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II Encuentro Internacional de Matemáticas, Estadística y Educación Matemática 2013
UNA INTRODUCCIÓN A LA TOPOLOGÍA CATEGÓRICA
Gil Alberto de Jesús Donado Núñez1 , Jorge Adelmo Hernández Pardo 2 ,
José Reinaldo Montañez Puentes3
A la memoria del Maestro
Carlos Javier Ruiz Salguero
Resumen
Se presenta una introducción a la topología categórica, de una manera didáctica, haciendo
un estudio de la categoría de los espacios topológicos y con más precisión de las topologías
iniciales y nales. En particular se muestran algunas propiedades de las categorías topológicas
y algunos métodos de construcción.
Abstract
An introduction to categorical topology is presented, from a study of the category of topological
spaces and more precisely of the initial and nal topologies. In particular, we show some
properties of topological categories and some construction methods.
Palabras clave
Topologías iniciales, topologías nales, funtor topológico.
Introducción
La teoría de categorías aparece como una rama de las matemáticas que unica el trabajo de
las diferentes áreas de la misma.
Para el caso que nos ocupa, las categorías topológicas aparecen como una generalización del
estudio del funtor olvido de estructura denido de la categoría de los espacios topológicos en
la categoría de los conjuntos, en particular de las propiedades relacionadas con las topologías
iniciales y nales que tiene dicho funtor. En primera instancia, en este trabajo se estudian
algunas propiedades de las categorías topológicas y se muestran nuevas formas de construcción.
Para citar algunos ejemplos, las categorías de las colecciones, de los espacios completamente
1
2
Universidad Pedagógica Nacional, [email protected]
Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Fundación Universidad Autónoma de Colombia,
[email protected]
3
Universidad Nacional de Colombia, [email protected]
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regulares, de los espacios uniformes y los espacios de proximidad son categorías topológicas
bradas sobre la categoría de los conjuntos y la categoría de los espacios topológicos punteados
lo es sobre la categoría de los espacios topológicos punteados.
Podría decirse que llevó tiempo a los investigadores, encontrar una teoría de categorías apta
para los topólogos, puesto que la elaborada era apta para los algebristas. La topología categórica inicia con Bourbaki y es en su primer libro en donde aparecen las nociones que la
inspiran como son las de topologías iniciales y nales. Trabajos muy completos y más recientes
se encuentran en Preuss G. [17] y Adamek, J., Herrlich, H.,y Strecker [1].
Las categorías topológicas, sus propiedades y algunos métodos de construcción son el centro
de atención de este trabajo.
Ahora bien, aunque algunos resultados, por ejemplo los encontrados en la categoría de las colecciones y algunos métodos de construcción de categorías topológicas los consideramos nuevos,
el trabajo no pretende ser de carácter investigativo. El objetivo es que el cursillo sea accesible
a los estudiantes interesados y por ello hemos procurado una presentación didáctica. Con esta
idea en mente, para contextualizar al lector, varios de los conceptos clásicos y conocidos son
introducidos y en lo posible presentados con variedad de ejemplos tratando de que el cursillo
sea presentado al máximo de una forma autocontenida.
1.
Conceptos básicos en categorías y funtores
En principio, el matemático estudia los conjuntos y dene sobre ellos funciones para analizar
algunos conceptos tales como: conjuntos nitos, conjuntos innitos, etc...
En una segunda etapa, los dota de operaciones y relaciones y crea el concepto de estructura
de grupo, de anillo, de A-módulo, de espacio vectorial, etc..., a partir de éstas, se interesa en
estudiar las relaciones que existen entre objetos de la misma estructura, resultando, entre otros,
los homomorsmos de grupos, los A-homomorsmos de A-módulos, las funciones continuas en
espacios topológicos, etc...
La sistematización de este comportamiento conduce al concepto más general: el de categoría.
1.1. La noción de categoría
Denición 1.1. Una categoría C se dene por:
a) Una colección no vacía cuyos elementos se llaman objetos, notada Obj(C).
b) Una colección disyunta de conjuntos M or(A, B) para cada A, B ∈ Obj(C), las cuales
pueden ser eventualmente vacías. Los elementos del conjunto M or(A, B) se denominan
morsmos del objeto A (dominio) en el objeto B (codominio) y son denotados por
f
f :A→B óA−
→ B.
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La reunión de todos éstos conjuntos de morsmos constituye la colección de morsmos
de la categoría C notada:
[
M or(C) =
M or(A, B).
A,B∈Obj(C)
c) Una Ley de composición interna en M or(C) llamada composición (◦) tal que si A, B, C ∈
Obj(C), f ∈ M or(A, B) y g ∈ M or(B, C) existe un Morsmo g◦f ∈ M or(A, C) es decir:
M or(A, B) × M or(B, C) −→ M or(A, C)
(f, g) −→ g ◦ f
(1)
que satisface los siguiente axiomas:
i) Para f ∈ M or(A, B), g ∈ M or(B, C), h ∈ M or(C, D)
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f
(Asociatividad)
ii) Para todo A ∈ Obj(C), existe en M or(A, A) un morsmo identidad notado 1A tal
que para todo f ∈ M or(B, A) y para todo g ∈ M or(A, B) se tiene:
1A ◦ f = f y g ◦ 1A = g
Se puede ver fácilmente que el morsmo de (ii) es único para cada A ∈ Obj(C).
1.2. Ejemplos
1) La categoría de los conjuntos Conj
a) Obj(Conj) es la colección de todos los conjuntos.
b) Para A, B ∈ Obj(Conj), M or(A, B) = {f : A → B | f es función}.
c) La ley composición entre morsmos es la composición entre funciones y para cada
A ∈ Obj(Conj) 1A : A → A, se dene por:
1A (x) = x, para todo x ∈ A y además 1∅ = ∅.
Nota: M or(∅, ∅) = {∅}, M or(∅, A) = {∅} y M or(A, ∅) = {∅}.
2) La categoría de los grupos Gr
Un grupo es una pareja (G, ∗), donde G es un conjunto no vacío y (∗) es una operación
binaria sobre G, que satisface los siguientes axiomas:
i) (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) para todo a, b, c ∈ G.
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ii) Existe e ∈ G tal que e ∗ a = a ∗ e para todo a ∈ G.
iii) Para cada a ∈ G existe a∗ ∈ A tal que a ∗ a∗ = e.
Si además a ∗ b = b ∗ a se dice que el grupo es abeliano.
a) Obj(Gr) corresponde a la colección de grupos.
b) Para A, B ∈ Obj(Gr) si A = (G, ∗) y B = (G0 , ∗0 ), la colección de morsmos está
dada por M or(A, B) = {f : A → B | f es homomorsmo de grupos}. f es un
homeomorsmo de grupos si y solo si f (a ∗ b) = f (a) ∗0 f (b) para todo a, b ∈ G.
c) Para f ∈ M or(A, B), g ∈ M or(B, C), y A, B, C ∈ Obj(C) si g◦f es la composición
usual de funciones, es claro que g ◦ f ∈ M or(A, C) y además satisfacen:
i. (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) para h ∈ M or(A, B), g ∈ M or(B, C) y f ∈ M or(C, D).
ii. Para A ∈ Obj(Gr) si 1A (x) = x, se tiene que 1A ∈ M or(A, A) y f ◦ 1A = f y
1A ◦ g = g para cada f ∈ M or(A, B) y g ∈ M or(B, A).
3) La categoría de los espacios vectoriales V ectK sobre un campo K
Sea K un campo, un espacio vectorial V sobre K es una terna (V, +, ·) donde (V, +) es
un grupo abeliano y (·) es una aplicación.
K ×V
(k, v)
−→
−→
V
k·v
que satisface:
(k1 + k2 ) · v = k1 · v + k2 · v , para todo k1 , k2 ∈ K y v ∈ V .
k · (v1 + v2 ) = k · v1 + k · v2 , para todo k ∈ K y v1 , v2 ∈ V .
k1 · (k2 · v1 ) = (k1 · k2 ) · v1 , para todo k1 , k2 ∈ K y v1 ∈ V .
