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CAPÍTULO IV
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RELACIÓN ENTRE ÁNGULOS Y ARCOS DE CIRCUNFERENCIA
Conocimientos previos:
Suponemos conocido que:
a)
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es dos rectos.
b)
Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los interiores
no adyacentes.
El triángulo isósceles tiene 2 ángulos iguales.
En una circunferencia, un ángulo central y el arco que abraza se pueden
medir ambos en la misma unidad (gra dos o radianes): y tienen la
misma medida: un ángulo central mide lo mismo que el arco que
abarca.
c)
d)
Teorema IV-1 Un ángulo inscrito en una circunferencia vale la mitad del arco que
abarca.
(ángulo inscrito es el que tiene su vértice en la circunferencia y cuyos lados
pasan por los extremos de un arco de la misma).
Dem.: Consideremos 3 posibilidades:
a) Un lado pasa por el centro O de la circunferencia:
El ángulo
MVˆN
vale
ˆ O vale
El ángulo V M
a
a
VMˆ O isósceles).
MOˆ N vale â + â = 2 â por ser, ángulo exterior. Luego
MVˆN vale la mitad del central MOˆ N que abarca el mis mo arco.
(por ser
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b) el centro O es interior al ángulo.
Descomponiendo el ángulo en suma de dos se obtiene el mismo resultado
â = â 1 + â 2 =
1
2
arco MP +
1
1
arco PN =
2
2
arco MN
1
1
arco NP =
2
2
arco MN
c) el centro O es exterior al ángulo
â = â 1 + â 2 =
1
2
arco MP -
Corolario: el ángulo inscrito vale la mitad del ángulo central que abarca el
mismo arco.
Teorema I V -2 Un ángulo semi inscrito en una circunferencia vale la mitad del arco que
abarca. (Ángulo semi inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y uno de
sus lados es tangente y el otro secante a la misma).
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Dem.: Trazando la perpendicular OH desde O a VM y uniendo O con V y M se
observa que los ángulos VOH y HOM son iguales; luego cada uno vale la mitad del arco
VM.
El ángulo semi inscrito vale lo mismo que VOH, porque los dos tienen el mismo
complemento HVO, ya que el radio OV es per pendicular a la tangente en V.
Teorema IV- 3 El ángulo interior a una circunferencia, vale la semisuma de los arcos que
abarca
FIG. I V - 5
Dem.:
 =1̂ + 2̂ por ser exterior del ángulo ANQ
1
1
1̂ = arco PQ
2̂ = arc MN
2
2
 =
arcoPQ + arcoMn
2
Teorema IV - 4 El ángulo exterior a una circunferencia, cuyos lados la cortan o son
tangentes a ella, vale la semidiferencia de los arcos que abarca.
Dem: 1̂ =
Â
Â
=
+
2̂
Â
=
1̂ - 2̂
arcoMN + arcoPQ
2
=
1
1
arco MN 2
2
arco PQ
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Teorema IV-5
(Teorema del arco capaz)
El lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve un segmento
dado bajo un ángulo dado, es una figura formada por dos arcos de circunferencia, que
tienen los mismos extremos que el segmento, radios iguales, y estando cada uno de
ellos en cada semiplano definido por el segmento. Cada uno de estos arcos es
llamado arco capaz del ángulo dado respecto al segmento.
Explicación: Recordemos que "lugar geométrico" es el conjunto de puntos que
cumplen una determinada condición. En nues tro caso, dicha condici ón es "ver un
segmento dado bajo un án gulo dado"; que expresa que las semirrectas trazadas
desde el punto a los extremos del segmento han de formar el ángulo dado (estando el
segmento en el interior de dicho ángulo).
Dem.:
Sea el segmento AB y el ángulo
α ; sea P un punto que cumple la condición,
en el semiplano superior. La circunferencia que pasa por A, B y P, tiene su centro O
en la mediatriz de AB y el ángulo
AÔ M
debe ser
α . Cualquier punto del
arco
APB cumplirá la condición; mientras que, en el semiplano superior, un punto no situado
en el arco APB no puede cumplir la, por ser exterior o interior y por tanto no vale la
mitad del arco AB del semiplano inferior.
