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UNIDAD
Ampliación
de polígonos
y escalas
CONOCIMIENTOS TEÓRICOS
1 Triángulos
1.1 Elementos; triángulos relacionados
1.2 Relaciones entre los elementos de un triángulo
1.3 Segmento de Euler
1.4 Circunferencia de los nueve puntos
2 Polígonos regulares
2.1 Pentágono regular y número fi
2.2 Decágono regular y número fi
3 Proporcionalidad y semejanza
3.1 Tipos de escalas. Escalas normalizadas
APLICACIONES PRÁCTICAS
1 Trazado de triángulos
2 Trazado de polígonos regulares
3 Construcción de escalas
CUESTIONES Y EJERCICIOS
UNIDAD
2 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS
Ampliación de polígonos y escalas
En esta unidad volvemos sobre algunos de los temas ya estudiados en
Dibujo técnico 1, entre otros a los polígonos regulares, al triángulo, pentágono…, y a la proporcionalidad, con su aplicación en el trazado de
escalas. A partir de lo ya conocido, profundizaremos y estableceremos
nuevas relaciones.
1 TRIÁNGULOS
Un triángulo es la superficie plana limitada por tres rectas que se cortan dos
a dos; los puntos de intersección son los vértices del triángulo y cada segmento, comprendido entre dos vértices, es uno de los lados. En cualquier
triángulo se verifican las siguientes propiedades:
• Cada uno de los lados es menor que la suma de los otros dos y
mayor que su diferencia.
• Los tres ángulos interiores suman 180º. A mayor lado se opone
siempre mayor ángulo y viceversa.
• Las rectas paralelas a uno cualquiera de los lados de un triángulo
dividen a los otros dos en partes proporcionales.
1.1 Elementos y triángulos relacionados
Recordemos las rectas notables que podemos trazar en cualquier triángulo y sus puntos de intersección:
Casa tradicional en Shirakawago, Japón.
• Altura. La perpendicular trazada desde cada uno de los vértices al
lado opuesto. Las tres alturas se cortan en el ortocentro, Oc.
• Mediatriz. Cada una de las perpendiculares trazadas a los lados del
triángulo en el punto medio de éstos; su intersección es el circuncentro, Cc, del triángulo.
• Mediana. Es el segmento trazado entre cada vértice y el punto
medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en su baricentro, Bc.
• Bisectriz. Es la recta que divide a cada uno de los ángulos interiores del triángulo en dos partes iguales; se cortan en el incentro, Ic.
Theo van Doesburg. Contra-composición XIII. 1925. Óleo sobre lienzo.
30
En relación a un triángulo cualquiera de vértices ABC, podemos establecer
los siguientes triángulos, con las características y relaciones que comentamos a continuación.
Ampliación de polígonos y escalas
TEÓRICOS UNIDAD
CONOCIMIENTOS
UNIDAD
CONOCIMIENTOS
TEÓRICOS
• Triángulo órtico
Es el que tiene los vértices en los pies de las alturas del triángulo ABC (Fig. 1);
su perímetro es mínimo en relación al resto de triángulos inscritos en el triángulo ABC.
El ortocentro Oc del triángulo ABC es, al mismo tiempo, incentro del triángulo órtico HaHbHc, por lo que las alturas del primer triángulo son también bisectrices de su triángulo órtico.
• Triángulo complementario
Fig. 1
Triángulo complementario de un triángulo ABC (Fig.2), es el que tiene los
vértices en los puntos medios de sus lados. Los lados de un triángulo complementario son paralelos y su longitud es la mitad que la de los correspondientes del triángulo que lo contiene.
El circuncentro Cc del triángulo ABC es ortocentro de su complementario
MaMbMc, por lo que las mediatrices del primero son alturas del segundo.
Fig. 2
• Triángulo podar
Triángulo podar de un triángulo dado ABC (Fig. 3) es el triángulo PaPbPc,
cuyos vértices son los pies de las perpendiculares a los lados trazadas
desde un punto P dado.
