Download 9.Muestras aleatorias y distribuciones muestrales

260 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA
tiene una distribución F con n, - 1 grados de libertad del numerador y n, - 1 grados de libertad del denominador. Esto resulta directamente del hecho de que (n1 - I )Si/Qi - X 11 _1 y (n, - l )S;/6; - X',, _I, así como del
teorema 9-4. La variable aleatoria en la ecuación 9-23 desempeña un papel importante en los capítulos 10 y
11. donde nos abocamos a los problemas de la estimación de intervalos de confianza y a la prueba de hipótesis en torno a las varianzas de dos poblaciones normales independientes.
9-6 RESUMEN
Este capítulo ha presentado el concepto de muestreo aleatorio y las distribuciones muestrales. En el
muestreo repetido a partir de una población, las estadísticas de muestra del tipo analizado en el capítulo 2 varían de una nuestra a otra, y la distribución de probabilidad de tales estadísticas (o funciones de las estadísticas) se llama distribución muestral. Las distribuciones normal, ji cuadrada, t
student y F que han sido presentadas en este capítulo, se emplearán mucho en capítulos posteriores
para describir la varianza de los muestreos.
9-7 EJERCICIOS
9-1 Suponga que una variable aleatoria se distribuye normalmente con media p y varianza a2.
Extraiga una muestra aleatoria de cinco observaciones. ¿Cuál es la función de densidad conjunta de la muestra?
Determine la función de probabilidad conjunta
para Xt y X,. ¿Cuáles son las funciones de probabilidad marginales para Xt y X,? ¿Xt y X,
son variables aleatorias independientes?
9-5
9-2 Los transistores tienen una vida útil que se distribuye exponencialmente con parámetro ?. Se
toma una muestra aleatoria de n transistores.
,-.Cuál es la función de densidad conjunta de la
nuuestra?
Una población de fuentes de energía para una
computadora personal tiene un voltaje de salida que se distribuye nomialmente con media
de 5.00 V y desviación estándar de 0.10 V. Se
selecciona una muestra aleatoria de ocho fuentes de energía. Especifique la distribución
muestra] de X.
9-3 Suponga que X se distribuye uniformemente
en el intervalo de 0 a 1. Considere una mues- 9-6
tra aleatoria de X de tamaño 4. ¿Cuál es la función de densidad conjunta de la muestra?
Considere el problema de las fuentes de energía
descrito en el ejercicio 9-5. ¿Cuál es el error estándar de X?
9-4 Un lote consiste en N transistores, y de éstos 9-7
M(M <_ N) están defectuosos . Se seleccionan al
azar dos transistores sin reemplazo de este lote y se determina si están o no defectuosos. La
variable aleatoria
Considere el problema de las fuentes de energía
descrito en el ejercicio 9-5. Suponga que se desconoce la desviación estándar de la población.
¿Cómo obtendría usted el error estándar estimado?
Xt
1, si el transistor i-ésimo no está defectuoso
-
(0,
si cl transistor i-ésimo está defectuoso. ¡
9-8 Un especialista en adquisiciones ha comprado
1, 25 resistores al vendedor 1 y 30 resistores al
MUESTRAS ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES MUESTRALES 261
observados del vendedor 1 que se supone se
distribuyen normal e independientemente con
media de 100 12 y desviación estándar de 1.5
12. De modo similar, considere que X,), X,,, ...,
X, ;1, representan los resistores observados del
vendedor 2. cuya distribución se supone normal
e independiente con media de 105 52 y desviación estándar de 2.0 Q. ¿ Cuál es la distribución
muestral de X) - X_ :'
9-9 Considere el problema de los resistores del
ejercicio 9-8. Encuentre el error estándar de
x, -X-›.
9-10 Considere el problema de los resistores del ejercicio 9- 8. Si no pudiéramos suponer que la resistencia se distribuye normalmente . ¿ qué podría
decirse acerca de la distribución muestral de
x 1 - X,?
9-11 Suponga que se toman dos muestras aleatorias
independientes, de tamaños n¡ y n,. (le dos poblaciones normales con medias u) y u, y varianzas o ¡ y a2, respectivamente. Si y
son las medias de las muestras. encuentre la
^1i,trihu:i^;n muestral de la ^•ta^li^ti^a
9-15 Obtenga la media y la varianza de la variable
aleatoria ji cuadrada con u grados de libertad.
