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JULIO 2014
OPCIÓN A
BLOQUE I - CUESTIÓN
El planeta Tatooine, de masa m, se encuentra a una distancia r del centro de una estrella de masa
M. Deduce la velocidad del planeta en su órbita circular alrededor de la estrella y razona el valor
que tendría dicha velocidad si la distancia a la estrella fuera 4r.
Respuesta
Dado que la órbita es circular, la fuerza centrípeta es la fuerza gravitatoria, esto es Fg = Fc,
G
“
v2
M .m
m

, (1)  v =
p
r
r2
G
M
(2), donde G es la constante de gravitación universal.
r
sustituyendo en la ecuación (2) 
BLOQUE II CUESTIÓN
Una partícula de masa m = 0,05 kg realiza un movimiento armónico simple con una amplitud A =
0,2 m y una frecuencia f = 2 Hz. Calcula el período, la velocidad máxima y la energía total.
Respuesta
La ecuación general del MAS, donde x es la elongación, viene dada por, x = A sen ( t + o), o bien
por, x = A cos (t + ) (1), donde A es la amplitud,  es la frecuencia angular y o la fase inicial
(argumento de la función en t = 0). La relación entre f y T viene dada por f = 1/T,  T = 1/f = 0,5 s.
La velocidad es la derivada de la elongación respecto del tiempo, esto es, vx= dx/dt, o sea,
vx = - Asen (t + o), que es máxima cuando sen (t + o) = -1, o sea, vxmáx = A
La relación entre la frecuencia angular  y la frecuencia es,  = 2f = 4 rad
vxmáx = 0,2.4 = 2,51 m/s
La energía total es la suma de las energías cinética y potencial, la cual es constante, porque las
fuerzas elásticas son conservativas. Cuando la energía cinética es nula (en el punto de equilibrio),
la energía potencial es nula, se cumple, E = Ec + Ep = Ecmáx = ½ m.v2max = ½ .0,05. 2,512 = 0,1575 J
BLOQUE III PROBLEMA
Se sitúa un objeto de 9 cm de altura a una distancia de 10 cm a la izquierda de una lente de -5
dioptrías.
a) Dibuja un esquema de rayos, con la posición del objeto, la lente y la imagen y explica el tipo
de imagen que se forma. (1,2 puntos)
b) Calcula la posición de la imagen y su tamaño.
Respuesta
a) Dado que la potencia de la lente es negativa, se trata de una lente divergente. La potencia
P - 1/5 = - 0,20 m.
Una lente divergente sólo puede dar una imagen virtual porque los rayos se separan
(divergen) después de pasar por ella; lo que implica que no se forme una imagen por la
conjunción de los rayos (se necesitará un sistema óptico convergente para obtener la
imagen). En general da una imagen virtual, derecha y
de menor tamaño que el objeto.
En la figura se muestra la posición del objeto PQ, la
Q
Q’
lente divergente y el esquema de rayos que permiten
PQ
P
P’ V
F
F’
De los rayos que parten del punto Q, el rayo paralelo al
eje óptico diverge después de pasar por la lente y la
F
(situado delante de la lente); el rayo que pasa por el vértice de la lente no se desvía.
1
b) Por la ecuación de las lentes, siendo la distancia objeto s = 1 1 1 1
1
1
1
1
1
3
  

  ; 


s' s f ' s'  10
s'
20
20 10
20
-20 cm
-20/3 = - 6,67 cm
En efecto, la imagen se forma delante de la lente.
El aumento lateral viene dado por AL 
y' s' 20 / 3
 