Fig. 3
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UNIDAD
2 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS
Ampliación de polígonos y escalas
1.2 Relaciones entre los elementos de un triángulo
En el triángulo ABC de la figura 4, hemos trazado la circunferencia inscrita
en el mismo, con centro en el punto Ic de intersección entre las bisectrices
de sus ángulos interiores, y las exinscritas, de centros en las intersecciones
Ia, Ib e Ic entre las bisectrices de los ángulos exteriores. Señalando los pun-
Fig. 4
tos de tangencia entre las cuatro circunferencias y los lados del triángulo o
sus prolongaciones, según corresponda, podemos establecer las siguientes
relaciones:
• Siendo a, b y c los lados del triángulo ABC, y Q, R, S, X, Y y Z los
puntos de tangencia de las circunferencia exinscritas con las prolongaciones de los lados, podemos establecer que:
YZ = a + b
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QR = a + c
y
SX = b + c
Ampliación de polígonos y escalas
CONOCIMIENTOS TEÓRICOS
UNIDAD
• Los segmentos tangentes a un circunferencia trazados desde un
punto son iguales, por lo que siendo Ta, Tb y Tc los puntos de tangencia con las circunferencias exinscritas y M, N y P con la circunferencia inscrita, podemos establecer que:
ZTc = STa = YM = XN = b
YTc = QTb = ZM = RP = a
RTb = XTa = QP = SN = c
De las relaciones anteriores se desprende que, siendo p el semiperímetro del triángulo ABC, también se cumple:
QC = RA = YB = ZA = SC = XB = p (perímetro /2)
y TbP = c – a; TcM = b – a; TaN = c – b, de donde resultará que:
BM = BN = ATc = AQ = CR = CTa = p – b
AM = AP = BS = CTb = CX = BTc = p – a
CP = CN = ATb = BZ = AY = BTa = p – c
• Los centros Ia, Ib e Ic de las circunferencias exinscritas se hallan sobre
las prolongaciones de las bisectrices de los ángulos interiores del
triángulo ABC. Estas bisectrices son también perpendiculares a los
lados del triángulo cuyos vértices son los puntos Ia, Ib e Ic, por lo
que son también alturas del mismo; de este modo el triángulo ABC
es órtico del que tienes sus vértices en los puntos Ia, Ib e Ic.
1.3 Segmento de Euler
Si en un triángulo cualquiera, el ABC de la figura 5, por ejemplo, determinamos la posición del ortocentro Oc, del circuncentro Cc y del baricentro
Bc, los tres puntos están alineados. Al segmento que tiene por extremos
Oc y Cc se le denomina segmento de Euler. El baricentro divide a este segmento en dos partes de longitudes 1/3 y 2/3 del mismo.
Fig. 5
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Ampliación de polígonos y escalas
1.4 Circunferencia de los nueve puntos
La circunferencia de los nueve puntos, o circunferencia de Feuerbach,
tiene su centro en el punto medio del segmento de Euler, siendo su radio
la mitad del de la circunferencia circunscrita al mismo triángulo; pasa por
los nueve puntos siguientes:
• Puntos medios de los lados Ma, Mb y Mc del triángulo ABC de la
figura 5; es decir, por los vértices del triángulo complementario.
• Pies de las alturas Ha, Hb y Hc o vértices del triángulo órtico.
• Puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con los
vértices: puntos Na, Nb y Nc.
La circunferencia de Feuerbach también es tangente a las circunferencias
tangentes a los lados del triángulo: la inscrita y las exinscritas (Fig. 6).
Fig. 6
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Ampliación de polígonos y escalas
CONOCIMIENTOS TEÓRICOS
UNIDAD
2 POLÍGONOS REGULARES
Un polígono es regular cuando todos sus lados y ángulos son iguales, siendo por tanto equilátero y equiángulo al mismo tiempo. Para cada número
determinado de lados existe un único polígono regular. Todos los polígonos regulares son convexos.
En la unidad 4 de Dibujo técnico 1, realizamos la construcción de los
diferentes polígonos regulares a partir del lado de cada uno de ellos; en
todos los casos efectuamos, además de la construcción particular correspondiente al preceptivo número de lados, dos construcciones generales
aplicables a cualquier polígono regular, independientemente de su número de lados.
Conocidas estas construcciones de los polígonos regulares, al igual que las
efectuadas a partir del radio de la circunferencia circunscrita, profundizaremos aquí en las relaciones áureas observadas en el caso del pentágono
y decágono regular.
