ^ -frr- > ^^"'^ escribirla
bajo la forma siguiente:
(ABCD) = A
^
- J ^ ,
si í¿, íg, í,, í^, representan las distancias crecientes desde el origen.
Al sustituir aquí sus equivalentes segán las igualdades
^1 - cz, + ^ ' cz, + d '
sin olvidar que ad — he = S, después de toda simplificación, resulta:
De cuya igualdad so irilíci'r iiin' !:i ia/.(ni anarnuinica consfiluída
por los olomentos í, es igual á la CDruiuda por los olomontus curres-
130
KL PROGRESO MATEMÁTICO
pondientes de ^, constituyéndose así un sistema homográfico, motivo
por el cual se llama la sustitucif')n horaográfica.
Si en vez de estar los puntos sobre rectas, se consideran puntos
cualesquiera en el piano, aunque con la debida correspondencia, se
tiene uua generalización de la lioinograíía, y sin duda esta idea constituye la base de las sustituciones que dan origen á los grupos de
Fusch.
Entre los puntos que se corresponden, bien cabe considerar dos,
cuyos valores de t y z sean los mismos: á este fin, para determinarlos
a: + h
,
, ,
az + h
basta suponer í -= r en r ^
, ; de donde se deduce c =
,.
cz + (I
cz -\- d
Al desarrollar la ecuación de segundo grado, resulta:
a—
á-r-Via-d'-Ahc
.=—H>7——
*«)
Si consideramos la forma cuadrática-subradical, caben tres hipótesis, esto es:
y según la ecuación de condición, ad — ltc= 1, obtiéncse:
(a + í/)'— 4 ^ (»,
ó sea,
fa-f r//^
; 4.
En el primer caso, la sustitución es elíptica; en el segundo, es parabólica, y en el tercero, es hiperix'dica. Además de estas tres sustituciones existe otra que se llama loxodrómica, [¡eio que no corresponde
á los grupos de Fuclis, puesto que éstos se refieren á valores reales
de a, b, c, d; mientras que la sustitución loxodrómica contiene valores
puramente imaginarios de las precitadas cantidades, conforme á las
sustituciones de Klein.
En la sustitución elíptica, las dos raíces de (a) son imaginarias, y
como deben ser conjugadas, determinan dos ¡)untos simétricos respecto al eje polar, ú sea respecto al eje de las cantidades reales; estas
dos raíces suelen expresarse por a y £.
En la sustitución parabólica las raíces son iguales, dando origen
á un solo punto a en el eje real.
En la sustitución hiperbólica, las dos raíces a y 6 determinan dos
puntos a y 6 situados ambos á dos en el mismo eje real.
Hay que advertir que las sustituciones elíptica é hiperbólica pueden condensarse en una sola fórmula; en efecto, siendo a y 6 los pun-
EL PROGRESO MATKMÁ.T1C0
131
tos comunes de t y :. cabe escribir:
ny. -\- !i
ti'' + ''
y en su consecuencia
m + h
ay. + h
- - - ^
^
;
<•: + (/
ca -\- (I
después de toda simpl¡ricaci(5n, se obtiene:
t--x
: — y.
í — a •=
kz + d) (n + (/)
De un modo análogo se deduce:
2-C
f
(C- -\-d ) (>• 5 + r/j
De la combinación de las dos últimas ifíiíaidades, resulta:
t-7.
co4-d
z-7.
.
—,- = „ , y SI se supone
í —6
cy. -\- a z — i)
se tiene definitivamente:
t — 7.
^ = K
cC+f/
= K,
ry. + d
j — a
„ .
t-h
2—6
K constituye el multiplicador do la sustitución.
Si la sustitución es elíptica, K es ima^'inario y su m()duIo igual á
la unidad; si la sustitucicín es hiperbólica, K es real y mayor que la
unidad, en el concepto de que C diste del origen más que a.
En efecto, en el primer caso, K adquiero la forma de
que puede expresarse do una
a 4- hi
„ - bi '
de donde resulta:
„2
manera más sencilla por
,
{a + MY
ó" """
sea
a' + />« '
_ ¿2 _[_ 2ahi
a' + />^
y para el módulo:
V
conforme al enunciado.
'
132
EL PROGRESO MATEMÁTICO
Para el segundo caso, se tiene:
,5 + ,/
K
- ,
<y. + ''
y como a y 'J son reales, y adcniás He supone 6 ] > y., inmediatamente
(ledúeesc (juo el niultiiilicador K es real y mayor qiic la unidad.
Kn el easo de ()UIÍ la sustitui-i(')n sea ¡)arabi)!ica. se<,n'in las consideraciones (jue ¡)r('ceiien, fácilmente compn'ndese (jue puede expresarse por la fórmula sencilla que á continuación se indica:
1 —
'j.
z —
-j.
'
''•
Por fin, si designamos por M la cantidad (a — d)'-— -l/jc, resulta:
de donde se deduce la fórmula siguiente muy importante;
(-^ + TV)*
('I + (l)i
ad — br
Con estos preliminares puede extenderse un poco más el círculo
de acción respecto á las sustituciones homográíicas, empero antes de
pasar adelante, débese advertir que la parte imaginaria de t es positiva, nula ó negativa, según í)ue la imaginaria de : sea también positiva, nula ó negativa; es decir, que la sustitución
conserva la parte real, así como la imaginaria por el mismo lado del
eje referente á las cantidailes reales.
En su virtud, si z describe una cir'cunferencia cuyo centro esto en
el eje real, t describirá también una circunferencia, hallándose su
centro en el mismo eje.
(Se rontiiiuará).
TEOREMAS, PROBLEMAS Y MÉTODOS GEOMÉTRICOS
COHTIKIACIÓ!» (Ví-ase t. IV, p4v'. 106).
Pasando á las relaciones entre el número y la extensión, habremos
de distinguir dos relaciones recíprocas que resultan de la aplicación
EL PROGRESO MATEMÁTICO
133
del primero á la segunda, ó de ésta á aquél, y que originan el predominio de la una ó del otro, siendo en el primer caso el análisis el instrumento que se aplica á las entidades geométricas, y en el segundo estas entidades las que deben fijar con BU carácter intuitivo Jas relaciones más abstractas de los algoritmos ó formas analíticas que así adquieren cierta materialidad ó perceptibilidad, algo como una huella
que le da estabilidad en el mdvil dominio de la pura relación numérica
y que facilita en extremo el trabajo intelectual necesario para retenerlas y aun para seguir sus combinaciones, que de otro modo podrían
escaparse á nuestras percepciones.
llespocto á este segundo punto de vista, notaremos desde luego que
el método descubierto por Argand y Buée para representar las cantidades imaginarias y sus operaciones, que luego extendió considerablemente Cauchy en su Mémoire sur les quantites géométriquea y más
tarde Riemann en su representación de las cantidades complejas, y
Liouville representando gráficamente la doble periodicidad de las funciones elípticas,y aún, por último,esta correspondencia establecida m e
dernamente entre las propiedades do las funciones y los espacios de n
dimensiones ó del liiper-espacio, todos estos modos de proceder, constituyen una aplicación de la Geometría á la Algoritmia, en la que ésta
predomina como la entidad de que se trata, y aquélla, tan sólo á la
manera de ropaje con que hace intuitivo lo que en sí es abstracto y de
difícil percepción, sólo ejerce las funciones de auxiliar útil para fijar
lo que desaparecería á la mirada de la inteligencia, aunque en sí no
es esencial para que las relaciones algorítmicas subsistan como sistema do verdades dependientes de las leyes del número y de la cantidad.
En cuanto al primer punto de vista ó de la aplicación del número
á la extensión, hallamos también que aquél sólo aparece como un término medio útil para relacionar entre sí unas propiedades de las figuras con otras, intermediario útil y que abrevia muchas veces la consecución del fin que nos proponemos, como vemos resulta en la Geometría elemental con el empleo de las proporciones, en el método de
Chasles con el de la relación anarmónica, y en el cálculo baricéntrico
de Moebius; pero que no es necesario según hizo ver Staudt con su
método eminentemente geométrico.
