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9 Ángulos y rectas CONTENIDOS PREVIOS CONVIENE QUE… Recuerdes los tipos de ángulos que existen. PORQUE… Te ayudará a comprender otras clasificaciones de ángulos. Ángulo recto Ángulo llano Ángulo agudo Ángulo obtuso Sus lados son perpendiculares. Sus lados están sobre la misma recta. Ángulo menor que el recto. Ángulo mayor que el recto y menor que el llano. CONVIENE QUE… P Distingas entre línea recta, semirrecta y segmento. A B PORQUE… LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS Lo necesitarás para comprender el concepto de ángulo y su trazado. Línea recta Semirrecta Segmento No tiene origen ni final. Tiene origen, el punto P (vértice de la semirrecta), pero no tiene final. Tiene origen y final en los puntos A y B, extremos del segmento. CONVIENE QUE… Conozcas las posiciones relativas de dos rectas en el plano. Rectas secantes Rectas paralelas PORQUE… Es útil para comparar los ángulos que se forman al cortarse varias rectas. 114 Si dos rectas secantes al cortarse determinan cuatro ángulos iguales, se llaman rectas perpendiculares. MATEMÁTICAS 1.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. UNIDAD 9 ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? Representa un punto. Aunque un punto no tiene dimensiones, se suele representar gráficamente mediante un punto lo suficientemente grueso como para que sea visible. P ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? r Representa una recta. ¿QUÉ SIGNIFICA? A Mediante una letra mayúscula. Se suelen utilizar las letras A, B, C…, aunque se puede tomar cualquier letra del abecedario. RECURSOS PARA EL AULA NOTACIÓN MATEMÁTICA Mediante letras minúsculas. Se suelen utilizar las letras r, s, t…, aunque se puede tomar cualquier letra del abecedario. ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? Representan una semirrecta de origen el punto A. Mediante letras minúsculas. Las más usadas son r, s, t… En general, se puede utilizar cualquier letra del abecedario. A B A A ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? Representan un segmento de extremos los puntos A y B. B ¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS? Un ángulo se expresa: B A A Utilizando los nombres de sus extremos, el segmento se nombra AB, o bien AB . LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS ¿QUÉ SIGNIFICA? C Representan un ángulo. A$ – Con el símbolo ^ sobre las tres letras que determinan el ángulo, BAC , o bien CAB , de manera que quede en el centro la letra del vértice. $. – Con el símbolo ^ sobre la letra del vértice: A – Con el símbolo ^ sobre las letras que designan $. las rectas que lo forman, rs r s MATEMÁTICAS 1.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 115 9 Ángulos y rectas EN LA VIDA COTIDIANA... Ángulos en aeronaves En este proyecto pretendemos que aprendas a: • Reconocer diferentes tipos de ángulos y líneas en los primeros modelos de aeronaves. • Resolver problemas sobre ángulos en relación con los autogiros y los aviones. 1 Identificación de distintos tipos de líneas en aeronaves El primer vuelo con éxito fue precedido de siglos de sueños, estudio, especulación y experimentación. Muchos sabios de la antigüedad creían que para volar sería necesario imitar el movimiento de las alas de los pájaros. Finalmente, la Física y las Matemáticas fueron los pilares en los que se apoyaron los progresos de la aviación. COMPETENCIA MATEMÁTICA Siglo V. Se diseña el primer aparato volador: la cometa o papalote. Siglo XIII. El monje inglés Roger Bacon, tras años de estudio, llegó a la conclusión de que el aire podría soportar un ingenio volador de la misma manera que el agua soporta un barco. Siglo XV. El famoso científico e inventor italiano Leonardo da Vinci analizó el vuelo de los pájaros, e ideó unas alas con las que creía que el hombre podría volar. La experiencia demostró que eso no era posible. Siglo XVIII. Los hermanos Montgolfier construyeron un globo que, al llenarlo de aire caliente, se elevaba soportando una cesta con los pasajeros. Siglo XIX. Los globos se perfeccionan y evolucionan en los dirigibles. Siglo XX. El día 17 de diciembre de 1903, cerca de Kitty Hawk, en el estado de Carolina del Norte, los hermanos estadounidenses Wilbur y Orville Wright realizaron el primer vuelo pilotado de una aeronave más pesada que el aire y propulsada por motor. REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES. a) Observa la fotografía de la cometa. Si consideras los lados del cuerpo de la cometa como rectas, ¿qué posiciones tienen esas rectas entre sí? ¿Cómo son los ángulos que forman? b) Las rectas formadas por los dos palos que se entrecruzan en medio de la cometa, ¿cómo son? ¿Qué tipo de ángulos forman al cortarse? c) Observa la fotografía de la máquina voladora de Leonardo y considera las varillas como rectas. ¿Qué posiciones de rectas ves en ella? ¿Cómo son los ángulos que forman algunas de esas rectas? d) Observa el aeroplano de los hermanos Wright. ¿Qué posición tienen las rectas formadas por las varillas respecto a los planos de las alas? ¿Cómo son esas rectas entre sí? 116 MATEMÁTICAS 1.