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Resumen: D-012
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDEST E
Comunicaciones Científicas y Tecnológicas 2006
Análisis de los errores de los alumnos de la asignatura
“Algebra I” al elaborar demostraciones.
Caputo, Silvia G. - Macias, Dora A.
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura – UNNE.
Avda. Libertad 5450 – (3400) Corrientes. Argentina. Teléfono: 03783-457950
E-mail: [email protected]; [email protected]
Antecedentes
Este trabajo se ha realizado en el marco del proyecto de investigación El desarrollo de la habilidad lógica
Demostración de Proposiciones, en las carreras Profesorado en Matemática y Licenciatura en Matemática de la
FaCENA- UNNE, desarrollado con alumnos de la asignatura Álgebra I, correspondiente al primer cuatrimestre del
primer año de los planes de estudio de las carreras de Profesorado y Licenciatura en Matemática.
Tratándose de alumnos ingresantes a la Universidad, advertimos como una situación problemática las dificultades que
evidencian los alumnos en la comprensión del papel que juegan las pruebas y demostraciones en la construcción de una
teoría matemática, de lo que significa elaborar una demostración en Matemática y para la apropiación de los
procedimientos inherentes a este quehacer.
Desde una posición constructivista, consideramos que los errores de los alumnos son valiosos indicadores de los
procesos intelectuales que ellos desarrollan. Por lo tanto, es importante analizarlos con detenimiento y buscarles un
sentido, para tratar de determinar las razones por las cuales los alumnos no logran concluir o realizar correctamente una
demostración, detectar los posibles obstáculos con que se enfrentan y planificar en función de ellos las futuras
intervenciones.
Ello no significa, de ninguna manera, presuponer que los alumnos no cometerán más errores. Según Bachelard “se
conoce en contra de un conocimiento anterior, destruyendo conocimientos mal hechos, superando lo que en la mente
hace de obstáculo” y, por lo tanto, los errores son constitutivos del propio acto de conocer.
Se trata de identificar los errores significativos y las representaciones de los alumnos que son recurrentes, a fin de
accionar en aras de su superación mediante distintas estrategias didácticas (que podrían ser, por ejemplo, hacerlas
explicitar, analizarlas críticamente) pero con la certeza de que en el proceso de construcción de los aprendizajes habrá
permanentemente avances y retrocesos.
Metodología
Se analizaron las demostraciones incluidas en los temarios propuestos a los alumnos que se presentaron a rendir en el
año 2004 al menos en una de las siguientes instancias: Primer Parcial, Recuperatorio del Primer Parcial, Segundo
Parcial, Recuperatorio del Segundo Parcial, Recuperatorio Extraordinario (se aclara que este último recuperatorio, que
se toma al final del curso, es un derecho adquirido por los alumnos que han aprobado uno de los dos parciales).
En el estudio de los resultados se utilizó una metodología mixta, analizando los datos en forma cuantitativa y
cualitativa.
Al analizar las respuestas, se establecieron categorías, clasificando los errores encontrados en cinco tipos, como se
presenta en el siguiente cuadro:
Tipo de error
E1
E2
E3
E4
E5
Características
Secuencias incoherentes, o a primera vista incomprensibles, en las que no se justifican, o se
justifican de manera incorrecta, los pasos de la demostración.
Uso incorrecto de la notación o confusión en el uso del lenguaje simbólico; en este sentido, se
destacan los relacionados con los distintos contextos en los que se usan las letras en álgebra, los
significados que las letras tienen en cada uno de esos contextos y los problemas de traducción del
lenguaje usual al simbólico y viceversa.
Errores algebraicos elementales, debido a la insuficiencia de los conocimientos adquiridos en los
niveles anteriores de enseñanza.
Desconocimiento o uso inadecuado de conceptos, definiciones o propiedades incluidas entre los
contenidos de la asignatura.
No lograr concluir la demostración, o concluirla “por decreto” o con pasos “intermedios”
incompletos.
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Discusión de resultados
La tabla siguiente muestra el porcentaje de cada tipo de error en proporción a la cantidad de alumnos que respondió en
cada instancia.
E1
E2
E3
E4
E5
80%
70%
4.3%
78.6%
67.1%
Rec. Primer parcial
71.2%
74.6%
0%
76.3%
61%
Segundo parcial
95.2%
91.9%
66.1%
77.4%
88.7%
Rec. Segundo parcial
96%
70%
74%
78%
88%
Rec. Extraordinario
95%
75%
45%
60%
70%
Primer parcial
A fin de describir con mayor profundidad la situación, se presenta a continuación el análisis realizado a partir de las
soluciones propuestas por los alumnos a los ítems correspondientes a demostraciones incluidos en uno de los temarios
del segundo parcial de la asignatura.
