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Problema encadenado 4
Dibujar el pentágono regular de diagonal 120 mm.
Dibujar las circunferencias tangentes entre si, de igual radio, y tangentes, interiores, a los lados de los
ángulos de los vértices del pentágono anterior.
Dibujar el pentágono equivalente a la suma de las áreas de los círculos dibujados en el apartado anterior.
D
C
E
O
G
A
AF/2
1.
2.
B
F
Parte primera: Dibujo del pentágono.
Teniendo en cuenta que el lado de un pentágono regular es la sección aurea de su
diagonal, se tiene la siguiente construcción:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Se dibuja la diagonal AF horizontal.
Por el punto F se dibuja una línea perpendicular al segmento AF, de longitud la mitad de este
segmento, es decir, OF = AF/2.
Con centro en O se dibuja un arco de radio OF, que corta a la línea AO en el punto G.
Con centro en A se dibuja un arco de radio AG, que corta al segmento AF en el punto B. Ya
tenemos el lado AB de nuestro pentágono.
Con centro en A y B se dibujan dos arcos de radio la diagonal, es decir el segmento AF, que se
cortan en el vértice D del pentágono.
Con centro en A y B se dibujan dos arcos de radio el lado AB, que cortan a los anteriores arcos
en los vértices E y C respectivamente, completando así el pentágono ABCDE.
Problema encadenado 4
Arturo Replinger González
Hoja 1/4
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Problema encadenado 4
Dibujar el pentágono regular de diagonal 120 mm.
Dibujar las circunferencias tangentes entre si, de igual radio, y tangentes, interiores, a los lados de los
ángulos de los vértices del pentágono anterior.
Dibujar el pentágono equivalente a la suma de las áreas de los círculos dibujados en el apartado anterior.
D
T3
T4
Md
O''
T1
E
Mc
r
C
T2
O'
A
B
Parte segunda: dibujo de las circunferencias tangentes.
Como las circunferencias son de igual radio y tangentes dos a dos entre si y además a los
lados del pentágono; el problema se reduce a dibujar la circunferencia que es tangente al
cuadrilátero M dDMcO', quinta parte del pentágono, siendo M d y Mc los puntos medios de los
lados ED y CD y O' el centro del pentágono, luego el proceso el siguiente:
1. Se determinan los puntos medios M d y Mc.
2. Como el centro, por la simetría está en la línea DO', que resulta que es la bisectriz del
ángulo D, también tiene que estar en la bisectriz del ángulo M d, por lo tanto …
3. Se dibuja la bisectriz del ángulo DM dO', que corta a la línea DO' en el centro buscado O''.
4. Desde este centro se dibujan líneas perpendiculares a los lados del cuadrilátero,
obteniendo los puntos de tangencia T 1, …, T4.
5. Se dibujan todas las alturas del pentágono.
6. Se dibujan las dos circunferencias, la de los centros de radio O'O'' y centro O' y la de los
puntos de tangencia de centro, también O' y radio el segmento O'T 1, por ejemplo.
Procediendo ahora al dibujo del resto de las circunferencias tangentes.
Problema encadenado 4
Arturo Replinger González
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Problema encadenado 4
Dibujar el pentágono regular de diagonal 120 mm.
Dibujar las circunferencias tangentes entre si, de igual radio, y tangentes, interiores, a los lados de los
ángulos de los vértices del pentágono anterior.
Dibujar el pentágono equivalente a la suma de las áreas de los círculos dibujados en el apartado anterior.
r
K
C
L1
L'
L
W
H
G
Ñ
πxr
r
R
P
T
L3
L3
N
L1
L4
Q
L2
L1
K
L1
L
S
Apartado tercero: obtención del pentágono equivalente a las cinco circunferencias.
Este apartado lo vamos a dividir en dos: cuadratura de las cinco circunferencias y obtención del
pentágono pedido.
1.
2.
3.
4.
Cuadratura de las cinco circunferencias.
Se realiza, de manera parecida a como se ha hecho en ejercicios anteriores, la cuadratura de una
de las circunferencias, obteniendo el lado L 1.
Ahora por duplicaciones sucesivas, obtenemos: el lado L 2, diagonal del cuadrado de lado L 1, cuya
área es el doble que la del lado L 1.
El lado L3, diagonal del cuadrado de lado L 2, cuya área es el doble que la del lado L 2.
A este último lado, L 3, se le aplica el teorema de Pitágoras, con el lado L 1, obteniendo el lado L 4 del
cuadrado equivalente a las cinco circunferencias.