= + 2/3 
 10
y s
= (2/3) 9 = 6 cm
La imagen es 2/3· menor y derecha (signo positivo del aumento lateral).
BLOQUE IV CUESTIÓN
Z
En la siguiente gráfica de número atómico frente a número de
92
neutrones, se representan dos desintegraciones a y b que,
Pa
a
partiendo del 231Th , producen isótopos de diferentes
b
elementos. Escribe razonadamente el símbolo de cada isótopo 90
231
Th
con su número másico y atómico. Determina, en ambos casos,
Ac
el tipo de desintegración radiactiva, indicando justificadamente 88
la partícula radiactiva que emite.
138
140
142 N
Respuesta
El proceso a se corresponde con una emisión beta - (electrones). En dicha emisión, el núcleo de un
isótopo que contiene un mayor número de neutrones que el isótopo más estable, sufre la
transformación de un neutrón en un electrón y en un protón, además de emitir un antineutrino
electrónico 01 n11 p  10 e   e . Por ello, el isótopo se convierte en el isótopo del elemento siguiente
de la tabla periódica, porque tendrá una unidad más en el número atómico Z, pero el mismo
231
0
número másico. La transformación es, 231
90Th  91 Pa  1 e   e
El proceso b se corresponde con una emisión alfa (núcleos de 24 Hee ). En dicha emisión, el núcleo
pierde 4 unidades en el número másico y dos unidades en el número atómico.
227
4
La transformación es, 231
91 Pa 80 Ac  2 He
BLOQUE VI CUESTIÓN
En la evolución de las estrellas, la reacción de fusión por la que el hidrógeno se convierte en helio
es 157 N  11H 126C  24He . Calcula el correspondiente defecto de masa (en kg). En la reacción anterior,
¿se absorbe o se desprende energía?¿Por qué? Determina el valor de dicha energía (en MeV).
Datos: masa del nitrógeno m( 157N ) =15,0001 u; masa del hidrógeno m( 11H ) = 1,0080 u; masa del
carbono m( 126C ) = 12,0000 u; masa del helio ( 24 He ) = 4,0026 u; unidad de masa atómica, u =
1,66.10-27 kg; velocidad de la luz en el vacío, c = 3.108 m/s; carga elemental, e = 1,6.10-19 C.
Respuesta
Cuando en un proceso la masa de los productos de la reacción es menor (defecto de masa) que la
de los reaccionantes, se libera energía; en caso contrario se absorbe energía.
La energía liberada es equivalente al defecto de masa, m; o sea, los productos tienen menor
masa que las partículas que colisionan, pero tienen mucha mayor energía cinética, la equivalencia
vienen dada por Eliberada = m.c2, donde c es la velocidad de la luz en el vacío.
En la reacción propuesta
m = m 126C   m 24 He   m 157 N   m 11H  = 12,0000 + 4,0026 15,0001 -1,0080 = - 0,0055 u.
Por consiguiente, se libera energía. En el SI m = - 0,0055.1,66.10-27 = - 9,13.10-30 kg, donde el
signo negativo significa que se trata de energía desprendida o liberada.
Con los datos en el sistema internacional
Eliberada = m.c2 = - 9,13.10-30.(3.108)2 = - 8,217.10-13 J eV = 1,6.10-19 J  MeV = 1,6.10-13 J 
Eliberada = - 8,217.10-13/1,6.10-13 = - 5,146 MeV.
2
OPCIÓN B
BLOQUE I PROBLEMA
Un objeto de masa m1 = 4m2 se encuentra situado en el origen de coordenadas, mientras que un
segundo objeto de masa m2 se encuentra en un punto de coordenadas (9,0) m. Considerando
únicamente la interacción gravitatoria y suponiendo que son masas puntuales, calcula
razonadamente:
a) El punto en el que el campo gravitatorio es nulo. (1,2 puntos)
b) El vector momento angular de la masa m2 con respecto al origen de coordenadas si m2 =

100 kg y su velocidad es v ( 0 ,50 ) m/s. (0,8 puntos)
Respuesta
a) La figura muestra los objetos en las posiciones correspondientes del sistema de
coordenadas. El campo gravitatorio creado en cualquier


punto es la suma vectorial de los vectores intensidad de (0,0)
g 1 g 2 (9,0)
campo gravitatorio debido a cada una de las masas. En
x
m2
m1
el punto en que es nulo, son de igual módulo y sentidos
opuestos. (como es lógico, el punto está más lejos de la masa mayor m1 que de la menor
m2. La distancia entre masas es r1 + r2 = 9 Esto es,
2


 ( 9  r2 ) 
m
m
m
( 9  r2 )
 = 4 
g 1  g 2  G 21  G 22  1  
=2
r2
m2  r2 
r1
r2
9 r2 = 2r2  r2 = 3m;  r1 = 6 m

b) El momento angular de una partícula de masa m2 y velocidad v , respecto a un punto O, es,




por definición, el producto vectorial L( o )  r xm 2v , donde r es el vector de posición de la


partícula respecto del punto O y m2v el momento lineal de la partícula. El vector L( o ) tendrá

la dirección perpendicular al plano XY y sentido positivo
 mv

(en el esquema del dibujo, perpendicular al plano del (0,0)
r
Lo (9,0)
papel y sentido saliente), o sea,