1 · v = v , para todo v ∈ V .
a) Obj(V ectK ) es la colección de espacios Vectoriales sobre K .
b) Para V, W ∈ Obj(C), M or(V, W ) = {f : V → W | f es una una transformación
lineal}, f es transformación lineal si y solo si:
i) f (v1 + v2 ) = f (v1 ) + f (v2 ), para todo v1 , v2 ∈ V .
ii) f (k · v) = k · f (v), para todo k ∈ K y para todo v ∈ V .
c) f ∈ M or(M, N ) y g ∈ M or(M, P ) g ◦ f es la composición de funciones, se puede
ver fácilmente que g ◦ f ∈ M or(M, P ).
i) Para f ∈ M or(M, N ), g ∈ M or(M, P ) y h ∈ M or(P, L) se tiene que (h ◦ g) ◦
f = h ◦ (g ◦ f ) (por la asociatividad de la composición de funciones).
ii) Para M ∈ Obj(V ect) es claro que 1M ∈ M or(M, M ), f ◦ 1M = f y 1M ◦ g = g
para todo f ∈ M or(M, N ) g ∈ M or(N, M ).
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4) La categoría de los espacios topológicos T op
El par (X, τ ), formado por un conjunto X y una colección τ de subconjuntos de X , es
un espacio topológico si y solo si:
i) ∅, X ∈ τ
ii) Si A, B ∈ τ entonces A ∩ B ∈ τ
iii) Si Aλ ∈ τ para todo λ ∈ L, donde L es un conjunto de indices, entonces:
[
Aλ ∈ τ.
λ∈L
a) Obj(T op) es la colección de los espacios topológicos.
b) Para A, B ∈ Obj(T op), si A = (X, τ ) y B = (Y, µ), M or(A, B) = {f : f es función
continua} f (X, τ ) → (Y, µ) es función continua si y solo si f ! (M ) ∈ τ para todo
M ∈µ
c) Para f ∈ M or(A, B) y g ∈ M or(B, C), A, B y C ∈ Obj(T op), g ◦ f es la composición usual de funciones, para la cual se puede vericar que como la compuesta de
funciones continuas resulta ser continua, g ◦ f ∈ M or(A, C) y que satisfacen
i) (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) para h ∈ M or(A, B), g ∈ M or(B, C) y f ∈ M or(C, D).
ii) Para cada A ∈ Obj(T op) , si 1A (x) = x, se tiene que 1A es continua y que f ◦1A = f
y 1A ◦ g = g para cada f ∈ M or(A, B) y g ∈ M or(B, A).
5) La categoría de las relaciones internas Rel
El par (X, R), formado por un conjunto X y una relación R ⊆ X × X , es una relación
binaria interna.
a) Obj(Rel) es la colección de relaciones binarias internas.
b) Para A, B ∈ Obj(Rel), si A = (X, R) y B = (Y, S), la colección de morsmos está
dada por M or(A, B) = {f : A → B | f respeta las relaciones}, f : A → B respeta
las relaciones si y solo si para todo x, y ∈ X , (x, y) ∈ R → (f (x), f (y)) ∈ S .
c) Para f ∈ M or(A, B) y g ∈ M or(B, C), A, B, C ∈ Obj(Rel), g ◦f es la composición
usual de funciones, para la cual se puede vericar que si dos funciones respetan las
relaciones, la compuesta también lo hace, esto es, g◦f ∈ M or(A, C) y que satisfacen:
i) (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) para h ∈ M or(A, B), g ∈ M or(B, C) y f ∈ M or(C, D).
ii) Para cada A ∈ Obj(Rel), si 1A (x) = x, se tiene que 1A respeta las relaciones y
que f ◦ 1A = f y 1A ◦ g = g para cada f ∈ M or(A, B) y g ∈ M or(B, A).
6) La categoría de las colecciones Col
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El par (X, α), formado por un conjunto X y una colección α de subconjuntos de X , lo
llamaremos un α -espacio.
En cada α - espacio (X, α), y para cada subconjunto A de X , es posible asignarle su
interior así:
◦
A = {x ∈ A : (∃T ∈ α)(x ∈ T ⊆ A)}
Notaremos Λα a la colección formada por todos los conjuntos que coinciden con su
interior, a quienes llamaremos abiertos, esto es:
◦
Λα = {A ⊆ X : A = A }
cabe resaltar que Λα es siempre estable por intersecciones y contiene al conjunto ∅.
a) Obj(Col) es la colección de α - espacios.
b) Para A, B ∈ Obj(Col), si A = (X, α) y B = (Y, β), la colección de morsmos está
dada por M or(A, B) = {f : A → B | f es continua}.
f : X → Y es continua si y solo si B ∈ Λβ implica que f ! (B) ∈ Λα .
c) Para f ∈ M or(A, B) y g ∈ M or(B, C), A, B y C ∈ Obj(Col), g ◦ f es la composición usual de funciones, para la cual se puede vericar que como la compuesta de
funciones continuas resulta ser continua, g ◦ f ∈ M or(A, C) y que satisfacen:
i) (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) para h ∈ M or(A, B), g ∈ M or(B, C) y f ∈ M or(C, D).
ii) Para cada A ∈ Obj(Col) , si 1A (x) = x, se tiene que 1A es continua y que
f ◦ 1A = f y 1A ◦ g = g para cada f ∈ M or(A, B) y g ∈ M or(B, A)
7) Una categoría C se dice pequeña, si la colección de objetos de C, Obj(C) es un conjunto.
Por ejemplo, sea X un conjunto y B la categoría denida por:
a) Obj(B) = P(X)
b)
M or(A, B) =
{(A, B)} si A ⊆ B
∅ si A 6⊆ B
La ley de composición interna esta dada por la transitividad de la contenencia y 1A =
M or(A, A).
De forma más general un conjunto parcialmente ordenado (P, ≤) es una categoría pequeña.
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El diagrama muestra al conjunto P = {a, b}, los objetos los elementos de X y los
morsmos las echas que indican la relación de orden. Los bucles corresponden a los
morsmos identidad y la echa el único morsmo no identidad de la categoría, que
corresponde a M or(a, b).
8) Los monoides como categorías.
Un monoide es una terna (M, ∗, e) donde X es un conjunto y (∗) es una operación binaria
sobre M , tal que para todo x, y, z ∈ M se tiene que (x∗y)∗z = x∗(y∗z) y existe e ∈ M
tal que e∗x = x y x∗e = x para todo x ∈ X . Este monoide es una categoría donde
el único objeto es el conjunto M y donde los morsmos son los elementos de M . Para
cada x, y ∈ M , el elemento x∗ y es el morsmo composición entre x e y como lo ilustra
el siguiente diagrama.
El módulo e de M garantiza la existencia del morsmo identidad sobre el único objeto
M . Así por ejemplo, el conjunto de los números naturales con la operación producto y
el módulo 1, se nos presenta como otro ejemplo de categoría.
1.3. La noción de funtor
Denición 1.2. Sean
C y D dos categorías, un funtor F de la categoría C en la categoría
D, F : C −→ D, es una aplicación que envía objetos en objetos, morsmos en morsmos,
respecta la ley de composición y las identidades. Esto es F : C −→ D es un funtor si satisface
las siguientes condiciones:
1) Si A ∈ ObjC F (A) ∈ Obj(D).
2) Si f ∈ M orC (A, B); F (f ) ∈ M orD (F (A), F (B)).
a) F (f ◦ g) = F (f ) ◦ F (g).
b) F (1A ) = 1F (A) .
Nota: Si la aplicación F cumple 1), 2(a) y 2(b), F se llama funtor covariante o simplemente
funtor. Si la aplicación F cumple 1), 2(b) y en lugar de 2(a) cumple F (f ◦ g) = F (g) ◦ F (f ).,
F se llama funtor contravariante.
1.4. Ejemplos
1) El funtor identidad
Para cada categoría C el funtor identidad de C , 1C : C −→ C denida por:
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a) 1C (A) = A.
b) 1C (f ) = f .