Este doble punto de vista de la aplicación del Algebra á la Geometría ó de la Geometría al Algebra, lo vemos subsistente en el método
cartesiano que tan eminente lugar ocupa en el dominio de la Matemática, pues por un lado cualquier figura geométrica traducida en ecua-
134
Eí. PROGRESO MATEMÁTICO
ción correspondiente, aparece como entidad subsistente por sí é
independiente del análisis, instrumento que empleamos para estudiar sus propiedades; y por «tro, la representación gráfica de las funciones, ya en la teoría de las ecuaciones, ya en la rama superior llamada análisis infinitesimal, nos da la traducción, bajo apariencia g-oométrica, del modo do variar de las funciones y de todas las sinjiularidades que ofrecen en su variación simultánea con las variables, ya
en la representación mediante los dos ó los tres ejes de coordenadas,
ya mediante la variación simultánea en todo el plano de unas y do
otras en los sistemas de r«j)resentación arriba citados y que se deben
á Caucliy y á Kiemann.
Vemos, en suma, que así como en fíeometría pura, las fig-uras se
transforman unas en otras soprún nii-todos cenfralps como la homología, la polaridad, etc., y sepún multitud de métodos particulares que
han enriquecido la historia de la Matemática y cuya enumeración sería
muy extensa, al enlazarse el número con la extensión ó la Algoritmia
con la Geometría, estos procedimientos se multiplican de nuevo en
una armonía superior que unifica el sistema de dicha ciencia, estudiada y desenvuelta según un doble aspecto.
Para terminar estas generalidades y pasar á una exposición más
concreta de los métodos analítico-geomi'tricos, citaremos los principales de que vamos á tratar, á saber: el de las equipolencias de Bellaritis, el de Grassmann y el de lns cuaternios do Hamilton: pero antes
haremos une reseña de la evo!uci()n por que ha pasado la teoría geométrica de las cantidades imaginarias ó de las i-'nitidtdeit fienmétricas,
según la denominac'ón de faucliy, desdólas investigaciones de Argand, que constituyen el primer ensayo de estos nuevos métodos.
§2".—MKTODOS
A N A Í . f r i ( 0 - i , l : n M r ; | lili l i s
( 1\S V < I M I
ANTI lilOKI s
\ I.fiv | ) | ; I.,\s
lylU'OI.KN-
ItMiis
5 4 . Mc'todo (Je Ar[fnn(L — E\ método de Argand para representar
las cantidades imaginarias en las construcciones geométricas estriba,
como se sabe, en la determinación de una media proiwrrional geométrica
entre do8 cantidades de nignos diferentes, que es la perpendicular, representante de ziz V—í.
De esta idea fundamental, pasa á determinar sucesivamente nuevas medias geométricas, no sólo entre las direcciones perpendiculares correspondientes á nh 1 y á z t ^ —I, sino entre dos líneas di.
rígidas cualesquiera, que conduce á la multiplicación y división de
KI, PROr.RF.SO MATKMÁTICO
V<Vy
factores-unidades dirigidos de cualquier manera, operaciones que
corresponden á laH sumas y diferencias do los arcos interceptados entre los lados de los ángulos, llegando por consiguiente á obtener potencias y raíces de radios ó líneas dirigida^'.
Y por otra parte, la composición y descomposición de las líneas
á la manera que en Mecánica so descomponen las fuerzas, constituyen
los fundamentos esenciales de la teoría do Argand, (jue como dice
Hoiicl en el Prefacio á la obra de este geómetra «contiene los primeros
ensayos de un método muy general de Geometría analítica para las
liguras planas, que Hellavitis desarrolló más tarde con t'xito tan notable, y que permite tratar, por procedimientos uniformes, las cuestiones
de (Jeometría elemental y las partes más elevadas do la teoría de las
curvas, teniendo este método la ventaja de introducir en los cálculos
los puntos mismos, en vez de sus coordenadas, y de permitir así elegir, en el último momento, el sistema de coordenadas que so presente
como más ventajoso'*'.'
Obtenida, pues, la representación general + a zh f> v^—1 de las
cantidades mediante la combinación de la idea de dirección con la de
magnitud, pasa Argand á aplicar estos resultados á la Trigonometría
y al Algebra, demostrando en ésta, de una manera geométrica, el teorema fundamental de la teoría do las ecuaciones algebraicas.
Notación de Frn)irais.~-]ja. felícisima representacii'm íf^^ = a. 1^ de
bida al profesor do la Ivscuela imperial do Artillería y de Ingenieros,
<I. F. Franjáis, que sostuvo con Argand una interesante polémica en
los Annalen de Matliñnatiqíies de (iergonne, representación que adoptó
luás tarde Caucli}' tn su Theoric den qiiantitv'sg(o)n('lriqiiesy que lian
adoptado después muchos autores, y por consiguiente, que
a v'—í
«a ^ « • ^
fué un progreso importante, mediante el cual se presentan ya separados los dos elementos de una cantidad.
InvestigacionoH de Moureí/.— Fn su opúsculo La vraie Théorie des
qnantite'n negatives ct des quantitls prélendues inia¡jinaires, Moui'ey señala el camino para ulteriores progrc'sos, no sólo por los conceptos
expuestos en su interesante trabajo, sino hasta por el tecnicismo emplea<lo. El nvin<ro directivo, el (¡nijnlo directivo, el vcrsor a,. , el multiplicador directivo, la formacit'in de un número directivo, por ejemplo
/íl\
,. . .,
V 4 j ü ' '"'-'^'^"''^^ multii)licación, división y versión, y la manera de
i
{')
ArerHnninml
ih fKdiltii>\ p. A / I'.
136
EL PROGRESO MATEMÁTICO
efectuar la multiplicación de dos números directivos, conforme á este
procedimiento, así como la obtención de las potencias y raíces y la
obtención del período formado por los valores de las raíces de la
ecuación x" = I, indican un análisis, una separación de conceptos que
aproxima hacia los ulteriores progresos, que hemos visto ha realizado
la teoría hasta llegarse á los métodos de Bellavitis, Ilamilton y Grassmann.
Investigaciones de Fanre.—'E.n su Essai sur la theorie et Vinterpretation des quantith dite/> hiiaginaires, este propagandista de la nueva
teoría dirije principalmente sus esfuerzos hacia las funciones y las
ecuaciones. Estudia la «variación de las funciones algebraicas dependiente de la de la longitud ú inclinación de la variable, como varía el
ángulo de inclinación de una potencia respecto al de la raíz, la multiplicidad de las raíces, considera los polinomios para buscar su resultante final, y su variación en el plano de una manera continua, principiando por examinar las variaciones simultáneas ó giros de la unidad
raíz y de la unidad potencia, y especialmente en las circunstancias
notables ó especiales que presenta este hecho, estudiando el modo de
colocación de las raíces de la unidad real, respecto al diámetro que
representa la dirección de las cantidades reales. Explica como mientras la extremidad de la variable recorre el plano de las xy, la extremidad
de la/unción ó potencia lo recorre tambivn, recorriéndolo esta varias veces, mierdras que aquélla lo recorre una sola. Estudia la influencia del
coeficiente, y de igual modo da á conocer la variación correspondiente
á los polinomios, que la extremidad de la resultante se moverá según
curvas que tendrán mutaciones correspondientes á las de la variable,
y basado en estos fundamentos, obtiene diversos resultados en el examen de ciertas ecuaciones que toma como objeto de su estudio.
En esta obrita hallamos también la representación gráfica de la
periodicidad, que hoy vemos expuesta en los tratados de análisis. Así,
tratándose de la función
« + /• V — 1
e
II
= e
j- V
~i
X e
se consigna en ella que mientras la extremidad del exponente recorra
una banda horizontal cuya IHISC se extiende al infinito, ú derecha é izquierda, y por altura la longitud de la rirctui/crcncin 2T., la cxti-cmidad
de la exponencial recorre todo el plano de las xy. Y á cada banda que
recorre la extremidad de aquél, corresponde un nuevo recorrido de
todo el plano por ésta.
KI, PHOr.RRSO MATEMÁTICO
137
Además, cuando el extremo del exponente engendra la parte de la
derecha déla batida, la extremidad de la exponencial engendra la
parte exterior del rírcitlo, rnijo radio es 1, correspondiendo á la parte
izquierda de aquella el interior do éste, por Her en uno i'i otro caso el
módulo respectivamente mayor ó menor quo la unidad.