x
m2
L( o )  r xm 2v  9 i x 5000 j  45000k (kg.m2.s-1)
BLOQUE II PROBLEMA
Una onda se propaga según la función y = 2 sen[2(t - x)] cm, donde x está expresado en
centímetros y t en segundos. Calcula razonadamente:
a) El período, la frecuencia, la longitud de onda y el número de onda. (1,2 puntos)
b) La velocidad de propagación de la onda y la velocidad de vibración de una partícula situada
en el punto x = 10 cm en el instante t = 10 s. (0,8 puntos)
Respuesta
a) La ecuación general de una onda unidimensional que se propaga en el sentido positivo
del eje X viene dada por y(x,t) = A.sen(t kx + o), donde A es la amplitud,  la frecuencia
angular o pulsación, k el número de onda y o la fase inicial (nula en este caso).
De la ecuación se deduce la amplitud A = 2 cm = 0,02 m;  = 2 rad/s; k = 2 rad/m
La frecuencia está relacionada con la frecuencia angular. La relación entre  viene dada por
siendo rad/s= 1 Hz. El período es la inversa de la frecuencia, por
consiguiente, T = 1/1 = 1 s.
La longitud de onda está relacionada con el número de ondas, de modo que,
k = 2 / ;siendo k = 2 rad/m (x ha de ponerse en m, no en cm)   = 2 /2 = 1 m.
b) La velocidad de propagación es v = /T =  = 1 m/s.
La velocidad (transversal) de una partícula vibrante es la derivada de la posición respecto
del tiempo vy = dy/dt = A..cos (t - kx); en x = 0,1 m en el instante t = 10 s, es,
vy = 0,02.2 cos(20 2.0,1) = 0,102 m/s.
3
BLOQUE III CUESTIÓN
Describe qué problema tiene una persona que sufre miopía. Explica razonadamente, con ayuda de
un trazado de rayos, en qué consiste este problema. ¿Con qué tipo de lente debe corregirse y por
qué?
Respuesta
La miopía es un defecto relacionado con el exceso de curvatura de la córnea y/o el cristalino, de
modo que la imagen de un objeto lejano se forma delante de la retina (figura a) por lo que el ojo
las percibe desenfocadas. Dicho de otro modo, el punto remoto (más alejado que puede ver los
objetos con nitidez) no está en el infinito. Se corrige con lentes divergentes (menisco-divergentes,
figura b), dado que se necesita disminuir la potencia de los dioptrios oculares (córnea y cristalino),
para formar la imagen virtual en el punto remoto de dicho ojo.
Figura a. Imagen en ojo miope. Se
forma delante de la retina.
Figura b. Imagen corregida por lentes
divergentes en un ojo miope. Se forma en la
retina.
BLOQUE IV CUESTIÓN


I
I
B
B
Un conductor rectilíneo, de longitud L = 10 m, transporta una corriente
eléctrica de intensidad I = 5 A. Se encuentra en el seno de un campo
magnético cuyo módulo es B = 1 T y cuya dirección y sentido es el
mostrado en los casos diferentes (a) y (b) de la figura. Escribe la expresión
del vector fuerza magnética que actúa sobre el conductor rectilíneo y
discute en cuál de estos dos casos será mayor su módulo. Calcula el vector
(a)
(b)
fuerza magnética en dicho caso.
Respuesta
La fuerza magnética que experimenta una corriente rectilínea situada en el seno de un campo
  
magnético viene dado por la ley de Laplace F  ILxB , donde I es la intensidad de


F
corriente, L es un vector cuyo módulo es la longitud de conductor y sentido el de la


I
B
corriente eléctrica y B es la intensidad de campo magnético.

 

En el caso (a) la fuerza magnética es nula dado que F  IL . B .sen , donde  es el
F


ángulo que forman los vectores L y B , en este caso es sen 0 = 0

 

En el caso (b) F  5.10 j xk  50 i (N), o sea, una fuerza hacia la derecha.