2) El funtor olvido de estructura de T op en Conj
O : T op −→ Conj esta denido por:
a) O((X, τ )) = X, para cada A = (X, τ ) ∈ Obj(T op).
b) O(f ) = f para cada f ∈ M or(A, B).
Es decir este funtor olvida la topología del conjunto X y por lo tanto la continuidad de
las funciones involucradas.
3) Las funciones imagen directa e imagen recíproca como funtores
Cualquier función f : X → Y determina sobre los conjuntos de partes P(X) y P(Y ),
ordenados por la relación de contenencia y las funciones f! : P(X) → P(Y ) (imagen directa) y f ! : P(Y ) → P(X) (imagen recíproca). Si se considera a los conjuntos ordenados
P(X) y P(Y ) como categorías, los funtores imagen directa e imagen recíproca quedan
denidas por:
a) f! : P(X) → P(Y ). Para cada A ∈ Obj(P(X)), f! (A) = {f (x) : x ∈ A} = f (A) ∈
Obj(P(Y )).
Si h ∈ M or(A, B) entonces h = {(A, B)}, lo que implica que A ⊆ B , y como
f! (A) ⊆ f! (B) entonces f! (h) = {(f (A), f (B))} ∈ M or(f! (A), f! (B)).
b) f ! : P(Y ) → P(X). Para cada B ∈ Obj(P(Y )), f ! (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B} ∈
Obj(P(X)).
Si h ∈ M or(A, B) entonces h = {(A, B)}, lo que implica que A ⊆ B , y como
f ! (A) ⊆ f ! (B) entonces f ! (h) = {(f ! (A), f ! (B))} ∈ M or(f ! (A), f ! (B)).
4) El funtor subbase T
Dado un conjunto X , considerando los conjuntos P 2 (X) y T op(X) ordenados por la
relación de contenencia como categorías, cada conjunto α ∈ P 2 (X) da origen a una
topología α considerando a α como subbase.
El funtor T está denido por:
T (α) = α para cada α ∈ Obj(P 2 (X))
El hecho de que si α ⊆ β entonces τ = α ⊆ β = µ, permite como en el ejemplo
anterior asignar a cada morsmo (contenencia) en P 2 (X) un único morsmo en T op(X).
5) Los funtores Hom.
Para cada categoría C y cada objeto A ∈ C determinan los siguientes funtores:
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a) El funtor Hom(A, −).
i)
Hom(A, −) : C → Conj
B → Hom(A, B)
ii) Si f : B → C es un morsmo de C :
Hom(A, −)(f ) : Hom(A, B) → Hom(A, C)
h → Hom(A, −)(f )(h) = f ◦ h
Como lo muestra el siguiente diagrama, donde Hom(A, B) = [A, B].
b) El funtor Hom(-,A).
i)
Hom(−, A) : C → Conj
B → Hom(B, A)
ii) Si f : B → C es un morsmo en C .
Hom(−, A)(f )(g) : Hom(C, A) → Hom(B, A)
g → Hom(−, A)(f )(g) = g ◦ f
Hom(−, A) es funtor es contravariante.
2.
Categorías Topológicas
2.1. La Topología como inspiradora de Categorías Topológicas
En esta sección, resaltaremos en la categoría de los espacios topológicos, aquellas propiedades
que utilizaremos para identicar a las categorías topológicas.
Top(X)
como retículo completo
En los espacios topológicos, todas las topologías posibles sobre un conjunto X , quienes se
denominan como T op(X), forman un conjunto ordenado por la relación de contenencia. Este
orden coincide con el denido por la relación "ser más na"denida así:
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Dados los espacios topológicos (X, τ ) y (X, µ) decimos que la topología τ es más na que la
topología µ lo cual se escribe µ ≤ τ , si la función identidad i : (X, τ ) → (X, µ) sobre X es
continua.
La relación (≤) dota al conjunto T op(X) de estructura de retículo completo, debido a que
dados τ, µ ∈ T op(X):
a) τ ∩ µ ∈ T op(X), y ésta es la más na de las topologías que son menos nas simultáneamente que τ y µ. Esto es τ ∧ µ = τ ∩ µ.
b) La topología generada escogiendo como base a τ ∪ µ, notada τ ∨ µ es la menos na de
las topologías que son más nas simultáneamente que τ y µ.
En el diagrama se ilustra al retículo T op(X) como subconjunto de P 2 (X), con dos topologías
τ y µ, sus correspondiente supremo e inmo τ ∧ µ y τ ∨ µ, con la topología grosera τg como
su elemento mínimo y la topología discreta τd como su elemento máximo.
Adicionalmente, dada cualquier colección C de topologías sobre X , existen los extremos inferior
y superior de la colección, denidos por:
inf C =
\
τ y supC =
τ ∈C
[
τ .
τ ∈C
Esto es, en la categoría de los espacios topológicos, la colección de topologías sobre un conjunto
X tiene estructura de retículo completo, con el orden inducido por la inclusión.
Existencia de topologías iniciales
En la categoría de los espacios topológicos siempre es posible resolver el siguiente problema:
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II Encuentro Internacional de Matemáticas, Estadística y Educación Matemática 2013
Dada un función f : X → Y y una topología µ sobre el conjunto Y , encontrar en T op(X) la
menor topología (topología inicial) que hace continua a la función f .
En efecto, siempre por lo menos la topología discreta sobre X hace continua a cualquier
función, ahora por ser T op(X) un retículo completo, es posible encontrar el extremo inferior
de todas las topologías que hacen continua a la función f .
Para que f sea continua, se requiere que para todo M ∈ µ, f ! (M ) sea un abierto. Y si consideramos al conjunto τ = {f ! (B) : B ∈ µ}, como él mismo es una topología sobre X , se verica que
si C = {ρ ∈ T op(X) : f : (X, ρ) → (Y, µ), es continua} entonces τ = {f ! (B) : B ∈ µ} = inf C .
El diagrama muestra para una topología µ en T op(Y ) , la colección C de todas las topologías
sobre X que hacen continua a la función f : X → Y y a la topología inicial como el extremo
inferior de C .
Por ejemplo, dados X ⊆ Y y como función, la inclusión i : X → Y que asocia a cada elemento
x ∈ X al elemento i(x) = x, para cada topología µ ∈ T op(Y ) la topología inicial está dada
por τ = {i! (B) : B ∈ µ} = {B ∩ X : B ∈ µ} la cual corresponde a la topología de subespacio.
Pero el mismo problema puede resolverse si en vez de una función y una topología sobre un
conjunto Y , tenemos una familia de espacios topológicos (Yλ , µλ )λ∈L donde L es un conjunto
de índices y por cada λ ∈ L una función fλ : X → Yλ , y se busca encontrar la topología menos
na (topología inicial ) sobre el conjunto X que haga continua simultáneamente a todas las
funciones.
Si para todo λ ∈ L la función fλ : X → Yλ , debe ser continua, entonces para todo abierto
M ∈ µλ el conjunto f ! (M ) debe ser un subconjunto abierto de X . Como el conjunto
δ = {fλ! (M ) : λ ∈ L y M ∈ µλ } no necesariamente es una topología sobre X , al considerarla
como una subbase para una topología sobre X , podemos garantizar que τ = δ es la
topología inicial asociada a la familia de funciones {fλ : X → Yλ }λ∈L .
Si (X, τ ) es la topología inicial asociada a la familia de funciones {fλ : X → Yλ }λ∈L entonces
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es posible caracterizar a todas las funciones continuas que tienen como recorrido a (X, τ ),
debido a que cumple la siguiente propiedad universal:
Una función f : Z → X es continua si y solo si fλ ◦ f es continua para cada λ ∈ L.
Un caso particular de topología inicial asociada a un par de funciones, es la topología producto. En efecto, si consideramos dos espacios topológicos (X, τ ) y (Y, µ) y las proyecciones
PX ((x, y)) = x y PY ((x, y)) = y denida del producto cartesiano X × Y en los conjuntos X
e Y respectivamente, una subbase para la topología inicial está dada por δ = {PX! (M ) : M ∈
τ } ∪ {PY! (N ) : N ∈ µ}.