9-16 Obtenga la media y la varianza de la distribución t.
9-17 Obtenga la media y la varianza de la distribución F.
9-18 Estadísticas de orden . Sea XI, X,, ..., X,, tina
muestra aleatoria de tamaño n tomada de X.
una variable aleatoria que tiene la función de
distribución F(x). Clasifique los elementos en
orden de magnitud numérica creciente, resultando en X(I). X,,,, .... X,, donde X,)) es el elemento más pequeño de la muestra (X))) = tilín
{X). X,..... X„}). X,,,, es el elemento más grande de la muestra (X(„) = máx {X1, X,.... , X„}).
X(i) se denomina la estadística de orden i-ésimo. A menudo, la distribución de algunas de
las estadísticas de orden es de interés, en particular los valores de muestra mínimo y máximo, x(1) y X)). respectivamente. Pruebe que las
funciones de distribución de X(I) y X("), denotadas respectivamente por F,.1 (t) y F,(ni(t), son:
Fx(, (t) = 1 - [ 1 Xt-X,-(ut-P,)
Fx¡ni(t)
F(t)J ",
= [F(t)1".
(6^lnt)+16 ;)171,)
9-12 Un fabricante de dispositivos semiconductores
toma una muestra aleatoria de 100 microprocesadores, y los prueba y clasifica como defectuosos o no defectuosos . Considere X) = 0(1)
si el i-ésimo microprocesador no es defectuoso. La fracción defectuosa de la muestra es
X)+X,+...+X)()()
p 100
¿Cuál es la distribución muestral de P?
Demuestre que si X es continua con distribución de probabilidad f(x), las distribuciones de
probabilidad de Xf1) y X,,,, son:
fx0,(t) = n[1 - F(t)]"-)f(t).
fx,n,(t) = n[F(t)]"-tf(t).
9-19 Continuación del ejercicio 9-18. Sea Xt, X,,
..., X„ una muestra aleatoria de una variable
aleatoria de Bernoulli con parámetro p. Muestre que
P(X,,,)=1) =1-(1-p)
9-13 En el problema de semiconductores del ejercicio 9-12. encuentre el error estándar de P. Obtenga además el error estándar estimado de P.
9-14 Desarrolle la función generatriz de momentos
de la distribución ji cuadrada.
P(X())=0) =1-p".
Use los resultados del ejercicio 9-18.
262 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA
9-20 Continuación del ejercicio 9-18. Sea X), X.
..., X„ una muestra aleatoria de una variable
aleatoria normal con inedia p y varianza a'-.
Utilizando los resultados del ejercicio 9-18,
obtenga las funciones de densidad de X(1) y
X(n)•
9-24
9-21 Continuación del ejercicio 9-18. Sea X), X,,
... , X;,,, una nuestra aleatoria de una variable
aleatoria exponencial con parámetro l,. Obtenga las funciones de distribución y las distribuciones de probabilidad para X(I) y X(„)* Emplee
los resultados del ejercicio 9-18.
9-22 Sea X1. X,...., X„ una muestra aleatoria de una
variable aleatoria continua. Encuentre
9-25
a)
n.95,8 -
b)
X530, 1 2-
c)
x0.025,20•
d)
X to tal que P(x¡o < X2a 10) = 0.975.
Encuentre los siguientes valores empleando la
tabla IV del apéndice.
a)
to.25. )0-
b)
t0.25,20-
c)
t,,,10,tal que P{t10<ta,lo}=0.95.
Obtenga los siguientes valores empleando la
tabla V del apéndice.
a)
F0.25,4,9•
b)
F0.05,1 5,) 0-
(•)
FO.95,6,8•
d)
F0.90,24,24•
E[F(X(n))]
y
k[F(X))))].
9-23 Encuentre los siguientes valores utilizando la
tabla 111 del apéndice.
9-26 Sea F ^ - a u ,, el punto de cola mínimo (a <_
0.50) de la distribución F,,Demuestre que
Ft - a,u,v = 1 / Fa,,',