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. UNIDAD Cálculo de ángulos en autogiros y aviones RECURSOS PARA EL AULA En 1920 el español Juan de la Cierva inventó el autogiro. El autogiro es un tipo de avión con una hélice arriba y que despega verticalmente. Es el antecedente de los helicópteros. Los helicópteros son utilizados en gran cantidad de situaciones por su facultad de poder permanecer suspendidos sobre un determinado punto. Tienen múltiples diseños, variando el número de aspas de sus hélices. RESPONDE A ESTAS PREGUNTAS. a) ¿Cuántas aspas tiene cada uno de los helicópteros de las fotografías anteriores? b) ¿En cuántas partes dividen esas aspas al círculo que forman al girar? ¿Cómo son esas partes? c) ¿Qué ángulo forma el par de aspas en cada uno de ellos? Otro contexto donde aparecen los ángulos en los aviones es el ángulo de ataque, la inclinación del ala con respecto a la corriente del aire. Al aumentar el ángulo de ataque aumenta la sustentación del avión, es decir, este se sujeta mejor en el aire. Este efecto de sustentación es el mismo que se produce al sacar la mano por la ventanilla de un coche e inclinarla. Sin embargo, la cantidad de sustentación que puede ser generada en los aviones de esta forma tiene un límite. A partir de los 14 grados de ángulo de ataque, la fuerza de sustentación disminuye rápidamente, hasta que se pierde por la formación de remolinos alrededor de las alas. Se dice entonces que el avión ha entrado en pérdida y cae rápidamente. RESUELVE LAS SIGUIENTES CUESTIONES. a) Indica, para cada uno de estos ángulos de ataque, si el avión entraría en pérdida o no. a) 800' c) 800' 2.500'' b) 50.000'' d) 13° 57' 200'' b) Expresa en minutos y en segundos el ángulo de ataque máximo. MATEMÁTICAS 1.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 117 COMPETENCIA MATEMÁTICA 2 9 9 Ángulos y rectas ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Hacer un dibujo Estrategia La estrategia consistente en hacer un dibujo para reflejar las condiciones del enunciado ayuda a resolver algunos problemas. Esta estrategia es especialmente útil en los problemas geométricos, ya que las relaciones y el razonamiento geométrico se entienden mejor cuando se trabaja sobre figuras construidas de acuerdo con el enunciado del problema. PROBLEMA RESUELTO Dibuja un ángulo AOB de 45°. Después, traza el ángulo BOC adyacente al ángulo AOB . Traza mediante plegado las bisectrices de los ángulos anteriores. ¿Qué ángulo forman las bisectrices? Planteamiento y resolución Hacemos el dibujo siguiendo las indicaciones del enunciado. N B 135° 2 F 45° 2 M 135° C B 45° O A C O A El ángulo BOC mide: 180° − 45° = 135°, y el ángulo MON que forman las bisectrices 45° 135° 180° + = = 90°. mide: 2 2 2 APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS Comprueba que las bisectrices de dos ángulos adyacentes cualesquiera, α y 180° − α, son perpendiculares. Para comprobar que las bisectrices de los ángulos α y 180° − α son perpendiculares, haz un dibujo análogo al anterior y procede como se ha hecho con los ángulos de 45° y 135°. PROBLEMAS PROPUESTOS 1 Dibuja un ángulo AOB de 120°. 1.º Señala un punto C P en el lado OA y un r punto D en el lado C s 120° OB. Traza la recta r B perpendicular O D al lado OA por el punto C, y la recta s perpendicular al lado OB por el punto D. A 2.º Las rectas r y s se cortan en el punto P. Averigua el valor del ángulo CPD . 118 2 Dibuja un ángulo AOB de 60°. 1.º Traza mediante plegado la bisectriz OD del ángulo AOB. Señala un punto C en la bisectriz y traza por este punto la recta r perpendicular a la bisectriz. La recta r corta al lado OB en un punto S y al lado OA en el punto R. 2.º Traza por el punto R la recta perpendicular al lado OB. Esta recta corta al lado OB en el punto P. Haz el dibujo y averigua el valor del ángulo PRS. MATEMÁTICAS 1.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.