F
(b)
BLOQUE V CUESTIÓN
Una astronauta viaja en una nave que se aleja de la Tierra a una velocidad de 0,7c. En un cierto
T
“
O
dura 5 minutos según el reloj de la astronave. ¿Cuánto tiempo ha durado la canción para los
interlocutores de la Tierra?. Razona adecuadamente la respuesta.
Respuesta
De acuerdo con la Teoría de la Relatividad Especial, el tiempo propio, es decir el tiempo que dura la
canción medido por un observador en reposo es, to =5 minutos. Este tiempo es el que medirá el
observador en la nave, en este caso la astronauta que estará en reposo respecto del micrófono de
4
la nave. El observador terrestre se mueve con respecto de la nave a 0,7 c y medirá un tiempo
mayor. El tiempo impropio o relativo, t ,es, t = to., donde  
1
v2
1 2
c
1

0 ,49c 2
1
c2
 1 ,40
 t =5.1,4 =7 min.
BLOQUE VI CUESTIÓN
Se tienen dos muestras radiactivas 1 y 2. La cantidad inicial de los núcleos radiactivos es,
respectivamente, N10 y N20, y sus períodos de semidesintegración son T1 y T2 = 2T1. Razona cuánto
deberá valer la relación N10/N20 para que la actividad de ambas muestras radiactivas sea la misma
inicialmente. ¿Serán iguales las actividades de ambas muestras en un instante t posterior? Razona
la respuesta.
Respuesta
La actividad radiactiva es la velocidad de desintegración, que es proporcional al número de núcleos
N
dN
presentes. Esto es, A  
 .t (2), donde  es la
 .N (1), la ecuación integrada da Ln
No
dt
constante radiactiva, t el tiempo, No el número de núcleos iniciales y N los núcleos después de un
tiempo t. Es decir, el número de núcleos presentes se reduce exponencialmente, como se aprecia en
la gráfica.
El período de semidesintegración T1/2 de un isótopo radiactivo es el tiempo necesario para que se
desintegren la mitad de los núcleos de una muestra. Es decir T1 / 2 
Si T2 = 2T1  1 = 2.2
Cuando A1o = A2o se cumple que  1 .N1o = 2 .N2o 
Ln 2


0 ,693

N 1o  2
= 0,5

N20 1
Si se aplica la ley de desintegración a las muestras transcurrido cierto tiempo t se tiene,
LnN1 / N1o  1
N
N
= 2, o sea,
Ln 1  1 .t y Ln 2  2 .t , dividiendo miembro a miembro,