1.- Demuestre utilizando el principio de inducción completa:
n
∑
i =1
1
i (i + 1)
=
n
n+1
.
2.- Demuestre que:
a) Dados a, b ∈ N, si a < b entonces a – b ∈ Nb) La diferencia entre un número entero impar y uno par es impar.
c) La suma de dos números enteros consecutivos es impar.
En la siguiente tabla se presentan los porcentajes de respuestas correctas encontradas para cada uno de los problemas
anteriores:
Problema propuesto
1
2. a)
2. b)
2. c)
Respuestas correctas
19 %
10 %
10 %
4,2 %
En cuanto al primer problema, sólo el 10 % de los alumnos no encara su resolución, lo que muestra que el resto “ha
estudiado” y conoce en forma teórica los pasos a seguir para aplicar el método de demostración propuesto.
Para demostrar la validez de la proposición dada para n=1, el 73,1 % de los alumnos comete un error del tipo E1: lo hace
a partir de presuponer su validez e ir desarrollando cada miembro de la igualdad hasta llegar a la misma expresión en
ambos miembros; el 5 % omite este paso y el 15 % se limita a escribir la igualdad, sin demostrarla (error de tipo E5).
De todos los alumnos que intentan demostrar la validez de la proposición dada para n+1, después de suponerla válida
para n, sólo lo hace correctamente el 19 %.
Los errores detectados son principalmente de los tipos E2, E3 y E4. Así, el 6 % de los alumnos comete errores derivados
del mal uso de la notación de sumatoria y la no comprensión de la expresión simbólica correspondiente. Es muy alto el
porcentaje de errores relacionados con la manipulación incorrecta de expresiones algebraicas: el 47 % no puede sumar
las expresiones algebraicas fraccionarias, el 10,5 % simplifica expresiones que aparecen sumadas en el numerador y
denominador y el 11 % modifica la expresión obtenida a partir de suprimir o agregar algún factor en el numerador o el
denominador; asociamos este tipo de error a los problemas que tienen los alumnos para transferir a nuevas situaciones
aprendizajes anteriores que fueron realizados en contextos de mera repetición de mecanismos, lo que hace que no estén
disponibles cuando los necesitan.
El 5 % comete un error que es de tipo E5: al no saber cómo sumar las expresiones algebraicas fraccionarias, plantean la
suma y la igualan directamente a la expresión a la que “deberían llegar”.
Con respecto a los errores del tipo E4, aparte de los ya señalados en relación con el símbolo de sumatoria, cabe destacar
que sólo el 10 % de los alumnos emplean de manera incorrecta el procedimiento de demostración por inducción
completa.
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En cuanto al segundo problema, ningún alumno logra demostrar los tres items.
Casi el total de los alumnos comete un error del tipo E1. Entre estos errores se diferencian dos clases:
- escritura de un ejemplo a modo de demostración de alguno de los ítems (26 %),
- construcción de cadenas deductivas incorrectas, es decir, incompletas, con errores en algunas de las expresiones que
las integran y/o sin justificación de los pasos realizados (74 %).
Entre estos casos, se destacan el uso de la tesis en alguna etapa de la demostración (21 %) y la construcción de una
cadena deductiva que finaliza con la escritura de la hipótesis (5 %).
Cabe destacar que la mayoría de los alumnos no logra justificar explícitamente cada paso de la cadena deductiva que
construyen; por lo general, justifican algunos de ellos, escribiendo la propiedad usada debajo del signo de igualdad o del
de implicación, pero en un mismo trabajo y aún en una misma demostración, algunos pasos están justificados y otros
no. En algunos casos, la justificación se introduce como parte de la demostración misma (por ejemplo: a continuación
de una expresión está el signo igual, luego la propiedad usada, otra vez el signo igual y a continuación la expresión
modificada por aplicación de tal propiedad, lo que evidentemente se relaciona otra vez con el significado del signo
igual).
El 10,5 % de los estudiantes, al realizar la demostración del segundo ítem, escriben: a – b = - (b – a) y considera
suficiente esta afirmación para concluir que a – b es negativo, poniendo en juego una concepción previa: un signo
menos delante de una expresión indica que ésta representa un número negativo.
Para este problema es más alto el porcentaje de los errores del tipo E3, que aparecen en el 79 % de los trabajos. Los más
comunes son: suma incorrecta de monomios (31,5 %), uso inadecuado de los paréntesis, ya sea al suprimirlos o al
interpretar la asociación que indican (26 %) y extracción de un factor común que no lo es (21 %).