Escogiendo un punto P' en el semiplano inferior, se completa la demostración
del teorema.
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Construcción del arco capaz de un ángulo
Sobre el origen A del segmento AB se construye el ángulo
α
, hacia abajo (así
se halla el arco capaz del semiplano superior). Se traza una perpendicular al 2º
lado de α ; el punto O de intersección de ella con la mediatriz de AB, es el
centro del arco capaz.
La construcción se justifica por el apartado anterior
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EJERCICIOS
CAPÍTULO IV
Ejercicios resueltos
Construir un triángulo conociendo a, Â ma.
IV -1.
Suponiéndolo resuelto:
A está en el arco capaz del ángulo
 respecto
BC tam bién está en la
circunferen cia de centro M (punto
medio de BC) y radio ma.
La intersección de las dos circunferencias dará A,
Datos
o es el centro del arco capaz.
Dos soluciones congruentes.
IV -2. Construir un triángulo conociendo a, A y b + c.
Suponiéndolo resuelto:
Construcción:
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Se prolonga b y sobre la prolongación se coloca C, obteniendo CA' = b + c.
El triángulo AA'B es isósceles, por lo que x + x =
Â
x=
Â
2
.
Luego en el triángulo CA'B conocemos un lado (a), su áng ulo opuesto ( Â /2), y
otro lado (b + c); y podemos construirl o. Una vez construido, A está en CA' y en la
mediatriz de BA'.
I V -3.- Dadas 2 circunferencias secantes a y b y un segmento r, trazar una circunferencia
tangente a a y b de radio r.
Análisis: La distancia del centro X a A y B debe ser:
ra + r
rb + r
si X es tangente exterior. O bien:
ra – r
si es tangente interior
rb – r
o, si es tangente interior a una y exterior a la otra:
ra ± r
rb ± r
X debe hallarse en la intersección de las circunferencias de:
Centro A, radio
y
Centro B, radio
Construcción:
ra ± r
rb ± r
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(Para tangente exterior. De forma similar en los demás casos).
IV -4.
Construir una circunferencia que pase por un punto P dado, tenga un
radio r conocido, e intercepte sobre una recta a un segmento de
longitud dada 1 .
Suponiéndolo resuelto:
X está en una circunferencia de radio r y centro P (1er lugar
geométrico).
X está a una distancia d (altura de un triángulo de lados conocidos)
de a. Por tanto, está en una paralela a a a distancia d (segundo lugar
geométrico).
La intersección dará X (máximo 2 soluciones).
Construcción
Datos
Ejercicios propuestos
Â
IV - 5
Construir un triángulo conociendo a,
IV - 6
Idem conociendo a, b – c
IV - 7
Idem conociendo
 , B̂ , b c
IV - 8.
Idem conociendo
 , B̂ , r (radio de la circunferencia inscri ta).
IV - 9
Idem conociendo A, B, R (radio de la circunferencia cir cunscrita).
IV - 10.
Idem conociendo a, h b, b c.
IV - 11.
Idem conociendo a, b, m c.
IV - 12.
Idem conociendo
 , b,
Â
mc.
y ha
( S i b > c).
IV -13.
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Dados una recta a, una circunferencia b y un segmento r , trazar una
circunferencia x tangente a a y b y de radio r.
IV -14.
En una circunferencia, el radio del punto de contacto de una tangente es
perpendicular a ella. Usando esta propiedad, trazar tangentes a una
circunferencia desde un punto exterior.
IV -15.
Dada una circunferencia a de centro A y un punto P interior a ella, hallar el lugar
geométrico de los puntos medios de todas las cuerdas que pasan por P.
(R.: una circunferencia de diámetro AP).
IV -16.
Desde un punto P situado en el interior de un triángulo equilátero ABC, se trazan
los segmentos:
PM paralelo a AB hasta que corte a AC
PM paralelo a BC hasta que corte a AB
PQ paralelo a AC hasta que corte a BC
Demostrar que PM + PN + PQ es igual al lado del triángulo.
IV -17.
Dada una circunferencia c , una recta r secante y un punto A en el interior de la
circ unferencia, trazar por A una cuerda que sea bisecada p or r (o sea, dividida en 2
partes igua les por r).