N 1o
N2o
LnN 2 / N 2 o  2
Ln (N1/N1o) = 2.Ln (N2/N2o)  (N1/N1o) = (N2/N2o)2  las actividades serán diferentes.
Este resultado es lógico, porque para mantener la misma relación entre el número de núcleos de
ambas muestras, las constantes radiactivas deberían ser iguales. Por ejemplo, transcurrido el
período de semidesintegración de la primera muestra, ésta se reducirá a su mitad, pero no lo hará
la segunda muestra, que necesita el doble de tiempo para reducirse a su mitad.
5
JULIO 2014
OPCIÓN A
BLOQUE I - CUESTIÓN
El planeta Tatooine, de masa m, se encuentra a una distancia r del centro de una estrella de masa
M. Deduce la velocidad del planeta en su órbita circular alrededor de la estrella y razona el valor
que tendría dicha velocidad si la distancia a la estrella fuera 4r.
Respuesta
Dado que la órbita es circular, la fuerza centrípeta es la fuerza gravitatoria, esto es Fg = Fc,⇒
G
M .m
v2
=
m
, (1) ⇒ v =
p
r2
r
G
M
(2), donde G es la constante de gravitación universal.
r
Si el radio es r’ = r/4, sustituyendo en la ecuación (2) ⇒ v’ = v/2
BLOQUE II – CUESTIÓN
Una partícula de masa m = 0,05 kg realiza un movimiento armónico simple con una amplitud A =
0,2 m y una frecuencia f = 2 Hz. Calcula el período, la velocidad máxima y la energía total.
Respuesta
La ecuación general del MAS, donde x es la elongación, viene dada por, x = A sen (ωt + φo), o bien
por, x = A cos (ωt + φο) (1), donde A es la amplitud, ω es la frecuencia angular y φo la fase inicial
(argumento de la función en t = 0). La relación entre f y T viene dada por f = 1/T, ⇒ T = 1/f = 0,5 s.
La velocidad es la derivada de la elongación respecto del tiempo, esto es, vx= dx/dt, o sea,
vx = - Aω.sen (ωt + φo), que es máxima cuando sen (ωt + φo) = -1, o sea, vxmáx = Aω
La relación entre la frecuencia angular ω y la frecuencia es, ω = 2πf = 4π rad
vxmáx = 0,2.4π = 2,51 m/s
La energía total es la suma de las energías cinética y potencial, la cual es constante, porque las
fuerzas elásticas son conservativas. Cuando la energía cinética es nula (en el punto de equilibrio),
la energía potencial es nula, se cumple, E = Ec + Ep = Ecmáx = ½ m.v2max = ½ .0,05. 2,512 = 0,1575 J
BLOQUE III – PROBLEMA
Se sitúa un objeto de 9 cm de altura a una distancia de 10 cm a la izquierda de una lente de -5
dioptrías.
a) Dibuja un esquema de rayos, con la posición del objeto, la lente y la imagen y explica el tipo
de imagen que se forma. (1,2 puntos)
b) Calcula la posición de la imagen y su tamaño.
Respuesta
a) Dado que la potencia de la lente es negativa, se trata de una lente divergente. La potencia
es la inversa de la distancia focal imagen, o sea, f’ = 1/P = - 1/5 = - 0,20 m.
Una lente divergente sólo puede dar una imagen virtual porque los rayos se separan
(divergen) después de pasar por ella; lo que implica que no se forme una imagen por la
conjunción de los rayos (se necesitará un sistema óptico convergente para obtener la
imagen). En general da una imagen virtual, derecha y
de menor tamaño que el objeto.
En la figura se muestra la posición del objeto PQ, la
Q
Q’
lente divergente y el esquema de rayos que permiten
obtener la imagen P’Q’.
P
P’ V
F
F’
De los rayos que parten del punto Q, el rayo paralelo al
eje óptico diverge después de pasar por la lente y la
prolongación de este rayo pasa por el foco imagen F’
(situado delante de la lente); el rayo que pasa por el vértice de la lente no se desvía.
1
b) Por la ecuación de las lentes, siendo la distancia objeto s = - 10 cm; f’ = -20 cm
1 1 1 1
1
1
1
1
1
3
− = ; −
=−
⇒ =− −
=−
⇒ s’ = -20/3 = - 6,67 cm
20
s'
20 10
20
s' s f ' s' − 10
En efecto, la imagen se forma delante de la lente.
El aumento lateral viene dado por AL =
y' s' −20 / 3
= + 2/3 ⇒ y’ = (2/3) 9 = 6 cm
= =
y s
− 10
La imagen es 2/3· menor y derecha (signo positivo del aumento lateral).
BLOQUE IV – PROBLEMA
r
r
Un electrón se mueve dentro de un campo eléctrico uniforme E = Ei , E > 0, El electrón parte del
reposo desde un punto A, de coordenadas A(0,0) cm, y llega al punto B con una velocidad de 106