Siguen en frecuencia los errores de tipo E2: el 68,5 % de los alumnos muestra serias falencias en el proceso de
simbolización. No pueden traducir al lenguaje del álgebra las expresiones dadas en el lenguaje corriente, por ejemplo,
cómo expresar simbólicamente el hecho de que un número sea par o impar o que dos números son consecutivos.
Es necesario destacar que en la mayoría de los casos el alumno sabe lo que quiere decir y hacer y, a pesar de que está
mal escrito, logra “demostrar” lo pedido (por ejemplo, alguien escribe n = 2n + 1 para indicar que n es un número
impar y trabaja “correctamente” con esa expresión, aunque obtiene en el camino expresiones sin sentido). Pero en otros
casos, los errores en la escritura se arrastran e impiden llegar al resultado esperado.
Es llamativo el alto porcentaje (53 %) de alumnos que muestra no haber construido adecuadamente todavía el
significado del signo igual. Así, en muchos casos, es usado “para avanzar” en la demostración, aunque las expresiones
que relaciona no sean iguales; además, los símbolos de implicación y de igualdad son usados indistintamente como
separadores de proposiciones o para indicar la igualdad de dos expresiones algebraicas. Con respecto a este punto, es
interesante señalar que en el momento de la devolución de los trabajos de evaluación, los alumnos explicitaron una
concepción al respecto, registrada con frecuencia: restaban importancia a este tipo de errores, considerando que no
incidían en la corrección de la demostración.
El 21 % de los alumnos no concluye alguna de las tres demostraciones (E5).
A partir de entrevistas realizadas a alumnos ingresantes, puede afirmarse que los conocimientos previos acerca de la
realización de demostraciones son casi inexistentes. Sin excepción, todos los entrevistados responden negativamente
cuando se les pregunta si le enseñaron a demostrar en la escuela secundaria y la mayoría de ellos señala que lo común
en la escuela media es el uso de ejemplos para “demostrar” las afirmaciones que se realizan. Uno de los alumnos dice
“ahora sé que lo que hacíamos era verificar .
Conclusiones
Las principales dificultades que muestran los alumnos al intentar realizar demostraciones tienen que ver con dos
cuestiones principales:
a)
La inadecuada construcción de las nociones algebraicas realizadas en las etapas anteriores de su formación.
También nos encontramos con abundantes elementos indicadores de que la ruptura aritmética-álgebra no está
debidamente lograda, a pesar de que los alumnos terminaron la enseñanza media, y que a juzgar por las carreras
elegidas, la matemática no les desagrada.
b) El desconocimiento de lo que significa “demostrar”, ya que sus primeros contactos con esta actividad se realizan en
el primer año de la universidad. En etapas anteriores, no se realizan demostraciones sino verificaciones de
igualdades; es llamativo que esta concepción de prueba aparezca en forma recurrente en los trabajos de los
alumnos, lo que podría estar indicando que esta cuestión se constituye en un obstáculo para el aprendizaje posterior.
Las cuestiones algorítmicas relacionadas con las demostraciones (en el caso particular estudiado, el de inducción
completa) es conocido por la mayoría de los alumnos, lo que estaría mostrando que las nociones de la asignatura se
estudian y se aprenden pero dificultan su utilización la falta de otros conocimientos necesarios.
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Bibliografía
Astolfi, J. (1999). El “error”, un medio para enseñar. Sevilla, Díada Editora.
Bogart, K. (1998). Matemáticas discretas. Limusa. Méjico, España, Venezuela, Colombia.
Godino, J., Recio, A. (1997). Significado de la demostración en educación matemática.
Macías, Dora A., Nápoles Valdés, Juan E., Espinoza, Ricardo F., Caputo, Silvia G., Jorge, María J., Vilotta,
Diego F., Acosta, Julio, Oliva, Alejandro W. (2002). La Enseñanza de la Demostración Matemática: Parte I del
Diagnóstico de la Situación Actual: Análisis de las producciones escritas de los alumnos ...Jornadas de
Comunicaciones Científicas y Tecnológicas de la UNNE
Macías, Dora A., Nápoles Valdés, Juan E., Espinoza, Ricardo F., Caputo, Silvia G., Jorge, María J., Vilotta,
Diego F., Oliva, Alejandro W. (2002). La Enseñanza de la Demostración Matemática. Parte II del Diagnóstico de la
situación actual: Análisis de las entrevistas realizadas a alumnos. Jornadas de Comunicaciones Científicas y
Tecnológicas de la UNNE.