Esta construcción de estructuras iniciales no puede hacerse en cualquier categoría. Por ejemplo
si pensamos en los grupos, dado un grupo (G0 , ∗) y un conjunto G y la función constante
k : G → G0 denida por k(x) = a, donde a ∈ G0 y a 6= e (e el módulo de G0 ), no es posible
dotar al conjunto G de una operación (◦) que sea un homeomorsmo de grupos, esto es que
para todo x, y ∈ G, se tenga que k(x ◦ y) = k(x) ∗ k(y).
Existencia de topologías nales
Con un razonamiento dual al realizado en la sección anterior, en los espacios topológicos
siempre es posible resolver el siguiente problema:
Dada una función f : X → Y y una topología τ sobre el conjunto X , encontrar en T op(Y ) la
mayor topología (topología nal) que hace continua a la función f .
En este caso, siempre por lo menos la topología grosera sobre Y hace continua a cualquier
función y por ser T op(Y ) un retículo completo, es posible encontrar el extremo superior escoger
como abiertos aquellos subconjuntos M de Y tales que f ! (M ) sea un abierto de (X, τ ).
Como el conjunto {M : f ! (M ) ∈ τ }, es una topología sobre Y , se verica que si C = {ρ ∈
T op(Y ) : f : (X, τ ) → (Y, ρ) es continua} entonces {M : f ! (M ) ∈ τ } = supC .
El siguiente diagrama muestra para una topología τ en T op(X), la colección C de todas las
topologías sobre X que hacen continua a la función f : X → Y y a la topología inicial como
el extremo superior de C .
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Un ejemplo típico se presenta cuando sobre un conjunto X se dene una relación de equivalencia (≡). Esta relación dene el conjunto cociente (X/ ≡) y la función canónica f : X → X/ ≡
denida por f (x) = [x]. Si τ ∈ T op(X), la topología que hereda el espacio cociente es la topología nal asociada a f , esto es τ = {M : f ! (M ) ∈ τ } conocida como la topología cociente.
Podemos visualizarlo en un caso particular. Si se considera a X como el subconjunto del plano
denido por [0, 1] × [0, 1] y la relación de equivalencia que identica los puntos de la forma
(1, y) con los de la forma (0, 1 − y) y los demás se identican consigo mismo.
Nuevamente si en vez de una función y una topología sobre el conjunto X , se considera una
familia de espacios topológicos {(Xλ , τλ )λ∈L donde L es un conjunto de índices y por cada
λ ∈ L una función fλ : Xλ → Y , y se busca la topología más na (topología nal) sobre el
conjunto Y que haga continua simultáneamente a todas las funciones, se puede probar que es
la topología τ = {M ⊆ Y : fλ (M ) ∈ τλ para todo λ ∈ L}.
Como en el caso de las topologías iniciales, la siguiente propiedad universal que cumple la
topología nal, permite caracterizar a todas las funciones continuas que tienen como dominio
a (Y, τ ), en el sentido de que una función f : X → Z es continua si y solo si f ◦ fλ es continua
para cada λ ∈ L.
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Un ejemplo de una categoría donde no es posible hacer este tipo de construcciones, lo ofrece
la categoría P os de los conjuntos ordenados.
El anterior diagrama muestra al conjunto ordenado (X, <), donde X = {a, b, c} con la relación
de orden cuyas parejas ordenadas son: (a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c), (a, c) y la función sobre
Y = {0, 1} denida por f (a) = f (c) = 1 y f (b) = 0, y no es posible denir una relación de
orden sobre y de tal manera que sea un morsmo entre conjuntos ordenados.
2.2. Noción de Categoría Topológica
Denición 2.1. Sea F : C → D un funtor. Se dice que F es un funtor topológico y que C es
una categoría topológica relativa a F y a D, si se cumplen las siguientes condiciones:
a) F es el.
b) F es apto para construir estructuras iniciales y nales de fuentes y sumideros unitarios.
c) Para cada objeto X ∈ D, la bra C(X) = {A ∈ C : F (A) ∈ D}, tiene estructura de
retículo completo.
Cuando no haya lugar a confusión, nos referiremos a la categoría topológico C sin mencionar
al funtor F y a la categoría D. En otras ocasiones diremos que C es una categoría topológica
sobre D brada a través de F . Es de anotar que la denición de funtor topológico enunciada
es equivalente a la dada en [1], probar esta equivalencia es un ejercicio propuesto en la misma
referencia y su prueba se da [2], en donde además se relaciona esta noción con la noción de
constructo topológico dada en [17].
Antes de aclarar los conceptos involucrados en la noción de categoría topológica, para facilitar la comprensión de la denición, los objetos y morsmos de una categoría topológica los
notaremos en negrilla y su imagen por el funtor los escribimos sin negrilla. Por ejemplo, en la
categoría de los espacios topológicos f: X →Y simboliza una función continua y f : X → Y
su función correspondiente en la categoría de los conjuntos.
14
II Encuentro Internacional de Matemáticas, Estadística y Educación Matemática 2013
Ahora bien, antes de empezar la discusión, es importante anotar que las nociones de estructura
inicial y nal generalizan la nociones de topología inicial y nal y que el orden exigido en la
bra sobre cada objeto X de D está dado por X1 ≤ X2 , si y solamente si, existe f : X2 → X1
tal que F (f) = 1X .
Sea F : C → D un funtor. Se dice que F es el, si para todo par de morsmos f,g: X →Y de C
tales que, F (f ) = F (g ) se tiene que f = g. Se dice que F es pleno si para todo par de objetos
X y Y de C y todo morsmo k : X → Y existe un morsmo k: X →Y tal que F (k ) = k .
Sea f: X →Y un morsmo de C . Se dice que f cumple la propiedad universal inicial relativa
al funtor F , si para, todo objeto Z de C , con F (Z ) = Z y todo morsmo g : Z → X , para el
cual existe un morsmo h: Z →Y tal que F (h ) = f ◦ g , existe un morsmo g: Z →X tal que
f ◦g = h y F (g ) = g.
Un morsmo f : X → Y es apto para construir estructuras iniciales de fuentes unitarias si
para, todo objeto Y de C , tal que, F(Y)=Y, existe un objeto X en C , con F(X)=X y un
morsmo f: X →Y que cumple la propiedad universal inicial; en tal caso, se dice X es la
estructura inicial relativa a f y Y .
Se dice que F es apto para construir estructuras iniciales de fuentes unitarias si todo morsmo
de D es apto para construir estructuras iniciales de fuentes unitarias.
Sea F : C → D un funtor topológico. Una fuente relativa a F está formada por una familia de
morsmos {fi : X → Yi }i∈I , junto con una familia de objetos {Y i }i∈I de C , tales que F (Y i ) =
Yi para cada i ∈ I , I puede ser un conjunto o una clase y que notaremos {fi : X →Y i }i∈I .
Una estructura inicial para una fuente {fi : X →Y i }i∈I , es un objeto X de C , tal que:
a) Para cada i ∈ I , existe un morsmo f i : X → Yi , tal que F (f i ) = fi .
b) Para cada objeto Z de C con F (Z ) = Z , y cada morsmo h : Z → X , tal que para cada
i ∈ I , existe un morsmo k i :Z →Y i con F (k i ) = fi ◦ h, entonces existe un morsmo
h: Z → X con F (h ) = h.
Desarrollando el razonamiento dual, se dene propiedad universal nal y funtor apto para
construcción de estructuras nales para un sumidero relativo a F .
Proposición 2.1 (2). Sea
F : C → D un funtor topológico. C es completa (cocompleta), si y
solamente si, Des completa (cocompleta).
Proposición 2.2 (2). En una categoría topológica C toda fuente tiene estructura inicial y todo
sumidero tiene estructura nal.
Demostración. En efecto, sea {fi : X →Y i }i∈I una fuente. Sea Xi la estructura inicial para fi .