m/s después de recorrer 20 cm. Considerando que sobre el electrón no actúan otras fuerzas y sin
tener en cuenta efectos relativistas:
a) Discute cómo será la trayectoria del electrón y calcula las coordenadas del punto B
(centímetros) (0,8 puntos).
b) Calcula razonadamente el módulo del campo eléctrico. (1,2 punts)
Datos: carga elemental, e = 1,60.10-19 C; masa del electrón me = 9,1.10-31 kg.
Respuesta
a) La fuerza que actúa sobre una carga situada en un punto de un campo eléctrico viene dada
r
r
r
por F = q e E = −eEi , o sea en la dirección del eje X pero en sentido opuesto (hacia la
izquierda). Dado que E y e son constantes, la fuerza también lo es, por lo que se puede
aplicar la 2º ley de la dinámica, hallar la aceleración y después el desplazamiento (y, por
consiguiente, la posición final).
En este caso ya se indica que recorre 20 cm, por lo que B tiene de coordenadas B(-20,0)
(cm).
b) El campo eléctrico se obtiene de la relación entre el potencial y el campo eléctrico
r
( gradV = E ). Si además se tiene en cuenta que se trata de una fuerza conservativa, se
puede calcular el valor del campo eléctrico a partir de la relación entre el trabajo del
campo y la variación de energía cinética, o sea, Wcampo = - ∆V.qe = ∆Ec= ½ me(v2B – v2A) (1)
Ahora bien, – ∆V/∆x = Ex , sustituyendo en la ecuación (1) se tiene,
m v 2 − v B2
9,1.10 −31.(−10 6 ) 2
Ex.∆x. qe = ∆Ec= ½ me(v2B – v2A) ⇒ Ex = e A
=
= 14,1 N/C
2e.∆x
2.1,61.10 −19 (−0,2)
(
)
BLOQUE V – CUESTIÓN
Z
En la siguiente gráfica de número atómico frente a número de
neutrones, se representan dos desintegraciones a y b que,
92
partiendo del 231Th , producen isótopos de diferentes
Pa
a
elementos. Escribe razonadamente el símbolo de cada isótopo
b
231
con su número másico y atómico. Determina, en ambos casos, 90
Th
el
tipo
de
desintegración
radiactiva,
indicando
Ac
justificadamente la partícula radiactiva que emite.
88
Respuesta
138
140
142 N
El proceso a se corresponde con una emisión beta β(electrones). En dicha emisión, el núcleo de un isótopo que contiene un mayor número de
neutrones que el isótopo más estable, sufre la transformación de un neutrón en un electrón y en un
protón, además de emitir un antineutrino electrónico 01 n→ 11 p + −10 e + ν e . Por ello, el isótopo se
convierte en el isótopo del elemento siguiente de la tabla periódica, porque tendrá una unidad más
0
en el número atómico Z, pero el mismo número másico. La transformación es, 23190Th→ 231
91 Pa + − 1 e + ν e
2
El proceso b se corresponde con una emisión alfa (núcleos de 24 Hee ). En dicha emisión, el núcleo
“pesado”, emite una partícula alfa constituida por dos protones y dos neutrones, de modo que
pierde 4 unidades en el número másico y dos unidades en el número atómico.
227
4
La transformación es, 231
91 Pa→ 80 Ac + 2 He
BLOQUE VI – CUESTIÓN
En la evolución de las estrellas, la reacción de fusión por la que el hidrógeno se convierte en helio
es 157 N + 11H → 126 C + 24He . Calcula el correspondiente defecto de masa (en kg). En la reacción anterior,
¿se absorbe o se desprende energía?¿Por qué? Determina el valor de dicha energía (en MeV).
Datos: masa del nitrógeno m( 157 N ) =15,0001 u; masa del hidrógeno m( 11H ) = 1,0080 u; masa del
carbono m( 126C ) = 12,0000 u; masa del helio ( 24 He ) = 4,0026 u; unidad de masa atómica, u =
1,66.10-27 kg; velocidad de la luz en el vacío, c = 3.108 m/s; carga elemental, e = 1,6.10-19 C.
Respuesta
Cuando en un proceso la masa de los productos de la reacción es menor (defecto de masa) que la
de los reaccionantes, se libera energía; en caso contrario se absorbe energía.
La energía liberada es equivalente al defecto de masa, ∆m; o sea, los productos tienen menor
masa que las partículas que colisionan, pero tienen mucha mayor energía cinética, la equivalencia
vienen dada por Eliberada = ∆m.c2, donde c es la velocidad de la luz en el vacío.
En la reacción propuesta
∆m = m ( 126C ) + m ( 24 He ) − m ( 157 N ) − m ( 11 H ) = 12,0000 + 4,0026 – 15,0001 -1,0080 = - 0,0055 u.
Por consiguiente, se libera energía. En el SI ∆m = - 0,0055.1,66.10-27 = - 9,13.10-30 kg, donde el