2.1 Pentágono regular y número fi
El número fi, ϕ, es la relación existente entre las dos partes de
un segmento, siendo la mayor de ellas media proporcional entre
la totalidad del segmento y la parte menor. En la construcción ya
conocida de la figura 7, el segmento AC es la partición áurea del
segmento AB, cumpliéndose la proporción:
AB / AC = AC / CB = ϕ = 1,618033…
Esta misma relación es la que existe entre la diagonal y el lado de
un pentágono regular, posibilitando la construcción del polígono
a partir de su lado (Fig. 8).
Fig. 7
Construimos el cuadrado de lado l coincidente con el del pentágono y, en relación a él, determinamos el segmento AP del cual
AB es la parte áurea. Haciendo centro en M, punto medio del
segmento AB, y con un radio igual a la distancia MT, trazamos
el arco que corta a la prolongación de AB en el punto P. El segmento AP es la diagonal del pentágono regular de lado AB. Así:
AP = AM + MP = AM + MT =
( )
l + l + l2 = l + l
√5
2
2 √ 2
2 2
Fig. 8
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UNIDAD
2 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS
Ampliación de polígonos y escalas
Y, por tanto, AP = (1 +√5) · l/2; valor que, dividido por la longitud l del
segmento AB, nos da como relación entre ambos el número ϕ.
AP
= (1 +√5 )/2 = 1,6180339…
AB
A partir de los extremos A y B del segmento inicial, con la longitud de éste
y la de la diagonal AP del pentágono, encontramos fácilmente la posición
de los restantes vértices del polígono, que nos permiten completar el pentágono regular de la figura 8.
2.2 Decágono regular y número fi
Fig. 9
El triángulo isósceles ABD de la figura 9 tiene ángulos de 36º, 72º y 72º.
Dos de las longitudes de sus lados coinciden con la diagonal del pentágono y el tercero, con el lado del mismo. En un decágono regular, uniendo
su centro con los extremos de uno cualquiera de los lados (Fig.10), obtendríamos diez triángulos semejantes al triángulo anterior ABD, cuyos lados
serían el radio de la circunferencia y el lado del decágono.
Entre ambos triángulos podemos establecer una relación de proporcionalidad entre los lados opuestos a ángulos iguales:
d
r
=
= ϕ = 1,61803…
l5
l10
Fig. 10
Es decir, que el lado del decágono regular es la partición áurea del radio
de la circunferencia en la que inscribimos dicho decágono. En la figura 11,
a partir del radio OA de la circunferencia, hemos determinado su partición
áurea, segmento AR, que coincide con el lado AB del decágono regular.
Llevando diez veces sobre la circunferencia la longitud del segmento AB,
obtendremos los restantes vértices del decágono inscrito en dicha circunferencia.
En un decágono, además de la relación áurea anterior, también existe esta
relación entre las longitudes de sus diagonales de órdenes dos y cuatro
(Fig. 12).
r = d4 = ϕ
l10
d2
Fig. 11
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Fig. 12
Ampliación de polígonos y escalas
CONOCIMIENTOS TEÓRICOS
UNIDAD
3 PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
Cuando hemos de realizar la representación de un objeto o de una pieza
industrial, de un elemento arquitectónico o de cualquier otro tipo sobre un
plano, en pocas ocasiones efectuaremos el dibujo con las dimensiones reales del mismo; normalmente las reducimos o ampliamos de forma proporcional, efectuando lo que denominamos un dibujo a escala.
La escala se define como el factor de proporcionalidad k que nos da la
relación existente entre la medida representada en el dibujo y la real.
Según este factor de proporcionalidad, la escala puede ser:
• Natural. Cuando los valores representados coinciden con los reales.
• Ampliación. Cuando la figura real es más pequeña que la dibujada.
• Reducción. Cuando las dimensiones reales son más grandes que
las representadas en el dibujo.
Para elegir el tipo de proporción que vamos a utilizar, deberemos considerar y comparar las dimensiones del papel sobre el que efectuaremos el
dibujo con las del objeto a representar, teniendo en cuenta la claridad exigible al dibujo en función del número de detalles que debamos consignar.
Matrioskas. Típicas muñecas rusas.