Esto lleva como consecuencia inmediata á los logaritmos de las
cantidades negativas é imaginarias que so hallan distribuidos en cada
Una do las bandas de períodi) '2^: en qiu> so divido todo el plano, y
además resulta «juo loia cnitlidad uo sóln lii-nv sivmprf ini logaritmo,
sino que tiene infinidad de ellos, rada uno i'ii una banda. Y describiondo
la extremidad del exponento d del logaritmo una horizontal mientras
la extremidad de la exponencial ó do la cantidad describe un radio
indefinido, cuya inclinación está dada por la altura do la horizontal,
el logaritmo se hallará en el eje de las x, cuando la exponencial recorra
la región de las x positivas, y para las alturas 2i^, 4^^, etc., so obtendrá
la serie indefinida de íof/ar/ímo.s iinai/inarios, quo, con el logaritmo
real, nos dan todos los logaritmos de \ina cantidad real, ó en el eje de
las ir, de manera que la indeterminación circular origina esta multiplicidad de logaritmo.
Estudios filosóflcofi sobre la ciencia del cálcul> por M. F . Valles en
esta obra y aún en otras posteriormente publicadas por el mismo autor, se encuentran algunos conceptos interosantcs para el desenvolvimiento de la teoría de las cantidades imaginarias que se resumen en
considerar reducida la expresión do una cantidad á dos cosas: un número y una cantidad do igual esi)ocie quo la <iue se toma como tóroiino de comparación á la quo llama, i)ara distinguirla del primero,
módulo. Siendo los núnieros, bajo el punto do vista abstracto, osencialnionte enteros, las ex|)rc'S¡onos número ncgaliro, fraccionario, irracional c imaginario correspondon á ¡mi)osibi]i(lades; piu'o estas expresiones incomprensibles en el dominio abstracto, son comprensibles en
el concreto, y los diversos estados d(! una cantidad a^. expresada
un número abstracto a y ol nunlulo \>., so explican efectuando sobre el
módulo las modificaciones correspondiontos á los diferentes estados
de negativa, fraccionaria, irracional ó imaginaria, bajólos que senos
ofrecen las cantidades, modificacionss que se expresan mediante los
signos de las operaciones algebraicas; y cuando á esta expresión se
ha llegado, entonces es lícito hafoi- abstraceii'm del módulo <? y transportar al número que le acompaña el signo do las oj)eraciones do ijue
éste se halla afectado.
Después de explicar con detalle y liqueza de rellexiones liloS(jficas
138
EL PROGRESO MATEMÁTICO
los números fraccionarios, irracionales y negativos, explana lo concerniente á las cantidades imaginarias conforme á los mismos principios, hallando la representación algebraica de la ley de la perpendicularidad que, exigiendo que se tenga — X == Xp*, da en este caso
para modificador algebraico del módulo ^ el factor 32 v ' ^ ; obtiene asimismo la expresión analítica del coeficiente de dirección de
una línea que forma un ángulo x con la línea origen OA, concluyendo
que la igualdad
__
a
V^
eos a -j- v^—1 sen a. = e
hasta entonces considerada como una especie de símbolo, llegaba á
ser como una extensión natural de las enseñanzas dadas en la teoría logarítmica, generaliza los principios precedentes, diciendo que
«cuando una especie de cantidad posea entre dos estados contrarios,
que se llaman positivo y negativo, un tercer estado intermedio, y
cuando este tercer estado sea tal, que si después de haber practicado
para obtenerlo, ciertas operaciones sobre el estado positivo, sucede
que repitiendo sobre este estado intermedio las mismas operaciones
y en el mismo orden, se pasa al estado negativo, este tercer estado
deberá representarse en álgebra por la expresión v^—1,> y observando, en fin, que si para los módulos Xy a de longitudes y de ángulos, unos y otros pueden expresarse por las series
X, 2 X, 3 X, ... ;,X, ...
eos a; -\- V^
sen a , eos 2i -|- V~
sen 2a,... eos pa -j- V^i
sen pa
y al dividirse X y a por n resulta
, X „ X
a ,
a
I— , 2 — ,...
eos
h V - 1 sen- ,
n
n
n
n
X
a
que al hacerse — = ^' y — = *', se reducen á las formas anteriores
^
n
n
X'2 X',... c o s a 4" v ' - l s e n a , . . .
pudiéndose designar todas las longitudes por la serie de los números
1, 2, 3.... y todas las direcciones por la serie
eos 1 + v'—1 sen 1, eos 2 -f V~í sen 2,...
afirma la necesidad de admitir en álgebra
ción: el cuantitativo y el ordinal, el uno
tengidades de las cantidades, el otro el de su
diferente» modos de cxittcncia ó de acción, y
dos sistemas de numerarepresentativo de las inorden, süsüuación, de sus
haciendo referencia á al-
EL PROGRESO MATEMÁTICO
139
gunos párrafos contenidos en la obra Recherches sur Vanahjfie des sections angtUaires, (1825), de Poinsot, cree así haber apoi/ado por .v( hnne
y heUlarse en disposición de seguir en stis desarrollos, esta teoría del orden
y de la situación de la magnitud.
Resultados debidos d Cauchy, Puisen^v, Lionville y liiemann: Para
terminar esta reseña histórica de las cantiddaes imaginarias, os preciso siquiera citar los importantes desarrollos debidos á Caucliy y hoy
expuestos en los tratados de Análisis, ya conformo al modo do ver
de este ilustre matemático, ya conforme á la dirección seguida por
Riemana tambitín adoptada en multitud de tratados, que han imixirtado á la ciencia los nuevos conceptos de funciones monodromas, er<¡dicas, monogenas monólropas. polítropas, uniformes, multiformes, infinitiformes, etc., y que constituyen la teoría de las funciones de variallcn
complejas cuya representación se verifica en uno ó en varios planos 6
superficies, entre cuyos resultados citaremos la representación gráfica de la doble periodicidad debida á Liouville, y las propiedades quo
resultan de los diferentes caminos que recorre el punto correspondiente á la función, y la original teoría de los sistemas circulares y de
los contornos elementales que desenvolvió Puiseux en sus Recherches
«ur les fonctions algébriques, y que si continuáramos nos conducirían
á otros resultados debidos á los analistas contemporáneos que han
enriquecido esta rama de la Matemática; pero ésto nos apartaría de
nuestro objeto, y, bastándonos para establecer la ilación de las ideas,
el haber hecho esta digresión que nos encaminaba hacia la región del
Análisis, volveremos á la de la Geometría, exi)oniendo los conceptos
fundamentales de los métodos de Bellavitis y do llamilton.
Z. Q. DE GALDEANO.
(Se continuará).
O •U E S T I O N ' » B
R E B XT B¡ I J T A. B
CUESTIÓN 103.
(VéMe temo n i , p&glna 71).
Hallar los lados del ángulo recto de un triángulo, conociéndose la hipotenusa a, y la suma de los cuadrados de las bisectrices de los ángulos
agudos.
(/. M.)
Solución por D. AMORI. BOZAL, Licenciado en Ciencias.
8e» ABC el triángulo cuyo ángulo recto es A y sean m y n los
140
El. PROGUF.SO MATICMÁTICO
puntos en que las bisectrices de los ángulos agudos H y C cortan respectivamente á sus lados opuestos ACy AB.
Par una ¡)ropiedad del cuadrado de la bisectriz, so tiene
li,„^ -= AH . li(J — Am . i;,n
y
C,r -= AC . BC - An . Un
suinanilo estas relaciones inicmijro á micniljro, llamando K^ la suma
de los cuadrados de las hisechicfs. y sÍLi-iiiendii la notación convenida
para desi^'nar los lados de un triántruio, se obtiene:
K'^
a /> + <•) -
(Am . C//i -(- An . Bn>
Pero por el teorema de Pitái^oras, se tiene
luego la última nos da
\[\
K^ =-- a{h + Vrt--¿''J - (A»i . C//Í + A)i. B ; Í ) .