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Arturo Replinger González
Hoja 3/4
Problema encadenado 4
Dibujar el pentágono regular de diagonal 120 mm.
Dibujar las circunferencias tangentes entre si, de igual radio, y tangentes, interiores, a los lados de los
ángulos de los vértices del pentágono anterior.
Dibujar el pentágono equivalente a la suma de las áreas de los círculos dibujados en el apartado anterior.
1.
2.
3.
Obtención del pentágono.
D'
I'
M''
C'
E'
O'''
L5
M'
ap
F'
A'
B'
L''
P/2 = semiperímetro
1.
2.
3.
4.
5.
Para poder aplicar la
semejanza hay que determinar el
cuadrado equivalente a un
pentágono cualquiera de lado L'',
procediendo así:
H'
G'
En este caso hay que utilizar
el procedimiento de semejanza,
aunque de momento solo
conocemos el lado L4 del
cuadrado equivalente a las cinco
circunferencias.
ap=apotema
Se dibuja un pentágono A'B'C'D'E' de lado L''.
Se prolonga el lado A'B', llevando sobre él el lado y la mitad de este, obteniendo así
el segmento F'G'.
A este segmento se le suma la apotema, ap, obteniendo el segmento F'H'.
Se dibuja la semicircunferencia de diámetro F'H'.
Por el punto G' se dibuja la línea perpendicular al segmento F'H', cortando a la
semicircunferencia en el punto I'; el segmento G'I' es el lado L 5 buscado.
D''
Esto último ha sido la
aplicación grafica, de la media
proporcional entre el área del
pentágono regular, P x ap / 2
(perímetro x apotema/2), y el lado,
L5 obtenido.
N''
E''
C''
1.
2.
L4
M
3.
L5
K
A''
L''
B''
Ahora se aplica la semejanza,
dibujando un triángulo
rectángulo A''KM de catetos
L'' y L5.
Se lleva sobre el cateto A''M,
a partir del punto A'' el lado
L4, del cuadrado equivalente
de las cinco circunferencias,
obteniendo el segmento A''N.
Por el punto N se dibuja una
línea paralela a la hipotenusa
KM, que corta a la
prolongación del cateto A''K
en el punto B'', siendo el
segmento A''B'' el lado L''' del
pentágono buscado.
L'''
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Dibujar el pentágono regular de diagonal 120 mm.
Dibujar las circunferencias tangentes entre si, de igual radio, y tangentes, interiores, a los lados de los
ángulos de los vértices del pentágono anterior.
Dibujar el pentágono equivalente a la suma de las áreas de los círculos dibujados en el apartado anterior.
D
C
E
O
G
A
AF/2
1.
2.
B
F
Parte primera: Dibujo del pentágono.
Teniendo en cuenta que el lado de un pentágono regular es la sección aurea de su
diagonal, se tiene la siguiente construcción:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Se dibuja la diagonal AF horizontal.
Por el punto F se dibuja una línea perpendicular al segmento AF, de longitud la mitad de este
segmento, es decir, OF = AF/2.
Con centro en O se dibuja un arco de radio OF, que corta a la línea AO en el punto G.
Con centro en A se dibuja un arco de radio AG, que corta al segmento AF en el punto B. Ya
tenemos el lado AB de nuestro pentágono.
Con centro en A y B se dibujan dos arcos de radio la diagonal, es decir el segmento AF, que se
cortan en el vértice D del pentágono.
Con centro en A y B se dibujan dos arcos de radio el lado AB, que cortan a los anteriores arcos
en los vértices E y C respectivamente, completando así el pentágono ABCDE.
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Dibujar el pentágono regular de diagonal 120 mm.
Dibujar las circunferencias tangentes entre si, de igual radio, y tangentes, interiores, a los lados de los
ángulos de los vértices del pentágono anterior.
Dibujar el pentágono equivalente a la suma de las áreas de los círculos dibujados en el apartado anterior.
D
T3
T4
Md
O''
T1
E
Mc
r
C
T2
O'
A
B
Parte segunda: dibujo de las circunferencias tangentes.