3.1 Tipos de escalas. Escalas normalizadas
Las escalas pueden ser de dos tipos:
• Numéricas. Se expresan en forma de una fracción en la que uno de
sus términos es la unidad. Todas las escalas del tipo N:1 son escalas
de ampliación, mientras que las del tipo 1:N son escalas de reducción; la escala 1:1 es la escala natural.
Cada especialidad de dibujo técnico tiene sus escalas adecuadas,
siendo aconsejable ajustar las representaciones a las mismas. En el
dibujo de arquitectura, en función del tipo de plano, utilizaremos
las siguientes escalas normalizadas:
Tipo de planos
Detalles
Generales
Situación
Escalas
1:1
1:5
1:10
1:20
1:25
1:50
1:100
1:200
1:500
1:1000
Un cm del dibujo representa
0’01 metros de la realidad
0’05
0’10
0’20
0’25
0’50 metros de la realidad
1’00
2’00
5’00 metros de la realidad
10’00
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UNIDAD
2 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS
Ampliación de polígonos y escalas
En ingeniería, están normalizadas por la norma UNE-En ISO 5455 y
son de uso común las siguientes:
Escalas
2:1, 5:1, 10:1
De ampliación
20:1, 50:1
1:2, 1:5, 1:10
Grandes
1:20, 1:50
1:100, 1:200
1:500, 1:1000
1:2000
De reducción
Medianas
1:5000
1:10000
Ejemplo de mapa cartográfico.
1:2000
Pequeñas
1:5000
1:10000
• Gráficas. Consiste en representar sobre el mismo plano del dibujo
un segmento, dividido en unidades, de acuerdo con la escala elegida; puede considerarse como la representación gráfica de la escala
numérica. Al efectuar el copiado a diversos tamaños de un plano
que lleva incorporada una escala gráfica, ésta se amplía o reduce en
la misma proporción que el dibujo, por lo que nos seguirá siendo de
utilidad en la interpretación del mismo.
Para construir una escala gráfica, por ejemplo, 1:50 en la de la figura 13, representamos un segmento de 10 cm que dividiremos en
cinco partes iguales, ya que en esta escala una longitud de cinco
metros se representará por 0’1, es decir, por 10 centímetros. Una de
las divisiones la trasladamos a la izquierda del cero y la dividimos en
10 partes iguales, cada una de las cuales representa un decímetro
real; a esta parte de la escala gráfica se la denomina contraescala.
En la misma figura indicamos una lectura real de 3’5 metros, conseguida, directamente, al llevar la escala gráfica sobre un plano realizado a escala 1:50.
Fig. 13
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Ampliación de polígonos y escalas
APLICACIONES PRÁCTICAS
UNIDAD
1 TRAZADO DE TRIÁNGULOS
En general son tres los datos necesarios para construir un triángulo cualquiera, pudiendo reducirse si añadimos información del tipo de triángulo
de que se trata: isósceles, equilátero, etc. A la casuística presentada en
Dibujo técnico 1, añadimos ahora otras construcciones en las que aplicamos el concepto de arco capaz estudiado en la unidad anterior.
• Construir un triángulo conocidos un
lado, su ángulo opuesto y la altura
correspondiente al lado dado
En relación al segmento BC, lado a, construimos el arco capaz correspondiente al ángulo
A (Fig. 14). Cualquiera de los puntos del arco
capaz puede corresponder a la posición del
vértice A del triángulo; para concretar esta
posición disponemos del tercer dato del enunciado, la altura ha. Trazamos una paralela al
segmento BC a una distancia igual a la magnitud de la altura ha; la intersección de esta
paralela con el arco capaz nos define las posiciones del vértice A; cualquiera de ellas, unidas con B y C, nos completa el triángulo solicitado.
Fig. 14
• Construir un triángulo conocidos un
lado, su ángulo opuesto y la mediana correspondiente al lado dado
Como en el caso anterior, representamos el
arco capaz del ángulo A correspondiente al
segmento BC. Ahora (Fig.15), concretamos la
posición del vértice A mediante un arco con
centro en el punto medio de BC y cuyo radio
es la longitud de la mediana ma; la intersección de este arco con el arco capaz, trazado
inicialmente, nos define las únicas posiciones
posibles del vértice A de acuerdo a los datos
del enunciado.