Esto sentado, tratemos de calcular los valores de las cantidades
Am, Cm, An, Bu en función de « y 6 solamente; se tiene, en efecto:
Am
i hn
,
o sea
Am 4- Cm
Am
de donde despejando A;/i, y haciendo racional el denominador de su
valor, se halla:
Am^-^
^^ ^
[21
De la misma propiedad y marcha de cálculo, se obtiene:
Para la bisectriz On se tiene:
An
It
,
Bn
-=
j
i
••
de la que como antes, acdujimos que:
a
A«-
-^
,.
-,
|2'1
Multiplicando las [2| y [3] entre sí, y luego las [2'J y [-V] y sumando los dos productos obtenidos, se halla:
Am . Cm + An . Bn == - - » -
~ ^,-i
+
- ~ ^ ^
EL PROGRESO MATEMÁTICO
141
valor que sustituido en la [IJ nos da:
Teniendo en cuenta el valor de la diferencia de los cuadrados de
dos cantidades, y simplificando, se obtiene:
+
abia—b)
a-^b
de la que se deduce:
= ab\a-^b) (¿4-i/(a+¿)(a_i.) )+a6' (a—fc).
De este modo hemoi conseguido hacer que la ecuación [1] sólo dependa de la incógnita b dada por esta última ecuación. Transformándola, haciendo las operaciones sucesivas que se presentan, reduciendo términos semejantes, ordenando, separando factores comunes y
elevando al cuadrado, se llega á la ecuación siguiente:
[_ ai» -f (a« + k)b' + a(2a' + k)b* - 2a*b — 2a'-J =
= (a« - A») [ab* -f a(i -f- o)ft' + a*b* — 2a''A + 2a« ]«
ecuación que después de resuelta con relación 4 b, única incógnita
que hay, nos da:
¿ = ±i/2fc«-a»
Ahora bien; como
c = i/a«—b« se tendrá c — i/(2a«'^fc»)
quedando la cuestión resuelta.
Comprobación. Si sumamos miembro á miembro los valores hallados para b* y c* se obtiene:
6» + c« = 2k^ - a' + 2a'' - 2í» = a»
que nos comprueba, según el teorema de Pitágoras, el resultado obtenido para b y c.
Segunda solución. Puede llegarse al mismo resultado, siguiendo
el camino siguiente:
En la misma figura y notación, se halla
142
EL PROGRESO MATEMÁTICO
B?n=^{An-\-Bny-{-Arn
y
Gn = (Am + Cw)* + An
Sumando miembro á miembro, resulta como antes:
K« = 2 ( W + A^^ + Am. Cm + An. Bn) + Cm^ + B^^
Sustituyendo aquí los valores [2], [3], [2'], [3'] se obtiene una relación con la única incógnita b, que nos lleva al mismo resultado que
antes.
Tercera solución. La resolución geométrica de esta cuestión queda reducida á determinar el punto P de intersección de las dos bisectrices B?« y Cm, pero entonces tendríamos
BP2 + ÜF2 = K«
igualdad que nos permite calcular el radio del círculo circunscrito al
triángulo ABC, y por tanto, conociendo P, el problema está resuelto
geométicamente, pues bastaría determinar el ángulo según el cual
desde P se ven los catetos en cuestión, cosa sencilla tratándose de
ángulos que, como los B y O, son complementarios, y las rectas BP
y CP son sus bisectrices.
Solución por el alumno D. RICARDO CARO
Sea BC = a la hipotenusa dada, y 6* la sum» de los cuadrados de
las bisectrices de los ángulos agudos.
La construcción del triángulo sería
fácil, si conociésemos el punto D, de
concurso de las bisectrices. Veamos á
qué condiciones debe satisfacer.
Debemos tener DB'^-f DC = ¿>^' luego
D, debe estar en una circunferencia cuyo
centro sea o, y cuyo radio sea
0I = |/2*»—a»
(1)
Observemos además que Z ABC + / ACB = 90°, y dividiendo
por 2, /DBC -\- ZDCB = 4o«; luego en el triángulo DBG tendremos
siempre Z BDC = 135°. Tracemos sobre BG un arco capaz de un ángulo de 135° = BCG, y el punto D deberá hallarse constantemente sobre el arco BDC trazado.
Queda el punto D determinado por la intersección de los arcos
BDD'C, y DID', y el problema resuelto.
EL PROGRESO MATBMÁTICO
143"
Discusión. Para que se halle solución, es preciso que los arcos se
corten, es decir, que se verifiquen las condiciones
0 1 ^ OH
y
OI<00
Obsérvese que
a
a
OH = E H - E O = - ^ - ^ =
a(^/"2-l)
^
Sustituyendo este valor y el (1) en la condición primera, tendremos
.
_*—
<^ _v—
2
¿_
^
26*—a* < ; a\v
•¿—ir
íi
que se transforma fácilmente en
Í'^a2(2^"2)
(2)
Sustituyendo valores en la segunda condición, da
]/2b^-a
2
ó
finalmente
6* < «*
Las desigualdades (2) y (3) limitan el valor de A.
^^^
CUESTIÓN 70
(Véaae tomo II página S79).
Comtndr un triángulo dados los vértices A', B', C, de los triángulos
equiláteros construidos exterior ó interiormente sobre sus lados.
(H. Van Aubel).
Solución por el Sn. LEMOINE (E).
Este problema ha sido bastante frecuentemente propuesto y tratado
üesde que lo hemos expuesto en cuestión (véase Nouv. Anuales de Mathémaliques, 1868, quest. 864 p. 191). Ha tenido (Iden 1869, pag. 40),
una solución del Sr. Kiepert muy elegante, y con este motivo, fue
como este geómetra halló la cónica que después se conoció con su
nombre en la geometría del triángulo.
Vamos á dar aquí otras soluciones que no han sido expuestas,
creo, todavía.
A' n' O'
La cuestión comprende cuatro casos por examinar: sean A , a , 0
los vértices de los triángulos equiláteros descritos sobro BO, CA, BA
144
EL PROtíRESO MATEMÁTICO
exteríormente al .triángulo ABC, y A", B*. C" los vértices de ios trián(fulos equiláteros desoriptos sobre BC, CA, AB en sentido opuesto.
1" caso, se dan:
C , B', A'
2.° >
>
C , B', A'
3.0 >
>
A', B', C
4.0 >
5.
A', B ' . C
Para resolver los dos primeros casos, nos apoyaremos, respectivamente, en los siguientes lemas fáciles de establecer:
1" caso. LEMA La figura AC'A'B' es un paralelogramo, por consiguiente, el punto A queda conocido, si se conoce C , B', A' y B y C
son ios vórtices de los triángulos equiláteros descritos sobre A C y
sobre AB'.
El primer caso queda resuelto.
2." caso. LEMA: La figura AC'A'B' es un parelogramo, por consiguiente, el punto A queda conocido, si se conocen C , B', A' y B y C
con ios vértices de los triángulos equiláteros descritos sobre A C y
sobre AB'.
El segundo caso queda resuelto.
3." caso. LEMA: Lat tres netas AA', BB', CC se cortan en un punto O' desde el qu,e los tres lados BC, CA, AB se ven según un ángulo
de IZdP.
O' es el punto llamado centro isógono (véase Boutin, Joum. de
math. élém., de M. de Longchamps, 1889, pág. 99).
Primera solución. Podemos construir el punto O' y trazar las rectas AO', CO'; el triángulo B'AC es uno de los triángulos equiláteros
que tienen un vértice fijo en B' y de los que otro vértice resbala sobre A'O, el lugar de C es, pues, una recta fácil de construir; pero C se
halla también sobre OC; luego está determinado. La construcción se
acaba sin ninguna diñcultad.
Segunda solución. LEMA: Sea un triingulo equilátero AB'C y O' un
punto de la circunferencia circunscripta á AB'C y tal, que O' y B' estén á una y otra parte de CA, se tiene:
O'B' = O'A 4- O'O
Determinemos O' como anteriormente en la primera solución, so
tiene, según el lema
O'A'= O'B + O'C, 0'B' = 0'C + 0'A, 0 ' C ' = 0 ' A - ^ O'B
de donde se deduce
O'A = y (O'B* + O ' C - O ' A ' ) ,
O'B = etc.
EL PROGRESO
MATBMATICO
145
y los puntos A, B, C quedan colocados, tomando, á partir de O' las
longitudes O'A, O'B, O'C.