signo negativo significa que se trata de energía desprendida o liberada.
Con los datos en el sistema internacional
Eliberada = ∆m.c2 = - 9,13.10-30.(3.108)2 = - 8,217.10-13 J eV = 1,6.10-19 J ⇒ MeV = 1,6.10-13 J ⇒
Eliberada = - 8,217.10-13/1,6.10-13 = - 5,146 MeV.
OPCIÓN B
BLOQUE I – PROBLEMA
Un objeto de masa m1 = 4m2 se encuentra situado en el origen de coordenadas, mientras que un
segundo objeto de masa m2 se encuentra en un punto de coordenadas (9,0) m. Considerando
únicamente la interacción gravitatoria y suponiendo que son masas puntuales, calcula
razonadamente:
a) El punto en el que el campo gravitatorio es nulo. (1,2 puntos)
b) El vector momento angular de la masa m2 con respecto al origen de coordenadas si m2 =
r
100 kg y su velocidad es v ( 0 ,50 ) m/s. (0,8 puntos)
Respuesta
a) La figura muestra los objetos en las posiciones correspondientes del sistema de
coordenadas. El campo gravitatorio creado en cualquier
r
r
punto es la suma vectorial de los vectores intensidad de (0,0)
g1 g 2 (9,0)
campo gravitatorio debido a cada una de las masas. En
x
m2
m1
el punto en que es nulo, son de igual módulo y sentidos
opuestos. (como es lógico, el punto está más lejos de la masa mayor m1 que de la menor
m2. La distancia entre masas es r1 + r2 = 9 Esto es,
2
r
r
 ( 9 − r2 ) 
m
m
m
( 9 − r2 )
 = 4 ⇒
g 1 = g 2 ⇒ G 21 = G 22 ⇒ 1 = 
=2
r1
r2
m2  r2 
r2
9 – r2 = 2r2 ⇒ r2 = 3m; ⇒ r1 = 6 m
r
b) El momento angular de una partícula de masa m2 y velocidad v , respecto a un punto O, es,
r
r
r
r
por definición, el producto vectorial L( o ) = r xm 2v , donde r es el vector de posición de la
3
(0,0)
r
r
x
r
r mv
Lo (9,0)
m2
r
r
partícula respecto del punto O y m 2v el momento lineal de la partícula. El vector L( o ) tendrá
la dirección perpendicular al plano XY y sentido positivo (en el esquema del dibujo,
perpendicular al plano del papel y sentido saliente), o sea,
r
r
r
r
r
r
2 -1
L( o ) = r xm 2v = 9 i x 5000 j = 45000 k (kg.m .s )
BLOQUE II – PROBLEMA
Una onda se propaga según la función y = 2 sen[2π(t - x)] cm, donde x está expresado en
centímetros y t en segundos. Calcula razonadamente:
a) El período, la frecuencia, la longitud de onda y el número de onda. (1,2 puntos)
b) La velocidad de propagación de la onda y la velocidad de vibración de una partícula situada
en el punto x = 10 cm en el instante t = 10 s. (0,8 puntos)
Respuesta
a) La ecuación general de una onda unidimensional que se propaga en el sentido positivo
del eje X viene dada por y(x,t) = A.sen(ωt – kx + φo), donde A es la amplitud, ω la frecuencia
angular o pulsación, k el número de onda y φo la fase inicial (nula en este caso).
De la ecuación se deduce la amplitud A = 2 cm = 0,02 m; ω = 2π rad/s; k = 2π rad/m
La frecuencia está relacionada con la frecuencia angular. La relación entre ω viene dada por
ω = 2π.ν, siendo ω = 2 π rad/s; ν = 1 Hz. El período es la inversa de la frecuencia, por
consiguiente, T = 1/1 = 1 s.
La longitud de onda está relacionada con el número de ondas, de modo que,
k = 2 π/ λ; siendo k = 2π rad/m (x ha de ponerse en m, no en cm) ⇒ λ = 2 π/2 π = 1 m.
b) La velocidad de propagación es v = λ/T = λ.ν = 1 m/s.
La velocidad (transversal) de una partícula vibrante es la derivada de la posición respecto
del tiempo vy = dy/dt = A.ω.cos (ωt - kx); en x = 0,1 m en el instante t = 10 s, es,
vy = 0,02.2π cos(20π – 2π.0,1) = 0,102 m/s.
BLOQUE III – CUESTIÓN
Describe qué problema tiene una persona que sufre miopía. Explica razonadamente, con ayuda de
un trazado de rayos, en qué consiste este problema. ¿Con qué tipo de lente debe corregirse y por
qué?
Respuesta
La miopía es un defecto relacionado con el exceso de curvatura de la córnea y/o el cristalino, de
modo que la imagen de un objeto lejano se forma delante de la retina (figura a) por lo que el ojo
las percibe desenfocadas. Dicho de otro modo, el punto remoto (más alejado que puede ver los
objetos con nitidez) no está en el infinito. Se corrige con lentes divergentes (menisco-divergentes,
figura b), dado que se necesita disminuir la potencia de los dioptrios oculares (córnea y cristalino),