Fig. 15
39
2
UNIDAD
2
APLICACIONES PRÁCTICAS
Ampliación de polígonos y escalas
• Construir un triángulo conocidos dos lados
y el ángulo opuesto a uno de ellos
Iniciamos la construcción (Fig. 16), como en los
casos anteriores, situando el segmento BC y, en
relación a él, el arco capaz del ángulo A. La posición de este vértice nos queda determinada en la
intersección del arco capaz con otro arco, de
radio igual a la longitud del lado b, de centro en
el extremo C del segmento BC.
Una resolución similar tendría el triángulo en el
que, además de uno de los lados y su ángulo
opuesto, conociéramos alguno de los otros ángulos; el valor de este último nos serviría para concretar, sobre el arco capaz, la posición del vértice
opuesto al lado dado.
Fig. 16
• Construir un triángulo conocidas las longitudes de dos de
sus medianas, ma y mb, y el ángulo A
Representamos el segmento MbB correspondiente a la mediana mb
(Fig. 17); a un tercio de su longitud, a partir del extremo Mb, situamos el baricentro Bc del triángulo. Sobre el arco capaz del ángulo
A respecto a la mediana mb, mediante un arco de centro en el baricentro Bc y radio 2/3de ma, situamos el vértice A del triángulo.
Unimos A con Mb y prolongamos el segmento para determinar la
posición del vértice C, de forma que Mb sea el punto medio del segmento AC. El triángulo ABC responde a las condiciones planteadas
en el enunciado.
• Construir un triángulo conocido el ángulo A y las longitudes, ma y mb, de las medianas correspondientes a los otros
dos ángulos
En relación a la mediana mb, de extremos Mb y B, construimos el arco
capaz del ángulo A dado (Fig. 18). Siendo M el punto medio de MbB,
en relación al segmento MB trazamos también el arco capaz del
mismo ángulo. A un tercio de la longitud de mb contado a partir del
extremo Mb, situamos el baricentro Bc del triángulo; haremos centro
en él para, con un arco de radio igual a 1/3 de la longitud de mc,
determinar el punto P sobre el segundo de los arcos capaces trazados. Unimos B con P y prolongamos hasta interceptar la posición del
vértice A sobre el primero de los arcos capaces.
Fig. 17
40
Los triángulos MPB y MbAB son semejantes al tener iguales dos de
sus ángulos (el de vértice B, por ser común a ambos triángulos y los
Ampliación de polígonos y escalas
APLICACIONES PRÁCTICAS
UNIDAD
Fig. 18
de vértices A y P, al estar situados sobre sendos arcos capaces del mismo ángulo). La razón de semejanza entre ambos
triángulos es ½, por lo que el segmento PB es la mitad de
AB y el punto P es, lógicamente, el punto medio de AB.
Unimos A con Mb y prolongamos el segmento para determinar sobre esta prolongación el vértice C a la distancia mc
del punto P, de forma que los segmentos AMb y MbC tengan la misma longitud.
• Construir un triángulo conocidos uno de los ángulos, su lado opuesto y la suma de los otros dos
Respecto al lado conocido, trazamos los arcos capaces correspondientes al ángulo dado y a la mitad del mismo (Fig. 19).
Haciendo centro en el punto C y con un arco de radio igual a
la longitud de la suma dada de los dos lados, trazamos un
arco que cortará en el punto P al arco capaz correspondiente
a A/2. El segmento PC determina sobre el arco capaz del
ángulo A la posición del tercer vértice del triángulo.
El ángulo de vértice P es la mitad del de vértice A, y al ser
éste, en el triángulo PAB, igual a la suma de los ángulos de
vértices P y B, resulta que el triángulo PAB es isósceles; por
ello los segmentos AP y AB son iguales, siendo el segmento PC igual a la suma de los lados b y c del triángulo, tal
como hemos referido en el párrafo anterior.
Fig. 19
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2
UNIDAD
2
APLICACIONES PRÁCTICAS
Ampliación de polígonos y escalas
2 TRAZADO DE POLÍGONOS REGULARES
Realizaremos construcciones exactas de polígonos regulares, partiendo de
la longitud del lado o de alguna de las magnitudes relacionadas con el
mismo a través de la proporción áurea.
• Construir un pentágono regular conocido su lado
El lado del pentágono AB de la figura 20 nos permite determinar el segmento AQ, coincidente con la diagonal del pentágono y del cual el lado
es partición áurea.