4.° caso. Las dos soluciones del tercer caso se aplican idénticamente poniendo respectivamente O', A', B', C donde hemos puesto
O', A', B', C
Tercera aolución. Un cálculo fácil de ejecutar da el área de ABC,
sea en función de B'C, C'A', A'B', sea en función de B"C", C'A', A"B'.
De esto se deduce el valor de los tres lados BC, CA, AB en función
de los datos, porque B'C*, B'C*', etc., se expresan simple y linealmente en función de BC*, ÜA*, AB* y de S.
OUaSTIÓN 136
(Véue tomo Iir, pAfflna 193).
Sobre he tret lados de un triángulo ABC en el que loa pies de las alturas son D, E, F, se construí/en triángulos BA,C, CB,A, AC,B, directamente semejantes á ABC, BCA, CAB.
Demostrar que, si el radio R del círculo circunscrito al triángulo
ABC es cuadruplo del radio r del círculo circunscrito al triángulo
D E F , las recta AA,, BBj, CC, pasan por un mismo punto.
(ff. Van Aubel)
Boluoión por el SB. SCHIÁFPA MONTEIBO (A),
Prolonguemos las alturas AD, BE, CF que se cortan en I hasta
Sus puntos de encuentro D,, Ej, F, con la circunferencia (O) circunscrita al triángulo ABC; y se tendrá el triángulo D,E,F, que se reemplazará á este triángulo, para determinar aaí más fácilmente la relación entre los radios R, r' y la distancia d entre los centros O é I de
su ofroulo circunscrito (O) y del círculo inscrito en el triángulo DEF.
Designando por r el radio del círculo inscrito (I) en este triángulo
auxiliar DiE,F,, se tiene
d* = R(R —2r)
(1)
pero el triángulo ártico DEF siendo homotético á este triángulo, y
siendo -^ la razón de homotecia, resulta
r = 2r'
y por consiguiente, la ecuación (I) da
d* = R ( R - 4 r ' )
*
Así, según la condición establecida, para R = 4r' se tendrá d = 0,
146
EL PROGRESO MATEMÁTICO
Ea eate caso, el ortocentro I del triángulo ABC coiaoidirá con su
complementario O, y, por consig'uiente, este triángulo se convierte en
equilátero, así como los triángulos BA,C, CB,A, ACjC; y las rectas
AAj, BOi, CCi coincidirán con sus tres alturas 6 tres bisectrices.
Luego, etc.
Observación. En este caso particular, el punto de encuentro de estas
ír«« rector AA,, BB,, c e , , gue «eran iguale» entre tí, aérá también el
punto de intersección de loe círculos circunscritos á estos tres triángulos
equiláteros, ó el punto cuya suma de las distancian á los tres vértices
del triángulo ABC es mínima é igual á cada una de esta» recta» O.
Solución por el SB. SoLi.EiiTisskr (B.)
Siendo semejantes los triángulos BA,C y ABC, se tiene
BAA ,-Ü
—^ , CA
CA. - "*
^
designando a, b, c los lados de ABC.
Sea a la intersección de las rectas AA, y BC. Se tiene evidentemente
Ba
ABA,
ac*
r. »
or.
<''
—— = • „ . = - . - sen C: a* sen 2C = -—
—
aC
A,CA
*
2 a* eos C
De igual modo, siendo ¡i y y los puntos en que BB, y CC, encuentran respectivamente á CA y AB, se tendrá
Cft _
a«
Ay
b*
¡iA '" 26c eos A '
yB ~ 2acco«B'
Pero, para que las rectas AA,, BBj, CC sean concurrentes, es necesario y suficiente que se tenga
Ba
C^ ^
^
aC • "íiA • -¡fí
lo que da
8 eos A . eos B . eos C = 1
(1)
de donde el triángulo ABC debe ser necesariamente aaddngulo.
Hallándose satisfecha esta condición, sea H el ortocentro de ABC.
Del triángulo HEF se obtiene
r ' . HA = HE . HF
porque r' es la altura y HA el diámetro del triángulo.
Pero HE =» HA . eos C, HF = HA. coa B, HA = 211. eos A
O V i u e U Solución de un problema de mínimum de FermtU qu« bemol publlcsdo en el
Bulletin ScieHlifque, núm del SO de Julio de 1691.
EL PROGRESO MATEMÁTICO
147
Luegfo
r' = 2R eos A . eos B . eos C
y por ooneig^uiente, la oondioidn (1) toma la forma
4r' = R
(2)
Evidentemente, las oondioimies (2) y (i) uo son equivalentes más
que en el caso del triángulo aoutingolo; en los demás casos el teorema no es cierto.
OTTBsndir si
(Véwe t. I, ptelna 1S6).
üita tranmersal d corta á lo» lado» BC, CA, AB de un triángulo
ABC «« lot punt»» A', B', C. Por A' te traza una paralela á AB, por
B' tuui paralela á BC, por C una paralela á CA; estas tres rectas fwman un triángtiio A'B'C.
Haütnr la envolvente de la recta d, lo» lugares de lo»puntos A', B', C
y IM hiffare» de lot puntos de intertección de las recta» AA", BB", CC
o (íí lí» »>«e*M AO^, BA*, CB* cuando el triángulo A'B'C tiene una
área dada.
{J. Neuberg).
Solución por el Su. SuLLERTiNikv (B)
Sobre CB, BA, AO tomemos las longitudes Cx, By, Ap iguales á los
lados paralelos A"B"C".
Siendo constante el área del triángulo, lo mismo sucede con sus
lados, y por consiguiente los puntos a, ¡3, v son fijos.
Sea O' el centro de homología de los triángulos ABC y A"B"C";
A,,B,,C, las intersecciones de los ladoa correspondientes de los
triángulos ABC y A"B"C"; D y E los puntos en que AO' y Aa encuentran respectivamente á BC y B"C".
O'C
CD
Siendo paralelas las rectas aC" y CB", se tiene
= - ;
1x0
\j%
CD
B'C
,
O'C
CA,
P^™
"Da = - C ^ : '"'^^ - ^ =
W
de lo que resulta que O'A, y Aa son paralelas.
Igualmente O'B, y O'C, son respectivamente paralelas á las rectas
B? y Cy.
Además, se tiene evidentemente
C.C
/• BA, ^ CA, \ _ B'C
C"B' ~ V A,A'
A , A V ~ CB.
Siendo, pues, proporcionales los lados paralelos de los triángulos
148
EL PROGRESO MATEMÁTICO
0,C"Aj y A,CB,, éstos serán semejantes; luego los j^untoa Ci, A,, Bj
se hallan en línea recta.
Se sabe que todo triángulo puede ser considerado como la proyec-
ción ortogonal de un triángulo equilátero. En la tiguia, contraproyeccidn de la dada, las rectas Aa, B,3, Cy, hallándose igualmente inclinadas sobre loa lados correspondientes de ABC, lo mismo sucede
á sus paralelas O'Ai, O'B,, O'C,. Luego los puntos A,, B , , Ci hallándose además en una recta, resulta de esto que el punto O' pertenece á
la circunferencia circunscripta al triángulo equilátero ABC y que la
recta A,BiC, envuelve una hipocicloide de tres retrocesos.
Volviendo á la figura dada, se concluye que el lugar de O' es la
elipse de Steiner de ABC y que la recta A,BiC, envuelve una curva de
4." orden y de 5.» clase que puede ser proyectada y contraproyectada en
hipocicloides de tres retrocesos.
Igualmente, el centro de homología O, recorre la elipse de Steiner
de ABC, y la transversal d envuelve una curva semejante á la envuelta por AiBjO,.
Sean x, y, z, los puntos que dividen á CA, AB, BC en la razón do
los lados homólogos de ABC y A"B"C"; O el centro de homotecia de
los triángulos.
Se ve sin trabajo que Ox, Oy, Oz son paralelas á O'A, O'B, O'C.
Pero, en la contraproyección, cuando ABC, y por consiguiente xyz,
se convierte en equilátero, hallándose el punto O' en la circunferencia ABC, los ángulos del haz O'ABC son de 60°; luego lo mismo se
verifica con los ángulos del haz paralelo Oxyz, y por consiguiente, O
se halla en la circunferencia ccyz.