Entonces el ínmo de la familia {Xi }i∈I correspondiente a la estructura inicial para la fuente
dada.
De manera dual, todo sumidero tiene estructura nal.
15
II Encuentro Internacional de Matemáticas, Estadística y Educación Matemática 2013
2.3. La categoría Ore y el clasicador de las categorías topológicas
Un hecho importante en el estudio de las categorías topológicas es que cada una de ellas es
g → Ore, del que haremos una
construida a partir de un funtor topológico universal, Op : Ore
breve descripción, no sin antes mencionar que este funtor fue presentado por el profesor Carlos
Javier Ruiz S. en el VII Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, evento realizado en la
Universidad Pedagógica Nacional en el año 1992.
La categoría Ore tiene por objetos las clases con estructura de retículo completo. En Ore
un morsmo con dominio (X, ≤) y codominio (Y, ≤), consiste de un par (s, d), donde
d : (X, ≤) → (Y, ≤) y s : (Y, ≤) → (X, ≤) son funciones monótonas no decrecientes y d es
adjunto a derecha de s. Dados dos morsmos (s, d) : (X, ≤) → (Y, ≤) y (f, g) : (Y, ≤) → (Z, ≤)
su composición se dene como el morsmo de(f, g) ◦ (s, d) := (s ◦ f, g ◦ d).
g , cuyos objetos son de la forma
A partir de la categoría Ore, se determina la categoría Ore
g un morsmo con
(X, ≤, x0 ), siendo (X, ≤) un objeto de Ore y x0 un elemento de X . En Ore
dominio (X, ≤, x0 ) y codominio (Y, ≤, y0 ), consiste de un par (s, d) donde (s, d) : (X, ≤) →
g se dene
(Y, ≤) es un morsmo de Ore y s(y0 ) ≤ x0 . La composición en los morsmos de Ore
de igual manera que en la categoría Ore.
g → Ore, que se asigna a cada objeto (X, ≤, x0 ) el
Entonces, se determina el funtor Op : Ore
objeto (X, ≤) y a cada morsmo (s, d) el mismo (s, d); el cual resulta un funtor topológico.
Veamos ahora la manera que se genera un funtor topológico a partir de Op . Sea G : D → Ore
un funtor. Sea (C, F, H) el producto brado de los funtores G y Op .
C
H-
g
Ore
Op
F
?
D
?
- Ore
G
Un objeto en C es una pareja (X, x), donde X es un objeto de D y x es un elemento de la clase
ordenada G(X). Un morsmo φf : (X, x) → (Y, y) en C está determinado por un morsmo
f : X → Y de D sujeto a que el morsmo G(f ) = (s, d) : G(X) −→ G(Y ) de Ore asociado a
f verique s(y) ≤ x. El funtor F : C → D se dene por F (X, x) = X y F (φf ) = f y F resulta
un funtor topológico. Ahora dado un funtor topológico F : C → D se determina un funtor
G : D → Ore que asigna a cada objeto X el objeto G(X) = F ib(F, X) y a cada morsmo
f : X → Y el morsmo (f # , f# ) : F ib(F, X) → F ib(F, Y ) siendo f # y f# las funciones que
se describen a continuación. La función f # : F ib(F, Y ) → F ib(F, X) asigna a cada objeto
Y el objeto f # (Y ) := X , donde X es la estructura inicial para la fuente {f : X → Y }. La
función f# : F ib(F, X) → F ib(F, Y ) asigna a cada objeto X el objeto f# (X) := Y , donde Y
corresponde a la estructura nal para el sumidero {f : X → Y }. Sea (C0 , F0 , H0 ) el producto
brado de los funtores Op y G. Entonces, F0 : C0 −→ D es un funtor topológico y C0 resulta
isomorfa a C .
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II Encuentro Internacional de Matemáticas, Estadística y Educación Matemática 2013
La categoría topológica asociada a los subobjetos en una categoría C
Sea C una categoría con imágenes inversas e intersecciones. Entonces, para cada objeto X de
C la colección de los subobjetos de X , que se nota Sub(X), resulta un retículo completo con el
orden dado por : "f¯ ≤ ḡ , si y solamente si, existe un morsmo h tal que f ◦ h = g ". Entonces,
se determina el funtor Sub : C → Ore que asigna a cada objeto X la colección Sub(X) y a cada
morsmo f : X → Y el par adjunto (f # , f# ) : Sub(X) → Sub(Y ), donde f# es la función que
asigna a cada subobjetos A de X su imagen directa por f y f # la función que asigna a cada
subobjeto B de Y la imagen recíproca por f .
Al efectuar el producto brado de los funtores Sub y Op se obtiene la categoría de los subobjetos
de C , Sub(C). Un objeto de Sub(C) es una pareja (X, (A, h)) donde (a, h) es un subobjeto
de X y un morsmo φf : (X, (A, h)) → (Y, (B, k)) está determinado por un morsmo de
f : X → Y que verica la condición f # (k) ≤ h, siendo este el orden natural denido en
Sub(X). Finalmente se determina el funtor topológico OSub : Sub(C) → C que asigna a cada
objeto (X, (A, h)) el objeto X y a cada morsmo φf el morsmo f .
2.4. Ejemplos
1. La categoría de los espacios topológicos Top
El funtor olvido O : T op → Conj denido por O((X, τ )) = X , para cada A = (X, τ ) ∈
Obj(T op), y O(f ) = f para cada f ∈ M or(A, B). le da el carácter de categoría topológica
a T op, debido a que O es el, ya que para todo par de funciones continuas f , g : X → Y
de T op, como, F (f ) = f y F (g) = g , si F (f ) = F(g) se tiene que f = g.
O es apto para construir estructuras iniciales de fuentes unitarias, debido a que para toda
función f : X → Y y para todo objeto Y = (Y, µ) de T op, tal que, F (Y) = Y , existe
un objeto X en T op denido por X = (X, τ ) donde τ es la topología inicial asociada al
espacio topológico (Y, µ) por la función f , la cual hace de f un morsmo f : X → Y con
propiedad universal inicial, como se vio en la sección 2.1.
Similarmente es apto para construir estructuras nales para sumideros unitarios, considerando la topología nal.
Para cada objeto X ∈ Conj , la bra T op(X) es un retículo completo.
2. La categoría de las relaciones simétricas Rels
Esta categoría de relaciones simétricas Rels, es una subcategoría de Rel, donde los
objetos son pares (X, S), con S ⊆ X × X , una relación simétrica. Esto es, para todo
x, y ∈ X , si (x, y) ∈ S entonces (y, x) ∈ S . Los morsmos Rels son como en la categoría
Rel.
El funtor olvido O : Rels → Conj denido por O((X, S)) = X , para cada A = (X, S) ∈
Obj(Rels) y O(f) = f para cada f ∈ M or(A, B); le da el carácter de categoría topológica
17
II Encuentro Internacional de Matemáticas, Estadística y Educación Matemática 2013
a T op. En efecto F (f) = f y F (g) = g , si F (f) = F (g) se tiene que f = g , esto hace que
O sea el.
Como la intersección y la unión de relaciones simétricas, son también relaciones simétricas, dada cualquier familia de relaciones simétricas {(X, Sλ )}λ∈L sobre un conjunto X ,
V
T
W
S
se cumple que λ∈L Sλ = λ∈L Sλ y λ∈L Sλ = λ∈L Sλ . Por lo tanto Rels(X) es un
retículo completo.
Adicionalmente, como para cada relación simétrica Y = (Y, S) y para función f : X →
Y existe por lo menos una relación simétrica sobre X (la relación ∅) que hace que
f : (X, ∅) → (Y, S) sea un morsmo, la existencia de extremos superiores de relaciones
simétricas sobre el conjunto X garantiza la existencia de S ∗ = sup{T ∈ Rels(X) | f :
(X, T ) → (Y, S), sea un morsmo}.