Como las circunferencias son de igual radio y tangentes dos a dos entre si y además a los
lados del pentágono; el problema se reduce a dibujar la circunferencia que es tangente al
cuadrilátero M dDMcO', quinta parte del pentágono, siendo M d y Mc los puntos medios de los
lados ED y CD y O' el centro del pentágono, luego el proceso el siguiente:
1. Se determinan los puntos medios M d y Mc.
2. Como el centro, por la simetría está en la línea DO', que resulta que es la bisectriz del
ángulo D, también tiene que estar en la bisectriz del ángulo M d, por lo tanto …
3. Se dibuja la bisectriz del ángulo DM dO', que corta a la línea DO' en el centro buscado O''.
4. Desde este centro se dibujan líneas perpendiculares a los lados del cuadrilátero,
obteniendo los puntos de tangencia T 1, …, T4.
5. Se dibujan todas las alturas del pentágono.
6. Se dibujan las dos circunferencias, la de los centros de radio O'O'' y centro O' y la de los
puntos de tangencia de centro, también O' y radio el segmento O'T 1, por ejemplo.
Procediendo ahora al dibujo del resto de las circunferencias tangentes.
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Dibujar el pentágono regular de diagonal 120 mm.
Dibujar las circunferencias tangentes entre si, de igual radio, y tangentes, interiores, a los lados de los
ángulos de los vértices del pentágono anterior.
Dibujar el pentágono equivalente a la suma de las áreas de los círculos dibujados en el apartado anterior.
r
K
C
L1
L'
L
W
H
G
Ñ
πxr
r
R
P
T
L3
L3
N
L1
L4
Q
L2
L1
K
L1
L
S
Apartado tercero: obtención del pentágono equivalente a las cinco circunferencias.
Este apartado lo vamos a dividir en dos: cuadratura de las cinco circunferencias y obtención del
pentágono pedido.
1.
2.
3.
4.
Cuadratura de las cinco circunferencias.
Se realiza, de manera parecida a como se ha hecho en ejercicios anteriores, la cuadratura de una
de las circunferencias, obteniendo el lado L 1.
Ahora por duplicaciones sucesivas, obtenemos: el lado L 2, diagonal del cuadrado de lado L 1, cuya
área es el doble que la del lado L 1.
El lado L3, diagonal del cuadrado de lado L 2, cuya área es el doble que la del lado L 2.
A este último lado, L 3, se le aplica el teorema de Pitágoras, con el lado L 1, obteniendo el lado L 4 del
cuadrado equivalente a las cinco circunferencias.
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Dibujar el pentágono regular de diagonal 120 mm.
Dibujar las circunferencias tangentes entre si, de igual radio, y tangentes, interiores, a los lados de los
ángulos de los vértices del pentágono anterior.
Dibujar el pentágono equivalente a la suma de las áreas de los círculos dibujados en el apartado anterior.
1.
2.
3.
Obtención del pentágono.
D'
I'
M''
C'
E'
O'''
L5
M'
ap
F'
A'
B'
L''
P/2 = semiperímetro
1.
2.
3.
4.
5.
Para poder aplicar la
semejanza hay que determinar el
cuadrado equivalente a un
pentágono cualquiera de lado L'',
procediendo así:
H'
G'
En este caso hay que utilizar
el procedimiento de semejanza,
aunque de momento solo
conocemos el lado L4 del
cuadrado equivalente a las cinco
circunferencias.
ap=apotema
Se dibuja un pentágono A'B'C'D'E' de lado L''.
Se prolonga el lado A'B', llevando sobre él el lado y la mitad de este, obteniendo así
el segmento F'G'.
A este segmento se le suma la apotema, ap, obteniendo el segmento F'H'.
Se dibuja la semicircunferencia de diámetro F'H'.
Por el punto G' se dibuja la línea perpendicular al segmento F'H', cortando a la
semicircunferencia en el punto I'; el segmento G'I' es el lado L 5 buscado.
D''
Esto último ha sido la
aplicación grafica, de la media
proporcional entre el área del
pentágono regular, P x ap / 2
(perímetro x apotema/2), y el lado,
L5 obtenido.
N''
E''
C''
1.
2.
L4
M
3.
L5
K
A''
L''
B''
Ahora se aplica la semejanza,
dibujando un triángulo
rectángulo A''KM de catetos
L'' y L5.
Se lleva sobre el cateto A''M,
a partir del punto A'' el lado
L4, del cuadrado equivalente
de las cinco circunferencias,
obteniendo el segmento A''N.
Por el punto N se dibuja una
línea paralela a la hipotenusa
KM, que corta a la
prolongación del cateto A''K
en el punto B'', siendo el
segmento A''B'' el lado L''' del
pentágono buscado.
L'''
Problema encadenado 4
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