EL PIlOGllESO
149
MATKMATIGO
De esto resulta que el punto O recorre la elipse de Steiner de xyz
concéntrica y homotética de la recorrida por loa puntos O' y O,.
Observemos todavía que la recta O'Oj envuelve una elipse descrita
por el medio del segmento O'OiLos puntos A", B", C" recorren las elipses iguales que son homotétioas de la elipse descrita por O, siendo los puntos A, B, C respeotivamente los centros de homotecia.
CUESTIÓN 154
(Véase tomo UI, página 296).
••,(.'
,.
Dados cuatro puntos A, B, O, D de una manera cualquiera en un
plano, sa trazan las rectas AD, BC que se encuentran en E, después la
recta que une los centros de gravedad G, G' rfe los triángulos ABC y
ACD; sean A', B', C , D', M los puntos de encuentro de QQ' con AB,
BC, CD, DA, AC. Demostrar que en magnitud y en signo se tendrán las
relaciones
r., a)
h)
c)
GG'
A'G
EB DA
CB • EA
GG'
B'G
G'C
C'G
ED
GG'
EA ' D'O'
MG
MG'
CB
EC
GB ED
EO • DA
''''
EB
EC
EA
AD
(H.
VanAubel).
Solución por el Sn. SOLLEUTINSKI (B.)
Consideremos desde luego el triángulo ABC y el punto D. Sean F
.y J los puntos en que las rectas
CD y BD encuentran respectivaI mente á AB y AC, O y O' los medios de AC y AB.
Tracemos Ca paralela á DB. En
el triángulo BOD se tiene
GG' = i BD
o
y el triángulo O'aC da
A'G = ---aC
1®0
EL PR0GHESO MATEMÁTICO
GG'
A'G
' Luego
BD
FC
BD
y del triángulo FaC resulta " " - =
aC
Igualmente
y del triángulo OBJ
FD
"
FC
(1)
GG'
ED
-57^ = -=^^
B'G ~~ EA
(2)
MG
JB
- ^ ^ = - j ^
(3)
En fin, aplicando las propiedades (1), (2) al triángulo ADC y al
punto B, se obtendrá
•
•
G'G
FB
,^,
G'G
EB
,,•
(4).
TD'G'
r ? r r = -í;7=r
(5)
G'G'
FA
"•"
EC
Además el teorema de Menelao aplicado sucesivamente á los triángulos CDE, BDE, ABE y á las transversales AB, AC, CD, dará
JB
JD
FD
FC
DA
EB
DE • CB
CB
AE
CE • AD '
FB
B^A
CB
DE
CE • DA
y nos falta llevar estos resultados á (1), (2), (4).
CTJESTIÓN 116
(Véase tomo III, página 111).
Sobre los cuatro lados de tm cuadrilátero A.lA.lk¡k^ se construyen exteriormente los triángulos equiláteros A,B,A„ AjBjAj, A^B.^A^, A4B4A,,
«' interiormente los triángulos equiláteros A,b,Aj, AjbjA.,, Agb.iA^,
AibjAi. Sea7i I,, Ij, I3, Ij, i,, ij, i.„ ij, los centros de estos triángulos y f,
g, iS" las diagonales y el área del cit/idrilátero A,AjA,A4.
1.° a) Si sobre Bjl,, I^B, se construyen los triángulos equiláteros
B,MI„ I^NBj, la figura I4I1NM será un paralelogramo.—h) Construir
el cuadrilátero AjAjAjA, conociéndose los puntos I,, Bj, B3, b,.
2° a) Los puntos B.¿, i,, I, y el centro P del triángulo equilátero construido sobre Bgb, son los vértices de un paralelogrnmo.—b) Construir el
cuadrilátero AiAjAjAj conociéndose los puntos i,, B,, b,, ¿j.
5.0 La recta Bgb^ es paralela á la altura uQ del triángulo equilátero
construido sobre I|i, é igual al doble de esta altura.—b) ConstPuirel
cualrilátero AjAjA^A, coiKhii'ndose ios puntos B^, i„ B,, b4,
—
151
KL PHOGRESO MATEMÁTICO
4°
Se tiende
2_
P-Vg'
Iilil3l4 = i - S + — o ^ ^ v ' i í ;
12
3
B,B,B,B,= 2S + -~^~-
f'+O"
í,tVV4 = V S - "——-V
12
.r.B;
V:3; 6.iAÍ4=2S - - - - ^ - V a .
Solución por el SB. SoLLBRTiKskT. (B).
En efecto, según la cuestión 82, 2.» (t. III, pág. 289) <*) los puntos
M y N son los simétricos de
Ji y J4 con respecto al medio
Mi de A,Aj. h). Se construye
desdeluegoel triángulo equilátero J,B,M. Sea ¡3 el simétrico de B3 con relación al
medio JjM. El punto J4 será
el centro del triángulo equilátero construido sobre p^g.
Pero J4Í4 siendo el diámetro
del círculo A.^b^K^, se obtendrá sin trabajo A, y A4; A4 y
A3 darán A3; en fin, A3 y B,
darán Aj.
2.0 De la igualdad de los
triángulos íjAnBa y A4A3A,
se sigue que B¡,¿3 = A2A4 y
Z ( B A , A A ) = 60'>. E l s e g .
mentó B.Jb^ es, pues, igual y paralelo al lado AjC del triángulo equilátero CAjA, construido sobre AA4; por consiguiente, lo mismo sucede
con los rayos B2P y A,?',
Puesto que se tiene
J,A,A, = /,A.A,=30''y
^'^'
A,A4
''^'
AiAj
^
VÜ
los triángulos J4A1Í1 y A4A1A, son semejantes, de donde
JA.
A,A4
\=r y Z(í.Jn A,A4) = 30o.
VI
(•) Eu vez do e/ punto I e» d medio, lóoso tí punto 3 y loi mediot,
162
EL PROGRESO MATEMÁTICO
Los segmentos i^J^ y AjP' son, pues, iguales y paralelos (*'.
Siendo, pues, las rectas Í1J4 y BjP iguales y paralelas, el cuadrilátero ÍJ4PBJ es un paralelogramo.
3). Además, siendo 8563 el doble de la altura del triángulo equilátero construido sobre B,?, B2B3 es paralela y doble de la altura íjQ
del triángulo equilátero coastruído sobre ^^J^.
La construcción 2° b) es evidente, y la de 3." es independiente de
las proposiciones demostradas. En efecto, el diámetro Bi/[ del círculo
A1B1A3 determina los vértices Aj y A,; los puntos A, y b^ dan A„ y los
puntos A4 y B3 dan A3.
'
4.0 Sean «, ¡3, y, 8 los vértices de los triángulos isósceles semejantes construidos exteriormente sobre los lados AB, BC, CD, DA, de un
cuadrilátero ABCD, como bases, 6 el ángulo en la base.
Las consideraciones análogas á las dadas en la cuestión 115 muestran que la igualdad
.
apyS = ABCD + 4 - S aA . aB . sen 28 - - i s Aa . A3 sen (A+20)
tiene lugar para todos los valores positivos y negativos de O menores
que 90o gn valor absoluto.
Designando por S, a, 6, c, d, /, g el área ABCD y las longitudes
AB, BC, CD, DA, AC, BD se tendrá:
V .
T,
« V «' sen 26
{a^^V^-\-c^-Vd*\ sen 20
7 «A . aB sen 20 = 7 —.
5-— = -^^—'
-.
r
L^
w 4 cos^ O
4 cos^ e
ad. eos A . sen 20
Aa.AS.sen(A+20)^2,
4cos^0
+
L
4 co8*e
CO820
(a2 + é2+c« + dí—/^-¿7«)sen29
008*8 o + •
4 eos* 8
Por consiguiente
Puesto que se tiene
t g ( ± 3 0 o ) = ± - ^ , t g { r r : 6 0 o ) = . ± ; N/3
(•) siendo A A paralóla y doble que la recta D D que une los medios de A A y A A
el radio A P', y por conBijulente í .1. ea paralelo é Igual al diámetro D m del triángulo
construido sobre D D . Ksta os, pues, «na <o/uci«n de/a CfMd'ún U7. (V. tomo Ilt,
equilátero ci
página 294).