La relación S ∗ que corresponde a la estructura inicial de la fuente unitaria puede caracterizarse como S ∗ = {(x, y) : (f (x), f (y)) ∈ S}. En efecto, X = (X, S ∗ ) ∈ Rels y
f : X → Y es un morsmo que cumple la propiedad universal inicial porque para todo
Z = (Z, R) y toda función g : Z → X para el cual existe h ∈ M or(Z, X) tal que
F (h) = f ◦ g , g : (Z, R) → (X, S ∗ ) es un morsmo debido a que si (a, b) ∈ R, como f ◦ g
es un morsmo ((f ◦ g(a)), (f ◦ g)(b)) = (f (g(a)), f (g(h)) ∈ S y así (g(a), g(b)) ∈ S ∗ .
Un razonamiento similar nos permite ver que es apto para estructuras nales.
3. La categoría de las colecciones Col
En la categoría Col descrita anteriormente, por la misma razón que en T op y Rels, el
funtor olvido O : Rels → Conj denido por O((X, α)) = X , para cada A = (X, α) ∈
Obj(Col) y O(f ) = f para cada f ∈ M or(A, B), es un funtor el.
Además, dada la familia de objetos {(X, αi ) : i ∈ I} donde αi ⊆ P(X) para cada i ∈ I ,
T
S
los objetos (X, i∈I αi ) y (X, i∈I αi ) corresponden al inmo y supremo respectivamente, dándole estructura de retículo completo a Col[X].
De manera muy similar a lo que sucede en topología, el funtor olvido es apto para
construir estructuras iniciales de fuentes unitarias, puesto que para cada función f :
X → Y y para todo objeto Y = (Y, β), existe X = (X, α) donde α = {f ! (B) : B ∈ β},
tal que f : X → Y es un morsmo con propiedad universal inicial.
La estructura nal de sumideros unitarios la podemos obtener de la siguiente manera:
Para cada función f : X → Y y para cada objeto X = (X, α) existe Y = (Y, {B :
f ! (B) ∈ α}) tal que f : X → Y es un morsmo con propiedad universal nal.
4. La categoría de los espacios uniformes U nif
Una uniformidad diagonal sobre un conjunto X es una colección U de subconjuntos de
X × X que satisface:
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II Encuentro Internacional de Matemáticas, Estadística y Educación Matemática 2013
a ) D ∈ U , entonces ∆ ⊂ D.
b ) D1 , D2 ⊂ U , entonces D1 ∩ D2 ∈ U .
c ) D ∈ U , entonces E ◦ E ⊂ D para algún E ∈ U .
d ) D ∈ U , entonces E −1 ⊂ D para algún E ∈ U .
e ) D ∈ U y D ⊂ E , entonces E ∈ U .
En tal caso se dice que la pareja (X, U ) es un espacio uniforme. Sean X e Y dos conjuntos
provistos de uniformidades diagonal U y V , respectivamente. Una función f : X → Y es
uniformemente continua si y solo si para cada E ∈ V existe D ∈ U tal que si (x, y) ∈ D,
entonces (f (x), f (y)) ∈ E . La categoría de los espacios U nif tienen por objetos a los
espacios uniformes y por morsmos las funciones uniformemente continuas. El funtor
O : U nif → Conj es topológico y por lo tanto U nif es una categoría topológica.
En efecto, el funtor olvido de estructura O : U nif → Conj , O es funtor el. La uniformidad que satisface la condición de estructura inicial para un espacio uniforme (Y, E) y una
función f : X → Y es D = {DE | E ∈ E} donde DE = {(a, b) ∈ X × X | (f (a), f (b)) ∈
E}. La uniformidad que satisface la denición de estructura nal para un espacio (X, A)
y una función f : X → Y es B = {H ∪ ∆ | H ∈ B∗ }, en donde B∗ es una relación
en Y denida por "T ∈ B∗ , si y sólo si, existe A ∈ A tal que si (x, y) ∈ A, entonces
(f (x), f (y)) ∈ T ".
Sean (X, D1 ) y (X, D2 ) espacios uniformes, se dice que (X, D1 ) ≤ (X, D2 ), si y solo si,
la función de inclusión i : (X, D1 ) → (X, D2 ) es uniformemente continua. Es de notar
que (X, D1 ) ≤ (X, D2 ), si sólo si, D1 ⊆ D2 . Este orden corresponde al orden de la bra
sobre un conjunto X y resulta ser un retículo completo.
Por lo tanto U nif es una categoría topológica brada sobre la categoría de los conjuntos,
[4].
El funtor T : U nif → T op
Sea (X, D) es un espacio uniforme para cada x ∈ X y D ∈ D, se dene:
D[x] = {y ∈ X | (x, y) ∈ D}
La colección Ux = {D[x] | D ∈ D} forman una base de vecindades de x, haciendo de x
un espacio topológico.
La topología asociada a un espacio uniforme (X, D) la notaremos τD . Cuando un espacio
topológico se obtiene de esta forma se dice que el espacio es uniformizable. Finalmente
se determina el funtor:
T : U nif → T op
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II Encuentro Internacional de Matemáticas, Estadística y Educación Matemática 2013
denido por
T (X, D) := (X, τD ) y T (f ) := f
Ahora bien, un espacio topológico es uniformizable sí y solamente si, es completamente
regular. Por lo tanto la imagen de T son los espacios completamente regulares, ver [20].
5. La categoría de los espacios de proximidad P rox
Un espacio de proximidad es un par (X, δ) donde X es un conjunto y δ es una relación
en P(X) que satisface, para A, B y C subconjuntos de X :
a) ∅δA,
b) {a}δ{a}, para cada a ∈ A,
c) Si AδB entonces BδA,
d) Aδ(B ∪ C) si y solo si AδB o AδC ,
e) Si AδB entonces existen C, D ⊂ X tal que C ∩ D = ∅ y Aδ(X − C) y B δ(X − D).
Si (X, δ) y (Y, δ 0 ) son de proximidad, una función f : X → Y es una función de proximidad si y solo si AδB , implica f (A)δ 0 f (B) en Y .
La categoría de los espacios de proximidad tienen por objetos a los espacios de proximidad
y por morsmos las funciones de proximidad continuas. El funtor olvido O : P rox →
Conj es topológico y por lo tanto P rox es una categoría topológica, como se puede ver
a continuación.
Sea (Y, p) un espacio de proximidad y f : X → Y es una función. En el conjunto de
partes de X , se dene la siguiente relación: si A y B son subconjuntos de X , entonces
Ap0 B , si sólo si, f (A)pf (B). Esta relación es de proximidad y corresponde a la estructura
inicial para f y (Y, p).
Veamos ahora la construcción de las estructuras nales. En un espacio de proximidad
(X, p) se escribe A ⊂⊂ B , sí y solamente si, Ap(X
−B) y se llama a B un p−vecindad de
A o una vecindad de proximidad de A. Esta relación satisface las siguientes propiedades:
i. ∅ ⊂⊂ A
ii. Si A ⊂⊂ B , entonces A ⊆ B .
iii. A ⊂⊂ (B ∩ C), si solamente si, A ⊂⊂ B y A ⊂⊂ C .
iv. Si A ⊂⊂ B , entonces para algún C, A ⊂⊂ C ⊂⊂ B .
Por lo tanto determina una relación de proximidad p en P(X) la cual se dene por ApB ,
si solamente si, A ⊂6⊂ (X − B).
Sea (X, p) un espacio de proximidad y sea f : X → Z una función sobreyectiva. En el
conjunto de partes de Z se dene la relación ⊂⊂2 así:
20
II Encuentro Internacional de Matemáticas, Estadística y Educación Matemática 2013
Dados C y D subconjuntos de Z , se dice que:
C ⊂⊂2 D, sí y solamente si; para cada racional binario s en [0, 1] existe algún Cs
subconjunto de Y tal que C0 = C , C1 = D y si t es un racional binario en [0, 1] y s < t,
entonces Cs ⊂⊂1 Ct . La relación ⊂⊂2 satisface i. a iv . La relación de proximidad sobre
Z inducida por la relación ⊂⊂2 , es llamada proximidad cociente y será notada como q2 .