Por el extremo B del segmento levantamos una perpendicular al mismo;
haciendo centro en B y con radio igual a la longitud AB, trazamos un arco
que determina sobre la perpendicular el punto P. Buscamos el punto
medio de BP y hacemos centro en él para trazar la circunferencia que
tenga a este segmento por diámetro.
Fig. 20
Unimos el extremo A del lado con el centro M de la circunferencia anterior y prolongamos el segmento hasta interceptar sobre la circunferencia
el punto Q. Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo ABM, es fácil
demostrar que la relación entre AQ y AB es el número ϕ.
Conocidos los valores de la diagonal AQ del pentágono y del lado AB del
mismo, obtendremos los restantes vértices del polígono por triangulación.
• Construir un pentágono regular conocida su diagonal
Por el extremo P del segmento AP, coincidente con la diagonal del pentágono, levantamos una perpendicular al mismo y de igual longitud, PA = PR
(Fig. 21). Trazamos la circunferencia de diámetro PR y centro en el punto M,
punto medio de PR. Unimos, a continuación, el extremo A de la diagonal
con el centro M de la circunferencia, segmento que intercepta el punto E
sobre la misma. El segmento EA, partición áurea de AP, es la longitud del
lado del pentágono.
Fig. 21
42
Ampliación de polígonos y escalas
APLICACIONES PRÁCTICAS
UNIDAD
Como en el caso anterior, con los valores de la diagonal y del lado del pentágono, por triangulación, determinamos los restantes vértices B, C y D del
pentágono regular.
• Trazado del octógono regular conocido su lado
En relación al lado AB (Fig.22), construimos el cuadrado ABMN y determinamos sus diagonales; con centro en el punto O1 de intersección de éstas, trazamos la circunferencia circunscrita al cuadrado que corta a la mediatriz de
AB en el punto O2. Con centro en este último punto y radio igual a la distancia hasta B, trazamos una circunferencia que resultará circunscrita al octógono que buscamos.
A partir de los extremos A y B del lado inicial, y en ambos sentidos, llevamos la longitud AB para obtener sobre la circunferencia los restantes vértices C, D, E… del polígono.
Fig. 22
• Construir un decágono regular conocido su lado
Tal como hemos visto en los Conocimientos teóricos, la relación entre el
radio de la circunferencia circunscrita al decágono y el lado de éste es el
número ϕ. Mediante la construcción ya utilizada en el pentágono regular,
determinaremos el radio de la circunferencia (Fig. 23).
Por el extremo B del lado AB, levantamos una perpendicular a éste de su
misma longitud, segmento BP. Trazamos la circunferencia de radio MP y
unimos su centro M con el extremo A del lado. Prolongamos el segmento
AM hasta cortar la circunferencia en el punto Q.
El segmento AQ es el radio de la circunferencia circunscrita al decágono.
Con dos arcos de centros A y B, y radios la longitud AQ, determinamos el
centro O de la circunferencia. Sobre ella llevamos la longitud del lado AB
para obtener los restantes vértices: C, D, E, F...
Fig. 23
• Construcción general, por semejanza, de un polígono conocido su lado
En la figura 24 hemos construido un pentágono regular, pero el proceso que
realizaremos a continuación serviría también para cualquier otro polígono
regular, independientemente de su número de lados. Trazamos, por el procedimiento conocido, un pentágono regular auxiliar A’B’C’D’E’ inscrito en
una circunferencia de radio cualquiera. Sobre el lado A’B’ llevamos la longitud B’P correspondiente al lado del pentágono que queremos construir.
Mediante paralelas, trasladamos el segmento B’P sobre las prolongaciones de los radios trazados por A’ y B’; para ello trazamos por P una paralela a OB’ que corta a la prolongación de OA’ en el punto A. Con centro
Fig. 24
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2
UNIDAD
2
APLICACIONES PRÁCTICAS
Ampliación de polígonos y escalas
en O y radio igual a la distancia hasta el punto A, trazamos la circunferencia que, en su intersección con los radios que pasan por los vértices
del pentágono auxiliar, nos determinará los vértices B, C, D y E del pentágono buscado.