EL PnOGRESO MATEMÁTICO
153
resultará
BiB.BjB, = 2S + ^—~-
^/'á;
hb^b,b, = 2S -
' ^
^"5
CUESTIÓN 127
(Véase tomo III, p&gina ¡CS).
JS"/ se tmert ío« cintro vértices de un trapecio inscrito ABOD d un punto cualquiera de la circunftrencía se tiene la relación
WK^ - MB^
AB
MD^ —MC^
CD
(//. Van Aiibel)
, Solución por D. CFXII lo Ji \i I';NKZ RUEDA
Se sabe que si se une un punto cualquiera M del plano de un
círculo con cuatro puntos A, B, C, D, de la circunferencia de éste, se
tiene siempre la siguiente relación:
MA2. DBO + MC^. ABD = MB^. ADC + MD^ . ABC
que tiene lugar aunque el punto M sea de la circunferencia, como
aquí ocurre (véase nuestra solucic5n ÍI la cuestión 110). Ahora bien, si
los cuatro puntos ABCD forman un trapecio de bases AB y CD, las
áreas de los triángulos DHC, ABD, ADC y ABO tendrán todas por
factor común medio'/j. altura del trapecio; factor que suprimido en
la anterior relación la convierte en:
MAM3C + M C M B = MBM)C 4-MBM^B
de donde
(MA^ - MB'*) . DO = (MD^ - MC^). AB
MA^-MB^
y por tanto
, . .^ _
AB
,
,
,
.
^^,^ = -^rr~c, según queríamos demostrar.
Solución por D. RicAnuo CAIIO
Siendo H y H' puntos medios de las cuerdas paralelas, AB y CD,
las rectas OH y OH', formaran una sola recta perpendicular á ambas
154
EL PROtíRESO MATEMÁTICO
cuerdas; y siendo MI' perpendicular á CD, es
decir, paralela á Híí', tendremos HI = HT.
En ABM, sabemos que
MA** - MB« = 2AB . HI
y en CMU, MC - MD* = 2CD . HT
Dividiendo miembro á miembro, y simplificando el resultado según la observación anterior, se tiene
MAi» - MB^ ^ A^
MC'' —MU* ~ CD
Solución por D. JOBJB LUZÓS DS LAB CUEVAS
En el triángulo MAB siendo E el punto medio de AB y N la proyección de M sobre esa última recta, se tiene
MA^ - MB^ = 2AB . EN (1)
y en el MDC, siendo E' y N' los
puntos análogos á E y N
MD^ _ M C ' = 2DC . E'N' (2)
La recta EE' es perpendicular á
AB y CD, y como NN' también lo
es, se tiene EN=E'N'; dividiendo
las igualdades (1) y {2} se llega á
MA^ —MB
M D " - MC
Si el punto M tuviera la posión del M', se tendría sucesivamente
M'A' = (M'B + AB)* = M'B' + AB" + 2M'B . AB
y
WI^ - M H ' = 2AB (~^
+ U'B\
= 2AB . M'E
y para el triángulo M'DC,
M'I/-M'C^
= 2DC.EN*
y siendo M'E = EN"
M'A'-M'jr
AB
M~D* — M' C'
CD'
EL PROGRESO MATEMÁTICO
155
Según se deduce de esta demostración, no es preciso que el punto
M pertenezca á la circunferencia circunscrita al trapecio ABCD.
CUESTIÓN 86.
(Víaso tomo H, pAffl'ia 280).
Una elipse variable cuyo eje mayor se da, permanece tangente á una
elipse dada, y tiene cotí ésta un foco común. Demostrar que toca constanteniente á una cónica homofocal con la elipse dada.
{J. Neuherg.)
Solución por el Su. SOLLI:iiTiNski.
Sea F él foco común de las elipses, M su punto de contacto, F ' el
segundo foco de la elipse fija E.
El segundo f o c o / ' d e la elipse variable E' debe hallarse situado
en la recta MF' que cortará á E' todavía en m. Se tendrá
FM + Mm + mF = 4a' I
FM + MP' = 2a
i ^ ''
designando %i y 2a' los ejes mayores de las elipses E y E'.
Hay que distinguir varios casos.
1." 4a' > 2a + F F ' . Entonces el punto m está situado en la prolongación do MF', y la sustracción de las igualdades (I) nos dará
V'm + mV •= 4a - 2a,
es decir, que la elipse toca á una elipse fija que tiene á F y F ' por focos y líi diferencia (4a' — 2a) por eje mayor.
2.» 2a 4- F F ' = 4a'. La elipse E' pasa siempre por F ' .
;}." 2 a - ( - E E ' ] > 4a'>> 2rt. El punto m está situado en ol segmento MF', y se tiene de (1)
Fi)i — niF' = 4a' — 2a
Ijuego E' toca una rama do la hipérbola homofocal con E.
4." 4a' = 2a. En esto caso el punto m so nuiovc sobre el eje menor de E y la elipse E' toca constantemente esto eje.
5.» 2a > 4a' > 2a — F F ' . La elipse E' toca una rama de la hipérbola confocal con E cuyo eje transverso es igual á 2a—4a'.
Observaciones.—l.f^ El lugar del segundo foco / en todos los casos,
es una circunferencia descrita desde F ' como centro con el radio
r b ( 2 a —2a'j.
2.'' So podn'a reemplazar la elipse E por una hipérbola ó parábola fija, ó la elipse E' por una liipérbola do eje transverso constante,
y la conclusión sería cierta.
15G
EL PROGRESO MATEMÁTICO
OtJESTIOPIES
l»ROI>UESTAS
165 Tomados n puntos AiAjA,... A„ en un plano, determinar
otros n del mismo plano H,, B,, H^. ... hn de manera que dividan respectivamente á Bn A,, BjAj, BjAj ... B„-iA„ en la misma razón
P
— dada. El problema admite siempre una solución, y los dos siste1
mas de puntos tienen el mismo centro de gravedad.
1 6 6 . Estudiar y construir la curva representada por la ecuación
t / = eos \'x.
{Lainant.)
167. Si dos triángulos tienen sus ángulos liga los por las igualdades
A' = 18(1° - A, B' = 90" - B, C == !)0'^ - C
se verificará entre los lados la siguiente:
iV-¿ + a^'-i = {be -\- cb'f
CJ {Juan J. Duran Loriga.)
168. Dados en un mismo plano real, un círculo real ó imaginario
de primera especie y una recta rea!; construir el círculo que corta ortogonalmente al círculo dado sobre la recta dada.
( V. Retnli.)
169. Dados en un mismo plano real dos círculos, uno al menos
de los cuales es imaginario de primera especie, construir el eje radical.
( V. Retali.)
170. Construir el circulo que divide armónicamente dos segmentos dados y que corta ortogonalmente á un círculo dado (real 6 ima«
ginario do primera especie.) *' *>
( V. Retali.)
171. Si dos cúbicas circulares tienen un círculo focal común, se
cortan en seis puntos (además de los dos puntos cíclicos y el centro
del círculo focal) que forman tres pares de puntos recíprocos respecto
al círculo focal.
( V. Retali.)
(•)
En el casodeser el triingrulo reclAogulo ú obtingulo, A es el ángulo recto ü obtuso.
(••) En las tre« cuestiones precedentes se entiende quu los circuios imaginarios estln dados ó vonstruldOB sus círculos conjUf;adus
En la cuestión 168, al el circulo dado M real, so supone que la recta lo corta en puntos Imaglnarloi.—(1'. Jlelali).
EL PHOGRESO MATEMÁTICO
467
172. Construir un triángulo ABC, dado el lado BC, el radio r del
círculo inscripto y ol radio r" del círculo ex inscripto en el ángulo B.
(./. G/i/cí.)
1 7 3 . Construir un triáng'ulo ABC, dado el radio r' del círculo exinscripto en el ángulo A y el radio r" del círculo ex-inscripto en el
ángulo B.
(J. G//W.)
174. Construir un triángulo ABC, dado el radio H del círculo
circunscripto y 1." los radios r y r del círculo inscripto y del círculo
ex-inscripto en el ángulo A; 2.°, los radios r y »•" do los círculos exinscriptos en los ángulos A y B.