Sea (X, p) un espacio de proximidad y f : X → Y es una función. En el conjunto de
partes de Y , se dene una relación q así:
Si Z y W son subconjuntos de Y , entonces ZqW , si sólo si, se cumple alguna de las
siguientes condiciones:
i. (Z − f (X)) ∩ (W − f (x)) 6= ∅, o,
ii. (Z ∩ f (X))q2 (W ∩ f (x))
donde q2 es la proximidad cociente antes denida.
La relación q es de proximidad sobre Y y es la estructura nal para f y (X, p).
Sean (X, ρ) y (X, q) espacios de proximidad, se dice que (X, ρ) ≤ (X, q), sí y solamente
si, la función de inclusión i : (X, ρ) → (X, q) es de proximidad. En otras palabras
(X, ρ) ≤ (X, q), sí solamente si, ρ ⊂ q . Este orden corresponde al orden de la bra sobre
el conjunto X y resulta ser un retículo completo.
Por lo tanto P rox es una categoría topológica brada sobre la categoría de los conjuntos,
ver [3], [15] y [20].
El funtor T : P rox → T op
En un espacio de proximidad (X, δ) se dene Ā := {x | {x}δA}. De esta manera se
determina un operador de clausura en P(X), que genera una topología sobre X llamada
la topología inducida por δ y que notaremos τD . Así se determina el funtor:
T : P rox → T op
denido por
T (X, δ) := (X, τρ ) y T (f ) := f
Si un espacio topológico proviene de un espacio de proximidad de la manera descrita se
dice que el espacio topológico es proximable.
Es de anotar que los espacios topológicos proximizables son precisamente los espacios
complemente regulares. Por lo tanto la imagen del funtor T son los espacios completamente regulares, ver [3], [15] y [20].
21
II Encuentro Internacional de Matemáticas, Estadística y Educación Matemática 2013
6. La categoría de los espacios bornológicos como categoría topológica Bor
En el conjunto de los números reales R con su orden usual, la colección de sus subconjuntos acotados verican las siguientes propiedades:
Los conjuntos unitarios son acotados, un subconjunto de un acotado es acotado. Y la
unión nita de acotados es acotado. Este hecho motiva la noción de espacio bornológico.
Denición 2.2. Una bornología sobre un conjunto X es una colección B de subconjuntos
de X , a los que se denominan acotados, que satisfacen los siguientes axiomas:
a) {x} ∈ B para todo x ∈ X .
b) Si A ∈ B y B ⊂ A entonces B ∈ B.
c) Si A, B ∈ B entonces A ∪ B ∈ B.
Al par (X, B) se le llama espacio bornológico.
Una función acotada entre dos espacios bornológicos (X, BX ) y (Y, BY ) es una función
f : X → Y que envía acotados en acotados, esto es, para todo A ∈ BX , f (A) ∈ BY . La
composición de funciones acotadas es acotada y para cada espacio bornológico la función
identidad es acotada.
Los espacios bornológicos y las funciones acotadas denen la categoría de los espacios
bornológicos notada Bor.
Sea X un conjunto. El conjunto de partes de X es una bornología sobre X , llamada la
bornología discreta sobre X . La colección formada por los subconjuntos nitos de X es
una bornología sobre X , que llamaremos la bornología nita sobre X .
La categoría de los espacios bornológicos Bor es una categoría topológica brada sobre
la categoría de los conjuntos, como se muestra a continuación.
Veamos que el funtor olvido O : Bor → Conj donde O(X, B) = X y O(f ) = f es
topológico. En primer lugar, es evidente que el funtor O es el.
Estructuras iniciales
Sea (Y, BY ) un espacio bornológico y f : X → Y una función, la estructura inicial para
(B, By ) y f es:
Sea
BX = {A ⊂ X | f (A) ∈ BY }
Estructuras nales de sumideros unitarios
Sea (X, BX ) un espacio bornológico y f : X → Y una función.
Sea
K1 = {B ⊂ Y | ∃A ∈ BX , ∧, B ⊂ f (A)}
22
II Encuentro Internacional de Matemáticas, Estadística y Educación Matemática 2013
y
K2 = {B ⊂ Y ⊂ (Y − f (X)) | B es nito}
Claramente K2 es una bornología sobre Y − (f (X)). También, K1 es una bornología
sobre f (x). Ahora denimos
BY = {B ∪ E | D ∈ K1 , ∧, E ∈ K2 }
BY es una bornología sobre Y . Por lo tanto (Y, BY ) es la estructura nal para (X, BX )
y f.
Las bras en
Bor
En la colección de bornologías sobre X , que notaremos F ib(X), se dene la relación
(X, B1 ) ≤ (X, B2 ), si y sólo si B1 ⊂ B2
denición que inicialmente es la natural, pues es la inducida por la relación de contenencia
usual.
Esta relación resulta de orden y en términos de funciones acotadas se puede expresar de
la siguiente manera:
(X, B1 ) ≤ (X, B2 ), si y sólo si iX : (X, B1 ) → (X, B2 )
donde iX es la función identidad de X .
Es de notar que la formulación equivalente en términos de morsmos de la relación de
categoría topológica, sin embargo este hecho no se altera el desarrollo de la teoría.
Para un conjunto X , el mínimo y el máximo en la bra corresponden a las bornologías
nitas y discretas respectivamente.
Dada una familia de bornologías, puesto que la intersección de bornologías es bornología,
el mínimo corresponde a la intersección de la familia dada y el máximo a la intersección
de las bornologías que contienen a la reunión de dicha familia, ver [21].
3.
Algunos métodos de construcción de categorías topológicas
3.1. Construcción de categorías topológicas a partir de topologías iniciales
y nales
Haciendo uso de topologías iniciales y nales, veremos la forma de construir una clase de
endofuntores de T op, que generan mediante sus puntos jos subcategorías topológicas de T op.
23
II Encuentro Internacional de Matemáticas, Estadística y Educación Matemática 2013
Denición 3.1. [9] Sean
W y X espacios topológico. En la colección de funciones
continuas f : W → X al olvidar la topología de X se tiene el sumidero que notamos:
s(W, X) = {f : W → X|f ∈ [W, X]T op }
la topología nal para s(W, X) la notamos F s(W, X) = X.
Es de anotar que la topología nal obtenida corresponde a la mayor topología sobre X que
hace continua a las funciones seleccionadas en cuestión. Ahora bien, de la denición topología
nal para un sumidero, se tiene que:
Lemma 3.1. Sean W y X espacios topológicos, entonces:
a) X ≤ Fs (W, X), para cada X .
b) [W, X]T op ∼
= [W, Fs (W, X)]T op
Teorema 3.1. Sea W un espacio topológico. La aplicación
EW :
T op −→ T op
X −→ EW (X) = Fs (W, X)
EW (f ) = f
hace de EW un funtor como lo ilustra el siguiente diagrama.
Demostración. Sea f : X → Y una función continua se debe ver que EW (f ) : EW (X) →
EW (Y ) debe ser continua para esto basta demostrar que para toda g ∈ s(W, X) la función
f ◦ g : W → EW (Y ) es continua. En efecto sea g ∈ s(W, X), entonces g : W → X es continua,
luego f ◦ g : W → EW (Y ) es continua, entonces por denición de estructura nal para un
sumidero, se tiene que f : EW (X) → EW (Y ) es continua.
24
II Encuentro Internacional de Matemáticas, Estadística y Educación Matemática 2013
Puesto que EW es idempotente, con las condiciones del teorema anterior se tiene el siguiente
resultado:
Teorema 3.2.
EW (T op) es una categoría topológica, en el sentido de [1].
Demostración. Las topologías iniciales y nales así como los supremos y los ínmos de EW (T op)
se construyen en T op y luego se trasladan a EW (T op) a través del funtor EW
De manera dual haciendo uso de topologías iniciales se construyen subcategorías topológicas
de T op.