3 CONSTRUCCIÓN DE ESCALAS
Además de la escala gráfica descrita en el apartado 3.1 de los Conocimientos
teóricos, existen otros tipos de escalas cuya construcción y aplicaciones veremos a continuación:
• Escalas volantes
Fig. 25
De cualquier escala numérica podemos construir la escala
gráfica correspondiente; en la figura 25 hemos construido
la escala gráfica correspondiente a una escala numérica
1:2. A partir de dos semirrectas con un origen común, llevamos sobre una de ellas una magnitud real, ocho centímetros en la figura, y sobre la otra, el segmento correspondiente a la magnitud anterior transformado con la
escala numérica indicada, cuatro centímetros en la figura.
La unión de los extremos libres de ambos segmentos define una dirección
a la que trazaremos paralelas por los puntos correspondientes a las unidades enteras del segmento real. Estas paralelas nos gradúan la escala gráfica de acuerdo con la escala utilizada. Si a partir del punto común de las
Fig. 26
44
Ampliación de polígonos y escalas
APLICACIONES PRÁCTICAS
UNIDAD
dos semirrectas llevamos una unidad en sentido contrario y la dividimos en
diez partes, estamos construyendo una contraescala que sirve para definir magnitudes con aproximación hasta los milímetros.
Mediante el rectángulo de la figura 26 podemos construir varias escalas
gráficas, cada una de las cuales la podemos trasladar sobre una tira de
papel mediante la cual podremos efectuar mediciones o trasladar magnitudes a la escala correspondiente. Cada de las escalas así construidas constituyen las denominadas escalas volantes.
Las bases del rectángulo las construimos de diez centímetros, dividiendo la
inferior en diez partes iguales y la superior en veinte. La altura del rectángulo, de cualquier valor, la dividimos también en diez partes iguales trazando, por cada una de ellas, paralelas a las bases.
Unimos el vértice inferior izquierdo del rectángulo con las diez primeras divisiones de la parte superior, empezando a contar por el lado izquierdo; el segmento de unión entre el cero inferior y el diez de la parte superior lo marcamos más fuerte o de diferente color a los otros segmentos. Las divisiones de
la base inferior las unimos con las restantes divisiones de la superior.
Sobre cada una de las paralelas, y separadas por el segmento de unión
entre 0 y 10, tendremos construidas dos escalas que, en total y trasladadas sobre otras tantas tiras de papel, representan veinte escalas volantes.
Las paralelas izquierdas, separadas por el segmento 0-10, representan, de
abajo a arriba, segmentos de 5, 10, 15, 20, 25... mm; las de la derecha, y
de arriba abajo, segmentos de 95, 90, 85, 80, 75... mm. Segmentos que,
referidos a escala numérica, se corresponden a modo de ejemplo con algunas de las indicadas sobre la misma figura.
• Escala transversal o de décimas
Para obtener mayor exactitud al realizar mediciones con una escala volante, construimos la escala transversal o de décimas, para apreciar las décimas correspondientes a la unidad utilizada.
Fig. 27
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UNIDAD 2
APLICACIONES PRÁCTICAS
Ampliación de polígonos y escalas
Tomamos de la escala volante anterior las divisiones correspondientes a la
escala 3:4, que trasladamos, a partir del origen 0 marcado en una recta
horizontal, hacia su izquierda y derecha, obteniendo, respectivamente, los
puntos 10, 20, 30..., y 100, 200..., según vemos en la figura 27. Trazamos
también diez paralelas horizontales, a cualquier distancia entre ellas, que
numeramos de abajo arriba.
Con las mismas unidades de la escala de 3:4 graduamos la paralela superior, hacia la izquierda a partir del punto en que se corta con la vertical trazada por el origen 0 de la inferior. Unimos estas divisiones con las de la
paralela inferior: la primera superior con el 0 de la inferior, la segunda
superior con la primera inferior y así sucesivamente.
Sobre la misma escala transversal indicamos una serie de segmentos con
la medida correspondiente, 29, 146, 173, y una aproximación hasta las
décimas de la unidad utilizada.
• Triángulo universal de escalas
Mediante este triángulo, podemos representar y obtener unidades de
escala de forma rápida y con diversas escalas (Fig. 28).
Dibujamos un triángulo rectángulo cuyos catetos midan diez centímetros,
marcando sobre ambos las divisiones correspondientes a los centímetros.