para formar la imagen virtual en el punto remoto de dicho ojo.
Figura a. Imagen en ojo miope. Se
forma delante de la retina.
Figura b. Imagen corregida por lentes
divergentes en un ojo miope. Se forma en la
retina.
BLOQUE IV – CUESTIÓN
Un conductor rectilíneo, de longitud L = 10 m, transporta una corriente
eléctrica de intensidad I = 5 A. Se encuentra en el seno de un campo
r
B
I
r
B
I
4
(a)
(b)
magnético cuyo módulo es B = 1 T y cuya dirección y sentido es el mostrado en los casos
diferentes (a) y (b) de la figura. Escribe la expresión del vector fuerza magnética que actúa sobre el
conductor rectilíneo y discute en cuál de estos dos casos será mayor su módulo. Calcula el vector
fuerza magnética en dicho caso.
Respuesta
La fuerza magnética que experimenta una corriente rectilínea situada en el seno de un campo
r r r
magnético viene dado por la ley de Laplace F = ILxB , donde I es la intensidad de
r
r
F
corriente, L , un vector cuyo módulo es la longitud de conductor y sentido el de la
r
r
I
B
corriente eléctrica y B la intensidad de campo magnético.
r
r r
r
En el caso (a) la fuerza magnética es nula dado que F = IL . B .senθ , donde θ es el
F
r
r
ángulo que forman los vectores L y B , en este caso es sen 0 = 0
r
r r
r
En el caso (b) F = 5.10 j xk = 50 i , sea una fuerza hacia la derecha.
r
F
(b)
BLOQUE V – CUESTIÓN
Una astronauta viaja en una nave que se aleja de la Tierra a una velocidad de 0,7c. En un cierto
instante, la astronauta establece comunicación con Tierra y canta la canción “Space Oddity”, que
dura 5 minutos según el reloj de la astronave. ¿Cuánto tiempo ha durado la canción para los
interlocutores de la Tierra?. Razona adecuadamente la respuesta.
Respuesta
De acuerdo con la Teoría de la Relatividad Especial, el tiempo propio, es decir el tiempo que dura la
canción medido por un observador en reposo es, ∆to =5 minutos. Este tiempo es el que medirá el
observador en la nave, en este caso la astronauta que estará en reposo respecto del micrófono de
la nave. El observador terrestre se mueve con respecto de la nave a 0,7 c y medirá un tiempo
mayor. El tiempo impropio o relativo, ∆t,es ∆t = ∆to.γ, donde γ =
1
2
1
=
0 ,49 c 2
1−
c2
v
1− 2
c
= 1 ,40
⇒ ∆t =5.1,4 =7 min.
BLOQUE VI – CUESTIÓN
Se tienen dos muestras radiactivas 1 y 2. La cantidad inicial de los núcleos radiactivos es,
respectivamente, N10 y N20, y sus períodos de semidesintegración son T1 y T2 = 2T1. Razona cuánto
deberá valer la relación N10/N20 para que la actividad de ambas muestras radiactivas sea la misma
inicialmente. ¿Serán iguales las actividades de ambas muestras en un instante t posterior? Razona
la respuesta.
Respuesta
La actividad radiactiva es la velocidad de desintegración, que es proporcional al número de núcleos
dN
N
presentes. Esto es, A = −
= λ .N (1), la ecuación integrada da Ln
= −λ.t (2), donde λ es la
dt
No
constante radiactiva, t el tiempo, No el número de núcleos iniciales y N los núcleos después de un
tiempo t. Es decir, el número de núcleos presentes se reduce exponencialmente, como se aprecia en
la gráfica.
El período de semidesintegración T1/2 de un isótopo radiactivo es el tiempo necesario para que se
desintegren la mitad de los núcleos de una muestra. Es decir T1 / 2 =
Ln 2
Si T2 = 2T1 ⇒ λ1 = λ2/2
Cuando A1o = A2o se cumple que ⇒ λ1 .N1o = λ2 .N2o ⇒
5
N 1o λ 2
= 0,5
=
N 20 λ1
λ
=
0 ,693
λ
Si se aplica la ley de desintegración a las muestras transcurrido cierto tiempo t se tiene,
Ln (N 1 / N 1o ) λ1
N
N
= 2, o sea,
Ln 1 = −λ1 .t y Ln 2 = −λ 2 .t , dividiendo miembro a miembro,
=
Ln (N 2 / N 2 o ) λ 2
N 1o
N 2o
Ln (N1/N1o) = 2.Ln(N2/N2o) ⇒ (N1/N1o) = (N2/N2o)2 ⇒ las actividades serán diferentes.
Este resultado es lógico porque para mantener la misma relación entre los núcleos las constantes
radiactivas deberían ser iguales. Por ejemplo, transcurrido el período de semidesintegración de la
primera muestra, ésta se reducirá a su mitad, pero no lo hará la segunda muestra, que necesita el
doble de tiempo para reducirse a su mitad.
6