3.2. Ejemplos
1. Dado un espacio discreto, haciendo uso de topologías iniciales se generan los espacios
discretos.
2. Dado un espacio con topología grosera , haciendo uso de topologías nales se generan
los espacios con topología grosera.
3. Al considerar el espacio de Sierpinski y haciendo uso de topologías iniciales se obtienen
la categoría de los espacios topológicos.
4. Se dice que un espacio X es secuencial, si cada subconjunto secuencialmente abierto
de X es abierto [18]. Un subconjunto A de X es secuencialmente abierto si cada sucesión en X que converge a un punto de A esta eventualmente en A, en otras palabras,
por fuera de A solo hay un número nito de términos de la sucesión. Consideremos
N∞ = {0, 1, 21 , 31 , · · · , n1 , · · · } como subespacio del conjunto de los números reales con
su topología usual. La categoría EN∞ (T op) corresponde a la categoría de los espacios
secuenciales.
5. Un espacio topológico X es completamente regular, si solo si, para todo subconjunto A
cerrado de X y para todo x ∈ X con x ∈
/ A, existe una función continua f : X → I tal
que f (x) = 0 y f (A) = 1, siendo I = [0, 1] con su topología usual [20].
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II Encuentro Internacional de Matemáticas, Estadística y Educación Matemática 2013
En [20] se demuestra que un espacio topológico X es completamente regular, si y solo
si, tiene la topología inicial inducida por la familia de funciones continuas y acotadas de
valor real. De este hecho se sigue que la categoría CI (T op) corresponde a la categoría de
los espacios completamente regulares.
3.3. Construcción de categorías topológicas a partir de funciones continuas
Los endofuntores construidos en esta sección, se pueden considerar como construidos a partir
de la función identidad de dicho espacio. Con esta idea en mente en este aparte se generaliza
este hecho, así que los resultados obtenidos son de carácter más general.
Sea h : W1 → W2 una función continua, para cada espacio topológico X , sea SX = {g : W2 →
X; g ∈ [W2 , X]T op } y sea SX ◦ h = {g ◦ h : W1 −→ X; g ∈ SX }.
Consideremos en T op la aplicación Eh que asignan a cada espacio topológico X el espacio
Eh (X) = FsX ◦h y a cada función continua f la función Eh (f ) = f . Dada una función f :
X −→ Y , la función f : Eh (X) → Eh (Y ) resulta continua.
Esto determina el funtor:
Eh :
T op −→ T op
X −→ Eh (X)
Eh es idempotente y en forma similar al apartado anterior se tiene que Eh (T op) es una subcategoría topológica de T op.
Para cada espacio topológico W , se cumple:
EW = EIW
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Por lo tanto, un espacio y su función identidad, generan la misma subcategoría topológica de
T op.
3.4. Algunos métodos de construcción de categorías topológicas en T op∗
En esta sección se muestran nuevas formas de construir categorías topológicas , usando una
técnica muy particular, como lo es el de agregar o quitar abiertos a un espacio topológico
punteado usando su punto base. Es de anotar que estas nuevas técnicas, no se pueden utilizar
en T op y por lo tanto amplían la teoría expuesta en [13] y en general en la sección anterior.
Consideraremos la categoría de los espacios topológicos punteados T op∗ , cuyos objetos son
ternas (X, τ , x0 ), donde X es un conjunto, τ una topología sobre X y x0 ∈ X y un morsmo
f entre dos espacios punteados f : (X, τ X , x0 ) −−→ (Y, τ Y , y0 ) es una función continua y
f (x0 ) = y0 , es de anotar que, trabajaremos con una denición un poco más fuerte.
Denición 3.2. La categoría de los espacios topológicos punteados, T op∗ ,está denida por:
a) Los objetos son ternas (X, τ, x0 ), X es un conjunto, τ una topología sobre X y x0 es un
punto de X
b) Los morsmos en T op∗ son funciones f : X −→ Y , continuas y tales que
f −1 {y0 } = {x0 }
A continuación se ilustra la manera de ampliar una topología agregando nuevos abiertos, los
cuales se construyen agregando el punto base de un espacio topológico punteado a cada uno
de sus abiertos iniciales. En seguida se muestra como esta construcción genera un elevador y
por lo tanto una subcategoría topológica.
Si (X, τ, x0 ) es un objeto de T op∗ , se dene τ ∗ = τ ∪ {A ∪ {x0 } | A ∈ τ }, es claro que, τ ∗ es
una topología sobre X .
Proposición 3.1. La aplicación
E : T op∗ → T op∗ denida por E(X, τ, x0 ) = (X, τ ∗ , x0 ) y
E(f ) = f es un funtor idempotente. La subcategoría plena formada por sus puntos jos forman
una subcategoría topológica de T op∗ .
En particular, si (X, τ, x0 ) es conexo y {x0 } no es cerrado en τ , entonces, (X, τ ∗ , x0 ) es conexo.
Ahora, si (xn )n∈N es una sucesión convergente (X, τ, x0 ), entonces la sucesión (xn )n∈N no
necesariamente es convergente en (X, τ ∗ , x0 ). Un ejemplo de esta situación es la siguiente. En
(R, µ, 0), donde R es el conjunto de los números reales y µ es la topología usual. La sucesión
1
1
∗
n converge a 0, n → 0. En τ = τ ∪ {A ∪ {0} | A ∈ τ } el abierto (−∞, 0) ∪ {0} no contiene
elementos de la sucesión.
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Ahora bien, dados (X, x0 , τ ) un espacio topológico y (xn )n∈N una sucesión que converge a l,
l 6= x0 , entonces, la sucesión (xn )n∈N en (X, x0 , τ ∗ ) es también convergente a l.
Las siguientes dos proposiciones ilustran la manera de reducir una topología, en el sentido de
quitar abiertos, eliminando los abiertos que contienen al punto base de un espacio topológico
punteado. En seguida se muestra como esta construcción genera un funtor idempotente y por
lo tanto una subcategoría topológica de T op∗ .
Si (X, τ, x0 ) es un espacio topológico punteado, la colección τ∗ = τ r {A ∈ τ | x0 ∈ A} ∪ {X},
es una topología sobre X .
La prueba de la siguiente proposición es inmediata.
Proposición 3.2. La aplicación C : T op∗ →
− T op∗ , denida por C (X, τ, x0 ) = (X, τ∗ , x0 )
y C(f ) = f , es un funtor idempotente y por tanto la imagen de dicho funtor, es una
subcategoría topológica.
Proposición 3.3. Todo espacio topológico punteado (X, τ, x0 ) se puede sumergir en un
espacio topológico conexo.
Demostración. Sea (X, τ, x0 ) un espacio topológico y se considera (X, τ∗ , x0 ) donde τ∗ = τ r
{A : A ∈ τ ; x0 ∈ A} ∪ {X} entonces τ∗ ⊆ τ por tanto i : (X, τ, x0 ) → (X, τ∗ , x0 ) es continua.
Proposición 3.4. Todo espacio topológico punteado se puede sumergir en un espacio
topológico compacto.
Conclusiones
Finalmente como se puede observar la topología categórica sigue ofreciendo temas de trabajo. Para el caso que nos ocupa, nótese que el trabajo enriquece la topología en aspectos
poco conocidos y que giran alrededor de las topologías iniciales y nales, como por ejemplo
la construcción de subcategorías topológicas de T op, que aunque no lo mencionamos pues direccionamos el trabajo hacia otra parte, resultan subcategorías reexivas y correexivas. Pero
además nótese que en el trabajo se presentan algunas técnicas que dan posibilidades de construir ejemplos de espacios topológicos especiales y categorías topológicas. A su vez al mostrar
que estás teorías no son exclusivas de los espacios topológicos enriquece la teoría de categorías.
Agradecimientos
Los autores agradecemos al comité organizador del evento el habernos brindado un espacio
para exponer este trabajo y de manera muy especial al profesor Carlos Javier Ruiz Salguero
Q.E.P.D el habernos introducido en estos temas con sus valiosas discusiones en el seminario
del grupo Vialtopo.
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