Los puntos de división del cateto horizontal los unimos con el extremo P
del cateto vertical. Por las divisiones del cateto vertical trazamos paralelas
al otro cateto.
Cada uno de los triángulos rectángulos de vértice en P y catetos
por cada una de las divisiones horizontales, es semejante al
triángulo cuyos catetos miden diez centímetros. Esta semejanza hace que los catetos horizontales representen, de
arriba a abajo, las escalas 1:10, 2:10 o 1:5, etc.
hasta el cateto de 10 cm que representa la escala natural, 1:1. Por debajo de la escala natural
se forman las escalas de ampliación.
Fig. 28
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Ampliación de polígonos y escalas
Triángulos
1. Define las rectas y puntos notables de un
triángulo, indicando las propiedades
correspondientes de cada uno de ellos.
2. ¿A qué circunferencias denominamos
exinscritas en relación a un triángulo?
¿Cómo determinamos sus centros?
3. El triángulo resultante de unir los puntos
medios de los lados de un triángulo,
¿qué relación guarda con el triángulo inicial? ¿Y las áreas de ambos triángulos?
CUESTIONES Y EJERCICIOS
UNIDAD
10. Trazar un triángulo del que conocemos
las longitudes de sus tres medianas:
ma = 55 mm, mb = 47 mm y mc = 61 mm.
11. Dibujar un triángulo conociendo uno
de sus lados, 30 mm, el ángulo opuesto
a este lado, 60º, y la suma de los otros
dos lados: 72 mm.
12. Representar la combinación de triángulos
representados en las figuras 29 y 30, de
acuerdo a los datos indicados en ellos.
4. Dibujar un triángulo del que conocemos
uno de sus lados de 70 mm; el ángulo
opuesto a este lado es de 60º y uno
de los lados restantes mide 55 mm.
¿Hay más de un triángulo solución
al problema planteado?
5. Dibujar un triángulo del que conocemos
los siguientes elementos:
Fig. 29
a = 50 mm; ha = 70 mm; ma = 85 mm
6. De un triángulo conocemos dos ángulos,
de 30 y 75 grados, y la longitud del lado
opuesto al menor de ellos es de 50 mm.
Construir todos los triángulos que
satisfacen las anteriores condiciones.
7. El triángulo complementario de un
triángulo ABC es un triángulo cuyos
lados miden 20, 26 y 35 mm; determinar
el triángulo ABC.
8. Determinar el segmento de Euler del
triángulo solución de la actividad anterior.
Fig. 30
9. Dibujar un triángulo conociendo
el valor de uno de sus ángulos, 45º,
y las longitudes de las medianas
correspondientes a los otros dos,
44 y 57 mm respectivamente.
Polígonos regulares
13. ¿Qué relaciones áureas podemos establecer entre los elementos lineales de un
pentágono regular?
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2
UNIDAD
2 CUESTIONES Y EJERCICIOS
Ampliación de polígonos y escalas
14. ¿Y entre los elementos lineales de un
decágono regular?
15. Dados un pentágono y un decágono,
ambos regulares e inscritos en la misma
circunferencia, ¿qué relaciones existen
entre los respectivos elementos lineales?
¿y entre los ángulos más significativos de
ambos polígonos?
16. Mediante alguno de los procedimientos
exactos expuestos, trazar un pentágono
regular cuyo lado mida 34 mm.
17. Dibujar un pentágono regular cuya
diagonal mida 60 mm.
18. A partir de un segmento común de
28 mm, construir los polígonos regulares
de ocho y nueve lados.
Escalas
19. Construir las escalas volantes para poder
medir magnitudes en las siguientes
escalas: 1:2, 1:5; 3:4.
20. En un plano a escala 1:200 se ha
representado una determinada distancia
por un segmento de 20 mm. ¿Cuál es el
valor de la distancia real representada?
21. En un mapa topográfico del que se
desconoce la escala, un segmento de
longitud 6 cm está acotado con un
valor de 30 metros. ¿Cuál es la escala
del mapa?
Contenidos básicos de la unidad en formato hipermedia, en el CD.
Más actividades en el CD
Si no puedo dibujarlo, es que no lo entiendo.
ALBERT EINSTEIN
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