175. Siendo I, I,, L,, I3 los c ntros de los círculos tangentes álos
tres lados do un triángulo ABC, demostrar las relaciones
AH
BI.BI,
A B . A C = A I . AI|,
AC
CI . CI,
176.
Integrar las ecuaciones
^
.r^.c"
donde, según costumbre, /^ = -'7
[.J-GUle')
177. Demostrar gconwtrkamcnta que en un triángulo isósceles
la simediana correspondiente á uno de los lados iguales os menor quo
la baso.
{Jiicn J. Durtln Loriga).
1 7 8 . Suponiendo quo un triángulo se deforma conservando un
lado fijo y constante el área, hallar el lugar geométrico de los puntos
de Lemoine, Brocard y üergonne.
{Juan J. Duran Lorhja.)
So consideran cónicas tangentes á dos rectas rectangulares dadas
O A y ÜB en dos puntos variables y á una tercera recta AB en un
punto dado C. Se pide:
1.» Cuál es el lugar geométrico de los puntos do contacto de las
tangentes trazadas á estas cónicas por un punto dado P.
Se construirá este lugar en el caso parlidftlar en que P osti en el
vórtice D del rectángulo construido sobre ()A y 013.
2." VA lugar do los focos de estas cónicas.
168
EL PROGRESO MATEMÁTICO
Se construirá la curra en el caso particular en qne el punto de
contacto se halle en medio de AB.
Se examinará á qué se reduce este luj^ar cuando el punto C se
halle en el medio de AB, se tiene además ()A = OB.
(N. C. M.)
(Concourt académique de Grenoble, 1879).
179.
1.0
Calcular las sumas
n—m
S = \^(m-n+l)n
n'-'f/i'
y
^' ^ ¿^-^
(m'-n'+l) (n'+l)n'
2." Determinar la relación entre m y m' para que se tenga S = S'.
("A. Schiappa Monteiro).
180.
Hallar las soluciones enteras de la ecuación
y
sin recurrir á los logaritmos.
^
{A. Schiappa Monteiro.)
181. Siendo r„ y rr los radios de curvatura principales de una
superficie cualquiera S cuyas líneas de curvatura están representadas
por las ecuaciones
n -= const.',
V = const.'
determinar r„ y r,- de manera que la curvatura de las dos hojas S,, y
^r de la superficie evoluta sea igual á la misma constante.
(G. Pirondiiii.)
1 8 2 . Se dan en un plano un ángulo XCY y un punto A. Por los
puntos A y C se hacen pasar dos circunferencias.
Sean E y F, además G y H los puntos en que cortan respectivamente á los lados del ángulo. Sobre CE y CH se construye el paralologramo ECIIF. Sobro CF y CG se construye el paralelogramo
FCGQ. Esto sentado, 1.°, la recta PQ es perpendicular á la recta de
Simson relativa á los datos (es decir, correspondiente al punto A
y á los triángulos ECF ó GCH); 2°, pasa por el punto de intersección
de las cuerdas E F y GH.
(J. M.)
(E. Catalán).
1 8 3 . Un segmento de recta variable se mueve entre dos ejes de
tal manera, que su proyección ortogonal sobre uno de los dos ejes
permanece constante.
I." ¿Cuál es el lugar ael medio de este segmento de recta? 2.» ^;Cuál
08 la envolvente de este segmento de recta?
(J. M.)
ÍM. d'Omffnc.)
EL PROGRESO MATEMÁTICO
159
184. Las polares de ua vértice del triángulo con relaoióa á los
cuatro círculos inscriptos, forman un rectángulo inscripto en el círculo que tiene el lado opuesto por diámetro.
(J3. Sollertinaky).
185. Las seis tangentes á una cirounferencía trazadas parale'amente á los lados de un triángulo inscripto AUC, forman ocho triángulos homotéticos á ABC.
Los centros de homotecia son respectivamente los centros de semejanza de la circunferencia ABC con los círculos inscriptos al triángulo ABC, y al mismo tiempo son los inversos (isogonales) de los
ocho puntos de los grupos de Nagel y de Qergonne.
{B. Sollertinsky).
186. Sean A,, B^, C, puntos que dividen los lados BC, CA, AB
de un triángulo ABC en la razón de 2 á 1; M, N, P los medios de las
rectas A A,, BB,,CC,.
Demostrar que: 1.° Los triángulos MNP y ABC tienen el mismo
centro de gravedad: 2.» Los lados del triángulo MNP son paralelos á
las medianas del triángulo ABC valiendo el tercio: 3.» Los lados del
triángulo ABC son paralelos á las medianas del triángulo MNP y
valen su cuadruplo: 4." El área del triángulo MNP es igual á - ^„-del área del triángulo ABC.
(H. Van Aubel).
187. Sobre los tres lados de ABC se construyen los triángulos
BA'C, CB'A, AC'B y sobre los tres lados del triángulo A'B'C los
C'A'B', A'B'C, B'CA', todos directamente semejantes á un triangulo
isósceles dado MNP, del que MP es la base. Demostrar que: I." Los
lados del triángulo A'B'C son paralelos á los del ABC: 2.° Si se designa por q la relación de la altura á la base del triángulo MNP, la razón
de semejanza de los triángulos A'B"C" y ABC es igual á
— ^q'; 3.o
4
Las rectas AA", BB", CC" se dirigen según las medianas de estos dos
triángulos.
{H. Van Aubel.)
188. Sobre los lados AB, AC de un triángulo ABC se toman
AM = AN = X; las rectas BN y CM se cortan en P.
Demostrar que el lugar de P es una hipérbola; hallar el centro, las
asíntotas y los ejes de esta curva.
(/, Neuberg).
160
El- PROGRESO MATEMÁTICO
189. Complemento al enunciado lO"?. Cuando el cociente de
(2m—1)! por »i!(m—1)! es un número par, el exponente de la potencia de 2 que entra como factor en el cociente es (í—/>—1), siendo q la
suma de las cifras de (2w—1) escritas en el sistema binario y /> el exponente de la mayor potencia de 2 que entra como factor en m.
(J. M.)
( Wolstenholme.)
190.
tud CA, =
Si se prolonga el lado BC de un triángulo ABC una longiBC y el lado CA otra AB, = 2CA, los puntos medios del
lado BC y de las rectas AA,, BB son los vértices de un triángulo
equivalente al ABC.
(//. Van Aiibel.)
191. Siendo Dj, D,, B,, h^ los medios de los lados A^A.,, A,A., y
los vértices de los triángulos equiláteros construidos exteriormente
sobre el lado A•^A^ é interiormente sobre el A^A, de un cuadrilátero
AjAjAjA,, demostrar que la recta B^A, es paralela al lado D^M del
triángulo equilátero D,MDj construido sobre DjD^ que vale el doble.
{H. Van Aubel)
192. Siendo ABC un triángulo dado, sea D el punto de contacto
con BC del círculo inscripto O. Se proyectan los vértices B y C en E
y F sobre la bisectriz AO; después se construyen los paralelogramos
DEBG y DFCH.
Esto sentado: 1.» Los puntos B, (i, C, II pertenecen á una circunferencia: 2." El centro de esta circunferencia y el centro O del círculo
inscripto se hallan igualmente distantes del lado BC.
(J. M.>
(E. Catalán).
193. Si sobre cuatro lados alternativos de un octógono A,AjA,v
se construyen exteriormente los triángulos A|íi,A,, A3B3A4, A.,B-,A,.,,
A;B,A|„ y, sobre los cuatro lados, interiormente los triángulos AjéjA,,
A.A^A^, A,¿„A„, A,í„Aj, directamente semejantes á un triángulo dado,
y se forman los paralelogramos ¿i^B^éjK y B|KB ,L, la figura ¿.iB;*»!-- es
también un paralelogramo.
{H. Van Aubel.)
ERRATAS.— En la pág. 12S, cuestión 164, ciérrese el paréntesis
cuadrado en la primera línea del numerador, y el exponente 4 del denominador cambíese en 2.
En la pág. 142, «01 = » debe estar fuera de la raya del quebrado.
Zaraifoz». — Imprenta de C. .\r¡ño, Coso, 100, bajos.